Пологие оболочки с вырезами как вариант оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах

Тонкостенные оболочечные конструкции находят большое применение в различных областях техники — самолетостроении, судостроении, машиностроении и строительстве. Оболочки могут быть подкреплены ребрами жесткости или по технологическим причинам ослаблены вырезами. Если применять для расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) и устойчивости оболочек с вырезами (сквозными) известные уравнения равновесия для сплошных оболочек, то необходимо кроме краевых условий на краю оболочки задавать еще краевые условия на краю выреза. При этом область интегрирования уравнений равновесия будет многосвязной, что вызывает определенные сложности при решении таких задач. Для некоторых упрощенных задач в линейной постановке удается с помощью конформного отображения областей свести краевую задачу для многосвязной области к краевой задаче для односвязной области. Еще большая сложность возникает при решении задач устойчивости для оболочек, имеющих вырезы и подкрепленных ребрами жесткости, в том числе и подкрепленных ребрами жесткости перфорированных оболочек.

Разработка математической модели для оболочек с вырезами на основе подхода к такой оболочке, как к оболочке ступенчато-переменной толщины с учетом геометрической нелинейности и получение уравнений равновесия, когда краевые условия на краю вырезов входят в уравнение равновесия и, следовательно, при их решении будут выполнятся, является актуальной задачей.

Исследованию оболочек, ослабленных вырезами, посвящены работы Борзых Е. П., Григолюка Э. И., Гузя А. Н., Каюка Я. Ф., Кривошеева Н. И. и Корнишина М. С., Космодамианского A.C., Малинина A.A., Пирогова И. М., Преображенского И. Н., Савина Г. Н., Филыптинского JI.A., Черныха К. Ф., Чернышенко И. С., Чехова В. Н., Шнеренко К. Н., Броутена Ф. И, Олмроса Б. и др.

Рассмотрим традиционную постановку задач для оболочек, ослабленных отверстиями в линейной постановке [90]:

Пусть оболочка с отверстиями, нагружена произвольной системой сил и моментов по ее поверхности и на границе Ьк (к=0,1,.т). В силу линейности поставленной задачи представим общее НДС такой оболочки в виде суммы основного и возмущенного. Основным будем считать состояние оболочки, не ослабленной отверстиями, а возмущеннымсостояние, вызванное наличием отверстий в оболочке. В дальнейшем основное состояние будем считать известным. Из экспериментальных и теоретических исследований известно [82], что возмущенное состояние носит локальный характер, поэтому для его описания можно воспользоваться теорией пологих оболочек [14]. Локальность возмущенного НДС позволяет из всех решений выбрать лишь те, которым соответствуют перемещения и напряжения, убывающие по модулю при удалении от зоны концентрации. Таким образом приходят к условиям затухания на бесконечности. Для удобства удовлетворения граничным условиям на границе Ьк переходят к таким криволинейным координатам, чтобы кривая Ьк стала одной из координатных линий. При этом можно воспользоваться аппаратом конформных отображений теории функций комплексных переменных. Иногда получаемые краевые задачи приводят к контурным интегральным уравнениям.

При рассмотрении задачи устойчивости оболочек с отверстиями различают два класса задач: когда размеры отверстий одного порядка с минимальными внешними размерами оболочки и когда размеры отверстий значительно меньше минимальных внешних размеров оболочки.

Как следует из обзора литературных источников, в основном рассматриваются цилиндрические оболочки с отверстиями в линейной постановке.

При исследовании устойчивости цилиндрических оболочек с вырезами было установлено [90], что отверстия можно считать малыми, если концентрация напряжений у контура отверстия не влияет на общую потерю устойчивости оболочки. Тогда радиус отверстия, которое можно не учитывать при определении устойчивости, представим в виде TTR Г°~п (к + У где п — число полуволн в окружном направлениик — безразмерный коэффициент, характеризующий отношение длины волны /в зоны повышенных напряжений у контура отверстия к радиусу последнего г0;

R — радиус оболочки.

Получается, что отверстие можно считать малым, если r0min< 0,86л/ж,? где h — толщина стенки. Для оболочки с — = 300 h r0min< 0,057?, что согласуется с выводами работы [101], где на основании экспериментальных исследований утверждается, что малыми можно считать отверстия с соотношением < 0,05. R.

Исследования НДС и устойчивости оболочек, имеющих большие отверстия, вызывают не малые сложности, т.к. задачу нужно решать для многосвязной области (кроме граничных условий на кромке оболочки должны быть заданы еще граничные условия на краю вырезов).

