Асимптотические свойства смесей вероятностных распределений

Смеси вероятностных распределений играют важную роль в теории вероятностей и, прежде всего, в области ее применения. Центральная предельная теорема позволяет приближать результат эксперимента нормальным распределением, если на его исход влияет множество независимо действующих случайных факторов, каждый из которых незначительно влияет на конечный результат. Однако, «нормальность», как правило, не наблюдается на практике. Возможным объяснением «пе-пормальности» распределений результатов эксперимента может служить то, что на разные эксперименты влияет разное число случайных факторов. В этом случае центральная предельная теорема не применима, и необходимо рассматривать суммы случайного числа случайных величин, для которых справедливы аналоги центральной предельной теоремы — теоремы переноса, в качестве предельных распределений в которых выступают смеси вероятностных распределений.

Не-иормалыюсть" распределения на практике, как правило, означает, что результирующие распределения имеют более тяжелые «хвосты» и острую вершину по сравнению с нормальным распределением. Если же исследователь использует нормальное приближение, то он тем самым недооценивает большие значения, считая, что их вероятности малы. Подобные модели появляются, например, в страховании, теории управления запасами, теории массового обслуживания, теории надежности и др.

В диссертации основное внимание уделяется изучению свойств смесей нормального и других устойчивых распределений. Такие распределения являются предельными в теоремах переноса для случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Класс данных распределений чрезвычайно широк.

Действительно, класс масштабных смесей одного только нормального распределения содержит само нормальное распределение, распределение Стыодеита, распределение Коши, распределение Лапласа, распределение случайных неличин Ya, 0 < а < 2 с симметричным устойчивым распределением и характеристической функцией fa (t) = ехр{— ta} и др. Кроме того, этот класс обладает замечательными свойствами: он замкнут относительно операции свертки распределений и операции смешивания распределения по масштабному параметрураспределения нечетных степеней случайных величии данного класса также принадлежат ему.

Изучением свойств смесей нормального и других устойчивых распределений вероятностей занимались многие исследователи, среди которых нельзя не упомянуть О. Kernel [30], Н. Robbins [34], В. М. Золотарев [8, 6, 7], Н. Teicher [40], F. W. Steutcl [36], D. Kclker [29], S. J. Wolfe [42]. В перечисленных работах основное внимание уделено аналитическим свойствам смесей вероятностных распределений. В них, в частности, описана структура класса смесей устойчивых распределений и рассмотрены условия безграничной делимости смесей.

Свойства сумм случайного числа случайных величин, в том числе предельные теоремы для таких объектов, изучались многими математиками. Не преуменьшая вклад остальных исследователей, посвятивших свои работы этим вопросам, упомянем лишь некоторые работы и монографии. Основополагающей является работа Г. Роббппса [35], содержащая в схеме «нарастающих» сумм достаточные условия сходимости случайных сумм к смесям нормальных законов. Говоря об истории развития данного вопроса, стоит упомянуть статью Р. Л. Добрушина [5], обобщающую результаты Роббипса на произвольные случайно индексированные случайные последовательности при специальном выборе центрирующих и нормирующих констант, и ряд статей Б. В. Гпедепко и его учеников [4, 20, 21, 37, 38]. Б. В. Гпедепко совместно с X. Фахимом доказал знаменитую теорему переноса, устанавливающую достаточные условия слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий [4] и поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий упомянутой сходимости. Первые шаги в решении последией задачи были сделаны учениками Б. В. Гнедепко и, прежде всего, А. В. Печинкиным [20] (для случая сходимости к нормальному закону) и Д. Саасом [21, 37, 38] для общего случая. Необходимые и достаточные условия слабой компактности случайных сумм смог найти В. М. Круглов [16]. В. 10. Королев обобщил результаты Р. Л. Добрушина, указав необходимые и достаточные условия слабой сходимости суперпозиций произвольных независимых случайных процессов [32], и совместно с В. М. Кругло-вым нашел окончательное решение задачи Гисдспко-Сааса о необходимых и достаточных условиях слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых [33]. Также следует упомянуть монографии В. М. Круглова и В. 10. Королева [14], Б. В. Гнеденко и В. К). Королева [28] и В. М. Золотарева [43].

