Мультипликаторы и наилучшие приближения по системам Виленкина

Актуальность темы

.

Данная работа посвящена преобразованиям рядов по мультипликативным системам с диагональной матрицей (такие преобразования называют мультипликаторами), а также односторонним и двусторонним оценкам наилучших приближений по этим системам. В качестве приложения теории мультипликаторов получаются результаты о Л —суммируемости рядов Фурье.

Первым примером мультипликативных ортонормированных систем явилась система Уолша, введенная американским математиком Дж. Уолшем [63] в 1923 году. В 1947 году Н. Я. Виленкин [11] изучил системы характеров коммутативных компактных нульмерных групп со второй аксиомой счетности. При отображении на отрезок эти системы характеров переходят в мультипликативные системы ортонормированных функций, которые часто называют по имени Н. Я. Виленкина. Иногда их называют системами Дж. Прайса, который в работе [54] определил их в более общей ситуации. Теория рядов по системе Уолша и по мультипликативным системам активно развивалась в СССР, Венгрии, США, Японии, КНР и в других странах. Помимо того, что эти системы представляют большой теоретический интерес, с конца 60-х годов они активно используются в сжатии информации. В СССР такие разработки велись школой A.B. Ефимова в Зеленограде. Вклад советских математиков в данную теорию достаточно полно отображен в монографии Б. И. Голубова, A.B. Ефимова и В. А. Скворцова [14], в то время как многие работы венгерских и американских математиков изложены в монографии Ф. Шиппа, У. Уэйда и П. Шимона [59].

Ряд вопросов теории рядов по мультипликативным системам разработан достаточно подробно. К ним относятся равномерная сходимость (К. Оневир, Д. Ватерман), абсолютная сходимость (К. Оневир, Н. Я. Виленкин и А. И. Рубинштейн, C.B. Бочкарев, Т. Квек и J1. Яп, С.С. Волосивец), теоремы единственности и близкие вопросы (В.А. Скворцов, У. Уэйд, H.H. Холщевникова, С.Ф. Лукомский), теоремы вложения (Б.И. Голубов, М. Ф. Тиман, А. И. Рубинштейн, Е.С. Смаилов). В теории приближения полиномами по мультипликативным системам имеется ряд результатов, связывающих наилучшее приближение с модулем непрерывности (в том числе обобщенной производной) (A.B. Ефимов, П. Л. Бутцер и X. Вагнер, Хе Зелин). Большое количество работ имеется по вопросу оценки приближений различными средними. Однако практически нет работ, посвященных оценкам наилучших приближений или модулей непрерывности в терминах коэффициентов Фурье (по той же системе, по которой рассматриваются наилучшие приближения). Глава 2 данной работы в определенной степени восполняет этот пробел.

Что касается теории мультипликаторов, т. е. преобразований одного пространства в другое, которые сводятся к диагональному оператору в пространстве коэффициентов Фурье, то здесь можно отметить работу Дж. Моргента-лера [53], в которой перенесен ряд классических утверждений о мультипликаторах рядов Фурье из ([16], глава 4, § 11) на случай рядов Фурье-Уолша, и ряд работ Т. Квека и Л. Япа [55],[56],[57], в основном связанных с мультипликаторами обобщенных классов Липшица. В нашей работе рассматривается ряд других постановок задач о мультипликаторах, например, задачи о мультипликаторах равномерной сходимости.

Приведем краткий обзор предшествующих результатов, в основном относящихся к тригонометрическим рядам Фурье.

Теория мультипликаторов рядов Фурье берет начало с работы М. Фе-кете [42], хотя исторически первой работой в этом направлении была работа У. Юнга [65], в которой обсуждались множители коэффициентов Фурье, преобразующие ряд Фурье функции ограниченной вариации в ряд Фурье неопределенного интеграла Лебега.

Будем говорить, что последовательность {А^^д является мультипликатором класса (Х2?г, У2-к), где Х2п, У2к— некоторые классы 27Г—периодических измеримых функций, если для любой / Е Х2ж с рядом Фурье.

