Краевые задачи для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений на плоскости

Актуальность темы

Понятие нелокального оператора и связанное с ним понятие нелокального дифференциального уравнения появилось в математике сравнительно недавно. В соответствии с определением, приведенным A.M. Нахушевым в его монографии [97], к числу нелокальных дифференциальных уравнений относятся: нагруженные уравнения [97, 98], уравнения, * содержащие дробные производные искомой функции [97, 98, 170, 171], уравнения с отклоняющимися аргументами, иными словами такие уравнения, в которых неизвестная функция и ее производные входят, вообще говоря, при различных значениях аргументов.

В 50−60 годы XX века в связи с возросшим интересом к задачам теории управления стала интенсивно развиваться теория обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим или опережающим аргументом. В этот период вышли хорошо известные монографии отечественных авторов А. Д. Мышкиса [89], С. Б. Норкина [103], Н. М. Красовского [76], Л.Э. Эльсголь-ца [154] и иностранных ученых Р. Беллмана и К. Кука [24], Э. Пинни [108], А. Халаная [161].

Среди дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами 1 особое место занимают уравнения, в которых отклонение аргументов носит знакопеременный характер. К числу таких отклонений относится так назы-^ ваемое отклонение инволютивного типа. Отображение a (t), которое является изменяющим ориентацию гомеоморфизмом простой непересекающейся замкнутой или разомкнутой кривой в комплексной плоскости, принято называть карлемановским сдвигом [81] или инволютивным отклонением [10], если a2(t) = a (a (t)) = t. (1).

Свойства этого гомеоморфизма приведены и изучены в монографиях 3. Ни-тецкого [102], Г. С. Литвинчука [81], Н. К. Карапетянца и С. Г. Самко [68]. В дальнейшем эти свойства использовались многими авторами при исследовании разнообразных уравнений, содержащих тот или иной инволютивный оператор — сингулярных интегральных уравнений [81], функциональных уравнений [21], [68], в краевых задачах теории аналитических функций [81], в уравнениях типа свертки [68] и так далее.

— Если а (£) — гомеоморфизм, отображающий некоторый отрезок I = [t, ?2] действительной оси на себя, имеет одну неподвижную точку t*: а (t*) = t*, то, а (?1) = t2, ос (?2) = t\. всюду на / {Г} выполняется неравенство a (t) -t)(tt*) < 0. (2).

Карлемановский сдвиг аргумента (1) можно представить в виде a{t) = t-r (t), где r (t) = t~a (t).

Отклонение r (t), в силу неравенства (2), на I меняет свой знак, то есть дифференциальные уравнения, содержащие карлемановский сдвиг (1), будут являться некоторыми модельными уравнениями со знакопеременным отклонением аргумента (при t < t* уравнения с опережающим аргументом, а при t > t* — с запаздывающим). В целом, такие уравнения можно отнести к классу функционально-дифференциальных уравнений.

Впервые обыкновенные дифференциальные уравнения с инволютивным отклонением встречаются еще в работе Ч. Баббеджа (Ch. Babbage) [155], опубликованной в 1816 году, в которой автор получил явные формулы решений уравнений вида dny (x),. где ар (х) = ар1(а (:с)) = х, р < п.

В 1921 году В. Файт в работе [159] описал свойства решений обыкновенного дифференциального уравнения dyix) / ч / = ау (-х), х € (-оо, +оо), с инволюцией частного вида (отражением) а{х) — —х, и показал, что это дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами имеет колеблющееся решение. Более того, решения уравнения у^(х)-р (х)у (а (х)) = 0. (3) обладают следующими свойствами: при р (х) > I > 0 и нечетных п — все решения осциллируютпри р (х) > I > 0 и четных п — среди решений могут быть и неосциллирующие. В случае а (х) = х, ситуация, как известно [86], прямо противоположная.

И.Г. Петровский [106] привел пример уравнения с простейшим инволю-тивным отклонением dii (x) ау (х) + by (сх), х е (оо, +оо) (4).

Это уравнение интересно тем, что, если рассмотреть его на (0, с), то правосторонняя (у{с) = 0) и левосторонняя (у (0) = 0) задачи Коши неравноправны в смысле единственности решения. Например, при, а = 1, 6=1, с=1 левосторонняя задача Коши имеет бесчисленное множество решений вида у — кх, где к — произвольное вещественное число, тогда как правосторонняя задача Коши имеет только единственное тривиальное решение [10].

Уравнение (3) является уравнением с отклоняющимся аргументом, причем.

JtoaGr) = тоо. (5) lim q (q (x)) = ±00. (G).

00 4 '.

