Гармонический анализ некоторых классов линейных операторов

Основой многих направлений исследований в современнном анализе служат спектральные теории, связанные с тем или иным понятием спектра, а также функциональным исчислением для линейных замкнутых операторов. Подчеркнем особо важную роль, которую играет понятие спектра в проблеме гармонического анализа векторов из банахова пространства, в котором действует некоторая группа операторов. В случае, если в банаховом пространстве действует однопараметрическая группа операторов, то ее генератор (инфинитезимальный оператор) допускает обширное функциональное исчисление. Соответствующий класс функций совпадает с классом функций на R, который состоит из преобразований функций из групповой алгебры Li®. Таким образом, при исследовании векторов из банахова пространства возникает возможность широкого использования методов гармонического анализа. К наиболее важным примерам относятся банаховы пространства Сь (Ш) непрерывных и ограниченных на Ж комплексных функций и пространства Степанова ®, р € [1,оо) (во введении используется список введенных обозначений). Еще одним важным примером может служить банахово пространство линейных ограниченных операторов.

Таким образом, глубоко развитые методы гармонического анализа могут быть использованы в спектральном анализе некоторых классов линейных операторов.

Диссертация посвящена этому направлению исследований в спектральной теории несамосопряженных операторов. Такие исследования проводились в работах Н. Данфорда [17, 18, 19] (спектральные oriepaторы), К. Фойаша [58](разложимые операторы), Ю. И. Любича, В. И. Мацаева [30−35] (неквазианалитические операторы, почти периодические группы), И. Домара [54, 55](неквазианалитичные представления) и связаны со спектральным анализом операторов, имеющих некоторые аналоги спектральных разложений (разложений единицы группы).

Диссертация посвящена спектральному анализу некоторых классов несамопряженных операторов, играющих важную роль в исследованиях по теории функций (операторы свертки, оператор дифференцирования) и методе подобных операторов (коммутаторы в пространстве операторов). Проведенные исследования тесно связаны с исследованиями по теории спектральных по Данфорду линейных операторов, теории разложимых операторов (К. Фойаш), теории неквазианалитических операторов и неквазианалитических представлений (Ю. И. Любич, В. И. Мацаев, К. Фойаш), которые имеют многочисленные приложения. Таким образом, тема диссертации является актуальной.

Основным методом исследования рассматриваемого класса операторов являются методы гармонического анализа, спектральной теории операторов, теории функций.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. получена точная оценка резольвенты генератора изометрической группы операторов в условиях, когда его спектр лежит на полупрямой;

2. получены точные оценки оператора интегрирования в однородных пространствах функций с положительным спектром;

3. получены приложения к методу подобных операторов и, в частности, теорема о подобии возмущенного (каузальным оператором) генератора изометрической группы операторов самому генератору;

4. получены достаточные условия сходимости рядов Фурье почти периодических векторов с разреженным спектром;

5. получены достаточные условия сходимости рядов Фурье почти периодических векторов, спектр которых имеет единственную предельную точку.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в научных коллективах Московского, Санкт-Петербургского, Воронежского, Нижегородского, Ростовского, Саратовского и Ярославского государственных университетов.

Результаты диссертации докладывались на конференции 'Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна' (г. Воронеж, 2008 г.), на '20 Крымской осенней математической школе-симпозиуме' (г. Севастополь, 2009 г.), на конференции 'Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна' (г. Воронеж, 2010 г.) и на ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [38]-[43]. Основной результат главы 1 связан с получением неравенства Бора-Фавара для генератора изометрической группы операторов и приложением этого результата к теории функций и спектральной теории операторов.

В 1935 году Г. Бором было доказано следующее знаменитое неравенство (оценка интеграла).

Е!. iyj* akelkt < — max h (?)|.n > 1. гк 1 ~ 2nтг<�г<�тг1 w" — ' n для любой непрерывной периодической периода 27 т функции х: Ж —>¦ С с рядом Фурье вида x (t) ~ Y1 акеШ> t е Ж, п>1. к>п.

Затем эта оценка была распространена Ж. Фаваром [57] и Б. М. Левитаном [27] на почти периодические функции. В этих же работах было обобщено и неравенство С. Н. Бернштейна для производной от целых функций, ограниченных на вещественной оси R.

