Распределение функционалов от броуновского движения, остановленного в различные случайные моменты

Теория случайных процессов является важной составляющей частью теории вероятностей. Особый интерес в этой области представляет изучение распределений функционалов от диффузионных процессов. Аддитивные функционалы от броуновского движения имеют широкое применение как в современной теории вероятностей и математической статистике, так и в математической физике, финансовой математике и медицине.

Связь стохастического исчисления с теорией уравнений в частных производных берет свое начало с классической работы А. Н. Колмогорова «Об аналитических методах в теории вероятностей» [42]. Следующими результатами, касающимися методов вычисления распределений интегральных функционалов от процесса броуновского движения, были работы М. Каца [9], [10]. В дальнейшее развитие этих методов значительный вклад внесли П. Леви [13], [14], [44], Е. Б. Дынкин [37], К. Ито [40], Г. Маккин [39], Д. Рэй [15], Р. 3. Хасьминский [48], А. В. Скороход [46], [47], М. Йор [16], [20−22], А. Н. Бородин [27−32]и др. Количество работ, посвященных данной теме постоянно растет, что объясняется не только интересом теоретиков, но и запросами практики.

В работах вышеуказанных авторов решаются задачи о распределении функционалов от диффузионных процессов, остановленных в случайные моменты времени, такие как момент первого выхода на границу интервала, экспоненциальный момент, момент, обратный к аддитивному функционалу и момент, обратный к размаху. Используя различные комбинации максимумов и минимумов из этих моментов остановки можно получить новые случайные моменты. Изучению распределений функционалов от броуновского движения, остановленного в такие моменты, и посвящена значительная часть диссертации.

Для приложений теории вероятностей важно, чтобы решения задач выписывались в явном виде. Как известно, решение вопроса о распределениях функционалов от диффузионных процессов напрямую связано с решениями линейных дифференциальных уравнений второго порядка. В [2] собраны таблицы распределений функционалов от различных диффузионных процессов. Как оказывается, дифференциальных уравнений, на которых основан вывод значительного числа формул из [2], не так уж и много. Это объясняется в частности тем, что довольно редко удается найти дифференциальное уравнение второго порядка, содержащее два свободных параметра, решение которого выписывается в явном виде. По сути дела, к ним относятся известные дифференциальные уравнения, которые определяют специальные функции: Бесселя, Куммера и Уиттекера, функции параболического цилиндра. В заключительной части работы рассмотрен не изучавшийся ранее функционал от броуновского движения с линейным сносом. Для преобразования Лапласа распределения этого функционала выписано линейное дифференциальное уравнение второго порядка, для которого найдена подстановка, сводящая его к классическому гипергеометрическому уравнению. Построен диффузионный процесс, для которого функция Грина отвечает именно этому уравнению.

Основной целью данной работы является систематическое изучение вопроса о распределении функционалов от процесса броуновского движения, остановленного в моменты максимума и минимума из известных случайных моментов. Рассмотрены все основные возможные классы моментов остановки, образованные с помощью операций максимума и минимума из момента первого выхода на границу интервала, экспоненциального момента, момента, обратного к аддитивному функционалу и момента, обратного к размаху.

Для доказательства теорем и вычисления математических ожиданий функционалов были применены различные вероятностные и аналитические методы:

— применение прямого и обратного преобразований Лапласа для сведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям;

— использование вероятностного представления решений дифференциальных задач, для нахождения всех необходимых граничных условий в этих задачах;

— метод аппроксимации решений дифференциальных уравнений;

— в приложениях используются методы решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

В работе получены следующие новые результаты: 1) доказаны теоремы, позволяющие находить распределения функционалов от процесса броуновского движения, остановленного в моменты максимума и минимума из момента первого выхода на границу интервала, моментов, обратных к аддитивным функционалам и момента, обратного к размаху;

2) приведены примеры, где в явном виде выписаны формулы для математических ожиданий функционалов от броуновского движения, остановленного в моменты, перечисленные в первом пункте;

3) рассмотрен производящий оператор диффузионного процесса, отвечающего гипергеометрическому уравнению и вычислены его основные характеристики: плотность меры скорости, шкала, функция Грина и переходная плотность;

4) получены явные формулы для математического ожидания функционалов специального вида от процесса броуновского движения с линейным сносом.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней рассматриваются некоторые результаты, касающиеся распределений функционалов от диффузионных процессов, гипергеометрическое уравнение Гаусса и свойства его решений — гипергеометрических функций, а также необходимые вспомогательные утверждения. Сведения об этом были получены из [23], [25], [26], [30], [32], [38], [41].

