Интегральные представления биквартернионных гипергодоморфных функций и их приложения

В связи с применением аппарата теории функций комплексного переменного был достигнут наиболее существенный прогресс в решении двумерных задач математической физики. Среди возможных пространственных обобщений двумерной теории все более видное место в последнее время занимает кватернионный анализ.

Введенный в [65], [55], [34] в связи с требованием факторизации оператора Лапласа, аналог условий Коши-Римана естественным образом привел к понятиям кватернионных аналогов интеграла типа Коши, оператора сингулярного интегрирования, Т-оператора, рассмотренным впервые в [7], [8]. Для них оказались справедливы теоремы, обобщающие известные результаты теории функций комплексного переменного. В [7] были показаны и первые применения интегральных теорем кватернионного анализа в пространственной теории упругости.

Список применений в различных областях математической физики продолжает стремительно расти. В [60], [61], [62] продемонстрирована возможность переформулировки классической электродинамики в терминах кватернионного анализа. В [22], [2], [36] решены некоторые пространственные задачи теории упругости методами кватернионного анализа. Связь ряда гидродинамических и геофизических моделей с кватернионными интегральными и дифференциальными уравнениями показана в [48], [13], [703. В [5], [26] (см. также имеющиеся там ссылки) симметрийный анализ уравнения Дирака для свободной частицы со спином ½ и ненулевой массой покоя существенно упрощен с использованием его кватернионных формулировок.

Обозначим через и ®, гн (<г-) множества вещестшнтох и комплексных кватернионов, соответственно. а~гиперголоморфными мы называем кватернионные функции, у довдетворящие уравнению стандартные базисные кватернионы, adH©, f: Kd—> и©.

При а=0 уравнение (0.1) совпадает с известной (см., например, С93, [10], [501, [24], [67]) системой Моисила-Теодореску, впервые рассмотренной в Г64], [65] и являющейся простейшим пространственным аналогом системы уравнений Коми—Римана. Многочисленные приложения системы Моисила-Теодореску привели к различным многомерным обобщениям ([53], [173, CI81, [231, [16], [41). Для О-гштерголоморфных в нашей терминологии или просто Г’йперголоморфных функций (термин [67]- в [57] они называются «'регулярными) доказаны аналоги формулы БореляПомпейю, интегральной формулы Коти, теоремы Коши, теоремы Морера и.т.д. Современное состояние развития методов кватернионного анализа, в основном, отражено в монографиях [57], [541 (во второй из них большее внимание уделено обобщению результатов на случай алгебры Клиффорда).

Настоящая работа посвящена построению новых интегральных представлений, решению некоторых краевых задач для а-гштерголоморфных функций, а также применениям полученных результатов к различным физическим объектам.

D.C-+ f а-0, оператор Мойсила-Теодореску, Ik.

0.1) в ;

Таким, как гармонические электромагнитные и спинорнне полярешения пространственных уравнений теории упругостиинстннтоньг,.

Случай схес (с — поле комплексных чисел) рассмотрен в параграфе I. I, который, но сути, является вводным. Уравнение (0.1) ари ouaR, f: R3 • -> c-i (?R) было исследовано в [56], Г57J {оть-тт еще работы [68], [691, где изучался клиффордов в налог1 уравнения (0,1) ггри аеП?, не совпадавший, однако, с (0.') ь ква-гернионном случае). Поэтому предложения I.I.IIЛ.3 и их следствия, обобщающие такие факты из комплексного анализа, как формулы Бореля-Помпейю, формулы Сохоцкого, интегральная формула Коши, инволютивность оператора сингулярного интегрирования и др. получены естественным перенесением соответствующих результатов из [561, Г571 на случай аес, f: fR3 —> w©. Необходимо заметить, что предложения 1Л.4, 1Л.5, обобщающие интегральную теорему Коши и теорему Морера, при <х=0 ранее были доказаны в Г7]. Отметим также предложение I.I.6, утверждающее, что алгебра операторов, порожденная операторами сингулярного йнтегрирования, соответствующими различным параметрам аес, совпадает с алгеброй, рассмотренной в [67].

Центральным фактом параграфа Г. 2 является теорема I.2.1, утверждающая, что все результаты п. 1.1, относящиеся к случаю ate, справедливы и в общем случае онн©. Однако это стало возможным: после соответствующего доопределения кватернионных интегральных операторов (формулы (1.2.11)-('.2.13)), в котором участвуют операторы, введенные в пЛЛ.

В и.1.3 с использованием результатов п. 1.2.