Пусть Хкомплексное банахово пространство. Т: К —> EndX — сильно непрерывное изометрическое представление (изометрическая группа операторов). Пусть %А: D (A) С X —" X есть её генератор (ин-финитезимальный оператор). Тогда спектр сг (А) оператора, А вещественный [9], и поэтому его резольвентное множество р (А) содержит CR. В частности, если X = Q,)U® — банахово пространство равномерно непре рывных и ограниченных на Ж комплексных функций с «swpremum» нормой, то группа операторов S (t),? ? R, (S{t)x)® = x (r+t), r, t? R, сдвигов функций сильно непрерывна и изометрична, а её генератором является оператор D — Следовательно, п.

Таким образом, более общей постановкой задачи является оценка величины || А-11| для генератора г, А произвольной изометрической группы операторов Т: К —>• EndX при условии, что 0 € р (А) = Са (А). Используя результаты из статей [57], [26], можно доказать, что верна оценка ||А1|| < 2dist{o а{А))> и эта °Ценка неулучшаема в классе всех изометрических представлений. Разумеется, если X — гильбертово пространство, то, А — самосопряженный оператор и в этом случае ||Л-1|| = (dist{0, сг (А)))-1. Один из центральных результатов главы 1 — установить это равенство, не делая ограничений на банахово пространствоX, а лишь предполагая, что о{А) С М+ = (0, оо), либо ст (А) С М = (—оо, 0). Далее используется следующее важное определение Определение 1.3 Спектром Бёрлинга вектора х е X называется множество А (х) из Ж, являющееся дополнением в К к множеству {До? R: существует функция /о € ?i (M) такая, что /о (Ао) Ф О и fox — 0}.

Теорема 1.2. Пусть сг (А) С [а, оо), где, а > 0 (либо сг (А) С (—оо, —а-]), причем a? с (А) (соответственно —а? &-{А)). Тогда.

A-1||=r (A-1) = i, а где г (А-1) — спектральный радиус оператора А1.

Следствие 1.1. Оператор, А обратим на спектральных подпространствах Ха = оо)), а > 0, и ||(Л1Ха)1|| < аГ1 для сужения.

АХа оператора, А на подпространство Ха.

Следствие 1.2. Пусть C^t^R) — подпространство функций из Сь, и{Щ• Пусть <р Е C2nfi (К) имеет ряд Фурье вида к>п.

Тогда она имеет ограниченный интеграл ф € С2тг, о (1?) и ы= max ^п-1!!^. te[o, 27r].

Определение 1.6. Банахово пространство локально суммируемых измеримых функций ^® назовём однородным пространством функций, если выполнены условия:

1. сдвиг (S (t)(p)(s) = ip (t + 5), s, t € R, любой функции </? G ^® принадлежит 5″ ® и |jS (i)</?|| = |j</?||;

2. функция 11—у S (t).

^® непрерывна.

Из теоремы 1.2 следует.

Теорема 1.3. Любая функция? #® с A (ip) с R+ обладает интегралом ф 6 ^® и f ф\ <

Определение 1.7 [10]. Оператор В е Hom (Xi, X2) называется каузальным (причинным), если Л (В) С R+, и — равномерно каузальным, если А (В) С R+.

Пусть теперь заданы два сильно непрерывных изометрических представления Ti: R —> EndXi, г = 1,2, где Xi, i — 1,2, — комплексные банаховы пространства. Через Нот{Х i, X2) обозначим банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на Х и со значениями в Х2. Банахово пространство IIom (Xi, Х2) наделяется структурой банахова Li®-модуля с помощью формулы fB) x = I f{t)T2{-t)BTi{t)xdt, f € Li (Ш), ве Нот (Х1,Х2). т.

Все утверждения следующей теоремы следует из теоремы 1.2. Теорема 1.4. Для любого равномерно каузального оператора С? Нот{Хi, X2) уравнение.

АВ = А2В — ВАг = С имеет единственное равномерно каузальное решение В0 е Hom{Xi, Х2). Оно может быть представлено формулой (1.12), где f — любая функция из 1а (М) со свойством /(А) = А-1 на множестве, А (В), и множество.

A G С: /(А) ф А-1} П, А (В) не более чем счетно. При этом имеет место оценка ||Д,|| < dist (0, А (Б))-1||Б||.

Теорема 1.4 может быть использована в теории возмущений и линейных операторов.

Пусть Х = Х2 = X, Т = Т2 = Т и гА — генератор группы операторов {T (t)]t G R}. По числу о: > 0 рассмотрим подмодуль операторов EndaX = {В € EndX, A (B) С [а, оо)}. Используя метод подобных операторов (см. [б, гл. 2], [8]), получаем следующий результат.