Результаты второй и третьей глав позволяют за счет различных комбинаций максимума и минимума из случайных моментов значительно расширить набор моментов остановки, для которых можно получить эффективные методы вычислений распределений различных функционалов. Эффективные — в том смысле, что для конкретных примеров удается выписать в явном виде формулы для математического ожидания от функционала, а иногда и для самого распределения функционала.

Введем необходимые обозначения. Пусть И^в), з е [0,оо), — процесс броуновского движения, выходящий в начальный момент времени из точки х. Обозначим Р*(.) := Р (-|^(0) = х), Ех{-} := Е{-|^(0) = х}. Для любого события, А и случайной величины? под математическим ожиданием Е{?(и-)-А} подразумеваем.

П.Леви было доказано (см. [13]), что с вероятностью единица для всех (?, у) € [0, оо) х Е существует предел где Иа (-) — индикатор борелевского множества, А С К. Процесс у), у) Е [0,оо)хЕ, называется броуновским локальным временем. Этот процесс с вероятностью единица непрерывен по (?, у) € [0, оо) х К, монотонно неубывает по? и ?(0, у) = 0. Основные свойства процесса броуновского локального времени изучались в работах П. Леви [14], [44], Г. Троттера [18], К. Ито и Г. Маккина [39]. Описание броуновского локального времени как диффузионного процесса по пространственной переменной дано в работах Д. Рэя [15] и Ф. Найта [12].

Под кусочно непрерывной функцией на всей вещественной оси или на конечом замкнутом интервале мы подразумеваем функцию, имеющую конечное число точек разрыва, причем все разрывы первого рода. Если функция определена на конечом замкнутом интервале, то на концах интервала значение функции определено и совпадает с ее пределом справа на правом конце интервала и с пределом слева на левом конце. Рассматриваются интегральные функционалы вида о где / - неотрицательная кусочно непрерывная функция, а также аддитивные функционалы более общего вида о в где тj ^ 0, a, j G Е, j = 1, ., т, m < со. В этом обозначении индекс 7 означает наличие линейной комбинации локальных времен, т. е. хотя бы один из коэффициентов 77, j = 1, ., m, не равен нулю. При всех 7^ = О получаем функционал Ao (s).

Определим случайные моменты, рассматриваемые в данной работе. Пусть г — экспоненциально распределенный случайный момент времени с параметром Л > 0, не зависящий от броуновского движения, P (r >t) = e~xt.

Момент первого выхода процесса W (t) на границу интервала (о, b) определяется равенством.

На>ь := min{t:W (t) .

Если процесс W (s) выходит из точки х, не принадлежащей интервалу (а, Ь), то полагаем На<�ь := 0.

Для t ^ 0 определим моменты, обратные к аддитивному функционалу, следующим образом:

Г 9.

I:=min{s: / gi (W (v))dv + «?Г, й, кф,*к) > U}, о где при I = 1,., n, gi (х) — неотрицательные кусочно непрерывные функции, fa = (Ад,., Pi, q), Pi, к ^ о, при I =¦1,., п, к = zk е R, k = l,., q.

В частном случае, когда функции gi (x) являются индикаторами множеств, и все Pitk = 0, I = 1,., п, к = моменты i/j называются моментами, обратными ко времени пребывания процесса.

И, наконец, $v := min{f: sup W (s) — inf W (s) — v} - момент, когда размах процесса W (s) достигает заданного значения v. Такой момент называется обратным к размаху.

Максимум и минимум из двух случайных моментов времени ц и Ц2 мы будем обозначать V //2 и цх Л Ц2 соответственно.

Результаты о распределении аддитивных функционалов от броуновского движения, остановленного в любой из выше перечисленных моментов, можно найти, например, в работах [4], [6−8], [11], [22], [27−32]. Основным подходом, позволяющим получить эти результаты, является применение теоремы Фейнмана-Каца. • В работе [24] были сформулированы теоремы для моментов На, ь, А г и ву Л т. В [30], [45] получены результаты для момента 1^х (/3х, т) Л 2/2 (/$ 2, тг) Л .Л1/"(/3″, тп) и щфх, т{) V 1²(^2, тг) V. V ^(РпуТп), где 77,? = 1,., пнезависимые, экспоненциально распределенные случайные величины, которые не зависят от процесса броуновского движения. Во второй и третьей главах эти результаты значительно обобщены.

