Методы исследования симметрии в дифференциальных уравнениях (классический и неклассический)

В качестве примера найдем инвариант группы преобразований вращения на плоскости. Посколькуто

Уравнение для данного случая примет видрешение которого даст инвариант группы преобразований в виде3 Схема группового анализа дифференциальных уравнений

Алгоритм, позволяющий находить группы преобразований, для которых дифференциальное уравнение остается инвариантным, называется групповым анализом дифференциального уравнения. Схему этого алгоритма рассмотрим на примере дифференциального уравнения первого порядка. Задача, которая при этом ставится: найти группы преобразований, относительно которых дифференциальное уравнение остается инвариантным (в этом случае обычно говорят о группе преобразований, которая допускается дифференциальным уравнением).Дифференциальное уравнение можно рассматривать как алгебраическое уравнение с функцией от трех переменных х, у и ух. Важным моментом теории группового анализа дифференциальных уравнений является то, что при заданной группе преобразований однозначно определяются компоненты касательного векторного поля и, наоборот, при известных компонентах касательного векторного поля однозначно восстанавливается группа преобразований. Таким образом, задание однопараметрической группы преобразований фактически эквивалентно заданию компонент касательного векторного поля. Это обстоятельство позволяет при групповом анализе дифференциального уравнения искать не сами группы, а только компоненты касательного векторного поляx и h. Однако дифференциальное уравнение содержит три переменные х, у и ух, и поэтому оператор, который должен действовать на левую часть уравнения, принимает видпричем посколькуух является производной оту пох, то h' определяется следующим выражением отx и h: Кроме того, поскольку соотношение является дифференциальным уравнением, в котором

Е =0, то условие инвариантности уравнения относительно группы преобразований принимает вид

Условие позволяет найти все компоненты касательного векторного поля x и h и тем самым определить все независимые однопараметрические группы преобразований, которые допускаются уравнением. Техника проведения группового анализа дифференциальных уравнений довольно трудоемка, и, как правило, в настоящее время этот алгоритм выполняется с применением программ аналитических вычислений на ЭВМ. Такие программы с успехом применяются в последние годы для решения многих математических задач, где требуется большое количество алгебраических вычислений. Следует заметить, что некоторые группы преобразований (но не все) можно установить по виду самого дифференциального уравнения. Покажем, например, как это делается на примере дифференциального уравнения, имеющего вид

Предположим, что это уравнение допускает группу преобразований неоднородного растяжения на плоскости (х, у), тогда

Подставляя эти соотношения в уравнение, получаем

Последнее уравнение совпадает с, если b = а, и поэтому уравнение допускает группу преобразований при b = а. Эта группа имеет инвариант

Используя инварианты групп преобразований, можно упростить процедуру нахождения решения дифференциального уравнения. В самом деле, поскольку то уравнение можно записать в видеоткуда находится решение (здесь с — постоянная).В качестве еще одного примера рассмотрим, как можно с помощью инварианта решить дифференциальное уравнение вида

Предположим, что это дифференциальное уравнение допускает группу преобразований сдвига по х и поу

Подставляя эти соотношения в уравнение, получим, что оно не изменит своего вида, если

Инвариант группы преобразований имеетвид

В этом случаеи уравнение преобразуется к уравнениюрешение которого выражается формулой (здесь с1- произвольная постоянная).Учитывая обозначение инварианта, находим окончательное решение уравнения в виде

Приведенные примеры показывают, что в ряде случаев группа преобразований находится непосредственно из вида дифференциального уравнения и полученные инварианты существенно упрощают решение дифференциального уравнения. Заключение

Групповой анализ дифференциальных уравнений в последние годы находит широкое применение при построении решений уравнений в частных производных. Оказалось, что инварианты соответствующих групп преобразований для уравнений такого вида позволяют существенно упростить процедуру получения аналитического решения. Это, по-видимому, один из самых важных практических результатов теории симметрии дифференциальных уравнений. После открытия солитонов в 60-х годах нашего столетия резко усилился интерес к применению теории симметрии при решении нелинейных уравнений в частных производных, и идеи Софуса Ли в работах ряда ученых были обобщены. Эти работы расширили наше понимание симметрии дифференциальных уравнений и привели к понятию «высшей» симметрии. В последнее время этот раздел нелинейной математической физики интенсивно изучается, и в научных периодических журналах можно найти много работ, посвященных этой теме.

Список литературы

Комптеец А. С. Симметрия в мнкрои макромире. М.: Наука, 1978. 206с. Мигдал

А.Б. Поиски истины. М.: Мол. гвардия, 1983, 240 с. Бштянский В. Г., Виленкин И. Я. Симметрия в алгебре. М.: Наука, 196 7. 284 с. Дородницин В. А., Еленин Г. Г. Симметрия в решениях уравнений математической физики. М.: Знание, 1984, № 4. 64 с. Ибрагимов ИХ. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989, № 8, 48 с. Ибрагимов ИХ. Опыт группового анализа. М.: Знание, 1991, № 7, 48 с.