Теорема 1.5. Каждый из операторов, А — В, В EndaX подобен оператору А. В частности, а (А — В) = ег (А).

В условиях следующей теоремы обозначим через В = В + £?о, где В? EndaX, a Bq перестановочен с операторами T (t), t G К.

Теорема 1.6. Пусть выполнено условие lm + рою < 1, тогда оператор, А — В подобен оператору A — Bq.

Перейдем к результатам главы 2. Рассматривается Ьх (М)-модуль (Х, Т), где Т: R —> EndX — ограниченное представление. Без ограничения общности можно считать, что Т — изометрическое представление, т. е. \T (s)\ = 1 Vs 6 1.

Здесь мы не требуем сильной непрерывности представления Т, но считается выполненым предположение 2.1.

Предположение 2.1. Для банахова ЬДЗ^-модуля (Х, Т) выполнены следующие свойства:

1. из равенства fx = 0, /? ?i®, следует, что вектор х? X нулевой (свойство невырожденности модуля X);

2. для всех /? bi®, х? X и t? R имеют место равенства.

T (t)(fx) = (S (t)f)x = f (T (t)x), где S (t) — оператор сдвига на t? R в Li®, т. е. S (t)f (s) = f (s +1), s, t? M, /? Li® (свойство ассоциированности модульной структуры на X с представлением Т);

3. ||/®|| < ||/||i|NI, /? Li®, ж € X, где \/\г — норма функции / в bi®.

Определение 2.2. Число т? R называется е—почти периодом вектора xq из 1/1^)-модуля (X, Т), если выполняется неравенство.

Т (г)х0 — х0\ .

Определение 2.3. Множество Е С К. называется относительно плотным на К, если существует такое число I > 0, что в каждом интервале (а, а /) С К, а G 1, длины I содержится хотя бы одно число множества Е (см. [28]- стр.7).

Определение 2.4(по Бору). Вектор хо G Хс называется почти периодическим вектором по Бору, если для любого? > 0 существует относительно плотное множество £1(е) с 1 е-почти периодов вектора.

Определение 2.5(по Бохнеру). Вектор хо Е X называется почти периодическим вектором по Бохнеру, если его орбита {T (t)xо, t? R} предкомпактна в X (см. [9]- стр.64).

Теорема 2.1. Вектор хо € X является почти периодическим по Бору тогда и только тогда, когда он является почти периодическим по Бохнеру.

Среди линейных операторов, действующих в подмодуле АРХ С Хс существует и единственен оператор J: АРХ АРХ, значение которого на каждом векторе х € АРХ называется средним значением вектора х. Этот оператор обладает следующими свойствами:

1. J G EndX, J— проектор и || Jj| < 1;

2. оператор J перестановочен с операторами T (t), t G 1, J (T (t)x) = T (t)Jx для любого t Gl, x e APX;

3. Jx лежит в замыкании выпуклой оболочки орбиты вектора х? АРХ, и имеют место равенства: а а+и, а а+и причем предел существует равномерно по и.

Наличие оператора J с такими свойствами позволяет ввести в рассмотрение семейство операторов J G End (APX), A el, определенных равенствами:

Jxx = J (T (t)e~iXtx), а.

Jx = lim f T (t)xe~iXidt. a—>00 2 ее J a.

Определение 2.6. Семейство операторов Ja, Л G Ж, позволяет отнести каждому почти периодическому вектору х формальный ряд: х ~^ж (А), А G Ж, который называется рядом Фурье вектора х. Функция х: Ж —АРХ определяется по формуле: ж (А) = Jx.

Теорема 2.2(теорема единственности рядов Фурье почти периодических векторов). Если х G АРХ и Jx = О VA G Ж, то х = 0.

Пусть Т: Ж —>• EndXизометрическое представление, причем (Х, Т) — банахов Ь1(Ж)-модуль.

Рассматривается двусторонняя последовательность вещественных чисел (А^), k G Z со свойствами.

1. А* = -А*,/г> 1, До = 0;

2. lim Afc = 00. к—>оо.

Ряд Фурье вектора х G АРХ имеет вид.

00 х ~ У^ к=—оо где T{t)xk = eiXktxk, к G Z.