Во второй главе рассматриваются всевозможные комбинации операций максимума и минимума для момента На ъ и моментов щ ({3[, 77), / — 1,., п. Будем обозначать := гшп{#в)Ь, ^(/Зх,^), ., ип ((Зп^п)}.

Первый параграф второй главы носит вводный характер. Во втором параграфе доказываются теоремы, являющиеся основными в этой главе. Первые две теоремы доказываются для интегрального функци-8 онала Ао (з) = / /(У (у))с1у. При этом предполагается, что в определении о моментов I’I, I = 1,., п, отсутствуют линейные комбинации локальных времен, т. е. рассматриваются моменты г//(0,т/).

Замечание 2.1. В диссертации часто встречаются дифференциальные уравнения вида и" {х) — И{х)и (х) = -я (х), х е (а, Ь), (2.0) где к (х) и д (х) — кусочно непрерывные функции. На протяжении всей работы решение уравнения (2.0) мы понимаем следующим образом: на интервалах непрерывности функций h и q оно удовлетворяет уравнению (2.0), а в точках разрыва на решение накладывается условие непрерывности вместе с первой производной в этих точках. Если, а и b конечны, то задаются граничные условия в этих точках, а если, а = — оо или b — оо, то соответствующие граничные условия заменяются на условия ограниченности функции U (x) при х —"• — оо или х —" оо. Для неотрицательных функций h (x) и ограниченных q (x) удовлетворяющие этим требованиям решения являются единственными.

Замечание 2.2. Если в дополнение к уравнению (2.0) выписываются условия на скачки производных вида.

U'(aj+) — U'(aj—) = j = 1,., m, то вне точек a, j, j = 1,., m, решение понимается как в замечании 2.1, а в рассматриваемых точках налагается дополнительно условие непрерывности решения.

Теорема 2.1. Пусть F[x), f (x), х G [а, 6], — кусочно непрерывные функции, f (x)^0. Тогда функция.

На, ьЛ1/(0,т).

UH^b (х) = Е*! F (W (Ha>b Л КО, г))) ехр (- J f (W (s))ds) } о является единственным решением задачи и" {х) — (Xg (x) + f (x))U (x) = -Лg (x)F (x), х е (а, b), (2.1).

U{a) = F (a), U{b) = F{b). (2.2).

Замечание 2.3. В этой теореме и далее будем считать, что F (a+) = F (a), F (b—) = F (b) и F (x) ограничена, если она определена на всей вещественной оси.

Обозначим для краткости : — A т) А. А тп).

Теорема 2.2. Пусть F (x), f (x), х G [a, b], — кусочно непрерывные функции, f (x) ^ 0. Тогда функция.

Щх) Ея{^(^(ЯаЛ-))ехр (-А0(Яа^))} является единственным решением задачи п п и" (х) — (Х>я (*) + /(*))ЕФ0 = -F (x)Y^Mgi (x), X е (а, Ь),.

1=1 i=i (2.17) l/(a) = F (a), U{b) = F (b). (2.18).

В случае, когда функционал A-y (s) и моменты I = 1,., п, включают в себя линейную комбинацию локальных времен, справедлив более общий результат.

Теорема 2.3. Пусть F (x), f (x), х 6 [a, Ь], — кусочно непрерывные функции, f (x) ^ 0. Момент = Яа, ь Л fi (/3i, тх) А. A vn (pn, tn). Тогда функция.

U (x) := ЕX[F{W{H%)) ехр (-Л7(Яа^))} является единственным решением задачи: для х? (а, 6){2ъ. , zq, ai,., ат} и" (х) — (jh Xi9l (x) + f (x))u (x) = -F (x)? Xigi (x), (2.20) i=i i=i n tf'(**+) «U'(zk-) = 2(U (zk) — F (zk)) V k = l,., q, i=i (2.21) a,+) — ?/'(a,-) = 27-jUiaj), j = l,., m, (2.22) i/(a) = F (a), U (b) = F (b). (2.23).

Замечание 2.4. Если какая-нибудь из точек zk совпадает с одной из точек a, j, то соответствующие условия из (2.21), (2.22) нужно объединить в условие п.

U'(zk+) — U'(zk~) = 2(U (zk) — F{zk)) J2 AiAfJk + jjU (zic). i=i.