A.H. Шарковский и B.H. Шевело в [150] привели методику сведения дифференциального уравнения n-ного порядка с инволютивным отклонением аргумента, обладающим свойством (5) к некоторому дифференциальному уравнению 2п-ного порядка с отклонением вида (6), для которых известен ряд теорем об осцилляции решений (см. также работы Ю. А. Митропольского [86], А. Н. Шарковского [149], В. Н. Шевело [151]).

В работе В. И. Мироненко [85] предложен метод, позволяющий находить начальные данные периодических решений дифференциальных систем, основанный на представлении решения x (t) дифференциальной системы с 2со-периодической правой частью в виде суммы четной x4(t) =) + x (—t)} и Z нечетной xn (t) = ~[x (t) — x (—t)} частей этого решения.

Отметим, что к обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим простейшую инволюцию — отражение = с — х, сводятся некоторые геометрические задачи [166], например, при с = 0 это задача И. Бернулли и J1. Эйлера о взаимных траекториях [24, стр. 98], а также краевые задачи для уравнений в частных производных гиперболического и эллиптического типов, если оператор уравнения допускает факторизацию [148, стр. 121]. Функциональные уравнения с отражением аргумента —х применяются в теории фильтрации [3G, стр. 61].

Дифференциальные уравнения с карлемановским сдвигом, в том числе и отличным от отражения, были предметом исследования Ю. А. Майстренко [82], Р. Келмана [164], JI. Зильберштейна [174].

В 1931 г. Т. Карлеман [158] рассмотрел задачу отыскания аналитической функции в области, ограниченной замкнутой кривой Г, по известному ранее из задачи Газемана [162] краевому условию.

Ф+(а (*)) = <7(*)Ф" (*), где a (t) — карлемановский сдвиг.

Отметим, что теория сингулярных интегральных уравнений с инволютив-ным отклонением фактически близка к завершению [G8, 81].

Линейные функционально-дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и линейными преобразованиями аргумента рассматривались во многих работах, например [28, 37, 38, 42, 45, 83, 90, 101, 117, 128, 153, 157, 160, 163, 167, 168, 173, 176].

Необходимо также отметить результаты А. П. Хромова [72, 74, 145, 146]. Так, например, в [145, 146] автор исследовал интегральный оператор вида.

При доказательстве теорем о равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования им существенно использовались свойства обыкновенного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом.

Инволютивное отображение также применялось и В. А. Плиссом [109, стр. 271−279] при исследовании субгармонических колебаний, описываемых уравнениями без диссипации.

Простейшая инволюция — отражение применяется при обращении времени в классической статистической механике неравновесных процессов [61, стр. 20].

В последнее время достигла заметных результатов теория нелокальных, по терминологии А. А. Дезина [43], задач. Решение многих практически важных задач, связанных с динамикой почвенной влаги [31, 96, 99], описанием процесса диффузии частиц в турбулентной плазме, моделированием процесса излучения лазера [156] и диффузии в трехкомпонентных системах [177], приводит к нелокальным краевым условиям. Как отмечено, например, в мо.

1-х О y'(x) = -Xy (l-x)-f (l-x). нографии А. М. Нахушева [97], исследования последних лет убедительно показывают, что в математической биологии весьма часто возникают как нелокальные краевые, так и смешанные начально-краевые задачи. Такие задачи возникают, в частности, при моделировании процесса размножения микробных популяций в биологическом реакторе [178].

Исследование нелокальных краевых задач было начато в работах В.И. Же-галова [48], А. В. Бицадзе, А. А. Самарского [27] и А. М. Нахушева [91].

В период с 70-х по 90-е годы в указанном направлении появилась серия работ М. Х. Абрегова [3], А. А. Андреева [7, 8], Х. Г. Бжихатлова [25], А. В. Бицадзе и А. А. Самарского [27], В. Ф. Волкодавова [32], Х. Ш. Джураева [44], В.А. Елее-ва [47], В. И. Жегалова [48]-[51], В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [63, 64], Н.И. Ион-кина [65], С. К. Кумыковой [73], Е. И. Моисеева [87], А. М. Нахушева [91]—[95], А. И. Прилепко [112], О. А. Репина [118]-[120], М. М. Смирнова [132], А. А. Самарского [125], А.П. Солдатова[133, 134], В. А. Стеклова [135], Я.Д. Тамарки-на [136], Ф. И. Франкля [144], Г. Н. Шевченко [152], A.M. Krall [165], M. Pico-ne [172] и других.

Среди первых работ по исследованию краевых задач для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами второго порядка с отклонениями в старших производных следует отметить работы И. М. Гуля [39]-[41] и А. Б. Нерсесяна [100], в которых было обращено внимание на эффект влияния отклонения аргумента на корректность постановок классических задач.

И.М. Гулем в работе [39] были рассмотрены краевые задачи для уравнения вида д2и (аъ (31) д2и (а2,Р2) = Q дх2 ду2 ' где ctk — ctk (x, y), (3k = и было показано, что задача Дирихле не является корректной.