Теорема 2.3. Пусть b оо, а остается меньше b, причем так, что отношение | остается меньше фиксированного числа в < 1. Тогда для каждого х € Хс.

Нш фаъ* х — х. ^ 6-*x>f< e.

Для исследования сходимости ряда Фурье вектора х введем в рассмотрение следующие числовые характеристики. Первой характеристикой является ш (д, х) = sup ||T{t)x — я||, которая называется модулем непрерывности вектора х..

Второй характеристикой является наилучшее приближение.

Е{ Х, х)= mf ||®—у||. уеХ ([-А, А1).

Будем говорить, что вектор х G X удовлетворяет условию Липшица порядка, а < 1 (Гёльдера), если для него верно неравенство.

T{h)x — х\ < Chayh G R, где С от h не зависит..

Определение 2.9. Пусть х Е АРХ и его ряд Фурье имеет вид оо.

У! Хк> к=—оо где T (t)xk = elXktXk, к G Z. Ряд Фурье векторах называется лакунарным рядом Фурье, если существует не зависящее от числа п число 9 < 1 такое, что.

An.

X. п+1.

Пусть L — {Afc}, к € Z. Положим.

NL (A) =.

Ai

Поэтому из теоремы 2.3 следует.

Теорема 2.4. Если х € АРХ имеет лакунарный ряд Фурье, то он сходится к х..

Теорема 2.5. Пусть 0 < А < ц. Тогда для любого х? АРХ, выполняется неравенство..

II" - У>*|| < Е (А, х){1 + - + 2[JV,(M) — JV,(A)] +.

Afc|.

Теорема 2.6. Ряд Фурье вектора х € АРХ сходится, если существует числовая последовательность {/in}, п > 1, удовлетворяющая условиям: fj, n > An, п > поlim E{n:x)[Nb{}xn) — Nl{An)] = 0- n-> оо lim ?(An, x) ln^n = 0. n-*oo — Xn.

Теорема 2.7. Ряд Фурье вектора х € АРХ сходится, если lim Е (An, = 0. п-+оо An+i — Ап.

Следствие 2.1. Ряд Фурье вектора х € АРХ сходится, если г (1 м +^П п lim, ж) т——- = 0..

An An+i — An.

Следствие 2.2. Ряд Фурье вектора х € АРХ сходится, если х удовлетворяет условию Липшица порядка, а < 1, и если lim Д= 0. п->оо Ап+1 — Хп 17.

Следствие 2.3. Если х 6 АРСь (№) удовлетворяет условию Липшица порядка, а < 1 и если.

Ит A-a/nAn+l + An = 0) п->оо Лп+1 — Ап то существует равномерный предел п x (t) = lim V akeiXnt. п.—* па < 4.

П—> OO к=—п.

Теорема 2.8. Если х € APSp® удовлетворяет условию Липшица порядка, а < 1 и если.

Um А+ ^ = О, П-+00 Ап+1 — Ап то в пространстве APSp (.

Т1 x (t) = lim V akeiXnt. n—>00 k=~n oo.

Теорема 2.9. Пусть a: ~ (A^+i < A&, Aa- —>¦ 0 при к —" oo, k~—oo.

Afc = Afc) и x € АРХ. Если существует такая постоянная С, что т.

J T (t)xdt < Ст1~а, О, а < 1, т G и выполняются условие lim = 0, то х = lim У] хк..

Т1—>00 Л" -Л"+1 71−400.

1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер.-М.-.Наука, 1965.-408 С..

2. Баскаков А. Г. Неравенства бернштейновского типа в абстрактном гармоническом анализе / А. Г. Баскаков // Сиб. матем. журн.- 1979.-Т.20, — № 5. С.942−952..

3. Баскаков А. Г. Об общих эргодических теоремах в банаховых модулях / А. Г. Баскаков // Функц. анализ и его прилож. -1980. Т. 14.-№ 3. С. 63−64..

4. Баскаков А. Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной оператороной функции / А. Г. Баскаков // Матем. сборник.-1984, — Т. 124. № 5. С. 68−95..

5. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов: дис. докт. физ.-мат. наук / Баскаков Анатолий Григорьевич.- Киев: Институт математики, 1987..

6. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баксаков.- Воронеж. ВГУ, 1987.-165 С..

7. Баскаков А. Г. Операторные эргодические теоремы и дополняемые подпространства банаховых пространств / А. Г. Баскаков // Известия ВУЗов. Математика -1988. № 11. С. 3−11..