Нужно заметить, что как в определении функционала A~f (s), так и в определении моментов fi ((3i, ti), I = 1,., п, рассмотрение линейной комбинации локальных времен обычно приводит к тому, что для функции U (x) возникают условия на скачки первых производных для тех аргументов, в которых рассматриваются локальные времена.

Теорема 2.3 непосредственно обобщает теорему 2.2. Действительно, если не включать локальные времена в функционал Л7(й) и моменты i I = 1,., п, что равносильно выбору нулевых коэффициентов в линейной комбинации локальных времен, то условия на скачки первой производной перейдут в условия непрерывности производной во всех этих точках. А это, в силу замечания 2.3, трансформирует задачу (2.20)-(2.23) в (2.17), (2.18).

Далее, в этом же параграфе, получены теоремы для процесса броуновского движения, остановленного в момент, но при условии, что минимум из этих моментов реализуется на одном из моментов На, ь или i/j (fit, ti), I = 1,., п. При этом показано, как в дифференциальной задаче изменяются граничные условия, условия на скачки производной и неоднородная часть дифференциального уравнения.

В следующем результате предполагается, что момент реализуется на одной из границ интервала (а, Ь), например, на границе а.

Теорема 2.4. Пусть F (x), f (x), х € [а, Ъ], — кусочно непрерывные функции, /(ж) ^ 0. Момент = На>ь, А Ы^ь п) А. Л ип (0п, тп). Тогда функция иа (х) Вя{^(ЯЙ))вф (-Ау (ЯЙ))-= а} является единственным решением задачи: для х € (а, Ь){21,., гч, аь., ат} п = (2.26) z=i.

— U'(zk-) = 2U (zk) Л = 1,., c, г=1 (2.27).

0*(«i+) — ^'(uj-) = bjUM, j = l,., ш, (2.28).

С/(а) = F (a), £/(Ь) = 0. (2.29).

Замечание 2.5. В случае, если момент реализуется при выходе процесса через границу Ь, то граничные условия (2.29) нужно заменить на условия U (а) = 0, U{b) = F (b).

Замечание 2.6. В случае, если момент Яреализуется на моменте первого выхода на границу интервала (а, Ь), то граничные условия (2.29) нужно заменить на условия U (a) = F (a), U (b) = F (b).

Замечание 2.7. Рассмотрение функции F в теореме 2.4 носит чисто формальный характер. Ее можно положить тождественно равной единице, поскольку в теореме используется лишь значение функции F в точке а.

Предположим, что момент? реализуется на одном из моментов vi{Puri)> •••. тп). Тогда верна теорема.

Теорема 2.5. Пусть F (x), f{x), х € [а, Ь], — кусочно непрерывные функции, f (x) ^ 0. Для любого г = 1,., п функция.

U^(x) := Ех{^(Ж (ЯЙ))ехр (-Л7(Яа^))-Яа^ = иг является единственным решением задачи: для х € (a, 6){zi,., zg, аь. , ат} п и" (х) — l9l (x) + f (x))u (x) = -Xr3r (x)F (x), (2.31) г=1 п tf'(zfc+) — U'(zk-) = 2U (zk) J2 ~ 2rl3rtkF{zk), к = 1,., q, i=i (2.32).

U'(aj+) — U'(aj-) = 2 j = l,., m, (2.33).

U (a) = 0, U{b) = 0. (2.34).

Пусть 0 ^ pi < p2 <. < Pr ^ n — набор из г целых чисел от 0 до п, г ^ гг. Обозначим На = min {s: W^s) = а} - момент первого достижения уровня а. При реализации момента на минимуме из момента Hа и момента uAr := min{i/pi ((3Pl, rPl),. , vPr (PPr, тРг)} верен следующий результат.

Теорема 2.6. Пусть F (x), f (x), х € [а, 6], — кусочно непрерывные функции, f{x)^0. Тогда функция.

U (x) := Ег{^(ТУ (Яа^))ехр (-Л7(Яа^))-Я0^ = тш{Яв1/г}} является единственным решением задачи: для х G (а, —, zq, ai,., ат} и" (х) — (¿-А^ + Я*))^*) = ~F (X) i9vi (x)> (2−35).

1=1 i=l n r u'{zk+) — U'(zk-) = 2 U (zk) У2 ift, k — 2 F (zk) У2 ЬргРрг*, к = 1,., q, i=i i=i (2.36).

U'(aj+) — U'(aj-) = 2tjU{aj), j = 1,., m, (2.37).

U (a) = F (a), U (b) = 0. (2.38).