-.< .у .риваются краевые задачи для а-гиперголоморфшх фу аналогичные задаче аналитического продолженияв теории функций комплексного переменного и простейшей задаче Гильберта (см., например, Г213, [37]), При этом дается г" и обходимое и достаточное условие разрешимости задачи а~гиперголоморфного продолжения и, в случае существования, ¦•'.троится решение задачи. Показано, что обобщенная задача Т ильберта в классе функций из пространства Лизоркина однозначно разрешима, и ее решение также строится в явном ьиде.'.

А, шедем оператор лГ умножения справа на комплексный.

Jl кватернион А.: М Г:=ГА., Ын©. Тогда естественным образом во.^някает уравнение Гельмгольца с кватернионным параметром й. Ч Г А' v ГЛ v A t ijj j ±—о, u. ti) где А: — -.— + — + — - оператор Лапласа, так как .'X <?х «яг.

12 3.

D+M*1) (D-M01), если Уравнений) (0.?) посвящен п. 2.1. В частности, при.

Алл уравнение (0.2) представляет собой обычное уравнение Гельмгольца. Причем в этом случае a — необязательно комплексное число. Любопытно, что и при А,=0 можно выбрать' ненулевое а, чем удалось воспользоваться для декомпозиции и до я оператора Лапласа (тсзорема 2.1.2). Важнейшим у т^ерждением параграфа является теорема 2.1.1 о декомпозиции ядре оператора Гельмгольца е произвольным комтлексн" кйач’ершонным параметром (в частности, делителем нуля). Из теоремы 2.1.1 и теоремы 2.1.2 с использованием результатов 1.1.2 немедленно получаются новые интегральные представления для кьатернионнных функций, удовлетворяющих уравнению (0.2).

В п. 2.2 выясняется взаимно однозначная связь между сопряженными классами а-гиперголоморфных функций с одной стороны и гармонически зависящими от времени электромагнитными полями — с другой. В связи с этим устанавливается ряд аналогий между фундаментальными физическими фактами и теоремами кватернионного анализа. Например, формулы Стрэттона-Чу являются аналогом кватернионной интегральной формулы Коши, а условия перехода от интегральной формы уравнений Максвелла ~ к дифференциальной являются аналогом кватернионной теоремы Морера. Кроме того, получено новое граничное интегральное представление импульса электромагнитного поля. Заметим, чаю для изучения гармонических электромагнитных полей достаточно случая аее в (0.1).

Результаты п. 1.2 для общего случая оын© оказываются. необХ'.удимыми в п. 2.3, где изучаются гармонические во времени решения уравнения Дирака. В ряде работ (снова сошлемся на «51, F263 и имеющуюся там библиографию) строились различные кватернионные аналоги уравнения Дирака, являвшиеся, однако, аналогами лишь постольку, поскольку их симметрийные свойства совпадали с симметрийными свойствами уравнения Дирака. В п. 2.3 строится кватернионное уравнение (формула (2.3.11))., эквивалентное уравнению Дирака в том смысле, что между его решениями и решениями уравнения Дирака устанавливается бйек’мвное соответствие. Причем частный случай безмассового епийорного поля (соотве т ствующего нейтрино) приводит к кватернионному уравнению, описывающему электромагнитное поле в вакууме. Кватернионные проекторы Р% Р», введенные в ri.T.2 i, — связи с доопределением интегральных операторов, описывают^ястшш щ античастицу. Лираковекая амплитуда гармонического во времени безмассоиого спинорного поля порождает а-пиперголоморфную квчтернионяую функцию, причем сын (<�г). Г.—"ди4-аТСЛЬНО, ДЛя дираковских амплитуд, используй результаты п.Т.Т м jf.1.2 уже нетрудно получить аналоги /•"тньрнльной формулы Кот и формул Сохоцкого (теорема 2.3.3, -ео р"ма 2.3.4).

Далее, в п. 2.4 результаты п. 1.3 относительно краевых в е. дач для а-гитаргюломорфных функций, с учетом связей последних с физическими полями (полученных в п. 2.2 и 2.3), используются при исследовании с единых позиций краевых задач r-армонических электромагнитных и спинорных полей. Устанавливается необходимое и достаточное условно пм -!/м (1р, тй пары вектор-функции с поверхности вну / / ¦<. !. «ой ею области так, чтобы полученное продолжение являлось гармоническим шюктро—магнитным полем. Аналогичная лъанчн решается для гармонического спинорного поля. Кроме i-OiO, для него решается аналог задачи Гильберта.