00 + ^^ (а&bdquocos пх + Ьп sin пх).

2 71=1 ряд.

Л Й 00 h ^ Лп (ап cos пх + Ьп sin пх) л п= является рядом Фурье некоторой функции д Е У2-к.

М. Фекете [42] установил критерии принадлежности {Ап}^0 классам (?27Г,^2тг), (-В27г, В27г), (C2lT, C2it), (V^.Vfcr) и (^С2тг, гД6 v^td-a^tt есть пространства 27г—периодических функций, интегрируемых по Лебегу, ограниченных, непрерывных, ограниченной вариации и абсолютно непрерывных соответственно.

А. Зигмунд [67] рассматривал класс {В^^С^) и ряд подобных задач.

С. Верблюнский [62] установил критерии {А&trade-}^^ Е (Х2ж, У2п) для всех пар (Х2п, У2п), где Хгтг^тгодно из пяти перечисленных выше пространств или класс функций, интегрируемых по Риману. При этом в [62] были введены важные классы функций ограниченной вариации в среднем и функций, абсолютно непрерывных в среднем, аналоги которых используются и в данной работе.

С. Качмаж [47] обобщил ряд результатов С. Верблюнского на случай ½тг> V > 1) вместо ?4, изучавшегося в [62]. Следует отметить, что С. Верблюнский вместо использования понятия меры или ряда Фурье-Стилтьеса предпочитал записывать свои результаты в терминах проинтегрированных рядов оо ,.

ЕЛп ¦ sm пх. п.

М.Г. Скворцова [28] изучала мультипликаторы вида (5, У^тг) > где S— класс рядов Фурье-Стилтьеса, а Угтглибо одно из указанных выше пространств, либо некоторый класс Липшица. Позже она в [30] перенесла ряд результатов С. Качмажа [47] на случай пространств Орлича Lf^. Кроме того, был получен ряд обобщений, связанных с изучением вариации второго порядка и классов Липшица-Зигмунда 2-го порядка, а также с результатами из [28]. Эта тематика была развита М. Г. Скворцовой также в [29]. Важную роль в её исследованиях играют критерии принадлежности функции определенному классу через средние Фейера её ряда Фурье.

В качестве пространства Y2п можно рассматривать пространство UC2n непрерывных функций с равномерно сходящимися рядами Фурье. Первая работа такого рода принадлежит М. Томичу [60], который доказал, что для квазивыпуклой последовательности {Ап}^0 условие {An}^L0 Е [C2-K)UC2тг) равносильно соотношению lim п In п = 0. п—"00.

Й. Карамата [48] дал критерий {An}n=0 Е (С27Т, UC2-n) через ограниченность.

2тг.

А0 ^^ Afc cos kt к=1 dt.

Его результат был обобщен Гёзом [45] в различных направлениях. Во-первых, были установлены критерии {Ап}^=0 е {Ь27Г, иС27Г) при 1 ^ р < оо п=о и {Ап}^°=0 Е (Lt, UC27r) при выполнении А2—условия на функцию Ф. Вовторых, для Х2п = ¿-2тг> 1 ^ V < 00 >^2тг = с2тг или Х2ж = Ь27П где Ф удовлетворяет А2—условию, было получено равенство (Х27Т, иС27Т) = (Ь1, (Х|7Г)П) где (Х2п^)п—подпространство сопряженного пространствах^, для элементов которого ряды Фурье сходятся по норме Х2ж. Наконец, при 1 < р < оо, Г. Гёз получил равенство (ЬР27Т, 1/С27Т) = (Ьр2п, Ь.

Р. Воянич [40] дал достаточное условие для {Ап}^=0 е (Н2ж, 11С2тг), где Н&- = {/ е С21Х: и>(/, 5) ^ Си (д), 6 е [0, 2тг]}.

Ф. Харшиладзе [34] перенес теорему Р. Боянича на случай класса непрерывных функций, таких, что En (f)оо = О (uj где.

En (f)оо = inf{||/ - tn\C[0,2K} ¦ tn Е Тп}, а Тп — пространство тригонометрических полиномов порядка не выше п.