В конце параграфа приведены примеры применения полученных результатов.

Наибольший интерес представляют случаи, когда рассматриваются произвольные комбинации операций максимума и минимума из случайных моментов. В третьем параграфе на примере моментов, в которые входят два момента z/i (0, ri), гх2 (0, т2) и момент На, ь> показано, как получаются результаты для функционала^o (s) для всевозможных комбинаций максимума и минимума из этих трех моментов.

Например, для момента /Ji — [На, ъ Л ri)] V ^2(0,т2) верна теорема:

Теорема 3.2. Пусть F (x), f (x), х G М, — кусочно непрерывные функции, f (x) ^ 0, для F (x) выполнено замечание 2.1. Тогда функция.

U^(x) := Ех{^Ы)ехр (-ЛЫ)} для х € (а, Ъ) является единственным решением задачи: lu''(x)-(X1g1(x) + X2g2(x)+f (x))U (x) = -X1g1(x)UX2(x)-X2g2(x)UH^(x), а, Ь с граничными условиями и{а) = ихЛ°), и{Ъ) = им{Ь), где функция 112(х) = Ехехр (—Ао (и2))^ является единственным ограниченным решением задачи (см. теорему 1.3 первой главы):

1и" (х) — (Х2д2(х) + /(х))Щх) = -Х2д2(х)Г (х), х е Ж, (3.4) а функция иН" 1 (х) = Еж {р (]?(На, ь Л 1/х)) ехр (-Л0(Яа, ь Л ^))} является единственным ограниченным решением задачи (см. теорему 2.1): и" (х) — (Х191(х) + }(х))и (х) = -Х191(х)Р (х), х € (а, Ь), (3.5).

С/(а) = Яа), и (Ь) = Р (Ъ). ш.

Замечание 3.1. Теорему 3.1 можно сформулировать и на случай х ^ (а, Ь), если полагать в этом случае момент На<�ь = 0. Тогда момент совпадает с моментом ¿-^(О, тг) и при а: (а, Ь) функция U{x) = U2 (х) является единственным ограниченным решением задачи (3.4).

В четвертом параграфе описан принцип построения дифференциальной задачи для общего случая, когда в определение случайного момента времени входят как операции минимума, так и операции максимума. Метод вычисления распределений функционалов, применимый для случая произвольного момента остановки, включающего операции максимума и минимума, описанный в работах [30], [45], применим и к моментам На, ь и vi (/3i, Ti), I = 1,., п. Такой подход позволяет свести задачу в общем случае к аналогичным задачам для моментов, включающих в себя только операции минимума из меньшего числа моментов остановки, чем в исходной задаче. Все возможные варианты задач, которые при этом получатся, описаны в теоремах 2.1−2.6.

В третьей главе продолжены исследования, связанные с распределениями функционалов от процесса броуновского движения, остановленного в момент, образованный с помощью операций максимума и минимума. В число моментов, из которых выбираются максимальные и минимальные, включен момент, обратный к размаху.

В статье [31] было доказано (см. теорему 1.2), что задачи о распределении функционалов, остановленных в момент 0V, сводятся к задачам о распределении функционалов, остановленных в моменты первого выхода на границу интервала. Во втором параграфе третьей главы доказана аналогичная теорема для момента := ву Л v ([3, т), где т) : — min{s: s q f g (W (v))dv + X) ¿-к) > f}• Момент Щь обозначает минимум из.

О А:=1 моментов На>ь и v ((3, т).

Теорема 2.1. Пусть f (x), д (х), х 6 R, — кусочно непрерывные неотрицательные функции. Тогда при х — v < z < х j-Ex{exp (-Ay (e" v))-Wm.

Замечание 2.1. Аналогичный результат будет верен и при х < z < x + v. Для этого нужно заменить в (2.1) момент Hzz+V на момент Hzvz.

В нашем случае, по аналогии с результатом из [31], вопрос о распределении функционала в интересующий нас момент времени сводится к вопросу о распределении функционала в момент для вычисления которого можно непосредственно воспользоваться теоремой 2.3 главы 2 при п = 1.

В третьем параграфе, как результат применения теоремы 2.1 третьей главы, получена формула для вычисления математического ожидания функционала от процесса броуновского движения, остановленного в момент без предположения, что он реализуется на конкретном моменте. Для этого заметим, что:

Ех ехр (-Ау (^))=Ев{ехр (-Ау (^)) — ^=^}+Ех{ехр (-А7(^)) — в"=и (/3, г)}.