Задачи, в которых могут использоваться свойства смесей вероятностных распределений, появляются в теории надежности, финансовой математики, страховании. Если приближать некоторый показатель (доход, убыток, остаток и д.р.) случайной суммой одинаково распределенных и независимых случайных величии, имеющих дисперсию (так, например, делается в страховании при расчете страховых ставок страхового портфеля), то в качестве предельных появляются распределения, являющиеся смесями нормального распределения. Для оценивания критических значений этого показателя (например, вероятности разорения) необходимо оценить вероятность того, что значение показателя превзойдет некоторую границу, т. е. получить оценку для «хвоста» соответствующего распределения. Получение в таких задачах оценок при помощи нормального приближения дает неверный результат, поскольку «хвосты» итогового распределения тяжелее «хвостов» нормального распределения. Для получения «более правильных» оценок могут быть применены результаты первой части диссертации, в которой изучаются предельные свойства «хвостов» смесей нормального распределения.

Кроме свойств самих распределений, принадлежащих указанному выше классу смесей устойчивых законов, в диссертации рассматривается устойчивость представления вероятностных распределений в виде специальных смесей устойчивых распределений, а именно, смесей, характеристические функции которых представимы в виде Еfu (t), где / — характеристическая функция устойчивого закона, a U > 0 — случайная величина (такие смеси будем называть степенными), а также более общие смеси вероятностных распределений с характеристическими функциями вида Е [ettvfu (?)], где / — устойчивая характеристическая функция, а К и U > 0 — случайные величины (такие смеси будем называть сдвиг-степенными). Задача оценки устойчивости таких представлений, по-видимому, впервые рассматривалась Д. Саасом [39]. В указанной статье рассмотрен случат" ! вырожденного смешивающего распределения и получена оценка е1/3 для расстояния Леви между смесями, где е — расстояние Леви между смешивающими функциями распределения. В диссертации будут рассмотрены оценки «близости» в смысле некоторой вероятностной метрики результирующих смесей при «близких» в смысле той же метрики смешивающих и смешиваемых распределениях.

Диссертация посвящена рассмотрению асимптотических свойств смесей устойчивых законов, исследованию устойчивости представления вероятностных распределений в виде таких смесей, оцениванию скорости сходимости в теоремах переноса в схеме серий и изучению предельного поведения усредненной мощности наиболее мощного критерия проверки простой гипотезы против простой альтернативы по однородной выборке случайного объема.

Кратко изложим содержание и основные результаты диссертации. Глава 1 посвящена оцениванию скорости убывания «хвостов» масштабных смесей нормального закона в зависимости от скорости сходимости «хвоста» смешивающих распределений. В разделе 1.1 рассматривается случай, когда смешивающее распределение имеет «хвост», убывающий экспоненциальным образом, причем показатель степени представлен в виде {—Ch (Inж)), где h (x) — правильно меняющаяся функция, а С — некоторая константа. В этом разделе доказана теорема о том, что в случае экспоненциального убывания «хвоста» смешивающего распределения масштабная смесь также будет иметь экспоненциально убывающий «хвост», с показателем в степени (—С2^//г2 (lny)), где h (x) — та же самая функция, что и для смешивающего распределения, а Сг — некоторая константа. В.

разделе 1.2 рассмотрен расширенный случай экспоненциального убывания «хвоста» смешивающего распределения, где показатель степени у экспоненты имеет вид (—xpL (х)), где L (x) — медленно меняющаяся функция. Раздел 1.3 посвящен случаю степенного убывания «хвоста» смешивающего распределения, для которого также получена соответствующая теорема.

В главе 2 изучается устойчивость представления вероятностных распределений в виде специальных смесей устойчивых законов и скорость сходимости в теоремах переноса. Раздел 2.1 содержит первую теорему устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем а. > 1, утверждающую устойчивость относительно смешивающего распределения. Раздел 2.2 рассматривает устойчивость относительно смешиваемого распределения и содержит вторую теорему устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем, а > 1. Раздел 2.3 посвящен обобщению полученных в разделе 2.1 результатов на случай устойчивых распределений с характеристическим показателем 0 < а < 1 и содержит аналогичную теорему устойчивости. Раздел 2.4 содержит вторую теорему устойчивости представления вероятностных распределений в виде степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем 0 < а < 1. В разделе 2.5 построена оценка скорости сходимости в теореме переноса для схемы серий в метрике Лсви. Раздел 2. G содержит теоремы устойчивости для сдвиг-степенных смесей устойчивых распределений в случае, когда смешивающие распределения (сдвиговое и «степенное») почти наверное линейно зависимы. В разделе 2.7 построены оценки скорости сходимости распределений центрированных, нормированных случайных сумм к сдвиг-степенным смесям устойчивых законов.