Для нелинейных задач появляются дополнительные сложности. Исследование на прочность и устойчивость перфорированных пластин и оболочек, т. е. пластин и оболочек, ослабленных большим количеством отверстий, весьма важны в связи с развитием энергетических установок, химической аппаратуры, строительной техники. Большое значение в этой области имеют работы Григолюка Э. И. и Фильштинского JI.A. [24], Гузя А. Н. [27], Космодамианского A.C. [52, 53], Пирогова И. М. [76], Преображенского И. Н. [79, 80], Савина Г. Н. [82] и др.

В строгой постановке расчет на прочность и устойчивость перфорированной конструкции основывается на решении соответствующей краевой задачи для многосвязной области. Обычно необходимо знать локальные свойства НДС, т. е. распределение напряжений в опасных зонах, кроме того, можно оценить жесткость такой конструкции в целом при решении задач устойчивости. Определение жесткости перфорированной оболочки составляет задачу приведения. Для этого находятся приведенные упругие параметры сплошной оболочки, обладающей той же жесткостью, что и перфорированная. Весьма важное значение имеет проблема подкрепления перфорированных оболочек [24].

Среди численных методов решения линейных задач несимметричной деформации оболочек вращения широкое применение получили так называемые матричные методы: метод конечных элементов (МКЭ), методы блочной итерации или матричной прогонки, методы сведения к задаче Коши и др.

Наиболее часто применяется конечно-разностный метод, который часто является единственным средством для получения приближенного решения.

Решение задач для оболочки, ослабленной отверстиями, в геометрически нелинейной постановке приводится в работе Кривошеева Н. И. и Корнишина М. С. [54]. Решение получено методом конечных разностей (МКР).

Вопросы распределения напряжений около отверстий рассмотрены в геометрически нелинейной постановке в работах [31, 48, 54, 56]. В работе [48] задачи концентрации напряжений около круглого отверстия в оболочках вращения при осесимметричном подходе исследованы с использованием нелинейных уравнений Кармана, предложен метод ускорения сходимости при решении геометрически нелинейных задач.

В настоящее время наиболее подробно разработан численный метод решения задач устойчивости оболочек с прямоугольными вырезами, который представляет собой комбинацию вариационного подхода с двумерной конечно-разностной схемой [7].

В ряде экспериментальных исследований напряжений в оболочках с отверстиями используются в основном, методы тензометрирования, фотоупругих покрытий и исследование на моделях, изготовленных из оптически активного материала. Большинство результатов относится к решению линейно-упругих задач. Методом фотоупругих покрытий проведены исследования для цилиндрических оболочек, ослабленных круглыми, квадратными и прямоугольными отверстиями.

Экспериментальные исследования показали, что наиболее полно проблема устойчивости оболочек с отверстиями в теоретическом плане может быть решена только с учетом начальных неправильностей формы срединной поверхности оболочки в зоне отверстия.

Из анализа работ по теме диссертации становится ясным, что задачи концентрации напряжений и устойчивости для оболочек с отверстиями решены в основном для цилиндрических оболочек, причем, в упрощенной постановке (без учета нелинейных факторов и зачастую при осе-симметричном подходе).

Практически отсутствуют решения задач в геометрически нелинейной постановке для оболочек, имеющих не сквозные вырезы.

Таким образом, есть необходимость в совершенствовании математических моделей оболочек с вырезами и методов исследования их НДС и устойчивости.

Одна из существенных трудностей при исследовании оболочек с отверстиями заключается в том, что приходится решать краевые задачи для многосвязной области.

Попытки избежать этого предпринимались. Так И. Н. Преображенским [80] отверстия представлялись в виде области с нулевой жесткостью, Б. К. Михайловым [64] отверстие имитировалось четырьмя разрезами. Но при этом не обращалось внимание на то, что на границе выреза должны выполнятся краевые условия (свободный край), т. е. не анализировалось выполнение краевых условий на краю выреза. Кроме того задачи решались в линейной постановке.

Задание ступенчато-переменной толщины оболочки с помощью единичных функций применялось в работах [2, 10, 28, 29, 30, 92, 95].

Карповым В.В. была разработана нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины [34]. Таким образом, в одной конструкции могут быть и ребра, и отверстия, и не сквозные вырезы.

Наша работа является дальнейшим развитием разработанной В. В. Карповым теории оболочек ступенчато-переменной толщины, распространенной на исследование оболочек с вырезами.

Недостаточность исследований оболочек с вырезами и необходимость в таких исследованиях в связи с применением во многих областях техники пластин и оболочек, содержащих технологические вырезы, в том числе, подкрепленных ребрами жесткости, подтверждают актуальность темы диссертации.

Цель диссертации состоите.