Т’мщ-.ц я пол"я1"ена процедурам факторизации применительно уравнениям математической физики. Однако, разным процедурам факторизации. Этот термин в литературе $-ребляется в различных смыслах (см. по этому поводу, •i, а пример, [451).

В ц. З Л предлагается достаточно общая схема '•^^'ркомплексной (факторизации класса уравнений •V-'в^гу'чуской физики, позволяющая, приводить соответствующие •сотовые задачи типа Дирихле к двум краевым задачам в классах а-гштерголомор^ных кватернионных функций, но меньшего порядка производных. Фактически, эта схема обобщает результаты [22.], [23, где она в неявном виде была использована для получения новых решений пространственных задач относительно уравнений Ламе, а также результаты [563, [573, где с помощью нее были получены новые интегральные представления для решений краевых задач относительно уравнений Лапласа и Гельмгольца. Приведены и другие примеры уравнений математической физики, укладывающиеся в общую схему, — уравнения установившихся упругих колебанийуравнения статики моментной теории упругости.

Процедура факторизации в смысле [15], [45] применительно к уравнениям типа Фуетера.

J^- -aD)u=0, (0.3) и: к4—у и ©, a=Go?iste€ рассматривается в п. 3.2. Она заключается в том, что с помощью построения инвариантов группы классических симметрий исходного уравнения (0.3) можно получить решения для некоторых систем нелинейных уравнений в частных производных. Применив факторизацию по группе растяжений, являющейся подгруппой симметрий уравнения (0.3), удалось получить решения класса нелинейных кватернионных уравнений, содержащего, в частности, уравнение самодуальности после введения для калибровочного потенциала известного (см., например, [58]) анзаца Jackiw-Nohl-Rebbi-'t Hooft. То есть, в частности, получен класс инстантонов,.

Основные результаты диссертации опубликованы в [713-[78]. Результаты трех совместных с М. В. Шапиро работ принадлежат авторам в равной мере.

Автор выражает искреннюю благодарность Г. СЛитвинчуку за ценные рекомендации и постоянное внимание к работе, М. В. Шапиро — за плодотворное сотрудничество, своему отцу В. Г. Кравченко — за многие годы школы самостоятельной научной работы.

1. Алексидзе М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач.- М.: Наука, 1991. 352 с.

2. Аннин Б. Д., Григорьев Ю. М., Наумов В. В. Решение пространственных статических задач теории упругости методами теории кватернионных функций/ Числ. методы решения задач теории упругости.- 9 Всесоюзная конф., Саратов, 1985. Новосибирск, 1986. с.35−42.

3. Ахиезер А. И., Ахиезер И. А. Электромагнетизм и электромагнитные волны.- М.: Высшая шк., 1985.

4. Балабаев В. Е. Об одном классе многомерных эллиптических систем первого порядка// Диф. уравнения- 1992. т.28,4. с.628−637.

5. Березин А. В., Толкачев Е. А., Федоров Ф. И. Преобразования Лоренца и уравнения для спинорных кватернионов// ДАН БССР.- 1980. т.24, Л 4. с.308−310.

6. Берестецкий В. Б., Лифщиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика.- М.: Наука, 1989. 728 с.

7. Бицадзе А. В. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его приложения// Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1953, Jfc 17. с.525−538.

8. Бицадзе А. В. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его применения// ДАН СССР.- 1953.-т.93, Л 3. с.389−392.

9. Бицадзе А. В, Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка.- М.: Наука, 1966. 204 с.

10. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функцийоо комплексного переменного.- Мзд. 3-е доп.- М.: Наука, 1984. 320 с.

11. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В.

Введение

в теорию квантованных полей.- М.: Наука, 1984. 600 с.

12. Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных функций.- М.: Наука, 1977, 288 с.

13. Василевский H.JI., ЗЭДанов М.С., Шапиро М. В. Пространственные аналоги интеграла типа Коши и теория кватернионов.- Москва, 1987. 23 е.- (Препр./ ИЗМИРАНJ№ 48 (737)).

14. Василевский Н. Л., Шапиро М. В. Кватернионные ф-моноген-ные функции, сингулярные операторы с кватернионным ядром Коши и аналоги задачи Римана/ Одесский ун-т.-Одесса, 1987. 68 е.- Деп. в УкрНМИ НТМ 06.02.87., Я 629-УК-87.

15. Виноградов A.M., Красильщик И. О., Лычагин В. В.

Введение

в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1986. 333 с.

16. Виноградов B.C. Спинорные системы// Диф. уравнения.-1991. т.27, № I.- с.22−29.