В главе 3 рассматриваются условия существования нетривиальных пределов мощности критериев отношения правдоподобия, построенных по выборкам случайного объема. Для таких критериев предлагаются две интерпретации понятия мощности. В разделе 3.1 дается интерпретация критериев отношения правдоподобия и мощности этих критериев для выборки случайного объема. Раздел 3.2 содержит описание исследуемой модели. В разделе 3.3 содержится описание частной предельной схемы для отношения правдоподобия. Раздел 3.4 посвящен изучению асимптотических свойств отдельного члена логарифма отношения правдоподобия, который, как показано в этом разделе, может иметь тяжелые «хвосты», убывающие степенным образом. Данный раздел содержит также примеры задач проверки простых гипотез, в которых отдельный член логарифма отношения правдоподобия имеет тяжелые «хвосты». В разделе 3.5 изучаются условия существования нетривиальных пределов мощностей критериев отношения правдоподобия для выборки случайного объема в случае, когда при основной гипотезе случайная величина отдельного члена логарифма отношения правдоподобия имеет дисперсию, а при альтернативе — принадлежит области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 7 > 1. Рассматривается первая интерпретация мощности для выборки случайного объема, которая определяется как.

Р (п, к) = Рт (A («, jk) > С («, л)), (3.5) где nr т Pnxnj).

AM = A"Ait=logn'-i^ (3.4) j=1 Рп Xn, j) логарифм отношения правдоподобия для выборки случайного объема Nn, k, а с (п, к) ~ случайная величина, определенная при заданном уровне значимости, а как — cJhi при = t. Величина, с,^ определяется из условия.

Pf {К, к > сп, к) = а, (3.2) где.

3-D j=1 Рп Клп, з) логарифм отношения правдоподобия. В разделе 3.6 изучаются возможности получения нетривиальных пределов мощности критериев отношения правдоподобия для выборки случайного объема, когда при основной гипотезе случайная величина отдельного члена логарифма отношения правдоподобия имеет конечную дисперсию, а при альтернативе — принадлежит области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 0 < 7 < 1. Раздел 3.7 посвящен изучению условий существования нетривиальных пределов мощности критериев отношения правдоподобия для выборки случайного объема в случае, аналогичном случаю раздела 3.5. Рассматривается вторая интерпретация мощности, которая определяется как.

Р{п, к) = Рш (п, к) > 5 (3.18) где Crhk — константа, определяемая из условия.

Pno (A (n, fc) > Сп<�к) -+а оо), а объем выборки для любого п стремится при к оо по вероятности к бесконечности (Nnj, оо, к —> оо). В разделе 3.8 изучается возможность получения нетривиальных пределов мощности критериев отношения правдоподобия для выборки случайного объема для случая аналогичного случаю раздела 3.6 и второй интерпретации мощности.

Цель работы.

Целью данной диссертации является изучение свойств смесей нормального и других устойчивых распределений, изучение устойчивости представления вероятностных распределений в виде специальных смесей устойчивых законов, получение оценок скорости сходимости в теоремах переноса в схеме серий и изучение условий существования нетривиальных пределов мощностей критериев отношения правдоподобия проверки простой гипотезы против простой альтернативы для однородной выборки случайного объема.

Методы исследования.

В работе используются методы математического и функционального анализа, а также методы теории вероятностей и математической статистики.

Основные результаты.

1. Получены оценки скорости убывания «хвостов» масштабных смесей нормального распределения при известной скорости убывания «хвоста» смешивающего распределения. Найдены оценки для случая, когда смешивающее распределение имеет экспоненциально убывающий «хвост», и для случая, когда смешивающее распределение имеет «хвост», убывающий степенным образом.

2. Найдены оценки устойчивости представления распределений вероятностей в виде специальных смесей устойчивых распределений и найдены оценки скорости сходимости в теореме переноса в схеме серий как для нецентрироваппых, так и для центрированных случайных сумм.

