Стохастические уравнения Вольтерра на плоскости

Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на плоскости тесно связана с теорией многопараметрических мартингалов, теорией стохастических дифференциальных уравнений, управляемых однопараметрически-ми и двупараметрическими мартингалами, и теорией стохастических уравнений Вольтерра на действительной прямой.

Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на активно развивается последние 30 лет. Например, в работе [5] М. Л. Клепцы-ной и А. Ю. Веретенникова получены условия существования и единственности сильного решения и условия существования слабого решения уравнения Вольтерра по винеровскому процессу с неслучайными коэффициентами. В работе Э. Парду, Ф. Проттера [47] получены условия существования и единственности решения уравнения Вольтерра с упреждающими коэффициентами. В работах А. М. Колодий [41] и [42] приведены теоремы существования и единственности сильных решений и существования слабых решений уравнений Вольтерра, содержащих стохастические интегралы по компонентам семи-мартингалов и криволинейные стохастические интегралы.

Теория многопараметрических мартингалов формируется с 70-х годов прошлого века. В работах Ж. Уолша [49], И. И. Гихмана [7], М. Доззи [29] даны определения и приведены результаты исследования двупараметрической винеровской меры, линии и множества остановки на плоскости, различных типов многопараметрических мартингалов и стохастических интегралов. В работе [9] А. А. Гущин исследовал различные типы разложений двупараметри-ческих субмартингалов, доказал теоремы о разложении сильных субмартингалов и о разложении квадрата сильного мартингала на мартингал и слабо предсказуемое поле. В работах [10] и [11] А. А. Гущин и Ю. С. Мишура доказали существование и исследовали свойства квадратической вариации двупараметрического сильного мартингала. В работе [3] В. М. Бородихина исследована двупараметрическая проблема мартингалов.

Значительное количество работ посвящено теории стохастических дифференциальных уравнений на плоскости, среди которых, наиболее значительными являются работы Ю. С. Мишуры [26] и [27], работы ЖЛи [43], Я. Тюро [48] и Н. Ланжризади и Д. Нуаларта [44].

Диссертация посвящена исследованию стохастических интегральных уравнений Вольтерра.

Ф)+ У J Ъ (г, х:?)ф, с1х), геЯ2+, (1).

О, я] [0,г] содержащих интегралы по таким случайным интегрирующим ядрам (7(2,2-) — г, х е 13+) и (/?(2,2) — г, х е И+), что для любого фиксированного г е Щ. поле 7(2, •) является полем локально ограниченной вариации, а поле •) является сильным квадратично интегрируемым мартингалом.

В настоящее время развитие теории стохастических уравнений Вольтерра на плоскости представляется актуальным, что подтверждается вниманием к этой теме исследователей, развивающих стохастический анализ, и возможностью приложений теории многопараметрических мартингалов и многопараметрических стохастических интегральных уравнений к построению и исследованию математических моделей в некоторых областях естествознания. Например, в работе [45] М. Санз-Соле и К. Ровира доказали принцип больших уклонений для семейств решений стохастических уравнений Вольтерра на плоскости. Авторы исследуют стохастическое уравнение Вольтерра на плоскости управляемое /¿—мерным двупараметрическим винеровским полем IV:

Х{г) = Н (г) + I [/(2, ж, Х (х))Ш{(1х) + к{г, х, Х{х))(Ы, х е Т = [О, I]2, (2) М где функция /: Т2 х н-> х ^ удовлетворяет требованию существования производных ММЬе^ о/(Ш), х, у) и? сверХ того? эти производные и функции Я: Т ь-" ^ и /г: Т2 х ^ н->• ^ удовлетворяют условию Липшица. Отметим, что при таких условиях, стохастическое интегральное уравнение (2) может быть преобразовано в стохастическое дифференциальное уравнение для которого существование единственного решения с непрерывными траекториями легко может быть доказано применением стандартных методов исследования стохастических дифференциальных уравнений.

Во всех утверждениях диссертации среди условий, налагаемых на коэффициенты а{г: х, д) и Ь (г, х, д) уравнения (1), нет предположений дифференцируемое&tradeили условия Липшица по первому аргументу. В тех теоремах, где доказывается существование и единственность решений с непрерывными справа траекториями или непрерывных решений уравнения (1), условия на а (г, х, д) и Ь (г, х, д) по первому аргументу ограничиваются предположениями равномерной непрерывности функции а (г, х, д) и предположением гельдеровости Ь (г, х, д). Условия на а (г, х, д) и Ь (г, х, д) по функциональному аргументу д в теоремах существования и единственности решений уравнения (1) включают условие линейной ограниченности и локальное условие Липшица. В диссертации доказаны теоремы существования и единственности решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости (1) при таких условиях на коэффициенты, которые потребовали применения как известных общих методов исследования стохастических дифференциальных и интегральных уравнений, так и создания и использования новых результатов о свойствах стохастических интегралов, в которых подынтегральные функции и интеграторы зависят от пределов интегрирования.