17. Владимиров B.C., Волович И. В. Суперанализ. I. Дифференциальное исчисление// Теоретическая и математическая физика.- 1984. 59, ЖЕ.- с. 3−27.

18. Владимиров B.C., Волович И. В. Суперанализ. II. Интегральное исчисление// Теоретическая и математическая физика.- 1984. 60, Ш,.- с. 169−198.

19. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.:Наука, 1988. 512 с.

20. Гальцов Д. В., Грац Ю. В., Жуковский Б. Ч. Классические поля.- М.: Изд-во МГУ, 1991. 150 с.

21. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.- Изд. 3-е доп.- М.: Наука, 1977. 640 с.

22. Григорьев Ю. М. Некоторые решения пространственных статических уравнений Ламе// Динамика сплошной среды.-Новосибирск, 1984, Jfc 67. с.29−36.

23. Гудович И. О. О голоморфных вектор-функциях, зависящих от произвольного числа вещественных переменных.// Применение новых методов анализа в теории краевых задач/ НИИ матем. Воронежского ун-та. Воронеж, 1990. с.5−11.

24. Джураев А. Д. Метод сингулярных интегральных уравнений.-М.: Наука, 1987. 416 с.

25. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики.- М: Изд-во МГУ, 1987. 167 с.

26. Ермолаев Е. А. Некоторые применения кватернионов ранга г в теори релятивистских волновых уравнений.- Минск, 1986. 36 е.- (Препр./ Ин-т физики АН БССРJfc 435).

27. Жданов М. С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей.- М.: Наука, 1984. 326 с.

28. Ильинский Aj.C., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Математические модели электродинамики.- М.: Высшая школа, 1991. 224 с.

29. Казанова Г. Векторная алгебра.- М.: Мир, 1979. 120 с.

30. Кантор И. Л*, Солодовников А. С. Гиперкомплексныечисла.- М.: Наука, 1973. 144 с.

31. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния.- М.: Мир, 1987. 311 с.

32. Комеч A.M. Линейные уравнения в частных поизводных с постоянными коэффициентами.// Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.- т.31 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР), М., 1988. 127−261.

33. Крупник Н. Я. Банаховы алгебры с символом и сингулярные интегральные операторы.- Кишинев: Штиинца, 1984. 138 с.

34. Крылов Н. М. О кватернионах Роана Гамильтона и понятии моногенности// ДАН СССР.- 1947. т.55, № 9. с.799−800.

35. Купрадзе В. Д., Гегелия Т. Г., Башалейшвили М. О., Бурчуладзе Т. В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости.- М.: Наука, 1976.

36. Кутрунов В. Н. Кватернионный метод регуляризации интегральных уравнений теории упругости// Прикл. математика и механика.- 1992. т.56, 5. с.864−868.

37. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом.- М.: Наука, 1977. 448 с.

38. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.-М.: Мир, 1977. 504 с.

39. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн.- М.: Наука, 1978. 544 с.

40. Оболашвили Е. И. Пространственные голоморфные векторы// Диф. уравнения.- 1975. XI, ЖЕ.- с.108−115.

41. Олвер П. Приложения групп Ли к. дифференциальным уравнениям.- М.: Мир, 1989. 639 с.

42. Паули В. Теория относительности.- М.: Наука, 1991. 324 с.

43. Сакс Р. С. О краевых задачах для системы ro? u+A, u=h// ДАН СССР.- 1971. т.199, * 5. с.1022−1025.

44. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.- Минск: Наука и Техника, 1987. 688 с.

45. Свинолупов С. И., Соколов В. В. Факторизация эволюционных уравнений// Усп. Мат. Наук.- 1992. т.47, вып.(285).-с.115−146.

46. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами// Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган/ М.: Наука, 1979. 832 с.

47. Стейн И., Вейс Г.

Введение

в гармонический анализ на евклидовых пространствах.- М.: Мир, 1974. 331 с.

48. Цалик A.M. Кватернионные функции, их свойства и некоторые приложения к задачам механики сплошных сред// ДАН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки.- 1986.-Ш.2. с.21−24.

49. Шнеерсон М. С. О моногенных функциях Мойсила// Матем. сборник.- 1958. т. 44 (86), & I.- C. II4-I22.

50. Янушаускас А. Некоторые обобщения голоморфного вектора// Диф. уравнения.- 1982. т. 18, Jfc 4.-с.699−705.

51. Янушаускас А. О некоторых специальных отображениях, осуществляемых гармоническими функциями// Лит. Мат. Сб.- 1989. т. 29, № 4. с. 819−825.