А.Б. Нерсесян в [100] рассмотрел постановку задачи Коши для дифференциального уравнения utt (x, at) = a2uxx (x, t) с отклонением в аргументе вида at.

Заметим, что уравнения, рассмотренные И. М. Гулем и А. Б. Нерсесяном, вообще говоря не поддаются классификации, так как принадлежность уравнения к тому или иному типу есть его локальное свойство [30].

А.Н. Зарубиным [53]-[58] его учениками [59, 60, 123] исследовались краевые задачи для уравнений в частных производных смешанного типа и уравнений с дробной производной с запаздывающим аргументом. Так, например, в статье [53] им были рассмотрены краевые задачи для уравнения, обобщающего уравнение Лаврентьева-Бицадзе ихх{х, у) + sigayuyy (x, у) — Н{х)и{хт, у) = 0, а в работе [55] для уравнения.

Н (у2 — R2) uxx (x, у) + и (х, у) — H{R2 — у2) их{х, у) — и{хт, у) = 0 с помощью интегрального преобразования Лапласа по временной координате удалось редуцировать задачу обтекания двух несоприкасающихся плоскопараллельных пластин с тождественными теплофизическими свойствами к решению эллиптико-параболического уравнения с запаздывающим аргументом.

Отметим также работы Э. Ш. Баллы и И. И. Маркуша [22], В.А. Домбровс-кого и В. И. Фодчука [46], Т. Ш. Кальменова и М. А. Садыбекова [66], В. Р. Носова [104], В. В. Подгорнова [110], Б. И. Пташника [114, 115], З. Б. Сеидова [127], А. Л. Скубачевского [129]—[131], Б. П. Ткача [140, 141].

В работах А. А. Андреева [9]-[12] рассматривались дифференциальные уравнения, содержащие параметр е и инволютивные отображения одного или нескольких аргументов: д2.

Ми{х, у) = ?—и (а (х, у), /3(х, у)), 10 где М — есть дифференциальный оператор либо гиперболического, либо эллиптического, либо параболического типа, а (х, у), /3(х, у) — инволютивные отображения, удовлетворяющие свойствам: а (а (х, у), 0(х, у)) = х, (3{а{х, у),/3(х, у)) = у.

Эти уравнения также не поддаются известной классификации, но при е = 0 они имеют вид классических уравнений математической физики. Рассматривались задачи, которые при е = 0 являются соответственно задачами Коши, Дирихле, Гурса, Коши-Гурса, Неймана и были выяснены условия их корректности.

В работах А. А. Андреева и А. В. Линькова [13,14], А. А. Андреева и И.П. Шин-дина [18, 19] методом Фурье доказано, что первая краевая задача для уравнения с отклоняющимся аргументом, порожденного уравнением теплопроводности, может оказаться некорректно поставленной, в то время, как корректной будет задача, с заданием начального условия на части границы.

Подобный эффект наблюдался для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени С. А. Терсеновым [137] и Н. В. Кисловым [69, 70]).

Отметим, наконец, работы, посвященные исследованию краевых задач для уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу [17] и Бицадзе-Лыкова [15, 16] с ин-волютивными отклонениями аргументов в младших производных.

Заметим, что к подобным нелокальным уравнениям сводятся некоторые задачи интегральной геометрии [122], обратные задачи кинематической сей-смики [6] и геофизики [4, 20], задачи колебания, вызванные двумя синхронными источниками [62, 111], теории упругости [105], теории магнитогидродина-мических течений [71], теории распространения упругих электромагнитных волн, описываемых уравнением Максвелла с памятью [78], теории пластичности и ползучести, когда нельзя пренебречь наличием запаздывания деформаций в теле относительно приложенных напряжений [1, 52, 79, 116, 121, 169].

Прикладное значение теории нелокальных дифференциальных уравнений обусловлено тем обстоятельством, что, как отмечают многие авторы, теория обыкновенных дифференциальные уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих инволютивные отклонения аргументов искомых функций и их производных, изучена явно недостаточно и остается весьма далекой от своего завершения.