Основными целями диссертации являются: 1) доказательство измеримости по параметру квадратической вариации сильного двупараметрического мартингала и стохастического интеграла по сильному двупараметрическому мартингалу- 2) построение стохастических интегралов, управляемых мартин-гальными ядрами- 3) доказательство неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности стохастических интегралов и полей, управляемых мартингальными ядрами- 4) поиск условий существования, единственности и непрерывной зависимости от параметра решений стохастических уравнений Вольтерра вида (1) с локально интегрируемыми траекториямидоказательство непрерывности справа траекторий решения уравнения (1) при дополнительных предположениях равномерной непрерывности функции а (г, х, д) и гельдеровости Ь (г, х, д) по первому аргументу- 5) поиск условий существования и единственности непрерывного решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости, управляемого стандартным двупараметриче-ским винеровским процессом.

Методы доказательств утверждений, представленных в данной работе, опираются на применение: общих методов стохастического анализааппарата теории многопараметрических мартингалов и, в частности, результатов А. А. Гущина и Ю. С. Мишуры [9], [ 10], [ 11 ] о существовании и свойствах квад-ратической вариации сильного мартингаланеулучшаемых достаточных условий И. А. Ибрагимова [12] существования непрерывных модификаций случайных процессовобщих идей построения измеримых по параметру модификаций однопараметрических семимартингалов и стохастических интегралов, о содержащихся в работах К. Долеан [28] и К. Стрикера и М. Иора [46]- общих методов доказательств существования и единственности решений однопараметрических стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегральных уравнений Вольтерра, содержащихся в работах [4], [6], [5] и [41].

Методы исследования стохастических уравнений Вольтерра на плоскости в диссертации основаны на применении неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности случайных полей, определяемых несколькими типами стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам. Эти неравенства получены автором и опубликованы в работе [21]. Их доказательства приведены в § 2.2 главы 2.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1) измеримость по параметру квадратической вариации сильного двупара-метрического мартингала и стохастического интеграла по сильному двупара-метрическому мартингалу;

2) построение стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам и неравенства для моментов равномерных норм и модулей непрерывности случайных полей, определяемых стохастическими интегралами по сильным мартингальным ядрам;

3) теоремы существования и единственности решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости с локально интегрируемыми траекториями и с непрерывными справа траекториями, теорема о непрерывной зависимости от параметра решения стохастического уравнения Вольтерра с локально интегрируемыми траекториями;

4) теоремы существования и единственности непрерывного решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости, управляемого стандартным двупараметрическим винеровским процессом.

Работа имеет теоретический характер. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно, за исключением формулировок нескольких утверждений, цитируемых с приведением источников. Ее результаты могут быть применены для дальнейшего развития теории стохастических интегро-дифференциальных уравнений и для построения математических моделей в некоторых областях приложений теории стохастических интегральных уравнений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, заключения, списка литературы, насчитывающего 49 библиографических источников, и указателя символов. Анонсируем содержание диссертации по главам.

Заключение

.

В данной работе исследованы стохастические уравнения Вольтерра на плоскости, содержащие интегралы по случайному интегрирующему ядру локально ограниченной вариации и сильному мартингальному интегрирующему ядру. Доказаны теоремы существования и единственности решений с локально интегрируемыми траекториями, с траекториями в пространстве ЕУ и с непрерывными траекториями. Кроме того, доказана теорема о непрерывной зависимости от параметра решения уравнения Вольтерра с локально интегрируемыми траекториями.

Доказательства теорем существования и единственности решений с траекториями в пространстве и с непрерывными траекториями опираются на применение доказанных в главе 2 данной работы результатов о существовании непрерывных модификаций и модификаций с траекториями в ПУ стохастических интегралов по сильным мартингальным интегрирующим ядрам и неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности таких интегралов. Эти результаты имеют самостоятельное значение и могут быть применены для доказательства теорем о существовании слабых решений стохастических уравнений Вольтерра на плоскости, для доказательств предельных теорем и теорем о сходимости дискретных аппроксимаций для таких уравнений.

Результатам глав 2 и 3 данной работы предшествуют доказанные в главе 1 теоремы об измеримости по параметру взаимных квадратических вариаций двупараметрических сильных квадратично интегрируемых мартингалов и стохастических интегралов по таким мартингалам. Эти результаты об измеримости по параметру имеют важное значение для строгого обоснования всех тех построений, которые осуществляются в главах 2 и 3 данной работы.

Результаты данной работы могут быть применены в исследованиях по другим направлениям развития стохастического анализа, среди которых можно выделить, например, такие: построение оптимальных и еоптимальных управлений стохастическими системами, описываемыми многопараметрическими стохастическими интегральными уравнениямиисследование устойчивости и больших уклонений для стохастических интегральных уравнений на плоскости. Практическая значимость диссертации заключается в возможности применения ее результатов для построения и исследования математических моделей в некоторых областях естествознания.