Неравенства типа Либа-Тирринга и их приложения в спектральной теории

Актуальность темы

В связи с исследованием вопросов спектрального анализа в 1976 году Либом и Тиррингом ([1]) была доказана следующая.

Теорема А. Для произвольной ортонормированной системы Ф = С L2(R2), N = 1,2,. имеет место неравенство.

Г N (1) Jr2 3=1 в (1) и ниже N.

С— абсолютная постоянная, и, как обычно, V.

Для функции / б L2(fi2) определим преобразование Фурье:

27 Г Jr2.

Тогда неравенство (1) может быть преобразовано к виду.

В дальнейшем серия неравенств типа Либа-Тирринга для ортонормнро-ванных систем была установлена многими авторами (см., в частности [2], И, [4], [5],[9]).

Интерес к неравенствам типа Либа-Тирринга связан с их приложениями в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см. подробнее [3], а также [9]). Известные методы доказательства этих неравенств, основанные на нетривиальных результатах из спектральной теории, используют информацию о поведении отрицательных собственных значений операторов типа Шрёдингера (см. например [9]). Неравенства типа Либа-Тирринга широко применяются в физике. С их помощью исследуются спектральные свойства некоторых линейных операторов типа Шредингера. Они играют значительную роль в оценках для спектра линейных операторов, возникающих в нелинейных эволюционных уравнениях.

Неравенства Либа-Тирринга применяются для оценки сверху размерности глобальных аттракторов двумерных систем уравнений Навье-Стокса. О.

Утверждение Теоремы, А фактически равносильно следующей оценке для отрицательного спектра = —Xj (V) оператора Ьф — —Аф — Уф в L2(R2) с неотрицательной функцией V Е L2(R2).

С [ V2dxdy, А,>0 • Jr2 где С-абсолютная постоянная.

Доказанные в настоящей работе неравенства типа Либа-Тирринга применяются для доказательств оценок снизу для спектров некоторых операторов типа Шрёдингера.

Ильиным (см. [3]) была доказана.

Теорема В. Пусть Ф = {.

Г N j=i где /(½) = J2 k*fkZk-производная от функции f (z) = ^ fkzk е L2(Sl) порядка |, С-абсолютная постоянная, а^{-нормированная} мера Лебега на S1.

В работе [2] Кашиным был предложен новый подход к доказательству неравенств типа Либа-Тирринга, основанный на аппарате теории ортогональных рядов: неравенствах для случайных рядов и классической теореме Литтлвуда-Пэли:

1) Пусть 1 < р < оо, Ф = {ф3}$= 1 и ф3 е LP (R2), 1 ^ j < N. Тогда.

И).

СгШрТГыт < г II Е ri№\bmdt < C (p)\p^)lP{R2), (3).

Jo j=1 где {rj (t)}f=i — система Радемахера, а 6(р) > 0.

2) Пусть 1<�р<�оои/е Lp (R2).

Для и и /3, отличных от нуля, введём обозначение.

МЯ := [ fe^+^dtdv, (4).

AVt0 = {2>l/l-1 < ?sgnv < 2^} x {2M" 1 < щдп (1 < 2Щ. (5).

Если и равно нулю, но /3 ф 0, будем считать, что fei (^+m) ^ dr].

VU) = [ +1/.

Также, если /3 = 0, но и ф 0 считаем г}8дп (1<2Щ fe^+^d^drj.

6).

МЯI = I /.

I |7{21И-1 /.

Г2101−1 fe^+w) d? drj.

7).

Когда ^ = /3 = 0 | / fe^+^dtdr).

2^~1.

МЯ= / /V^'-^d//.

•/[-1Д12.

8).

Тогда имеют место следующие неравенства Литтлвуда-Пэли ([10]) c3(p)||/|up (*, < ||(е 1^(/)1)½|1ьР (я2)<^4(р)||/1иР (л2), (9) с некоторой постоянной С3(р) > 0, не зависящей от /.

Аналогично, пусть 1<�р<�ООи/ = Emi,.tmd=-oo ДтЬ ¦ ¦ •. ^К" 1 • ¦ • ^d* G Lp (Sd), d> 2. Для Ui,., i/d, отличных от нуля, введём обозначение.

J" b—.

10) где, если |г/| > 3 :

Д&bdquo- -= {2И-2 < тздпи < г'1'1−1}, (11).

Ло := {0}, Дх := {1}, Л-1 := {-1}, Л2 := {2}, Д2 := {-2} и Д&bdquo-! • • • Ai/d — декартово произведение множеств.