52. Янушаускас А. Многомерные эллиптические системы спеременными коэффициентами.- Вильнюс: Мокслас, 1990. 179 с.I.

53. Brackx P., Delanghe К., Sommen P. Clifford analysis.-London: Pitman, 1982. 76. 308 p.

54. Delanghe K., Sommen P., Souchek V. Clifford Algebra and Spinor-Valued Functions.- Amsterdam: Kluwer Acad. Publ., 1992. 485 p.

55. Pueter R. Regulare Funktionen einer Quaternlonen-variablen// Math. Inst. d. Universitat Zurich.- 1940.

56. Gurlebeck K. Hypercomplex Factorization of the Helmholtz Equation// Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen.-1986. Bd. 5(2).- p.125−131.

57. Gurlebeck K., Sprosslg W. Quaternionic analysis and elliptic boundary value problems.- Berlin: Akademie-Verlag, 1989. 56. 253 p.

58. Gursey P., Tze H.C. Complex and quaternionic analyticity In chiral and gauge theories, 1// Annals of Physics.- 1980. y.128. p.29−130.

59. Huang Liede The existence and uniqueness theorems of the linear and nonlinear Riemann-Hilbert problems for the generalized holomorphic vector of the second kind// Acta Math. Sci. Engl. Ed.- 1990. 10, Jfi2.-p.185−199.

60. Imaeda K. A new formulation of classical electrodynamics// Nuovo Cimento.- 1976. 32B, $ 1. p.138−162.

61. Imaeda K. Quaternionic Formulation of Classical Electrodynamics.- Okayama: Okayama Univ. of Science, 1983.

62. Jancewicz В. Multivectors and Clifford Algebra In Electrodynamics.- Singapore: World Scientific, 1988.

63. Michlin S.G., Prossdorf S. Singular Integral Operators.- Berlin: Akademie-Verlag, 1986.

64. Moisil Gr.C. Sur les quaternions monogenes// Bull. Sci. Math. Paris.- 1931. v.55. p.169−194.

65. Moisil Gr.C., Theodoresco N. Fonctlons holomorphes dans 1'espace// Mathematica.- 1931. 5. p.142−153.

66. Shapiro M.V. On analogies of the Riemann boundary value problem for a class of hyperholomorphic functions/ Integral equations and boundary value problems.- World Scientific.- 1991. p.184−188.

67. Xu Zhenyuan A function theory for the operator D-A,// Complex Variables, Theory and Appl., — 1991. 16. p.27−42.

68. Xu Zhenyuan Helmholtz equations and boundary value problems// Partial differential equations with complex analysis/ Pitman Res. Notes, Math. Series.- 1992. 262. p.204−214.

69. Zhdanov M.S. Integral Transforms in Geophysics.-Heidelberg: Springer-Verlag, 1988. 367 p.

70. Кравченко В. В. О приближенном решении задачи по скачку для а-гиперголоморфных функций/ Тезисы докладов 5 Всесоюзного симпозиума «Метод дискретных особенностей в задачах математической физики» 15−19 сентября 1991.-Одесса, 1991. Часть 2. с. 26.

71. Кравченко В. В. Об обобщенных голоморфных векторах/ Тезисы докладов Республиканской научно-методической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н. М. Лобачевского, 3−8 сентября 1992. Одесса, 1992.-Часть I.- с. 35.

72. Кравченко В. В. О связи между голоморфными бикватернионными функциями и гармоническими электромагнитными полями/ Одесский ун-т.- Одесса, 1992,18 е.- Деп. в УкрИНТЭИ 29.12.1992, J? 2073;УК-92.

73. Кравченко В. В., Шапиро М. В. Об обобщенной системе уравнений Коши-Римана с кватернионным параметром// Докл. РАН.- 1993. т.329, Л 5. с.547−549.

74. Kravchenko V.V., Shapiro M.V. Helmholtz operator with a quaternionic wave number and associated function theory// Deformations of Mathematical Structures. Hurwltz-type structures and appl. to surface physics/ Kluwer Acad. Publ., 1993. p.101−128.

75. Kravchenko V.V. On a hypercomplex factorization of some equations of Mathematical Physics.- Lisbon, Portugal, 1993. 9 p.- (Preprint/ Dep. of Math., Instituto Superior TecnicoJfe 1).

76. Kravchenko V.V., Shapiro M.V. Helmholtz operator with a quaternionic wave number and associated function theory. II. Integral representations.- Mexico City, Mexico, 1993. 23 p.- (Preprint/ Dep. of Math., — УЬ о IN V EST, А V del l.P.N.- Я> 119).