8. Баскаков А. Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианалити-ческих и спектральных операторов / А. Г. Баскаков // Изв. РАН. Серия матем.- 1994. Т.58. № 4. С.3−32..

9. Баскаков А. Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов /А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления.- Москва.- 2004. Т.9. С.3−151..

10. Баскаков А. Г. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства / А. Г. Баскаков, И. А. Криштал //Изв. РАН. Серия матем.- 2005, — Т.69. № 3. С.3−54..

11. Бредихина Е. А. Об абсолютной сходимости рядов Фурье почти периодических функций с редкими спектрами /Е. А. Бредихина// Матем. сб.- 1970. Т. 81(123).-№ 1. С.39−52..

12. Бредихина Е. А. О суммировании рядов Фурье почти-периодических функций с ограниченным спектром/Е. А. Бредихина// Изв. вузов. Матем.- 1963. № 5. С. 6−11..

13. Бредихина Е. А. Некоторые оценки отклонений частных сумм рядов Фурье от почти-периодических функций/Е. А. Бредихина// Матем. сб.-1960.~ 50(92).- т.- С.369−382.

14. Бурбаки Н. Спектральная теория / Н. Бурбаки.- М.:Мир, 1972. 184 С..

15. Гельфанд И. М. Коммутативные нормированные кольца / И. М. Гельфанд, Д. А. Райков, Г. Е. Шилов, — М.: Физматгиз, I960. 315 с..

16. Горин Е. А. Неравенства Бернштейна с точки зрения операторов / Е. А. Горин //Вестник Харьковского университета.- 1980. Т. 45.-С.77−105..

17. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц.- М.: ИЛ, 1962. Т.1. 895 С..

18. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральная теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц, — М.: МИР, 1966. Т.2. 1064 С..

19. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральные операторы / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц.- М.: МИР, 1966. Т.3.-663 С..

20. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида.- М.: Мир, 1967.624 С..

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.- Изд. «Мир». Москва, 1972, — 740 С..

22. Колмогоров А. Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин.- М.: Наука, 1968 543 С..

23. Костин А. В. К теории фукнциональных пространств Степанова / А. В. Костин, В. А. Костин .-Воронеж, 2007.-259 С..

24. Крейн М. Г. О представлении функций интегралами Фурье-Стилтьеса / М. Г. Крейн //Ученые записки Куйбышевского госуд. пед. ин-та.- 1943, — № 7. С. 123−148..

25. Крейн С. Г. Функциональный анализ (справ, матем. б-ка) / С. Г. Крейн.- М.:Наука, 1972. 424 С. i.

26. Левитан Б. М. Об одном обобщении неравенств С. Н. Бернштейна и Н. Bohr’a / Б. М. Левитан //ДАН СССР. -1937. Т. 15.-С.17−19..

27. Левитан Б. М. Почти-периодические функции / Б. М. Левитан.- Из-во МГУ, 1953.-205 С..

28. Левитан Б. М. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения / Б. М. Левитан, В. В. Жиков. -Из-во МГУ, 1978, — 205 С..

29. Лукач Е. Характеристические функции / Е. Лукач.- М.:Наука, 1979. 423 С..

30. Любич Ю. И. Об операторах с отделимым спектром / Ю. И. Любич, B. И. Мацаев //Матем. сб.- 1962. T.56.-.N4. С.433−468..

31. Любич Ю. И. Об условиях полноты системы собственных векторов коректного оператора /Ю. И. Любич// УМН.-1963. Т. 18. Вып.1.C.165−171..

32. Любич Ю. И. Об одном классе операторов в банаховом пространстве / Ю. И. Любич// УМН, — 1965. Т.20.-ДО6. С.131−133..

33. Любич Ю. И. О спектре представления топологической абелевой группы / Ю. И. Любич// Доклады АН ССР.- 1971. Т. 200.-ДО4.-С.777−780..

34. Любич Ю. И. О представлениях с отделимым спектром /Ю. И. Любич, В. И. Мацаев, Г. М. Фельдман// Функц. анализ и его прил.-1973. Т.7.-№ 2, — С.52−61..

35. Любич Ю. И.

Введение

в теорию банаховых представлений групп / Ю. И. Любич// Харьков: Вища школа.- 1985..

36. Люмис Л.

Введение

в абстрактный гармонический анализ / Л. Люмис, — М.:ИЛ, 1956. 251 С..

37. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин.- М.:Мир, 1975. 449 С..

38. Синтяева К. А. О неравенствах типа Бора-Фавара / А. Г. Баскаков, К. А. Синтяева // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика-Воронеж:ВГУ.- 2007 г.- № 1. С.139−143..

39. Синтяева К. А. О неравенствах типа Бора-Фавара / К. А. Синтяева // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейиа. Тезисы докладов.- Воронеж: ВГУ.- 2008. С.126−127..

40. Синтяева К. А. О неравенствах Бора-Фавара для операторов / А. Г. Баскаков, К. А. Синтяева// Известия ВУЗов.Математика.-2009г.-№ 12.-0.14−21..

41. Синтяева К. А. Гармонический анализ почти периодических векторов / К. А. Синтяева // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика.-Воронеж:ВГУ.- 2009 г.- № 2.-С.140−156..

42. Синтяева К. А. Гармонический анализ почти периодических векторов / К. А. Синтяева // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна 2010. Тезисы докладов.- Воронеж: ВГУ.- 2010. С.136−138..

43. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории / К. Фейс.- М.:Мир, 1977.-Т.1. 688 С..

44. Фельдман Г. М. Об изометрических представлениях локально компактных абелевых групп /Г. М. Фельдман // Доклады АН ССР,-1972.-207.-№ 5. С.1063−1066..

45. Хьюит Э. Абстрактный гармонический анализ / Э. Хьюит, К. Росс.-М.:Наука, 1975.-Т.2. 904 С..

46. Шилов Г. Е. О регулярных нормированных кольцах /Г. Е. Шилов // Тр. матем. института им. В. А. Стеклова.- 19 472.-XXI.- С.1−118..

47. Эдварде Э. Функциональный анализ / Э. Эдвартс.- М.:Мир, 1969.1072 С..

48. Arveson W. On Group of Automorphism of operator algebras / W. Arveson //J. Func. Anal. 1974. — 15. — P.217−243..

49. Bhatia R. How and why to solve the operator equation AX — XB = Y / R. Bhatia, P. Rosenthal //Bull. London Math. Soc. 1997. — 29. -P.l-21..

50. Beurling A. Un theoreme sur les fonctions bornees et uniformement continues sur Paxe reel / A. Beurling //Acta Math. 1945. — 77. — P. 127 136..

51. Bohner S. Beit trage zur Theorie der fastperiodischen Functionen. I Teil / S. Bohner //Math. Ann.- 1926. 96. — P.119−147..

52. Bohr H. Ein allgemeinerung Satz uber die Integration eines trigonoinetrischen Polynomials / H. Bohr //Prace Math. Fiz. 1935. — № 43. — S.273−288..

53. Domar Y. Harmonic analysis based in certain commutative Banach algebras/ Y. Domar // Acta Math.-1956.-96.-P. 1−66..

54. Domar Y. Three spectral notions for representations of commutative Banach algebras/ Y. Domar, L.-A. Lindahl//Ann. Inst. Fourier.-1975.-25.-№ 2.-P. 1−32..

55. Eberlein W. F. Abstrack ergodic theorems and weak almost periodic functions / W. F. Eberlein // Trans. Am. Math. Soc.- 1949. 67. -P.217−240..

56. Favard J. Application de la formule sommatoire d’Euler a la deinonsration de quclques propertietes extremales des integrates des fonctions peeriodiques on presque-periodiques / J. Favard //Mat. Tidskr.-1936. P. 81−95..

57. Foias C. Spectral maximal spaces and decomposable operators in Banach space / C. Foias //Arc. Math.- 1963.-14. P. 341−349..

58. Herz C. S. The spectral theory of bounded functionen / C. S. Herz // Trans. Am. Math. Soc.- 1960. 94. — P.181−232..

59. Huang S.-Z. Spectral theory for non-quasianalytic representation of locally compact Abelian groups / S.-Z. Huang.- Ph.D. Thesis, 1995..

60. Loomis L. H. Spectral characterezation of almost periodic functions / L. H. Loomis //Ann. Math. 1960. — 72. — № 2.-P.362−368..

61. Lyubich Y. I. Introduction to the theory of Banach Representations of Groups / Y. I. Lyubich.- Birkhauser-Verlag, 1988..

62. Rudin W. Fourier analisys on groups/W. Rudin.- New York: Int. Publ., 1962..