Анализ линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории линейных операторов и отношений

Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения dx = A (t)x, t g j, (1) dx = A (t)x + f (t), tel (2) где J g {M, M+}, A (i): D{A{t)): X X, t g J, — семейство линейных замкнутых операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X.

Многие свойства решений дифференциального уравнения, такие, как ограниченность, устойчивость, асимптотическое поведение, тесно связаны с соответствующими свойствами дифференциального оператора, определяющего дифференциальное уравнение и действующего в соответствующем функциональном пространстве. М. Г. Крейн, отправляясь от идей и результатов Ляпунова, в статье [33] заметил, что многие факты теории устойчивости решений можно получить, используя теорию операторов, действующих в банаховых пространствах.

Изучение этих проблем в терминах экспоненциальной дихотомии решений одним из первых осуществил О. Перрон. В своей работе [78] он исследовал дифференциальный оператор L = — — + A (t) в пространстве сы" непрерывных функций Сь (Е.Х), где Хконечномерное пространство.

Случай ограниченных операторов A (t), действующих в банаховых пространствах, исследовался в монографиях X. Л. Массера, X. X. Шеф-фера [49] и Ю. Л. Далецкого, М. Г. Крейна [23]. Экспоненциальная дихотомия решений характеризовались в терминах сюръективности оператора Ь и условия замкнутости и дополняемости подпространства векторов из X, являющиеся начальными условиями для ограниченных наМ+ решений дифференциального уравнения. Важнейшим шагом в данных работах стал отказ от матричного анализа в конечномерном пространстве, что сделало более прозрачными и простыми многие доказательства и конструкции.

В связи с приложениями к параболическим дифференциальным уравнениям в частных производных очень остро стоял вопрос об исследовании качественных свойств решений с неограниченными операторными коэффицинетами. Ю. Л. Далецкий и М. Г. Крейн в монографии [23] писали: «Авторы отчетливо осознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых, невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы» .

Существенный вклад в развитие теории рассматриваемых уравнений сделал В. В. Жиков. В монографии [28] он доказал эквивалентность условия обратимости оператора Ь в пространстве непрерывных и ограниченных функций Сь (Ш, X) условию экспоненциальной дихотомии решений соответствующего дифференциального уравнения.

Отметим монографию Д. Хенри [58], в которой строилась геометрическая теория параболических уравнений, использующая свойство обра1 тимости оператора Ь = —- + А{{) в пространстве СЦМ, X), в предпош ложении, что А (£),? € К, — секториальные операторы.

Следует отметить, что исследования по корректной разрешимости задачи Коши для уравнения вида (1) существенно опережали соответствующие исследования по качественной теории уравнений (1),(2).

В монографии Э. Хилле, Р. Филлипса [59] получено необходимое и достаточное условие корректной разрешимости задачи Коши в случае А (£) = А в терминах резольвенты оператора А. При этом существенно использовалась теория полугрупп. Также в данной монографии приведено большое число примеров уравнений в частных производных параболического типа, для которых соответствующий оператор является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов.

Современное состояние рассматриваемых проблем тесно связано с использованием методов спектральной теории замкнутых операторов, линейных отношений, разностных операторов и отношений, полугрупп операторов.

Следует отметить важность работ Ю. Латушкина в развитии новых подходов. В монографии К. Чиконе и Ю. Латушкина [63] приведен подробный обзор состояния качественной теории дифференциальных операторов до 1999 года.

Также необходимо упомянуть о большом значении работ Р. Шнау-бельта и Р. Нагеля в развитии качественной теории дифференциальных уравнений.

Для изучения свойств дифференциальных операторов в работах А. Г. Баскакова стала существенно использоваться спектральная теория разностных операторов и линейных отношений. Свойства разностных операторов в весовых пространствах изучались в работах М.С. Бичегку-ева. Исследованию дифференциальных уравнений с помощью линейных отношений посвящены многие статьи В. М. Брука.

Отметим, что изучение линейных дифференциальных уравнений не только имеет самостоятельное значение, но и служит базой для изучения нелинейных уравнений. При этом очень важное место занимают оценки норм обратных операторов. Этому направлению исследования посвящен цикл работ А. И. Перова для обыкновенных дифференциальных уравнений (операторов) [50],[51],[52] и статья А. Г. Баскакова и Ю. Н. Синтяева [9].

Таким образом, тема диссертации, посвященной изучению линейных дифференциальных уравнений с помощью разностных операторов и линейных отношений, является вполне актуальной.