В работе [35] он же изучил общие свойства пространств (Х^.)п (полнота, равномерная непрерывность нормы) и получил критерий для {А^}^ Е (№*)"> UCto) = ({Х2п)п, {С2п)п)) • В частности, был найден критерий для {An}^L0 Е (UC2тг, ис2тг)) и доказано, что S С (UC2lT, UCW)). Наконец, в [36] им были установлены критерии для {An}^0 Е (Lip (l), UC27V)) и {An}^0 Е (V, C/CW)).

В работе [60] М. Томич дал достаточное условие для принадлежности квазивыпуклой последовательности {Ап}^ пространству (Н^МС^)). Р. Де-вор [41] также для квазивыпуклой последовательности {Ап}^10 установил критерий {Ап}^°=0 Е (h27r, иС2ж)), где = {/ Е С2ж: u (f, o) = о (а-(<5))}.

С.А. Теляковскому [32] удалось распространить этот результат на пространство (H^, UC2n)): квазивыпуклая последовательность {Ап}^10 принадлежит (#27,., UC2л-)) тогда и только тогда, когда lim Anu-(l/n) Inn = 0. п—>оо.

Идея использования {Ап}^ из достаточно широкого класса оказалась весьма плодотворной. Так, С. А. Теляковский [33] доказал:

Пусть является последовательностью косинус—коэффициентов.

Фурье—Стилтьеса, т. е. справедлива оценка.

2?Г 4 (А к У.

Y^ (у +^2iCosit ] dt — 0(п). fc=1 г=1 J.

Тогда для {An}n=0 G (Щ^, UC2л-)) необходимо и достаточно, чтобы.

2тг.

Игл í-ü-(l/п) п—>00.

Лг ^ Аг eos it г=1 dt = 0.

Далее эта идея развивалась учеником С. А. Теляковского В.Р. Почуевым [27]. Для изучения мультипликаторов класса [Щ, иС2тт)), где Щ = {/ Е 2>2тг: ^ С^!^))}) он рассматривал {Ап}^, являющиеся коэффициентами Фурье функций из В^п. Помимо иСч-п в [27] рассматривалось пространство рядов Фурье с равномерно ограниченными частными суммами.

Близкой к проблеме мультипликаторов типа (Х2П, (Угтг)") является проблема определения классов матриц {Апг}^°г=0 (чаще всего треугольных), таких, что соответствующие средние.

•гОаО оо ^ Ато (аг eos гх + Ьг sin гх).

0.1) г= сходятся по норме У^, если ряд оо а0 {аг cos ix + Ьг sin гх) г=1 является рядом Фурье функции /(х) Е Х2-п.

Общий критерий равномерной сходимости нижнетреугольных сумм к непрерывной функции был доказан С. М. Никольским [26] и состоял из двух условий:

2тг lim Хкп = 1 и п.

— + Afcn cos kt к=i dt С М,.

0.2) где (Ano = 1). Если первое из этих условий легко проверяемо, то про второе этого сказать нельзя. Поэтому некоторое количество работ было посвящено уточнениям и обобщениям данного результата. Так, сам С. М. Никольский [26] упростил условие (0.2) для случая выпуклости конечной последовательности п0> • • •?^пп •.

В работе [49] Й. Карамата и М. Томич для так называемого перманентного прямоугольного метода, суммирующего ряд Фурье непрерывной функции в каждой точке, дали критерий равномерной сходимости сумм (0.1) к соответствующей функции /. М. Томич [61] установил ряд достаточных условий для сходимости сумм (0.1) при условии / е.

Наконец, М. Катаяма [50] обобщил результат Й. Карамата—М. Томича на случай / е Ц, п, причем случай р — 1 оказался отличным от случая р е (1,00).

Кроме классов Щ27Г вызывают интерес классы и их аналоги, задаваемые модулями непрерывности более высоких порядков. Для их связь с последовательностями наилучших приближений достаточно полно описана в статье Н. К. Бари и С. Б. Стечкина [10]. Там же были введены классы функций типа модуля непрерывности ВиВ^и даны их эквивалентные описания.

