Матричнозначные корреляционные меры и многомерные тесты независимости

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Задача анализа статистической связи между признаками и, в частности, проверки статистической гипотезы о независимости двух случайных признаков часто встречается в прикладных исследованиях. Классический коэффициент корреляции Пирсона (Pearson, 1896) обычно используемый для решения этой задачи, обладает тем недостатком, что он крайне ненадежен при наличии в данных грубых ошибок и при иных отклонениях модели распределения признаков от нормального. Альтернативными мерами взаимозависимости признаков служат непараметрические коэффициенты корреляций, построенные при помощи рангов и знаков. Это — популярные ранговые корреляции Спирмена (Spearman, 1904), Кендэлла (Kendall, 1938), квадрантная корреляция (Mosteller, 1946; Blomqvist, 1950) и проч. Данная тематика хорошо освещена, например, в книгах Гаека, Шидака (1971) и Кендэлла (1975).

Непараметрические методы статистики — это комплекс методов статистической обработки данных, не требующих знания функционального вида генеральных распределений. Потеря информации, возникающая ири переходе от точных значений наблюдений к их порядковым номерам (рангам) или знакам, компенсируется широкой применимостью методов и их устойчивостью по отношению к различного рода «выбросам», неточностям моделей и т. д. Поскольку ранговые методы базируются на упорядочении наблюдений, они используются, так же как и знаковые методы, только для вещественных данных. Для многомерных данных, когда результатом наблюдения над каждым объектом является несколько чисел (вектор), к сожалению, не существует естественного способа упорядочения и сравнения. Поэтому опыты многомерного обобщения ранговых и знаковых коэффициентов корреляций актуальны и оправданы.

Интерес к развитию методов многомерного непараметрического корреляционного анализа наблюдается на протяжении нескольких десятилетий вплоть до настоящего времени. Предпринимают много попыток получить адекватные результаты в данной области. Перечислим лишь некоторые из них в хронологическом порядке. Покоординатное ранжирование при построении многомерного непараметрического критерия независимости применили Puri и Sen (1971), но их тестовая статистика не удовлетворяет свойству аффинной инвариантности и, как следствие, ее эффективность зависит от ковариационной структуры наблюдений. Указанная статистика при специальном выборе функций меток служит обобщением квадрантной и спирменовской корреляций. С помощью так называемого углового расстояния между двумя многомерными наблюдениями — т. е. относительного количества гиперплоскостей, порожденных векторзначными данными, и разделяющих эти два наблюдения — Gieser и Randies (1997) предложили многомерный вариант знакового квадрантного теста. Хотя полученный критерий аффинно инвариантен и асимптотически свободен от распределения, он весьма неудобен с вычислительной точки зрения. Воспользовавшись пространственным обобщением понятия знака, более практическую многомерную версию квадрантного теста недавно представили Taskinen, Kankainen, Oja (2003). Подобным образом многомерные версии критериев независимости Спирмена и Кендэлла определили Taskinen, Oja, Randies (2005). Общим недостатком последних трех упомянутых работ можно назвать требование эллиптичности распределений многомерных признаков. Иные подходы к решению описанной задачи предлагали, среди прочего, Питербарг, Тюрин (2000), Mottonen, Koshevoy, Oja, Tyurin (2005) и Schmid, Schmidt (2007).

Большинство рассматриваемых в литературе многомерных вариантов ранговых и знаковых коэффициентов корреляций получены, исходя из интуитивных соображений, связанных с попыткой упорядочить и сравнить многомерные наблюдения. В диссертации предлагается более систематический подход. Сначала мы определяем понятие корреляции векторных случайных величин.

Введение

матричнозначной корреляционной меры также дополняет работу Тюрина (2008), в которой совершенно по-новому излагается линейный многомерный статистический анализ с использованием матриц как обобщений чисел и заданием «матричного скалярного произведения». Матричная корреляция дает простой способ получить различные непараметрические многомерные корреляционные меры и построить с их помощью многомерные критерии независимости.

Таким образом, тема диссертации представляется актуальной с теоретической точки зрения, и имеет практическую значимость.

Цель работы.