Цель работы. Целыо диссертационной работы является постановка и изучение методов решения как классических так и неклассических начальных и начально-краевых задач для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка на плоскости с инволютивными отображениями аргументов, обоснование корректности этих задач, доказательство соответствующих теорем существования и единственности решений, что и определяет структуру работы и содержание ее отдельных глав.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены путем редукции поставленных классических краевых задач или их аналогов для изучаемых нелокальных дифференциальных уравнений к классическим или известным неклассическим краевым задачам для определенным образом получаемых систем двух локальных дифференциальных уравнений, применением методов Римана, Римана-Адамара, Фурье, теории сингулярных интегральных уравнений, краевых задач Римана и специальных функций.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1) приведен пример обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами, содержащего искомую функцию, вычисленную в инволютивной точке, для которого показано неравноправие левосторонней и правосторонней задач Коши в смысле единственности решения, а также показано влияние инволюции на свойства решений;

2) найдено решение в явном виде и обоснована корректность классической задачи Коши для телеграфного уравнения, возмущенного значением искомой функции в инволютивных точках специального видапоказано влияние инволюции на асимптотику решения задачи Кошинайдены решения в явном виде и обоснована корректность двух нелокальных характеристических задач;

3) найдены решения в явном виде и обоснована корректность задачи Коши, квазихарактеристических задач Гурса, Коши-Гурса и Дарбу с заданием нелокальных условий на части квазихарактеристик для одного нелокального уравнения, порожденного дифференциальным оператором второго порядка, возмущенным оператором того же семейства относительно искомой функции, вычисленной в инволютивных точках;

4) методом Фурье обоснована корректность и найдены решения в явном виде двух задач Дирихле в прямоугольной области для одного уравнения с нелокальным дифференциальным оператором второго порядка, возмущенного оператором того же семейства относительно искомой функции, вычисленной в инволютивных точках;

5) рассмотрены аналоги задачи Трикоми в неограниченных симметричных областях для уравнений, порожденных операторами типа Лаврентьева-Бицадзе с одной, двумя перпендикулярными и двумя параллельными линиями вырождения типа и возмущенных значениями второй производной искомой функции вычисленной в инволютивных точкахобоснована корректность задач и найдены решения в явном виде.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней продолжены исследования в области классических и нелокальных краевых задач для одного класса нелокальных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с инволютивными отображениями аргументов.

Результаты работы могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории классических и нелокальных краевых и начально-краевых задач для нелокальных уравнений с инволютивными отображениями аргументов.

Практическая значимость заключается в возможности применить полученные результаты к исследованию конкретных дифференциальных уравнений, являющихся моделями физических и природных процессов.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на международной конференции «Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой», посвященной 70-летию Самарской государственной экономической академии (июнь 2001 г.) в СамГЭА, г. Самаранаучной конференции «Проблемы современной математики», посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета (22−24 октября 2001 г.) в КГПУ, г. Казаньвторой международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (3−7 декабря 2001 г.) в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г. Нальчикмеждународном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (18−25 мая 2003 г.) в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г. Нальчик-п. Эльбрусмеждународном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (22−26 мая 2004 г.) в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г. Нальчик-п.Эльбрусежегодном Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2003;2005гг.) в Сочинском госуниверситете ТиКД, г. Сочиежегодных межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (2002;2003 гг.) в СамГТУ, г. Самара. ежегодной международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (2004;2005 гг.) в СамГТУ, г. Самараежегодных Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (2004;2005 гг.) в СамГТУ, г. Самара. на Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (27 июня-2 июля 2005 г.) в СамГУ, г. Самаранаучном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета в 2003 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Филатов О.П.) — научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2002;2005 гг. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Радченко В.П.) — научном семинаре кафедры математического анализа Белгородского государственного университета в ноябре 2005 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Солдатов А.П.);

Объем и структура диссертации. Диссертациоиная работа изложена на 137 страницах, и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 190 наименований.

1. Аболииа, Т. Смешанная задача для почти линейных гиперболических систем на плоскости / Т. Аболина, А. Д. Мышкис // Мат. сб., 1960. —Т. 50, Вып. 4. С. 5−10.

2. Абрамовиц, М., Справочник по специальным функциям / Пер. с англ.:Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. — М.: Наука, 1979. — 832 с.

3. Абрегов, М. Х. Некоторые задачи типа Бицадзе-Самарского для одногоуравнения смешанного типа / М. Х. Абрегов // Дифференц. уравнения, 1974. Т. 10, № 1. — С. 3−7.

4. Азаматов, С.Ж. О единственности решения задачи Коши для одноготипа уравнений в частных производных со сдвинутым аргументом /С.Ж. Азаматов, В. А. Андреев // Докл. АН СССР, 1976.

5. Азовский, В. В. Решение обобщенной задачи Трикоми для одногоуравнения смешанного типа в бесконечной области / В. В. Азовский, В. А. Носов // Волж. мат. сб., 1973. Вып. 15. — С. 3−9.

6. Алексеев, А. С. Об одной постановке кинематической задачи сейсмики для двумерной непрерывно-неоднородной среды / А. С. Алексеев, А. О. Белоносова //В сб.: Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. — Новосибирск: Наука, 1967.

7. Андреев, А.А. О корректности краевых задач для некоторых уравненийв частных производных с карлемановским сдвигом / А. А. Андреев // «Дифференциальные уравнения и их приложения»: Тр. II международ.семинара. — Самара: Сам. ун-т, 1998. — С. 5−18.