— разработке математической модели для пологих оболочек с вырезами (сквозными или нет) в виде краевой задачи для односвязной области с учетом приближенного выполнения краевых условий на краю выреза (свободный край);

— разработке математической модели для перфорированных оболочек, в частности, подкрепленных ребрами жесткости;

— исследовании устойчивости оболочек с вырезами различной формы (сквозными или нет), в том числе и подкрепленных ребрами жесткости.

Новыми научными результатами и основными положениями, выносимыми на защиту, являются:

— подход к оболочкам с вырезами (сквозными или нет), как оболочкам ступенчато-переменной толщины;

— вывод уравнений равновесия для пологих оболочек с вырезами с учетом геометрической нелинейности, в которые входят краевые условия на краю выреза (свободный край);

— уравнения равновесия в перемещениях для оболочек с вырезами для модели Кирхгофа-Лява, уравнения в перемещениях для модели.

Тимошенко-Рейснера, уравнения в перемещениях для перфорированных оболочек;

— исследование устойчивости оболочек с вырезами (сквозными или нет) при различном виде вырезов, перфорированных оболочек, оболочек с вырезами, подкрепленных ребрами жесткости.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением научно-обоснованного аппарата при выводе уравнений равновесия, использованием для решения полученных уравнений детально изученных методов и обоснованием точности выполнения краевых условий на границе вырезов. Сравнение с результатами, полученными для одних и тех же задач на основе различных методик, также говорит о достоверности получаемых результатов.

Практическая ценность и внедрение результатов.

Разработанное математическое и программное обеспечение расчетов пологих оболочек с вырезами при конечных прогибах может найти применение в научно-исследовательских, проектных и конструкторских организациях при расчетах устойчивости деталей машин, конструкций и сооружений оболочечного типа.

Все, полученные в работе результаты численного эксперимента, приведены в безразмерном виде, удобном для их использования в практике проектирования конструкций.

Результаты работы нашли внедрение в АО «Саратовский авиационный завод» .

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на 56-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (февраль 1999 г.), на 53-й международной научно-технической конференции молодых ученых и студентов СПбГАСУ (май 1999 г.), на IV международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (СПГУПС, июнь 1999 г.).

Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры строительной механики Волгоградской архитектурно-строительной академии под руководством академика д.т.н., профессора В. А. Игнатьева (сентябрь 1999 г.), на научном семинаре кафедры вычислительной математики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета под руководством д.ф.-м.н., профессора Б. Г. Вагера (ноябрь 1999 г.).

Публикации Основное содержание диссертации опубликовано в четырех научных статьях.

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 101 наименования и трех приложений. Работа изложена на 105 страницах машинописного текста, иллюстрирована 11 рисунками. В приложение вынесены коэффициенты полученных в работе уравнений и программа расчета на ЭВМ.

4.5. Выводы.

При рассмотрении оболочек, ослабленных не сквозными вырезами, глубину и расположение вырезов необходимо задавать функцией (1.1).

При этом к1, У, И? будут отрицательными, но по модулю не превосходящими к. Теперь? ^ О.

Достаточно хорошее совпадение результатов расчета пластинки, ослабленной девятью регулярно расположенными не сквозными квадратными вырезами, полученных по нашей методике, и с помощью МКЭ В. А. Андроновым, говорит о достоверности получаемых результатов.

Как видно из результатов расчета оболочек, локально расположенные не сплошные вырезы мало понижают критическую нагрузку, а вырезы, расположенные по всей длине оболочки, существенно влияют на устойчивость оболочек. Наиболее опасны вырезы, расположенные с разных сторон оболочки, а менее опасны — внутренние вырезы и вырезы, расположенные с внешней стороны оболочки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

По результатам диссертационной работы можно сделать следующие выводы:

1. Для пологих оболочек, ослабленных вырезами, получена математическая модель в виде краевой задачи для односвязной области путем внесения в уравнения равновесия краевых условий на границе выреза (свободный край).

2. При этом получены уравнения равновесия в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява и в перемещениях для модели Тимошенко-Рейснера.

3. Показано, что точность выполнения краевых условий на границе вырезов зависит от точности решения полученных краевых задач.

4. Для перфорированных оболочек получены уравнения равновесия в перемещениях на основе метода конструктивной анизотропии, которые представляют собой уравнения для сплошных оболочек с увеличенной на постоянный сомножитель (зависящий от относительной площади вырезов) нагрузкой.

5. Показано, как, зная зависимость прогиба от нагрузки для сплошных оболочек, в том числе и подкрепленных ребрами жесткости, получить зависимость прогиба от нагрузки для перфорированных оболочек.

6. Исследования устойчивости оболочек с вырезами показали, что наиболее опасны вырезы в центре оболочки.

7. Постановкой даже слабых ребер около выреза можно существенно нейтрализовать ослабляющее действие выреза.