Целью данной диссертации является расширение понятия коэффициента корреляции на случай многомерных величин, построение новых многомерных версий ранговых и знаковых корреляций и тестов независимости, исследование статистических свойств предложенных объектов и процедур.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Определена новая матричнозначная корреляционная мера и ее выборочный аналог для пары многомерных случайных признаков. Показано, что матричная корреляция в основных чертах повторяет свойства классического коэффициента корреляции с тем отличием, что роль чисел выполняют квадратные матрицы. В гауссовском случае найдено точное распределение выборочной матричной корреляции (при условии, что многомерные случайные признаки независимы) и асимптотическое распределение матричной корреляции при неограниченно растущем объеме выборки п. Также, с помощью матричной корреляции объединены многие понятия многомерного регрессионного и корреляционного анализа.

2. Предложены новые многомерные версии широко известных ранговых коэффициентов корреляций Спирмена, Кендэлла и знаковой квадрантной корреляции. Установлено, что выборочные ранговые и знаковые матричные корреляции (при некоторых слабых условиях регулярности) являются состоятельными л/гг-асимптотически гаус-совским оценками своих теоретических аналогов.

3. Построено три новых многомерных непараметрических теста независимости на основе предложенных знаковых и ранговых матричных корреляций. Изучено асимптотическое поведение (при п —> оо) тестовых статистик при гипотезе независимости и при близких альтернативах. Показано, что наши тесты аффинно инвариантны и асимптотически свободны от распределений (при гипотезе независимости). По сравнению с классическими процедурами новые тестовые статистики требуют более слабых условий относительно моментов распределений признаков (достаточно существования конечных вторых моментов), они могут обладать большей асимптотической мощностью и при этом более устойчивы к «засорениям».

Методы исследования.

В работе применяются общие методы теории вероятностей и математической статистики, математического и функционального анализа, а также элементы матричной алгебры. Широко используется теория U-статистик.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер, результаты диссертации расширяют совокупность многомерных статистических методов корреляционного анализа. Предложенные в диссертации критерии могут быть полезны для решения практических задач, связанных с изучением статистической зависимости двух многомерных признаков не очень больших размерностей 10). Рекомендуется их использование в тех случаях, когда важно свойство аффинной инвариантности или распределение признаков имеет более «тяжелые хвосты» по сравнению с нормальным распределением.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты работы докладывались на Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ под руководством член-корр. РАН, проф. А. Н. Ширяева в 2008 году. Неоднократно делались доклады на семинаре «Непараметрическая Статистика и Временные Ряды» под руководством проф. Ю. Н. Тюрина, доц. М. В. Болдина и проф. В. Н. Тутубалина в МГУ в 2007 и 2008 годах. Также были сделаны презентации на нескольких конференциях: «Ломоносовских Чтениях», Москва, 2008, «Колмогоровских Чтениях», Ярославль, 2008, «Международной Конференции по Робастной Статистике (International Conference on Robust Statistics)», Анталия, Турция, 2008, и на семинаре под руководством проф. X. Ойа в Университете Тампере, Финляндия, 2008.

По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ:

1. Е. М. Суханова. «Многомерные знаковые и ранговые тесты независимости». — Успехи Математических Наук, т. 63, вып. 5, сс. 199−200, 2008.

2. Е. М. Sukhanova. «A Test for Independence of Two Multivariate Samples». — Mathematical Methods of Statistics, Vol. 17, No. 1., pp. 74−86, 2008.

3. E. M. Суханова. «Медиана Ойа: свойство согласованности с центром симметрии». — Сб. Статистические методы оценивания и проверки гипотез, Пермь: Пермский университет, сс. 62−68, 2008.

4. Е. М. Суханова. «Матричная корреляция». — Труды VI Колмогоровских Чтений, сс. 176−181, 2008.

5. Е. М. Sukhanova. «Matrix Correlation». — Abstracts of the International Conference on Robust Statistics, p. 96, 2008.

6. E. M. Sukhanova, J. Mottonen, H. Oja. «Multivariate Test of Independence Based on Matrix Rank Correlation». — Abstracts of the International Conference on Robust Statistics, p. 70, 2008.

Сухановой E.M. принадлежат теоретические результаты, Mom-, тонен Ю., Ойа X. получили численные результаты для асимптотических эффективностей критерия в некоторых случаях).

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка обозначений и списка литературы, насчитывающего 77 наименований и организованного в алфавитном порядке. Результаты, полученные автором диссертации, оформлены в виде Теорем и Леммнеобходимые известные факты сформулированы в виде Утверждений, с указанием источника. Нумерация утверждений, лемм, теорем и формул начинается в каждой главе заново и состоит из двух чисел. Первое число относится к номеру главы, второе — к номеру утверждения (леммы, теоремы или формулы). Ссылки на работы других авторов сделаны по принципу «автор-дата». Общий объем работы составляет 115 страниц.