8. Андреев, А. А. Краевые задачи для одного класса нелокальных уравнений / А. А. Андреев // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тр. ин-та математики НАН Беларуси. — Минск, 2001. Т. 10. — С. 12−20.

9. Андреев, А. А. Об аналогах классических краевых задач для одногодифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом / А. А. Андреев // Дифференциальные уравнения, 2004. —Т. 40, № 5. С. 1126−1128.

10. Андреев, А.А. О корректных задачах для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом / А. А. Андреев, А. В. Линьков // Тр. Сибир. конф. по неклассическим уравнениям мат. физики. — Новосибирск, 1995.

11. Андреев, А.А., О корректных задачах для уравнений в частных производных с инволютивным отклонением / А. А. Андреев, А. В. Линьков // «Дифференциальные уравнения и их приложения»: Тез. докл. международ. семинара. — Самара, 1995. — С. 27.

12. Андреев, А.А. О задаче Коши для уравнения Эйлера-ПуассонаДарбу частного вида с отклоняющимся аргументом / А. А. Андреев, А. Ю. Сеницкий //В сб.: Неклассические уравнения математическойфизики. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1987. — С. 51−53.

13. Андреев, А.А. О корректности граничных задач для одного дифференциального уравнения с инволюцией частного вида / А. А. Андреев, И. П. Шиндин //В сб.: Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. — Куйбышев, 1988. — С. 51−53.

14. Андреев, В. А. Некоторые задачи для уравнения в частных производныхсо сдвинутым аргументом / В. А. Андреев, С. Ж. Азаматов // В сб.: Мат.пробл. геофизики. — Новосибирск, 1974. — Вып. 5, Ч. 2. — С. 5−17.

15. Аитоневич, А. В. Линейные функциональные уравнения: Операторныйподход / А. Б. Антонович. — Минск: Университетское, 1988. — 232 с.

16. Балла, Э. Ш. Об асимптотическом решении смешанной задачи для гиперболического уравнения с запаздывающими аргументами / Э. Ш. Балла, И. И. Маркуш // Украин. мат. журн., 1971. Т.23, № 4. — С. 437−453.

17. Бейтмеи, Г. Таблицы интегральных преобразований: В 3 т. /Г. Бейтмен, А. Эрдейи. / Сер.: «Справочная математическая библиотека». — М.: Наука, 1968. — Т. 1: Преобразования Фурье, Лапласа, Мел-лина. — 344 с.

18. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. М.: Мир, 1967. — 548 с.

19. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений: Учебн. пособие / Х. Г. Бжихатлов, И. М. Карасев, И. П. Лесковский, A.M. Нахушев. — Нальчик, 1972. — 290 с.

20. Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных /А.В. Бицадзе. М.: Наука, 1981. — 448 с.

21. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач / А. В. Бицадзе, А. А. Самарский // Докл. АНСССР, 1969. Т. 185, № 4. — С. 739−740.

22. Борок, В.М. О единственности решения задачи Коши для линейныхуравнений в частных производных с линейно-преобразованным аргументом / В. М. Борок, Я. И. Житомирский // Теория функций, функцион. анализ и его приложения, 1973. — Т. 18. — С. 50−63.

23. Випер, Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения / Н. Винер. —М.: Физматгиз, 1963. — с. 124.

24. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. — М.: Наука, 1988. — 512 с.

25. Водахова, В. А. Краевая задача с нелокальными условиямиA.M. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения вла-гопереноса / В. А. Водахова // Дифференц. уравнения, 1982. — Т. 18, № 2. С. 280−285.

26. Волкодавов, В. Ф. Решение краевой задачи со смещением для гиперболического уравнения / В. Ф. Волкодавов, О. А. Репин //В межвуз. сб. тр. по физ.-мат. наукам: «Дифференц. уравнения и их приложения». —Вып. 2. Куйбышев: КПтИ, 1975. — С. 9−15.

27. Гаитмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1967. —576 с.

28. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. — М.: Наука, 1977. — 640 с.

29. Гахов, Ф.Д. О некоторых типах сингулярных интегральных уравнений, разрешаемых в замкнутой форме / Ф. Д. Гахов, Л. И. Чибрикова // Мат.сб., 1954. Т. 35, Вып. 3. — С. 395−436.

30. Герсеваиов, Н. М. Итерационное исчесление и его приложения /Н.М. Герсеваиов. М., 1950. — С. 1−69.121.

31. ГоринЕ.А. О финитных решениях некоторых функционально-дифференциальных уравнений / Е. А. Горин // Успехи мат. наук, 1981. Т. 36, Вып. 4. — С. 211−212.