Интересным вопросом является также нахождение условий на коэффициенты Фурье, позволяющие оценить сверху или снизу модули непрерывности или наилучшие приближения в равномерной или одной из интегральных метрик. В равномерной метрике оценка сверху равномерного наилучшего приближения синус—рядов.

00 ,.

Е0п. БШ ПХ, п п=1 где Ьп [ 0 была получена Н. К. Бари [9]. Там же была получена оценка снизу 00 для.

00 х) = ап сов пх,.

71=1 где ап > 0.

A.A. Конюшков [21] получил оценку сверху наилучшего приближения в ½тг> 1 < р < оо, суммы косинус— или синус—ряда при условии, что их коэффициенты ап удовлетворяют свойствам апп~т т ^ 0, и lim ап = 0. Будем п—>00 писать в таком случае {^п}^? А-, т ^ 0. Если аппт f при некотором г > О и lim ап = 0, то будем писать {аЛ00 Е А-т. Это условие в других целях.

П—>00 L J было введено Г. К. Лебедем [24]. Наконец, если lim а&bdquo- = Ои п—>оо.

00 cik+i ^ Сап к=п для всех п Е N, то последовательность {ап}&trade-=1 удовлетворяет условию RBVS, введенному Л. Лейндлером [51].

С. Алянчич [38] получил оценку сверху для u>(f, o) p, 1 < р < оо, в случае убывающих косинус— или синус—коэффициентов Фурье. Большое количество оценок такого рода можно найти в работе В. М. Кокилашвили [20].

A.A. Конюшков [21] получил ряд результатов об эквивалентности О— и х— соотношений для коэффициентов Фурье, их весовых сумм и наилучших приближений в случае {ап.

Ci G An т ^ 0. Л. Лейндлер [52] дополнил их и доказал для случая {ап}^11 € RBVS. Цель работы.

Целью данной диссертационной работы является решение следующих за= дач:

1. Описать подпространства, в которых ряд Фурье по мультипликативной системе сходится по норме большего пространства и дать приложения общей теории к конкретным пространствам мультипликаторов;

2. Охарактеризовать поведение поведение рядов Фурье—Виленкина бо-релевских мер и получить аналоги результатов С. А. Теляковского и В. Р. Почуева для мультипликативных систем;

3. Получить описание классов мультипликаторов из пространств Орлича и Лоренца в пространства обобщенно непрерывных функций и функций ограниченной вариации;

4. Найти условия принадлежности классам с заданной последовательностью наилучших приближений по системам Виленкина в терминах коэффициентов Фурье по этим системам. Получить аналоги теорем A.A. Ко-нюшкова и JI. Лейндлера об эквивалентности О— и х—соотношений;

5. Найти условия равномерной сходимости средних рядов Фурье—Виленкина, полученных с помощью общих матричных преобразований;

6. Найти условия равномерной А— суммируемости рядов Фурье функций некоторых классов и условия А— суммируемости в L1 для функций класса L1.

Методы исследования.

При решении поставленных задач применяются общие методы функционального и действительного анализа, теории приближений и методы теории ортогональных рядов.

Научная новизна.

Все основные результаты являются новыми. В работе доказаны критерии для мультипликаторов равномерной сходимости рядов Фурье по мультипликативным системам для некоторых пространств. Получены необходимые и достаточные условия принадлежности последовательностей {Ап}^0 классу (X, У), где в качестве X берутся пространства L359, В, L1, а в качестве У— пространства НВ, MC, а также пространства V и АС функций ограниченной вариации и абсолютно непрерывных функций на [0,1) — получены необходимые и достаточные условия равномерной А—суммируемости рядов.

Фурье функций из пространств Орлича и Ь1, а также критерии равномерной А—суммируемости и А—суммируемости на группе С. Получены также некоторые следствия для матриц с обобщенно-монотонными коэффициентами. В работе доказаны аналоги критериев Теляковского и Почуева о мультипликаторах равномерной сходимости и сходимости в интегральной метрике для мультипликативных систем с ограниченной образующей последовательностью.