1. Arcones М.А., Chen Z. and GinE E. (1994). Estimators Related to U-processes with Applications to Multivariate Medians: Asymptotic Normality. The Annals of Statistics, Vol. 22, No. 3, 1460−1477.

2. Bilodeau M., Brenner D. (1999). Theory of Multivariate Statistics. New York: Springer-Verlag, 308 p.

3. Blomqvist N. (1950). On a Measure of Dependence Between Two Random Variables. The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 21, No. 4, 593 600.

4. Brown В. M. (1983). Statistical Uses of the Spatial Median. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, Vol.45, No. 1, 25−30.

5. Brown В. M., Hettmansperger T. P. (1987). Affine Invariant Rank Methods in the Bivariate Location Model. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, Vol. 49, No. 3, 301−310.

6. Brown В. M., Hettmansperger T. P. (1989). An Affine Invariant Bivariate Version of the Sign Test. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, Vol. 51, No. 1, 117−125.

7. Devlin S.J., Gnanadesikan R., Kettering J.R. (1975). Robust Estimation and Outlier Detection with Correlation Coefficients. Biomet-rika, Vol. 62, 531−545.

8. Drouet-Mari D. and Kotz S. (2001). Correlation and Dependence. London: Imperial College Press, 220 p.

9. Farlie D. J.G. (1960). The Performance of Some Correlation Coefficients for a General Bivariate Distribution. Biometrika, Vol. 47, No. ¾, 307−323.

10. Fujikoshi Y. (1988). Comparison of Powers of a Class of Tests for Multivariate Linear Hypothesis and Independence. Journal of Multivariate Analysis, Vol. 26, No. 1, 45−58.

11. Hettmansperger T. P., Nyblom J. and Oja H. (1994). Affine Invariant Multivariate One-sample Sign Tests. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, Vol. 56, 221−234.

12. Hettmansperger T. P., Mottonen J. and Oja H. (1998). Affine Invariant Multivariate Rank Tests for Several Samples. Statistica Sinica, Vol.8, 765−800.

13. Hettmansperger T. P. and McKean J. W. (1998). Robust Nonparametric Statistical Methods. London: Arnold, 467 p.

14. Hettmansperger T. P. and Randles R. H. (2002) A Practical Affine Equivariant Multivariate Median. Biometrika, Vol. 89, No. 4, 851−860.

15. Kotz S. and Nadarajah S. (2004). Multivariate T Distributions and their Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 284 p.

16. Niinimaa A., Oja H. (1995). On the Influence Function of Certain Bivariate Medians. Journal of the Royal Statistical Society, Series В., Vol.57, No.3, 565−574.

17. OJA H. (1983). Descriptive Statistics for Multivariate Distributions. Statistics and Probability Letters, Vol. 1, 327−332.

18. ТЮРИН Ю.Н. (2008). Многомерный анализ: геометрическая теория. Манускрипт.

19. Хампель Ф., Рончетти Э., Рауссеу П., Штаэль В. (1989). Ро-бастностъ в статистике: подход на основе функции влияния. М.: Мир, 512 с.

20. Хеттманспергер Т. (1987). Статистические выводы, основанные на рангах. М.: Финансы и статистика, 334 с. 74. холлендер м., Вулф д. (1983). Непараметрические методы статистики. м.: Финансы и статистика, 518 с.

21. ХОРН Р., Джонсон Ч. (1989). Матричный анализ. М.: Мир, 656 с. 76. хыобер П. (1989). Робастность в статистике. М.: Мир, 304 с.

22. Ширяев А. Н. (2004) Вероятность. В 2-х кн./3-е изд. М.: МЦНМО, Список публикаций автора по теме диссертации.

23. Суханова Е. М. (2008). Многомерные знаковые и ранговые тесты независимости. Успехи Математических Наук, т. 63, вып. 5, 199−200.

24. Sukhanova Е.М. (2008). A Test for Independence of Two Multivariate Samples. Mathematical Methods of Statistics, Vol.17, No. 1., 74−86.

25. Суханова E. M. (2008). Медиана Ойа: свойство согласованности с центром симметрии. Сб. Статистические методы оценивания и проверки гипотез, Пермь: Пермский университет, 62−68.

26. Суханова Е. М. (2008). Матричная корреляция. Труды VI Колмого-ровских Чтений, 176−181.

27. Sukhanova Е.М. (2008). Matrix Correlation. Abstracts of the International Conference on Robust Statistics, p. 96.