Это равенство объясняется тем, что минимум из моментов может реализоваться либо на моменте 9V, либо на моменте v (f3, т).

Первое слагаемое вычисляется при помощи теоремы 2.1 и замечания 2.1 третьей главы. Второе вычисляется из вероятностных соображений. Тогда получаем следующее представление: X.

Е, ехр (-Ау (^))= / ?-Ex{exp (-Ay (HZt2+v))-W (H:iZ+v)=z}dz+ x—v x+v I ¿-ЕЛехр (-A^(H"ViZ)y, W (H"VtZ) = z}dz+ X.

X z x—vx—v b ^ inf sup < b + v}dbdz+.

X+V X I ДйВ.{ехр (-Ау (|/))-Щ|/)<�г| а- .г—г> b ^ inf sup W (s) ^ b +.

Подинтегральные математические ожидания в первых двух слагаемых вычисляются непосредственно при помощи теоремы 2.3 второй главы при п = 1, а математические ожидания в последних двух слагаемых находятся из теоремы 1.2 первой главы.

В четвертом параграфе приведена формула для момента 9%, b := Ha, b^v.

Если выполнено одно из трех условий.

Ь — а при 0 < v < —— ?1 а < х < а + v, (i) b — v < х < b, (ii) b — a, при —— < v < b — a J b — v^a + v, (iii) то справедлива формула.

Ex{exp (—Ау (0″ 'ь))} = min{ar, 6—v} J ¿-ЕДехр (-A^Hz, z+v))-, W (HZtZ+v) = z}dz+ max{x—v, a} тт (1+и, 6} У? ЕЛехр (-АДЯ,",)) — ¥-(НХ1), 2) = тах{я, а+г)}.

Ех{ехр (-А1(На,"+а)У,?{На>"+а) = а}1(а-а+г))(а-)+.

Ех{ехр {-А^{НЬ-у, ъ))Иг{Нь-у, ь) = Ь}1{ь^ь)(х). (4.4).

В пятом параграфе рассмотрены приложения результатов, полученных в третьем и четвертом параграфах.

В шестом параграфе вычислено Ех{ехр (—а (0″ V На, ь))}-Четвертая глава посвящена изучению нового функционала от процесса броуновского движения с линейным сносом и диффузионного процесса, отвечающего гипергеометрическому уравнению Гаусса. Первый параграф носит вводный характер.

Во втором параграфе выписан довольно сложный функционал от броуновского движения с линейным сносом: f ]^^, >. В случае, когда вмео ° м сто фиксированного момента? рассматривается независимый от броуновского движения экспоненциальный момент г с параметром, А > О, найдено явное выражение для функции г.

О '.

Она является единственным ограниченным решением дифференциальной задачи с" (х) + ?лС (х) — (А + ^)С (х) = 0, х^г, (2.1).

0'^ + 0)-С (г-0) = -2Х (2.2).

При замене У (х) = емжС (х) уравнение (2.1) преобразуется в уравнение? + = 0. (2.3).

Это уравнение является симметричным по переменной х. Так, если функция ip (pc) есть решение последнего уравнения, то и <�р (—х) будет решением этого уравнения.

Это уравнение заменой приводится к гипергеометрическому уравнению Гаусса, которое имеет вид х (х — 1) у" + [(а + Ь + 1) х — с]у' + аЪу = 0 (1.1) и его решение при Re (с — а — Ъ) > 0 на интервале х € (0,1) представляется гипергеометрическим рядом.

Fia Ъ с х) — 1 + V + КЪ+1).{Ъ+к-1) к b (а, о, с, ж) — 1 + м с (с + 1). (с + /г — 1) ' при этом с не должно равняться никакому целому отрицательному числу. Фундаментальные решения <�р (х) и ф (х) уравнения (2.3) выписываются через гипергеометрические функции с параметрами, а = ^ — ^ 87, 6 = да = - sSfE. 1 + 1 + I^s).

2.5).

Из представления гипергеометрической функции в виде ряда и вида параметров а, Ь, с следует, что функция F (a, Ь, с, 2), где z = 1/(1 -f е±2х), будет вещественная при любых значениях 7 ^ 0, и представление в виде сходящегося ряда будет справедливо для любого х, поскольку.

Таким образом, имеем ' r2(l + V2A + M2) xXe"(z-x)e-^M^x-z Г F{~x)F{z)t ® <

I F (-«)F (ar), 2 ^ x, где.