Практическая ценность.

Основные результаты работы носят теоретический характер и могут найти применения в теории ортогональных рядов, теории приближений, гармоническом анализе. Они могут быть также использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистрантов и аспирантов.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры теории функций и приближений и научно-практических конференциях сотрудников Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики, механики и их приложения» (Саратов, 2007, 2009, 2010), на 13-ой Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2006), на 15-ой Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения посвящённой 125-летию со дня рождения В. В. Голубева и 100-летию СГУ (Саратов, 2010).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в работах [2−8, 13]. В работе [13] научному руководителю принадлежит постановка задачи, в работе [8] руководителю принадлежит постановка задачи и теоремы 3 и 4, не вошедшие в данную диссертацию.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содер

1. Агаев, Г. Н. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах / Г. Н. Агаев, Н. Я. Виленкин, Г. М. Джафарли, А. И. Рубинштейн, — Баку: Элм, 1981.

2. Агафонова, Н. Ю. О мультипликаторах рядов борелевских мер / Н. Ю. Агафонова // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. Сб. научн. тр. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 4. — С. 3−10.

3. Агафонова, Н. Ю. О наилучших приближениях функций по мультипликативным системам и свойствах их коэффициентов фурье / Н. Ю. Агафонова // Analysis Math. 2007. — Т. 33, № 4. — С. 247−262.

4. Агафонова, Н. Ю. О равномерной сходимости преобразованных рядов фурье по мультипликативным системам /Н.Ю. Агафонова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика, Механика, Информатика. — 2009. — Т. № 9. Вып. 1. — С. 3−8.

5. Агафонова, Н. Ю. Л—суммируемость и мультипликаторы классов гёльдера рядов фурье по системам характеров / Н. Ю. Агафонова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика, Механика, Информатика.— 2011. — Т. № 11. Вып. 2. — С. 3−8.

6. Агафонова, Н. Ю. Мультипликаторы сходимости по норме рядов по мультипликативным системам / Н. Ю. Агафонова, С. С. Волосивец // Математические заметки. — 2007. — Т. 82, № 4. — С. 483−494.

7. Бари, Н. К. О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух сопряженных функций / Н. К. Бари // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1955. — Т. 19. — С. 285−302.

8. Волосивец, С. С. О некоторых условиях в теории рядов по мультипликативным системам / С. С. Волосивец // Analysis Math. — 2007. — Т. 33, № 3. С. 227−246.

9. Голубое, Б. И. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения / Б. И. Голубов, А. В. Ефимов, В. А. Скворцов. — М.: Наука, 1987.

10. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, — М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

11. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд. — М.: Мир, 1965. — Т. 1.

12. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов.— М.: Наука, 1977.

13. Качмаж, С. Теория ортогональных рядов / С. Качмаж, Г. Штейнгауз. — М.: Физматгиз, 1958.

14. Кашин, Б. С. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. А. Саакян. — М.: Наука, 1984.

15. Кокилашвили, В. М. О приближении периодических функций / В. М. Кокилашвили // Труды Тбилисского матем. института.— 1968. — Т. 34.-С. 51−81.

16. Конюшков, А. А. Наилучшее приближение тригонометрическими полиномами и коэффициенты фурье / А. А. Конюшков // Мат. сборник. — 1958. Т. 44, № 1. — С. 53−84.

17. Красносельский, М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича / М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий. — М.: Физматгиз, 1958.

18. Крейн, С. Г. Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семенов. — М.: Наука, 1974.

19. Лебедь, Г. К. О тригонометрических рядах с коэффициентами, удовлетворяющими некоторым условиям / Г. К. Лебедь // Мат. сборник. — 1967. Т. 74, № 1. — С. 100−118.

20. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон. — М.: Наука, 1974.

21. Никольский, С. М. О линейных методах суммирования рядов фурье / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1948. — Т. 12, № 3. -С. 259−278.