3. Найдены условия существования нетривиальных пределов мощностей критериев отношения правдоподобия проверки простой гипотезы против простой альтернативы для однородной выборки случайного объема,.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации имеют теоретический характер и одновременно допускают применение к решению различных практических задач, связанных с использованием смесей нормального и других устойчивых распределений.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях: [45, 46, 47, 48].

Результаты диссертации докладывались па научно-исследовательском семинаре «теория риска и смежные вопросы» на факультете ВМиК МГУ. Обозначения.

Во всей работе, за исключением введения, используется двойная система нумерации формул и утверждений. Первое число указывает на главу, второе — на порядковый номер формулы или утверждения внутри главы.

Везде в тексте диссертации (кроме главы 3) предполагается, что все рассматриваемые случайные величины определены на некотором вероятностном пространстве Р).

Также используются следующие условные обозначения:

Р (А) — вероятность события А;

ЕХ — математическое ожидание случайной величины X;

DX — дисперсия случайной величины Xd — сходимость по распределениюр сходимость по вероятности;

М — множество всех действительных чиселслабая сходимостьацх ~ абсолютный момент порядка, а случайной величины X;

Ф (а:) — функция стандартного нормального распределенияконец доказательстваlirn — нижний пределd совпадение распределенииlim — верхний предел.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 49 наименований. Объем работы 103 страницы.

1. Багирсш. Метод смесей и его применение к выводу нижних оценок для распределений функций от нормальных случайных величин. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва. 1988.

2. Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.: Гостехиздат, 1949.

3. Б. В. Гнеденко, X. Фахим Об одной теореме переноса. ДАН СССР, 1969, Т. 187, N 1, с. 15−17.

4. Р. Л. Добруплш. Лемма о пределе сложной случайной функции. -УМН, 1955, Т. 10, N 2, с. 157−159.

5. В. М. Золотарев. Об М-разлоэюении устойчивых законов. Теория вероятн. и ее примен., 1967, т. XII в. 3, с. 559−562.7J В. М. Золотарев. Одномерные устойчивые распределения. -М.: Наука, 1983.

6. В. М. Золотарев. Преобразование Меллина-Стильтьеса в теории вероятностей. -Теория вероятн. и ее примен., 1957, т. II в. 4, с. 445−468.

7. А. Картан Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971.

8. В. Ю. Королев. Вероятностные модели: Введение в асимптотическую теорию случайного суммирования. Москва, 1997.

9. В. Ю. Королев. О предельных распределениях случано индексированных случайных последовательностей. -Теор. вер. и се прим., 1992, т. 37, № 3, с. 564−570.

10. В. 10. Королев. Приблиэ/сеиие распределений сумм случайного числа случайных величии смесями нормальных законов. Теор. вер. и се прим., 1989, т. 34 № 3 с. 581−588.

11. В. ГО. Королев, В. Е. Бенипг и С. Я. Шоргип. Математические основы теории риска. М.: Физматлит, 2006.

12. В. М. Круглов, В. 10. Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

13. В. М. Круглов. О сходимости распределений сумм случайного числа независимых случайных величин к нормальному распределению. -Вести. Моск. ун-та, Сер. 1, матем., мех., № 5, с. 5−12.

14. В. М. Круглов. Слабая компактность случайных сумм независимых случайных величии. Теория вероятностей и ее применения, «1998, т. 43, № 2, с. 248−271.

15. М. Лоэв. Теория вероятностей. М., Изд-во иностр. лит., 1962.

16. В. В. Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука. 1987.

17. В. В. Петров. Суммы независимых случайных величии. М.: Наука. 1972.

18. А. В. Печипкпп. О сходимости к нормальному закону сумм случайного числа случайных величин. Теор. вер. и ее прим., 1973, т. 18 № 2 с. 380−382.

19. Д. О. Са.ас. О классах предельных распределений для сумм случайного числа одинаково распределенных случайных величин. Теор. вер. и ее прим., 1972, т. 17 № 3 с. 424−439.

20. Е. Сенета. Правильно меняющиеся функции. Перев. с апгл.М.: Наука, 1985.

21. В. Феллер Введение в теорию вероятн, остей и ее приложения. Т.2. М.:Мир, 1984.