В третьем параграфе получена следующая формула для t = оо: оо.

E’exp («7/d?^w) =.

ИГ*(Н) F (x), ¿-КО,.

Как известно, однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка можно поставить в соответствие диффузионный процесс с определенным производящим оператором. В работе найдено представление производящего оператора диффузионного процесса, определенного на ограниченных дважды непрерывно дифференцируемых функциях, причем функция Грина этого опреатора выписывается через гипергеометрические функции. Таким оператором является л-зё+м+<�¦"*<*))')=. (4-D где ¡-л е R, 7 G R.

Фундаментальные решения уравнения ?/ = А/ имеют вид.

Получено выражение для функции Грина: х-у)у/2Х+^-М (х+у) х 1 — - ' о х l’s^-Hi — - (4.7).

Переходная плотность р (г>- х, у) в случае х ^ у выражается формулой: 2 p (v, x, y) = C (v, x, y) ze 4V (1 — ev-x-z)'—¿-е^" *" ^ *—i.

Jo x (l + e" 2*)*5?^ (e-2x + t y/l-8-r 1 -?—^=== -dtdz, (4.12).

Jo ((1-t x/T-8? ! 2 где.

C (v, x, y) = l-ey-x-z1 + еу+х-г)) 2.

Выражение для переходной плотности при у ^ х легко получить из (4.12) заменой х -" у и у —> х.

Полученные в диссертации результаты являются новыми. Они отражены в публикациях автора [49] - [52] и докладывались на VIII Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам в Йошкар-Оле (декабрь, 2001 г.), на VIII международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (июнь, 2002 г.), на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в ПОМИ (апрель, 2004 г.).

1. L. Bachelier, Theorie de la speculation, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 17 (1900), 21−86.

2. A. N. Borodin, P. Salminen, Handbook of Brownian Motion Facts and Formulae, Second Edition, Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 2002.

3. К. L. Chung, R. J. Williams, Introduction to Stchastic Integration, Birkhauser, BaselBoston-Stuttgart, 1983.

4. E. Csaki, P. Salminen, On additive functionals of diffusion processes, Studia Sci. Math. Hungar., 31 (1996), 47−62.

5. T. Jeulin, M. Yor, Autour d’un theoreme de Ray, Asterisque, 52—58 (1978), 145−158.

6. T. Jeulin, M. Yor, Sur les distributions de certaines fonctionnelles du mouvement brownien, Seminar de Probab. XV, 1979/80. Lecture Notes in Math., 850 (1981), 210−226.

7. N. Ikeda, S. Watanabe, Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes, North-Holland Publ.Co. and Kodansha ltd, Amsterdam, Oxford, New York, and Tokyo, 1981.

8. J. P. Imhof, On the range of Brownian motion and its inverse process, Ann.Prob., 13 (1985), 1011−1017.

9. M. Kac, On distribution of certain Wiener functionals, Trans. Amer. Math. Soc., 65 (1949), 1−13.

10. M. Kac, On some connection between probability theory and differential and integral eqations, «Proc. of the second Berceley Symposium in Mathematical Statistics and Probability». University of California, Berceley and Los Angeles, (1951), 189−215.

11. S. Karlin, H. M. Taylor, A second course in stochastic processes, Academic press, Boston, San Diego, and New York, 1981.

12. F. B. Knight, Random walks and a sojorn density process of Brownian motion, Trans. Amer. Math. Soc. 109 (1963), № 1, 56−86.

13. P. Levy, Sur certains processus stochastiques homogenes, Compositio Math., 7 (1939), 283−339.

14. P. Levy, Construction du processus de W. Feller et H. P. McKean en partant du mouvement Brownian, Probability and Statistics (the Harald Cramer volume). Stockholm: Almqvist a. Wiksell, (1959), 162−174.

15. D. B. Ray, Sojourn times of a diffusion process, Illinois J.Math., 7 (1963), Л* 4, 615−630.

16. D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, and New York, 1991.

17. L. C. J. Rogers, D. Williams, Diffusions, Markov Processes, and Martingales, II. Wiley and Sons, New York, 1987.

18. H. F. Trotter, A property of Brownian motion paths, Illinois J.Math., 2 (1958), 425−433.

19. P. Vallois, Decomposing the Brownian path via the range process, Stoch. Proc. Appl., 55 (1995), 211−226.

20. M. Yor, Local Times and Excursions for Brownian Motion: a concise introduction, Caracas, Paris, 1994;1995.

21. M. Yor, Some Aspects of Brownian Motion. Part I: Some Special Functionals, Birkhauser, Basel, Boston, and Berlin, 1992.