22. Почуев, В. Р. О множителях равномерной сходимости и множителях равномерной ограниченности частных сумм рядов фурье / В. Р. Почуев // Изв. вузов. Сер. Математика. — 1977. — № 1. — С. 74−81.

23. Скворцова, М. Г. Некоторые новые теоремы о преобразованиях рядов фурье при помощи множителей / М. Г. Скворцова // Уч. записки Ленинградского педагог, института им. А. И. Герцена — 1956. — Т. 125. — С. 197−205.

24. Скворцова, М. Г. Мультипликаторы. рядов фурье / М. Г. Скворцова // Сиб. матем. журнал. 1969. — Т. 10, № 1. — С. 135−143.

25. Скворцова, М. Г. Мультипликаторы рядов фурье классов орлича / М. Г. Скворцова // Изв. вузов. Математика. — 1969. — № 1. — С. 78−88.

26. Стейн, И.

Введение

в гармонический анализ на евклидовых пространств / И. Стейн, Г. Вейс. — М.: Мир, 1974.

27. Теляковский, С. А. Квазивыпуклые множители равномерной сходимости рядов фурье с заданным модулем непрерывности / С. А. Теляковский // Матем. заметки. 1970. — Т. 8, № 5. — С. 619−623.

28. Теляковский, С. А. О множителях равномерной сходимости рядов фурье функций с заданным модулем непрерывности / С. А. Теляковский // Матем. заметки. 1971. — Т. 10, № 1. — С. 33−40.

29. Харшиладзе, Ф. И. Множители равномерной сходимости и равномерная суммируемость / Ф. И. Харшиладзе // Труды Тбилисского матем. инта. 1959. — Т. 26. — С. 121−130.

30. Харшиладзе, Ф. И. Множители равномерной сходимости / Ф. И. Харшиладзе // Труды Тбилисского матем. ин-та. — 1960. — Т. 27. — С. 195— 208.

31. Харшиладзе, Ф. И. О множителях равномерной сходимости и прямоугольных матрицах суммирования рядов фурье / Ф. И. Харшиладзе // Труды Тбилисского матем. ин-та. — 1961. — Т. 84. — С. 127−141.

32. Эдварде, Р. Ряды Фурье в современном изложении / Р. Эдварде, — М.: Мир, 1985. Т. 2.

33. Aljancic, S. On the integral moduli of continuity in Lp of Fourier series with monotone coefficients / S. Aljancic // Proc. Amer. Math. Soc.— 1966.— Vol. 17, no. 2. Pp. 287−294.

34. Aljancic, S. Uber die Stetigkeitsmodul von Fourier—Reihen mit monotonen Koeffizienten / S. Aljancic, M. Tomic // Math. Zeitschr.- 1965.-Vol. 88, no. 3. Pp. 274−284.

35. Bojanic, R. On uniform convergence of Fourier series / R. Bojanic // Acad. Serbe Sei. Publ. Inst. Math. 1956.-Vol. 10. Pp. 153−158.

36. DeVore, R. Multipliers of uniform convergence / R. DeVore // L’Enseign. Math. 1968. — Vol. 14. — Pp. 175−188.

37. Fekete, M. Uber die Faktorfolgen welche die «klasse» einer Fourierschen Reihen unverandert lassen / M. Fekete // Acta Sei. Math. — 1923. — Vol. 1, no. 1. Pp. 148−166.

38. Fine, N. J. Fourier—Stielties series of Walsh functions / N. J. Fine // Trans. Amer. Math. Soc1957. Vol. 86, no. 1. Pp. 246−245.

39. Finet, C. Fourier series and their generalizations in Orlicz spaces / C. Finet, G. E. Tkebuchava // J. Math. Anal. Appl- 1998. Vol. 221, no. 2,-Pp. 405−418.

40. Goes, G. Multiplikatoren fur starke Konvergenz von Fourierreihen.I. / G. Goes // Studia Math. 1958. — Vol. 17, no. 3. — Pp. 299−308.