22. А. Я. Хипчип. Предельные законы для сумм независимыхслучайных величин. М.-Л.: ОНТИ, 1938.

23. V. Beiiing and V. Korolev. Generalized Poisson Models and their Applications in Insuarance and Finance. VSP, Utrecht, The Netherlands, 2002.

24. V. E. Bening. Asymptotic Theory of Testing Statistical Hypotheses: Efficient Statistics, Optimality, Power Loss and Deficiency. VSP, Utrecht, 2000.

25. V. E. Bening, V. Yu. Korolev, T. A. Sukhorukova and V. N. Kolokoltsov. Limit theorems for continuous-time random walks in the double array limit scheme. Nottingham Trent University. Preprint NG1 4BU, Number 25/03, 2003.

26. В. V. Gnedenko and V. Yu. Korolev. Random Summation: Limit Theorems and Applications. CRC Press, Boca Raton, 1996.

27. D. Kelker. Infinite divisibility and variance mixtures of the normal distribution. Ann. Math. Statist., 1971, v. 42, N 2, p. 802−808.

28. O. Kernel. Variance mixtures of normal distributions. Aim. Math Statist., 1931, vol. 42, p. 802−808.

29. V. Kolokoltsov, V. Korolev and V. Uchaikin. Fractional Stable Distributions. Journal of Mathematical Sciences, 2001, vol. 105, No. 6, p. 2569−2576.

30. V. Yu. Korolev. A general theorem on limit behavior of superpositions of independent random processes with applications to Cox processes. -Journal of Mathematical Sciences, 1996, Vol. 81, No. 5, p. 2951−2956.

31. V. Yu. Korolev and V. M. Kruglov. A criterion of convergence of nonrandornly centered random sums of independent identically distributed random variables. Journal of Mathematical Sciences, 1998, Vol. 89, No. 5, p. 1495−1506.

32. H. Robbins. Mixture of distributions. Ann. Math. Statist., 1948, v. 19, № 2, p. 360.

33. H. Robbins. The asymptotic distribution of the sun of a random number of random variables. Bull. Amer. Math. Soc., 1948, v. 54, N 12, p. 11 511 161.

34. F. W. Steutel. Note on the infinite divisibility of exponential mixtures. -Ann. Math. Statist., 1961, v. 38, N 4, p. 1303−1305.

35. D. Szasz. Limit theorems for the distributions of the sums of a random number of random variables. Ann. Math. Stat., 1972, V. 43 № 6 p. 19 021 913.

36. D. Szasz. Stability and law of large numbers for sums of a random number of random variables. Acta Sci. Math., 1972, V. 33 № 3−4 p. 269−274.

37. D. Szasz. On the rate of convergence in the Levy metric for random indiced sums. «Progress in Statistics.», Vol. 2,1974, Amsterdam-London, p. 781 787.

38. H. Teicher. On the mixture of distributions. Ann. Math. Statist., 1960, v. 31, N 1, p. 55−73.

39. V. V. Uchaikin and V. M. Zolotarev. Chance and Stability: Stable Distributions and their Applications. VSP, Utrecht, The Netherlands, 1999.

40. S. J. Wolfe. On the infinite divisibility of variance mixtures of normal distribution functions. Proc. Nederl. Akad. Wetensch., 1978, Ser. No. A81, p. 154−156.

41. V. M. Zolotarev. Modern Theory of Summation of Random Variables. VSP, Utrecht, 1997.

42. V. M. Zolotarev. Natural estimates of convergence rate in central limit theorem. Journal of Mathematical Sciences, 1998, vol. 92, No. 4, p. 41 124 121.

43. С. H. Антонов, С. H. Кокшаров. Об асимптотическом поведении хвостов масштабных смесей нормального распределения. межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. — Пермь, 2006, с. 90−105.

44. С. Н. Кокшаров. Оценка скорости сходимости в теореме переноса для центрированных случайных сумм. Вести. Моск. ун-та, Сер. 15, Выч. мат. и. киб., 2007 г., № 2, с. 17−23.

45. V. Е. Beniiig, S. N. Koksharov, V. Yu. Korolev and V. N. Kolokoltsov. Limit theorems for continuous-time random walks in the double array limit scheme. Journal of Mathematical Sciences, 2007, to appear.