Цель работы состоит в нахождении условий обратимости дифференциальных операторов и получении оценок норм решений дифференциальных уравнений (как с ограниченными, так и неограниченными операторными коэффициентами) в функциональных пространствах на бесконечных промежутках.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с использованием методов функционального анализа, методов спектральной теории замкнутых операторов, теории линейных отношений, разностных операторов и отношений, теории полугрупп операторов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Условия обратимости дифференциальных операторов, действующих в функциональных пространствах на полуоси.

2. Оценки нормы обратного к дифференциальному оператору с неограниченными операторными коэффициентами, действующему в функциональных пространствах на полуоси, через норму обратного в другом функциональном пространстве.

3. Оценки нормы обратного к дифференциальному оператору с ограниченными операторными коэффициентами, действующему в пространстве Ьоо (Ш+, X), через норму обратного оператора, действующего в пространстве 1,2(®ч-, Х).

4. Условия обратимости и оценка нормы обратного к одному классу несамосопряженных операторов, действующих из подпространсва гильбертова пространства в данное гильбертово пространство.

5. Приложения оценок норм обратного к исследуемому классу несамосопряженных операторов к оценкам норм обратных к дифференциальным операторам, действующим в функциональных пространствах на всей оси вещественных чисел.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии, включающей 84 наименования. Общий объем диссертации 88 страниц.

1. Азизов Т. Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов. — М.: Наука, 1986. — 352 с.

2. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баскаков. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 1987. — 164 с.

3. Баскаков А. Г. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова / А. Г. Баскаков, A.A. Воробьев, М. Ю. Романова // Матем. заметки. 2011. — Т. 89. — № 2. — С. 190−203.

4. Баскаков А. Г. Дихотомия спектра несамосопряженных операторов / А. Г. Баскаков // Сиб. матем. журн. 1991. — Т. 32. — № 3. -С. 24−30.

5. Баскаков А. Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений / А. Г. Баскаков // Успехи математических наук. — 2013. Т. 68. — № 1. — С. 77−128.

6. Баскаков А. Г. Круговая дихотомия спектра одного класса несамосопряженных операторов / А. Г. Баскаков, В. В. Юргелас // Изв. вузов. Матем. 1994. — № 3. — С. 12−18.

7. Баскаков А. Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностныхоператоров / А. Г. Баскаков // Матем. заметки. — 1996. — Т. 59. — № 6. С. 811−820.

8. Баскаков А. Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов / А. Г. Баскаков // Доклады Академии наук. 1993. — Т. 333. — № 3. — С. 282−284.

9. Баскаков А. Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторовоценки решений / А. Г. Баскаков, Ю. Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 46. — № 2. — С. 210— 219.

10. Баскаков А. Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианали-тических и спектральных операторов / А. Г. Баскаков // Известия РАН. Серия математическая. 1994. — Т. 58. — № 4. — С. 3−32.

11. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А. Г. Баскаков // Известия РАН. Серия математическая. — 2009. — Т. 73. — № 2. С. 3−68.

12. Баскаков А. Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А. Г. Баскаков, К.И. Черны-шов // Матем. сб. 2002. — Т. 193. — № И. — С. 3−42.

13. Баскаков А. Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А. Г. Баскаков, А. И. Пастухов // Сиб. матем. журн. — 2001. — Т. 42. № 6. -С. 1231−1243.

14. Бичегкуев М. С. Линейные разностные и дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами в весовых пространствах / М. С. Бичегкуев // Матем. заметки. — 2009. — Т. 86. № 5. — С. 673−680.

15. Бичегкуев М. С. Об ограниченных решениях разностных включений / М. С. Бичегкуев // Изв. вузов. Матем. 2008. — № 11. — С. 16−24.

16. Бичегкуев М. С. Об условиях обратимости разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах / М. С. Бичегкуев // Известия РАН. Серия математическая. — 2009. — Т. 75. № 4. -С. 3−20.

17. Брук В. М. Об обобщенных резольвентах линейных отношений, порожденных неотрицательной операторной функцией и дифференциальным выражением эллиптического типа / В. М. Брук // Изв. вузов. Матем. 2013. — № И. — С. 12−26.

18. Брук В. М. Об обратимых линейных отношениях, порожденных интегральным уравнением с неванлинновской мерой /В.М. Брук // Изв. вузов. Матем. 2013. — № 2. — С. 16−19.

19. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. — М.: Наука, 1981. — 512 с.

20. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры / С. К. Годунов. — М.: Научная книга, 1997. 407 с.

21. Гомилко А. М. Об условиях на производящий оператор равномерно ограниченной Со-полугруппы операторов / А. М. Гомилко // Функциональный анализ и его приложения. — 1999. — Т. 33. № 4. -С. 66−69.

22. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — М.: Физматгиз, 1963. — 1100 с.

23. Далецкий Ю. JI. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. — М.: Наука, 1970. 535 с.

24. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория: Пер. с англ. / Н. Данфорд, Дж. Шварц. М.: ИЛ, 1962. — 895 с.

25. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральные операторы: Пер. с англ. / Н. Данфорд, Дж. Шварц. — М.: Мир, 1974. — 657 с.

26. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. М.: Наука, 1967. — 472 с.

27. Диденко В. Б. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, определяемых линейным отношением / В. Б. Диденко // Матем. замет- «ки. 2011. — Т. 89. — № 2. — С. 226−240.

28. Жиков В. В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В. В. Жиков // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1976. Т. 40. — № 6. — С. 1380−1408.

29. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М.: Мир, 1967. — 624 с.

30. Калужина Н. С. Теорема Берлинга для непрерывных ограниченных функций и функций Степанова / Н. С. Калужина, C.B. МарюшенковВестник ВГУ, серия: Физика, Математика. 2008. -''№ 2. — С. 115— 121.

31. Като Т. Теория возмущенных линейных операторов / Т. Като. — М.: Мир, 1972. 739 с.

32. Колмогоров А. Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, C.B. Фомин. — М.: Наука, 1976. — 543 с.

33. Крейн М. Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости / М. Г. Крейн. // Успехи мат. наук. — 1948. Т. 3. — № 3. — С. 166−169.

34. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн. — М: Мир, 1967. — 464 с.

35. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения / В. Г. Курбатов. Воронеж: ВГУ, 1990. — 168 с.

36. Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа / С.С. Кута-теладзе. — Изд-во Ин-та матем. Новосибирск, 2000. — 349 с.

37. Левин А. Ю. Теорема Харитонова для слабо нестационарных систем / А. Ю. Левин // Успехи математических наук. — 1995. — Т. 50 — m 306. С. 189−190.

38. Левитан Б. М. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения / Б. М. Левитан, В. В. Жиков. — М.: Издательство МГУ, 1978. 206 с.

39. Марюшенков C.B. Некоторые условия обратимости дифференциального оператора / C.B. Марюшенков // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна 2012. Материалы международной конференции. Воронеж: ВГУ. — 2012. — С. 150−151.

40. Марюшенков C.B. Об обратимости одного класса несамосопряженных операторов /C.B. Марюшенков // Двадцать Третья Крымская Осенняя Математическая Школа. Сборник тезисов. — 2012. — С. 42.

41. Марюшенков C.B. Об оценке нормы оператора обратного к дифференциальному / C.B. Марюшенков // Современные методы краевых задач: материалы весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXI». 2010. — Воронеж: ВГУ — С. 206.

42. Марюшенков C.B. Оценка нормы обратного к дифферециальному оператору / C.B. Марюшенков // Дифференциальные уравнения. — 2013. Т. 49. — № 3. — С. 402−404.

43. Марюшенков C.B. Оценка нормы оператора, обратного к дифференциальному / C.B. Марюшенков // Изв. вузов. Матем. — 2012. — № 1. -С. 49−53.

44. Марюшенков C.B. Оценка нормы оператора, обратного к дифференциальному / C.B. Марюшенков // Двадцать Вторая Крымская Осенняя Математическая Школа. Сборник тезисов. — 2011. — С. 34.

45. Марюшенков C.B. О разрешимости разностных уравнений с медленно меняющимся коэффициентами / C.B. Марюшенков // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна. Тезисы докладов. Воронеж: ВГУ. — 2010. — С. 100−101.

46. Марюшенков C.B. Условия обратимости одного класса несамосопряженных операторов / C.B. Марюшенков // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2012. — Т. 12. -m 4. С 14−19.

47. Массера X. JI. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х. Л. Массера, Х. Х. Шеффер. — М.: Мир, 1970. 456 с.

48. Перов А. И. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений n-го порядка / А. И. Перов, И. Д. Коструб. — Воронеж: Издательско-полиграфический центр «Научная книга», 2013. — 227 с.

49. Перов А. И. Частотные методы в теории ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка (существование, почти периодичность, устойчивость) / А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. — 2012. — Т. 48. — № 5. — С. 663−673.

50. Перов А. И. Частотные признаки существования ограниченных решений / А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. — 2007. — Т. 43. № 7. — С. 896−904.

51. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин. — М.: Мир, 1975. — 449 с.

52. Синтяев Ю. Н. Об условиях обратимости возмущенного дифференциального оператора с неограниченными операторными коэффициентами / Ю. Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2008. — № 2. — С. 83−85.

53. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / СЛ. Соболев. — М.: Наука, 1988. — 336 с.

54. Тюрин В. М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В. М. Тюрин // Сиб. мат. журн. 1991. — Т. 32. — № 3. — С. 160−165.

55. Тюрин В. М. Об обратимости оператора — в некоторыхС1Т>функциональных пространствах /В.М. Тюрин // Мат. заметки. — 1979. Т. 25. — № 4. — С. 585−590.

56. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. — М.: Мир, 1985. 376 с.

57. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс. М.: ИЛ, 1962. — 830 с.

58. Чернышов М. К. Об условиях обратимости некоторых классов линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами: дис. канд. ф.-м.наук / М. К. Чернышов — Воронеж: ВГУ, 1998. 89 с.

59. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде. М.: Мир, 1969. — 1070 с.

60. Baskakov A. Spectral analysis of operators with two-point Bohr spectrum / A. Baskakov, I. Krishtal //J. Math. Anal. Appl. — 2005. — V.38 P. 420−439.

61. Chicone C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc. — 1999. — 361 p.

62. Engel K.-J. A Short Course on Operator Semigroups / K.-J. Engel, R. Nagel. Springer, 2006. — 248 p.

63. Engel K.-J. One Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.-J. Engel, R. Nagel. — Gradute Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1999. — 589 p.

64. Gearhart L. Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces / L. Gearhart // Trans. Amer. Math. Soc. 1978. — V. 236. -P. 385−394.

65. Gohberg I. Classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek // Birkhaser Vol. I, Oper. Theory Adv. Appl., 49, Basel, Boston, Berlin, 1990.

66. Gohberg I. Finite Section Method for Difference Equation / I. Gohberg, M.A. Kaashoek, F. van Schagen // Operator Theory: Advances and Applications. 2001. — V. 130 — P. 1997;2007.

67. Goldberg S. Unbounded linear operators. Theory and applications / ' S. Goldberg McGraw-Hill, New York-Toronto-London, 1966.

68. Howland J.S. Stationary scattering theory for time-dependentHamiltonians / J. S. Howland // Mathematische Annalen. — 1974. — V. 207. N. 4 — P. 315−335.

69. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi — Marcel Dekker. New York, 1999. 336 p.

70. Khatskevich V. Generalized fractional linear transformations: convexity and compactness of the image and the pre-imageapplications / V. Khatskevich // Studia Mathematica. 1999. — V. 137. — N. 2. -P. 169−175.

71. Latushkin Yu. Dichotomy and Fredholm properties of evolution equqtions / Yu. Latushkin, A. Pogan, R. Schnaubelt //J. Operator Theory. 2007. — V. 58. — N. 2. — P. 387−414.

72. Latushkin Yu. Exponential dichotomy and mild solutions of nonautonomous equations in Banach spaces / Yu. Latushkin, T. Randolph, R. Schnaubelt // Math. Surveys Monogr. 1998. — V. 10. -N. 3. — P. 489−510.

73. Latushkin Yu. Fredholm properties of evolution semigroups / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov // Illinois J. Math. 2004. — V. 48. -N. 3. — P. 999−1020.

74. Lunardi A. Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems / A. Lunardi. — Birkhauser, 1995. — 424 p.

75. Nagel R. Semigroups methods for nonautonomous Cauchy problems / R. Nagel // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. Dekker, New York. 1995. — V.168. — P. 301−316.

76. Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen / O. Peron // Math. Z. 1930. — V. 32. — N. 3. — P. 465−473.

77. Pruss J. On the spectrum of Co-semigroups / J. Pruss // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. — V. 284. — P. 847−857.

78. Schnaubelt R. Asymptotic behaviour of parabolic nonautonomous evolution equations / R. Schnaubelt // Functional Analytic Methods for Evolution Equations. 2004. — V. 1885. — P. 401−472.

79. Di Giorgio D. Optimal regularity and Fredholm properties of abstract operators in LP spaces on the real line / D. Di Giorgio, A. Lunardi, R. Schnaubelt // Proc. London Math. Soc. 2005. — V. 91. — N. 3. -P. 703−737.

80. Schnaubelt R. Sufficient conditions for exponential stability and dichotomy of evolution equations / R. Schnaubelt // Forum Math. -1999. V. 91. — N. 5 — P. 543−566.

81. Rabiger F. The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Rabiger, R. Schnaubelt // Semigroup Forum. 1996. — V. 52. — N 2. — P. 225−239.

82. Taylor A. E. Introduction to functional analysis / A.E. Taylor John Wiley and Sons. New York, 1958. — 423 p.