41. Hunt, R. A. On L (p, q) spases / R. A. Hunt // L’Enseignement Math.— 1966. Vol. 12, no. 4. — Pp. 249−276.

42. Kaczmarz, S. On some classes of Fourier series / S. Kaczmarz //J. London Math. Soc. 1933. — Vol. 8. — Pp. 39−46.

43. Karamata, J. Suite de fonctionelles lineares et facteurs de convergence des series de Fourier / J. Karamata // J. Math. Pure Appl. — 1956. — Vol. 35. — Pp. 87−95.

44. Karamata, J. Sur la summation des series de Fourier des fonctions continues / J. Karamata, M. Tomic // Acad. Serbe Sei. Puhl. Inst. Math.— 1955. — Vol. 8. Pp. 123−138.

45. Katayama, M. Fourier series. XIII. Transformation of Fourier series / M. Katayama // Proc. Japan. Acad.— 1957.— Vol. 33, no. 2.— Pp. 7578.

46. Leindler, L. On the uniform convergence and boundedness of a certain class of sine series / L. Leindler // Analysis Math.— 2001.— Vol. 27, no. 4.— Pp. 279−285.

47. Leindler, L. Best approximation and Fourier coefficients / L. Leindler // Analysis Math. 2005. — Vol. 31, no. 2, — Pp. 117−129.

48. Morgenthaler, G. W. On Walsh—Fourier series / G. W. Morgenthaler // Trans. Amer. Math. Soc.- 1957. Vol. 87, no. 2, — Pp. 452−507.

49. Price, J. J. Certain group of orthonormal step functions / J. J. Price // Canad. J. Math. 1957. — Vol. 9, no. 3. — Pp. 413−425.

50. Quek, T. S. Multipliers from L{G) to a Lipschitz space / T. S. Quek, L. Y. H. Yap // J. Math. Anal. Appl- 1979. Vol. 69, no. 2. — Pp. 531−539.

51. Quek, T. S. Multipliers from Lr (G) to a Lipschitz—Zygmund class / T. S. Quek, L. Y. H. Yap // J. Math. Anal. Appl- 1981. Vol. 81, no. 1,-Pp. 278−289.

52. Quek, T. S. Multipliers from one Lipschitz space to another / T. S. Quek, L. Y. H. Yap // J. Math. Anal. Appl- 1982. Vol. 86, no. 1. — Pp. 69−73.

53. Rudin, W. Fourier analysis on groups / W. Rudin. — N. Y.: John Wiley and Sons, 1967.

54. Schipp, F. Walsh series. An introduction to dyadyc analysis / F. Schipp, W. R. Wade, P. Simon. — Budapest: Akademia Kiado, 1990.

55. Tomic, M. Sur les facteurs de convergence des series de Fourier des fonctions continues / M. Tomic // Acad. Serbe Sei. Puhl Inst. Math. — 1955. — Vol. 8. Pp. 23−32.

56. Tomic, M. Sur la sommation de la serie de Fourier d’une fonction continue avec le module de continuite donne / M. Tomic // Acad. Serbe Sei. Publ. Inst. Math. 1956. — Vol. 10. — Pp. 19−36.

57. Verblunsky, S. On some classes of Fourier series / S. Verblunsky // Proc. London Math. Soc.- 1932. Vol. 33. — Pp. 287−327.

58. Walsh, J. L. A closed set of normal orthogonal functions / J. L. Walsh // Amer. J. Math. 1923. — Vol. 45. — Pp. 5−24.

59. Watari, C. On generalized Walsh—Fourier series / C. Watari // Tohoku Math. J. 1958. — Vol. 10, no. 3. — Pp. 211−241.

60. Young, W. H. On the Fourier series of bounded functions / W. H. Young // Proc. London Math. Soc. 1913.-Vol. 12, — Pp. 41−70.

61. Young, W. S. Mean convergence of generalized Walsh—Fourier series / W. S. Young 11 Trans. Amer. Math. Soc.- 1976. Vol. 218, no. 2. — Pp. 311−320.

62. Zygmund, A. Sur un theoreme de M. Fekete / A. Zygmund // Bulletin de l Academie Polonaise. 1927. — Pp. 343−347.