32. Гребенщиков, В. Г. Об ограниченности решений неоднородной системысс запаздыванием, линейно зависящем от времени / Б. Г. Гребенщиков // В сб.: Устойчивость и нелинейные колебания. — Свердловск: УргУ, 1986. С. 7−122.

33. Гуль, И. М. Задача Коши для некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с функциональными аргументами /И.М.Гуль // Успехи мат. наук, 1955. Т. 10, Вып. 2. — С. 153−156.

34. Гуль, И. М. Дифференциальные уравнения в частных производныхс функциональными аргументами / И. М. Гуль // Тр. семинара по теории Дифференцальные уравнений с отклоняющимися аргументами. Часть I. — М.: Ун-т дружбы народов П. Лумумбы, 1962. — С. 94−102.

35. Гуль, И. М. Дифференциальные уравнения в частных производных сфункциональными аргументами / И. М. Гуль // Тез. кр. науч. сообщений Междунар. конгресса математиков (Секция 7). — М., 1966. — С. 29−30.

36. Дабагян, А. А. Алгоритм интерполяции функции двух переменных с помощью атомарных функций / А. А. Дабагян, Е. А. Федотова // В сб.: Мат. методы анализа динамических систем. — Вып. 1. — Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1977. — С. 38−45.

37. Дезин, А. А. Общие вопросы теории граничных задач / А. А. Дезин. —М.: Наука. 1980. 120 с.

38. До/сураев, Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно? составного типов / Т. Д. Джураев. — Ташкент: Изд-во «Фан» Узбек. ССР, 1979. 120 с.

39. Дерфель, Г. А. О классах единственности задачи Коши некоторыхдифференциально-функциональных уравнений / Г. А. Дерфель // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат., 1975. № 3. — С. 77−79.

40. Домбровский, В. А. Об асимптотическом представлении решений для дифференциального уравнениягиперболического типа с запаздыванием / В. А. Домбровский, В. И. Фодчук //В сб.: Мат. физика. — Вып. 6. —Киев: Наукова думка, 1969.

41. Елеев, В.А. О некоторых задачах типа типа задачи Коши и задачах сосмещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения /В.А. Елеев // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, № 1. — С.46−58.

42. Жегалов, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В. И. Жегалов // Уч. записки КГУ, 1962. — Т. 122, Кн. 3. С. 3−16.

43. Жегалов В. И. Задача типа Трикоми с пятыо степенями в гиперболической части области / В. И. Жегалов // Тр. семинара по краевым задачам. Вып. 15. — Казань: КГУ, 1978. — С. 48−52.

44. Жегалов, В. И. Задача с несколькими смещениями для уравнениясмешанно-составного типа / В. И. Жегалов // Изв. вузов. Математика, 1982. № 10. — С. 15−18.

45. Жегалов, В.И. К задачам со смещением в краевых условиях для общегоуравнения Лаврентьева-Бицадзе / В. И. Жегалов //В сб.: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений мат. физики. — Новосибирск, 1984. С. 63−73.

46. Зарубин, А. Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типас запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // Дифференциальныеуравнения, 1996. Т. 32, № 3. — С. 350−356.

47. Зарубин, А.Н. О некоторых начально-краевых задачах длядифференциально-разностного уравнения смешанного типа / А. Н. Зарубин // Докл. АН РСФСР, 1996. Т. 346, № 6. — С. 735−737.

48. Зарубин, А. Н. Аналитическое решение одной задачи нестационарного конвективного теплообмена с последействием / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения, 1997. — Т. 33, № 1. — С. 130−144.

49. Зарубин, А. Н. Об алгоритме решения начально-краевой задачидля уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // Журн. вычислительной математики и мат. физики, 1997. Т. 37, № 2. — С. 184−187.

50. Зарубин, А. Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом: Учебное пособие / А. Н. Зарубин // Орел: ОГУ, 1997. — 225 с.

51. Зарубин, А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения, 1998. Т. 34, № 1. С. 121−127.

52. Зубарев, Д. Н. Статистическая механика неравновесных процессов: В 2 т. / Д. Н. Зубарев, В. Г. Морозов, Г. Репке. М.: Физматлит, 2002. -Т. 1. — 432 с.

53. Иванов, Л. А. Теоремы о среднем для некоторых уравнений с отклоняющимся аргументом. / JI.A. Иванов, И. П. Половинкин. — Воронеж, 1987.16 с. Деп. в ВИНИТИ 25.08.87 № 6210-В87.

54. Ильин, В.А., Моисеев Е. И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной разностной трактовках /B.А.Ильин, Е. И. Моисеев // Докл. АН СССР, 1986. Т. 291, № 3. C. 534−539.

55. Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Дифференциальныеуравнения, 1987. Т. 23, № 8. — С. 1422−1430.