AVl,., AUd. (12).

Тогда имеют место следующие неравенства Литтлвуда-Пэли ([10]) оо.

C5(p, d)\f\LP (sd] < ||(? №lt., vd (f))½\Lv (s") < Ce (p, d)\f\c4Sd),.

Vl,., Vd=-00.

13) с некоторой постоянной С$(р, d) > 0, не зависящей от /. Рассмотрим одномерный случай. Пусть.

Ф = ши С ^(S1), причём щ JL 1, j = 1,., N. Определим оператор

Рф ¦ 1% —> L2(, S1), действующий по правилу: N р*({сз}%= i) = Е w.

3=1.

Пусть также при и — 0,1,. тг&bdquo-: L2(5x) —> Т2, -ортопроектор на пространство тригонометрических полиномов вида.

•>У-1<�Ш<�т-г>У *.

2″ ~1<к<2″ и пусть.

А"(Ф) = ||тг&bdquo- • Рф: ^ —*Т2,||. (14).

Очевидно, что v < 1, если Ф ортонормированная (или субортопормиро-ванная) система. Поэтому следующая теорема (см. [2]) обобщает теорему В.

Теорема С. Для любой системы действительнозначных функций Ф = {.

JS1 f=0 j=1 2″ -1<|fc|<2″ где при и = 0,1,. 7&bdquo-(Ф) = 52/з=о числа А/3(Ф) определены в.

14), а С— абсолютная постоянная.

В работе Асташкина с использованием аппарата теории функций получено неравенство типа Либа-Тирринга, в котором в правой части норма пространства L2 заменена на норму пространства Lp, р > 2. Точнее, в [4] установлена.

Теорема D. Пусть к, I? N, k >2и к делится на I. Тогда существует константа С — С (к), такая, что для произвольной ортонормированной (или субортонормированной) системы Ф — {.

Цель работы. Целью настоящей работы было получение новых неравенств типа Либа-Тирринга и их приложений в спектральной теории.

В диссертации исследован вопрос о возможности усиления неравенства (1). Точнее, вопрос о справедливости неравенства с некоторой абсолютной постоянной С.

Из классических теорем вложения вытекает справедливость неравенства (15) при N = 1.

Ясно, что выполнение для системы Ф оценки (15) гарантирует и выполнение неравенства (1).

Оказалось что (15) имеет место не всегда, но справедлив немного ослабленный вариант этого неравенства, полезный в приложениях.

Структура и объем диссертации

Диссертация занимает 106 страницы текста и состоит из введения, трех глав, разбитых на 13 параграфов и списка литературы, включающего 14 наименований. Нумерация теорем двойнаяномер главы и номер параграфа, нумерация лемм тройнаяномер главы, номер параграфа и собственный номер.

1. Е. Lieb, W. Thirring, «1.equalities for the moments of the eigenvalues of the Schrodinger hamiltonian and their relation to Sobolev inequalities», Stud. Math. Phys., Essays in Honor of Valentine Bargmann, Princeton Univ. press, Princeton, 1976, 269−303.

2. Б. С. Кашин, «Об одном классе неравенств для ортонормированных систем», Матем. Заметки, 80:2 (2006), 204−208.

3. А. А. Ильин, «Интегральные неравенств Либа-Тирринга и их приложения к аттрактором уравнений Навье-Стокса», Матем. сб., 196:1 (2005), 33−66.

4. С. В. Асташкип, «Неравенство Либа-Тирринга для? р-норм», Ма-тем.Заметки, 82:4 (2007), 163−169.

5. Д. С. Барсегян, «О неравенствах типа Либа-Тирринга», Матем. Заметки, 82:4 (2007), 504−514.

6. Д. С. Барсегян, «О возможности усиления неравенства Либа-Тирринга», Матем. Заметки, 86:6 (2009), 803−818.

7. Д. С. Барсегян, «О некоторых приложениях неравенств типа Либа-Тирринга в спектральной теории», Матем. Заметки, 88:2 (2010), 173 177.

8. Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, АФЦ. М., 1999. ,.

9. R. Temam, Infinite-Dimensional Dinamical Systems in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, New-York, 1997.

10. С. M. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, наука, Мм 1977.

11. A.M. Молчанов, «Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциальных уравнений второго порядка», Труды московского математического общества, т. 2 (1953), 169−199.

12. Математическая энциклопедия, Наука, М., т. З, 1997.

13. И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, Наука, М., 1974.М. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, JL, Изд-во JTe-нингр. ун-та, 1980.