22. M. Yor, On some exponential functionals of Brownian motion, Adv. Appl. Prob., 24 (1992), 509−531.

23. M. Абрамовиц, И. Стиган, Справочник по специальным, функциям, Наука, Москва, 1979.

24. О. В. Андреева, О распределении функционалов от броуновского движения, остановленного в случайный момент времени, Дипломная работа, СПбГУ, математико-механический факультет, С.-Петербург, 2000.

25. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Таблицы интегральных преобразований, Т.1, Наука, Москва, 1969.

26. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, Т.2, Наука, Москва, 1974.

27. А. Н. Бородин, Распределение интегральных функционалов от процесса броуновского движения, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 119 (1982), 19−38.

28. А. Н. Бородин, Броуновское локальное время, Успехи мат. наук, 44 (1989), вып. 2, 7−48.

29. А. Н. Бородин, Распределение функционалов от броуновского локального времени. I, II, Теория вероятн. и ее примен., 34 (1989), вып. 3, 433−450, вып. 4, 636−649.

30. А. Н. Бородин, О распределении функционалов от броуновского движения, остановленного в момент, обратный ко времени пребывания, Зап. научн. семин. ПО-МИ, 228 (1996), 39−56.

31. А. Н. Бородин, О распределении функционалов от броуновского двиоюения, остановленного в момент, обратный к размаху, Зап. научн. семин. ПОМИ, 260 (1999), 50−72.

32. А. Н. Бородин, И. А. Ибрагимов, Предельные теоремы для случайных блужданий, Труды Математического ин-та им. В. А. Стеклова РАН, Наука, С.-Петербург, 1994.

33. А. Д. Вентцель, Курс теории случайных процессов, Наука, Москва, 1975.

34. И. И. Гихман, А. В. Скороход, Введение в теорию случайных процессов, Наука, Москва, 1965.

35. И. И. Гихман, А. В. Скороход, Стохастические дифференциальные уравнения, Наук. думка, Киев, 1968.

36. Дж. JI. Дуб, Вероятностные процессы, Изд-во иностр. литературы, Москва, 1956.

37. Е. Б. Дынкин, Функционалы от траекторий марковских случайных процессов, Докл. АН СССР, 104 (1955), № 5, 691−694.

38. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Факториал, Москва, 1997.

39. К. Ито, Г. Маккин, Диффузионные процессы и их траектории, Мир, Москва, 1968.

40. К. Ито, Вероятностные процессы, Т. I, II, Изд-во иностр. литер., Москва, 1960,1963.

41. Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Издательство иностранной литературы, Москва, 1951.

42. А. Н. Колмогоров, Об аналитических методах в теории вероятностей, Успехи мат. наук, 5 (1938), 5−41.

43. M. JI. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко, Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости, Наука, Москва, 1981.

44. П. Леви, Стохастические процессы и броуновское движение, Наука, Москва, 1972.

45. А. В. Либер, В. А. Смирнова, О распределении функционалов от броуновского движения с линейным сносом, Зап. научн. семин. ПОМИ, 244 (1997), 205−217.

46. А. В. Скороход, Случайные процессы с независимыми приращениями, Наука, Москва, 1964.

47. А. В. Скороход, Н. П. Слободенюк, Предельные теоремы для случайных блужданий, Наукова думка, Киев, 1970.

48. Р. 3. Хасьминский, Распределение вероятностей для функционалов от траектории случайного процесса диффузионного типа, Докл. АН СССР, 104 (1955), № 1, 22−25.

49. И. В. Вагурина, Распределение интегральных функционалов от броуновского движения, остановленного в различные случайные моменты времени, Обозр. прикл. и пром. математики, 8 ((2), 2001), 751−752.

50. И. В. Вагурина, Распределения аддитивных функционалов от броуновского движения, остановленного в различные случайные моменты времени, Зап. научн. семин. ПОМИ, 294 (2002), 55−76.

51. I. V. Vagurina, On distributions of Junctionals of stopped Brownian motion, 8th Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics, Abstracts of Communications (2002), 327−328.

52. И. В. Батурина, Распределения аддитивных функционалов от броуновского движения, остановленного в моменты максимума и минимума из случайных времен, Зап. научн. семин. ПОМИ, 298 (2003), 36−53.