56. Иоикин, Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводностис неклассическими краевыми условиями / Н. И. Ионкин // Дифференциальные уравнения, 1977. Т. 13, № 2. — С. 294−304.

57. Кальменов, Т.Ш. О задаче Дирихле и нелокальных краевых задачахдля волнового уравнения / Т. Ш. Кальменов, М. А. Садыбеков // Дифференциальные уравнения, 1990. — Т. 26, № 1. — С. 60−65.

58. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке — 6-е изд. — СПб.: Лань, 2003. — 576 с.

59. Карапетянц, Н. К. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения / Н. К. Карапетянц, С. Г. Самко. — Р./нД.: Ростов, гос. ун-т, 1988. 188 с.

60. Кислое, Н. В. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа / Н. В. Кислов // Дифференциальные уравнения, 1983. Т. 19, № 8. — С. 1427−1436.

61. Кислое, Н. В. Неоднородные краевые задачи для дифференциальнооператорных уравнений и их приложения / Н. В. Кислов // Мат. сборпик, 1984. Т. 125, № 9. — С. 19−37.

62. Коган, М.Н. О магнитогидродипамических течениях смешанного типа /М.Н.Коган // ПММ, 1961. Т. 25, № 1. — С. 132−137.

63. Корнев, В.В. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях / В. В. Корнев, А. П. Хромов // Докл. АН, 2001. —Т. 379, № 6. С.741−744.

64. Кумыкова, С. К. Задача с нелокальными условиями на характеристикахдля вырождающегося внутри области гиперболического уравнения / С. К. Кумыкова // Дифференц. уравнения, 1981. Т. 17, № 1. — С. 81−90.

65. Курдюмов, В. П. Об аналоге теоремы Жордана-Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием / В. П. Курдюмов, А. П. Хромов // Докл. РАЕН, 2004. № 4. — С. 80−87.

66. Кошляков, Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. — М.: Физматгиз, 1962. — 768 с.

67. Красовский, Н. М. Задача о наблюдении линейной динамической системы и уравнения с запаздыванием аргумента / Н. М. Красовский // Дифференциальные уравнения, 1965. — Т. 1, № 12. — С. 1551−1556.

68. Купрадзе, В. Д. Теория интегральных уравнений с интегралом в смыслеглавного значения по Коши / В. Д. Купрадзе // Сообщ. АН Груз. ССР, 1941. Т. 2, № 7. С. 587−596.

69. Курбанов, И. О. О разрешимости нелинейных краевых задач электродинамики с памятью / И. О. Курбанов // Докл. АН СССР, 1991. — Т. 318,5. С. 1068−1071.

70. Ленский, B.C. Распространение одномерных волн в материалах с запаздывающей текучестью / B.C. Ленский, Л. Н. Фомина // Изв. АН СССР. OTH сер. мех. мат, 1959. № 3.

71. Линьков, А. В. Обоснование метода Фурье для краевых задач с инволютивным отклонением / А. В. Линьков // Вести. Сам. гос. ун-та, 1999. —2(12). С. 60−65.

72. Литвинчук, Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г. С. Литвинчук. — М.: Наука, 1977. — 448 с.

73. Малицкий, И. И. Применение обобщенных рядов Тейлора в теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / И. И. Малицкий // Докл. АН УССР. Сер. А, 1985. № 10. — С. 17−18.

74. Маричев, О. И. Об уравнении смешанного типа с двумя линиями вырождения в несимметричной области / О. И. Маричев // Известия АНБССР. Сер.: «Физ.-мат. науки», 1970. № 5. — С. 74−80.

75. Мироиепко, В.И. О методе, позволяющем находить начальные данныепериодических решений дифференциальных систем и сравнивать отображения за период / В. И. Мироиепко // Дифференциальные уравнения, 1980. Т. 16, № И. — С. 1985;1994.

76. МитропольскийЮ.А., Шевело В. Н. // Украин. мат. журн., 1977. —Т. 29, № 3. С. 257−263.

77. Моисеев, Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанноготипа / Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения, 1992. — Т. 28, № 1. С. 110−121.

78. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. — 3-е, испр. и дополн. изд. — М.: Наука, 1968. — 512 с.

79. Мышкис, А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А. Д. Мышкис. — М.: Гостехиздат, 1951. — 254 с.

80. Мышкис, АД. О некоторых проблемах теории дифференциальныхуравнений с отклоняющимся аргументом / А. Д. Мышкис // Успехи мат. наук, 1977. Т. 32, Вып. 2. — С. 173−202.

81. Нахушев, A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения / A.M. Нахушев // Докл. АН СССР, 1969. —Т. 187, № 4. С. 736−739.

82. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболическихуравнений и уравнений смешанного типа / А. М. Нахушев // Дифференциальные уравнения, 1969. — Т. 5, № 1. — С. 44−59.

83. Нахушев, A.M. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения, 1974. — Т. 10, № 1. — С. 100−111.

84. Haxyuiee, A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги / A.M. Нахушев // Докл. АН СССР, 1978. Т. 242, № 5. — С. 1008−1011.

85. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями / A.M. Нахушев // Дифференциальныеуравнения, 1985. Т. 21, № 1. — С. 92−101.

86. Нахушев, A.M. Краевая задача для нагруженных интегродифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые приложения к прогнозу почвенной влаги и грунтовых вод /A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения, 1979. — Т. 15, 1. — С. 96−105.

87. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев. —М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

88. Нахушев, A.M. Элементы дробного исчисления и их применение /A.M. Нахушев. Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. — 299 с.

89. Нахушева, Ф.В. О некоторых конструктивных свойствах решениявырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса / Ф. Б. Нахушева // Изв. АН Уз. ССР. Сер.: «Физ.-мат. наук», 1981. — № 5. С. 22−29.

90. Нерсесян, А.Б. О задаче Коши для уравнения в частных производныхс отклоняющимся аргументом / А. Б. Нерсесян //С. 116−117.

91. Никитин, В. Г. Сопряженный оператор периодической задачи для линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом /B.Г.Никитин // Иссл. по прикладной математике, 1984. — Т. 10. —C. 190−195.

92. Нитецки, 3.

Введение

в дифференциальную динамику / 3. Нитецки. —М.: Мир, 1975. 123 с.

93. Норкин, С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом / С. Б. Норкин. — М.: Наука, 1965. — 356 с.

94. Носов, В. Р. О некоторых задачах для уравнений в частных производныхс отклоняющимся аргументом / В. Р. Носов // Тр. семинара по теориидифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — Т. 5. — 1967. С. 182−192.

95. Оиаиов, Г. Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела / Г. Г. Онанов, A.JI. Скубачевский // Прикладная механика, 1985. — Т. 15, № 5. С. 39−47.

96. Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальныхуравнений / И. Г. Петровский. — М.: Наука, 1970. — 280 с.

97. Петровский, И. Г. Лекции об уравнениях в частных производных /И.Г.Петровский. М.: ГИФМЛ, 1961. — 400 с.

98. Пинии, Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения /Э. Пинни. — М.: Иностранная лит., 1961. — 248 с.

99. Плисс, В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В. А. Плисс. —М.: Наука, 1964. 368 с.

100. Подгорное, В. В. Первая краевая задача для одного квазилинейного параболического уравнения с запаздывающим аргументом / В. В. Подгорнов // Тр. семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — Т. 5. — 1967. — С.197−206.

101. Половинкин, И. П. Теоремы о среднем для волновых уравнений и уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу / И. П. Половинкин / Автореф.. канд.физ.-мат. наук. — Воронеж, 14с.

102. Пташиик, Б. И. Аналог n-точечпой задачи для линейного гиперболического уравнения / Б. И. Пташпик // Украин. мат. журн., 1971. — Т. 23, № 4. С. 472−481.

103. Пташиик, Б. И. Краевая задача для гиперболических уравнений в классе функций, почти периодических по пространственным переменным / Б. И. Пташник, П. И. Штабалюк // Дифференциальные уравнения, 1986. Т. 22, № 4. — С. 669−678.

104. Работное, Ю. Н. Некоторые вопросы теории ползучести /Ю.Н. Работнов // Вести. МГУ. Сер. А, 1948. № 10. — С. 81−91.

105. Рвачев, В. А. Финитные решения функционально-дифференциальныхуравнений и их применения / В. А. Рвачев // Успехи мат. наук, 1990. —Т. 45, Вып. 1. С. 77−103.

106. Репин, О. А. Краевая задача для уравнения влагопереноса /О.А. Репин // Дифференц. уравнения, 1990. Т. 26, № 1. — С. 169−171.

107. Репин, О.А. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения /О.А.Репин // Дифференц. уравнения, 1998. Т. 34, № 1. — С. 110−113.

108. Репин, О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов / О. А. Репин. — Самара: Изд-во Саратов. ун-та, Самарский филиал, 1992. — 162 с.

109. Розовский, М. И. Механика упругонаследственных сфер /М.И.Розовский // «Итоги науки». Упругость и пластичность. —М.: ВИНИТИ. 1967. — 250 с.

110. Романов, В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений /В.Г. Романов. Новосибирск: НГУ, 1973. — 128 с.

111. Савкова, О.В. Начально-краевые задачи для дифференциальноразностного уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием /О.В. Савкова: Автореф.. канд. физ.-мат. наук. — Москва, 2002. 19 с.

112. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые.