Предельные теоремы для марковских цепей на однородных деревьях

В последнее время при изучении спиновых систем на решетках в теории фазовых переходов математической статистической физики и прилегающих к ней областях теории вероятностей, в первую очередь в теории марковских случайных полей, проявляется интерес к решеткам, имеющим иную топологическую структуру чем классические решетки Ж. (Григорчук [7], Темпельман [24], Лунд и др. (j6j). Теоретический аспект этих исследований состоит в перенесении ряда строгих результатов математической статистической физики, в стиле, например, работ Рюэля ?21], Синая[23], Добру-шина (9, I0J, на случай систем с группой симметрий произвольного вида. Указанные исследования имеют и некоторый прикладной интерес, например, в теории полимеров, где в ряде случаев полимерные цепочки (Кучанов [l5|) представляют графы со сложной топологической структурой. Особое место в этой области заняли однородные деревья, из всех вершин которых выходит равное конечное число реберв физической лиетратуре такие графы называют деревьями Кэли или деревьями Бете, в математической литературе — это частный случай деревьев Брюа-Титса. С точки зрения моделей статистической физики на группах (Григорчук [?J) однородные деревья с четным числом ребер, выходящих из всех вершин, являются графами свободной группы с соответствующим числом образующих.

Для гиббсовских полей со взаимодействием соседей на однородных деревьях для двухточечного спинового пространства, то есть фактически в модели Изинга, была практически до конца решена задача единственности гиббсовского поля (Домб [зо], Спитцер

44], Престон J4l]) и вычислена предельная удельная свободная энергия (Мюллер-Хартман и др. ][39, 4 б]). Марковская структура переходных вероятностей модели Изинга на деревьях.

Спитцер [44″ ]) позволила свести указанные задачи к изучению марковских цепей на деревьяхэти цепи определяются аналогично марковским цепям на решетке целых чисел, являющейся примером «вырожденного» однородного дерева. Уже после работ автора по теме диссертации [2,3*] вышла статья ZctcftcLt^ [45] о марковских случайных полях на деревьях, нобязательно однородных, со счетным числом возможных значений спиновой переменнойв этой статье обобщены результаты Спитцера [44] и Престона [4l] для однородных деревьях в направлении исследований для марковских случайных полей на решетке целых чисел, содержащихся в работах Кэлли J35J, Кестена [37], Спитцера [43] .

Марковские цепи на деревьях являются обобщением обычных марковских цепей с дискретным временем. Возможность соединить две вершины на дереве единственным несамопересекающимся путем по ребрам позволяет определять распределения цепей в виде отдельных переходов от спина к спину, находящемуся на одном ребредля графов с циклами такая конструкция непосредственно неосуществима. Марковские цепи на деревьях являются с одной стороны марковскими случайными полями [45]), с другой стороны — это специфический класс гиббсовских полей со взаимодействием соседей. В отличие от работ Спитцера [44], Престона [41 J и Яачу [45] в диссертации марковские цепи на деревьях рассматриваются в плане их принадлежности к классу гиббсовских полей с заданными гамильтонианом и базовой мерой. В диссертации рассматриваются две задачи для таких марковских цепей: задача восстановления цепи по ее условным распределениям и задача исследования асимптотического поведения функционалов типов суммарного спина от этих процессов. Несмотря на постановку задач?'в стиле статистической физики у них имеются точные аналоги в теории марковских процессов: для первой задачи — это построение границы Мартина и близких к ней объектов (границы вход-выход, эргодического разложения), для второй задачиэто исследование аддитивных функционалов, в частности, в направлении центральной предельной теоремы. Другой особенностью постановки задач от работ Престона £4зГ}, Спитцера ?44] и Zijcfe’Z.tJ J45] является рассмотрение спинового пространства общего вида. В заклнчении этого краткого введения отметим, что и результаты, полученные в указанных выше задачах, имеют некоторый характер результатов статистической физики в плане существования у них фазового перехода, понимаемого как существен ное изменение поведения гиббсовского поля или функционалов от него в зависимости от варьирования параметров задачи. Для задачи восстановления марковской цепи по гамильтониану фазовый переход состоит в единственности-неединственности решениядля изучения суммарного спина от поля — это гауссовость-негауссо-вость предельного распределения.

Пусть % - бкомпактное метрическое пространство, & -bалгебра борелевских подмножеств зе, 1-Ad") — однородное дерево, из всех вершин которого выходит /И+4. ребро В первой главе диссертации рассматриваются гиббсовские поля со значениями в Ж, гамильтонианом взаимоднйствия.

Н (ссдЬ -§• I’UCa^ij) (i) и базовой мерой на (^(OQ-j^d.), где непрернвная ограниченная функция, ТТфс., и) = T7(tj, Ос) f CCq^ -спин частицы CLQ, А, суммирование в идет по всем парам соседей & и &, то есть вершинам d и & соединенным ребром. Обозначим множество гиббсовских мер на 3S соответствующих потенциалу взаимодей ствия UOj*) и базовой мере yt (точное определение см. § 1 главы I). При помощи гамильтониана (I) и меры ft. задаются лишь условные распределения поля (Престон [42], Синай [23]) и задача состоит в том, чтобы описать сами поля и в первую очередь их существование и единственность. Для частного случая Эь>л указанная задача была решена в работах Престона J4l] и Спитцера JmJ, с тем исключением, что в работе [44] условные распределения задавались не гамильтонианом, а условными распределениями марковской цепи.

В общем случае, также как в работах Спитцера [44] и ZdcftQXQ [45], удобно ввести класс марковских цепейв § 1 определяются некоторые марковские цепи, задаваемые набором одномерных плотностей рЛ (Х>, аёА и набором плотностей переходных вероятностей от спина к соседнему спину C^'tf)* (X & A t? G, А (плотности берутся по отношению к мерам.

Ofc) И 2 *?()%>).

В § 2 главы I описаны все марковские цепи, лежащие в, а именно, показано, что с каждой такой цепью связан набор функ-яи® (Ф {a, i>l «& сосед 8), удовлетворяющих бесконечной системе функциональных соотношений, определяемых мерой и потенциалом U. Наиболее просто этот результат выглядит для марковской цепи, инвариантной относительно всех изоморфизмов дерева A t с параметрами faO^pOX OL G, А, 0'0 в 5 ' - такая цепь лежит в тогда и только тогда, когда найдется положительная функция pi R такая, что m+L.

С= J fc)#cfx)<00 — (2) X у, (Jx) -почти всюду ^jexp{-u (x^)l- (3) при этом «Z .

В § 3 доказывается непустота класса «а именно, в сделанных выше предположениях о мере ft и потенциале У классу всегда принадлежит некоторая марковская цепь, инвариантная относительно всех изоморфизмов дерева Л. Полученный факт существования аналогичен результату Спитцера {44] для спинового пространства из двух точек. После того, как установлена непустота множества * применим способ построения всего класса при помощи ]5выбора граничных условий (Престон ?42], Розанов [20]). В следующей теореме § 3 показано, что все крайние поля в являются марковскими цепями, одномерные и переходные плотности которых непрерывны и равномерно отделены от нуля и бесконечности. Эта теорема показывает существенную значииость марковских цепей для класса.

ЛXV, у). Ранее близкие результаты были получены на решетке целых чисел в работах Кестена [зт] и Спитцера [кз], а также в работе zfocftciZL^ [аь} на деревьях для спинового пространства из счетного числа точек.

Следующий § 4 посвящен вопросу единственности гиббсовского поля. На базе результатов § 3 выведен некоторый критерий единственности гиббсовского поля с заданными гамильтонианом (I) и мерой ft .На основе этого критерия показано, что найдется.

§ > О такое, что душ произвольного потенциала «U, удовлетворяющего неравенству? &, гиббсовское поле единственно. В статистической физике (Синай [*23^, Рюэль [21]) обычно рассматривается не один гамильтониан И, а семейство гамильтонианов Н тр, параметризованное температурой Т7, при этом потенциал имеет вид «^r Uj) и с ростом Т7, очевидно, стремится к нулю. Поэтому приведенный результат о единственности поля естественно интерпретировать как высокотемпературную единственность, хорошо известную в статистической физике для классических систем (Рюэль [2l], Синай [23Д, Добрушин [9] I. В § 4 доказан также полезный результат для исследования единственности гиббсовского поля: множество состоит более чем из одной точки тогда и только тогда, когда во множестве ьП» Р>ТО лежит бесконечное число марковских цепей. Данный результат обобщает на случай общего фазового пространства исследования Спитцера [44] для двухточечного фазового пространства.

В § 5 главы I приводится пример одного класса гиббсовских полей на деревьях со значениями в компактных топологических группах с потенциалом I/, инвариантным относительно действия группы на себе сдвигами, и мерой, являющейся нормированной мерой Хаара. Показано, что система условных распределений Гиббса в связных объемах, А при свободных граничных условиях согласована и, тем самым, определяет гиббсовскую меру из, эта мера может быть получена следующим образом: найдутся случайные элементы А) со значениями в, независимые между собой и такие, что для некоторой вершины, А величина ^ имеет распределение, а, имеют одинаковое распределение, зависящее от U, при этом величины для рассматриваемого поля получаются по правилу ^ «.

— где ап-1>а1 вершины дерева, последовательно проходимые на кратчайшем пути из в (Z. Такая структура гиббсовского поля была отмечена для модели Изинга без внешнего поля в работе (Беляев £з]). В этом же параграфе приводятся два примера, показывающих, что в зависимости от модели в классе ^(Pif) может содержатся как конечное, так и бесконечное (континуум) марковских цепей, инвариантных относительно всех изоморфизмов дерева, А .

В §§ главы I результаты о единственности § 4 применяются для исследования ферромагнитной модели Изинга, которая определяется спиновым пространством (, мерой, потенциалом Upjb^cy, гдеоо<^<�со ,.

Показано, что имеется функция S (j>), такая, что класс гиббсовских полей модели Изинга состоит из единственной меры в области вне этой области при jtfifi'' 7 Ijulимеется два крайних поля, инвариантных относительно всех изоморфизмов, А, при полей указанного вида три. В формулировке этого результата величина ?($) находится как корень квадратного уравнения относительно^, коэффициенты которого зависят от ttb — числа ребер, выходящих из всех вершин, А. Тем самым получено численное решение для проблемы фазового перехода в модели Изинга на дереве A (j71). Ранее без численных значений этот результат был получен Спитцером [44) — параметризация полей через (j^jU) в ферромагнитном случае позволила осуществить программу Престона ]4l] и Спитцера [44] до конца — в этих работах jil, 44] единственность гиббсовского поля была сведена к единственности положительного решения некоторого алгебраического уравнения.

После того, как построены марковские цепи и гиббсовские поля, естественно изучать предельное поведение функционалов от них. Наиболее просто выглядят функционалы типа суммарного спина от этих полей, имеющие вид £Л (?), где случайный спин вершины.

— фиксированная функция, a — некоторая последовательность объемов 1/Jx С, А. Выбор последовательности Vjcl и аналитических свойств вероятностной меры jP будут вполне определять свойства последовательности Syi. Глава 2 диссертации посвящена, в частности, изучению случая, когда объемы состоят из вершин, удаленных от фиксированной на YI ребер, а мера jP является марковской цепью, инвариантной относительно всех изоморфизмов дерева, А. Однако, основу главы 2 диссертации составляют предельные теоремы для аддитивных функционалов от надкритических марковских процессов с ветвлениемизучение функционалов Syi (.5) сводится в главе 2 к изучению функционалов именно от процессов, указанных выше.

Суть ситуации состоит в следующем: с точки зрения теории ветшщихся процессов (Севастьянов [22], Икеда и др. [34]) марковские цепи, введенные в главе I, являются частным случаем ветвящихся процессов, в которых учитывается информация о генеалогической структуре развития процесса, причем полученные процессы оказываются, вообще говоря, неоднородными. При переходе к аддитивным функционалам 2>yi (?) генеалогическая информация марковской цепи перестает играть существенную роль, главным становится суммарное число частиц разных типов в «Yb „-ом поколении процессапри этом всегда можно подобрать такой марковский процесс с ветвлением в смысле определения работ Икеды и др. [34] и функционал от него, имеющий с У“) одинаковое распределениедля ситуации, инвариантной относительно всех изоморфизмов дерева, А, эта процедура проведена в § II. В полученном марковском процессе с ветвлением каждая частица при делении порождает ровно YYI потомков и потому процесс является надкритическим. Функционал, поставленный в соответствие, имеет аддитивный вид и равняется сумме значений функции от всех по» 1Л «ложений частиц пго поколения процессатакие функционалы являются более общими функционалами, чем число частиц, лежащих в фиксированной области, и отражают средние характеристики конфигураций расположения частиц в пространстве типов (в нашем случае это будет спиновое пространство <ЗС). Первоначально функционалы такого вида в работах автора (Беляев f2,3j) исследовались именно методом моментов в ситуации с неслучайным числом потомков при делении у каждой из частиц, затем также методом моментов (Беляев, Берестова, Молчанов [б]) удалось перейти к процессам со случайными превращениями по числу потомков, однако это число было равномерно ограничено по пространству vX. В диссертации приводится более развитая техника, позволяющая формулировать результаты фактически на уровне существования двух моментов (Беляев [Д) — эта техника также появилась из рассмотрения неслучайных превращений в числе частиц уже после работы.

• Основу методики изучения аддитивных функционалов в диссертации составляет эффективное использование сходимости в среднем квадратичном.

Прежде, чем перейти к изложению результатов главы 2, остановимся на некоторых известных результатах теории надкритических марковских процессов с ветвлением. При общем подходе (Севастьянов [22]) фазовым пространством таких процессов является множество целочисленных точечных мер на некотором измеримом пространстве. Аддитивные функционалы от этих процессов являются интегралами от неслучайных функций по случайным мерам — значениям процесса и отражают средние характеристики расположения частиц в фазовом пространстве. Для аддитивных функционалов типа числа частиц в надкритическом случае хорошо известны результаты о сходимости, связанные со старшей собственной функцией полугруппы средних марковского процесса с ветвлением, содержащиеся, например, в работах Геринга [27,31,32}. В то же время, для класса функционалов, построенных по функциям со средним 0 по «инвариантной» мере процесса, эти результаты неэффективны, так как дают в пределе 0. Впервые этот вырожденный случай был рассмотрен для неразложимых процессов Гальтона-Ватсона с несколькими типами частиц, обладающих двумя первыми моментами, в работах Кестена, Стигума [Зб] и Атрэ [28^, в которых было показано, что имеется два типа-.—^{сходимости} функционалов указанного вида: сходимость в среднем квадратичном типа мартингальной и слабая сходимость к смеси гауссовских распределений со средним 0, дисперсия которых имеет распределение предельного нормированного числа частиц в процессе. Позже результаты о смешанной гауссовос-ти были доказаны для класса диффузионных ветвящихся процессов на компакте (Беляев, Берестова, Молчанов [б])(при условии равномерной ограниченности числа потомков каждой из частиц при делении.

В диссертации приводятся результаты, обобщающие результаты работ [36, 28, б] на случай общих марковских процессов с ветвлением при ограничениях лишь на младшие моменты процесса деления. Основным отличием от работ [36, 28, б] является функционально-аналитическая техника, заменившая дискретный подход работ.

37, 28] и метод моментов [б], что позволило в общем случае практически подойти к формулировке результатов на уровне двух первых моментов процесса деления.

По своей сути вопросы, излагаемые вопросы лежат на пересечении круга проблем цетральной предельной теоремы для процессов Маркова (Нагаев [14]) и теории суммирования случайного числа случайных слагаемых (Блюм и др. [2д}), так как с одной стороны рассматриваемые процессы являются марковскими, а с другой стороныаддитивные функционалы — это суммы случайного числа случайных слагаемых, только зависимых между собой. Эти факты предопределии как функционально-аналитический марковский подход, так и характер конечного результата: степень зависимости между собой типов потомков одной частицы определяет вид асимптотического поведения функционалов, выражающегося в наличии или отсутствии смешанной гауссовости предельного распределения. В этом смысле здесь имеется аналог фазового перехода задач статистической физики, что было отмечено для модели Изинга на однородных деревьях в работе автора (Беляев) при изучении суммарного спина.

Пусть J^n. j> } - марковский процесс с ветвлением с однородным по времени механизмом деления, принимающий значения в пространстве целочисленных точечных мер на «3? (точное определение см. § 7 главы 2). Будем обозначать интеграл от функции? по мере V. Аддитивные функционалы от процесса ]Uyi имеют вид интеграла (в данном случае сводящегося просто к сумме) от неслучайной функции по случайной мере Jiyi. Функционал является точным аналогом суммарного спина.

В главе 2 аддитивные функционалы i) изучаются при некоторых ограничениях на суммарное число частиц в процессе J^yi в момент времени УЬ. Считается, что величина SUJp | ' конечна (Sfc) — начальное состоя.

U о ние процесса, начавшегося с одной частицы, находившейся в точке Х. С 3?). При выполнении этого условияьна пространстве /В ограниченных измеримых функций на ЗС определена полугруппа •f hfl,^ средних марковского процесса с ветвлением, определенная по правилу Bfi.

В том частном случае, когда в процессе не происходит деления и уничтожения частиц, величины JAyi образуют обычную марковскую цепь, a Eyi является переходным оператором процесса за УЪ шагов. Как в теории марковских процессов (Нагаев |j[9l), так и в теории марковских процессов с ветвлением (Харрис [2б], Геринг [31, 32J Иржина [34Д) наиболее существенную роль играют условия, наложенные на полугруппу Ед,. В главе 2 считается выполненным следующее.

Условие А2. Найдутся число OL>0, неотрицательная функция VG В и вероятностная мера V на такие, что.

E"S = ean (<$'v>, r+ А" 0, <^>-1, где — оператор, спектральный радиус которого меньше I и О для произвольной .

Согласно условию А2 оператор вГ^Ец представляется в виде прямой суммы одномерного проектора & Н> V)> V" и оператора, степени которого по норме экспоненциально стремятся к 0. Такого рода представления естественно возникали для полугрупп вполне непрерывных операторов (Крейн, Рутман? l4]), а также в теории предельных теорем для марковских цепей (Нагаев J19]). Для марковских цепей (Ибрагимов, Линник? ll]) условие А2 выполнено, если справедливо условие Деблина (Д) и существует только один эргодический класс, не содержащий подклассов. Условия, близкие к А2, встречались также в теории марковских процессов с. ветвлением (Харрис [2б|, Иржина [зз], Геринг ?32]). В целом условие А2 моделирует в пространстве Ш> случай теоремы Перрона для конечномерных матриц с неотрицательными элементами.

В случае марковских цепей условие А2 обеспечивает (Ибрагимов, Линник? l]Q, Нагаев [19]) экспоненциально быстрее убывание коэффициента равномерно сильного перемешивания, что наряду с существованием соответствующих моментов уже гарантирует асимптотическую нормальность величины ^С/^к). По своей природе функционал близок к, а вместе с ним и к, поэтому следовало бы ожидать применимость к сумме из ^ yi случайных слагаемых центральной предельной теоремы только со случайной нормировкой =. .

Тп.

Однако этого не происходит: в некоторых случаях для K^JMyi) имеет место такая теорема, но не с нормировкой > а в.

V fyt некоторых случаях U^/ имеет существенно иной характер сходимости, более похожий на сходимость нормированного числа в процессе с ветвлением. Данный эффект, полученный при случайных превращениях частиц вполне объясним: в зависимости от характера превращений при делении отдельные слагаемые в сумме либо можно считать слабо зависимыми и тогда применима центральная предельная теорема со случайной нормировкой, либо в K^tJ^Yi) много сильно зависимых слагаемых, которые являются значениями функции 5 от близких «родственников» в смысле расстояния по генеалогическому дереву. Тем самым, память процесса jW^. и вид функции? оказывают существенное влияние на формирование асимптотического поведения функционала Результаты, аналогичные результатам диссертации о можно было бы также получить для функционала 2L к=0 <С ^^кУ «что однако из соображений объема не делается.

В § 8 главы 2 доказываются теоремы о сходимости в среднем квадратичном и по распределению аддитивных функционалов, построенных по собственным и почти собственным функциям полугруппы Eft с большими по модулю собственными значениямиэти теоремы существенно используют мартингальный характер сходимости полученных ф ункционалов. Примером результатов § 8 является следующий факт: если, то последовательность g’V1 является мартингалом, сходящимся в среднем квадратичном к случайной величине «WC&). Наиболее существенную роль в последующих рассуждениях играет величина определяющая предельное нормированное число частиц в процессе, В этом же параграфе доказана теорема об устойчивости, утверждающая, что сходится к при fL-ьОО t если выполнены некоторые дополнительные условия малости в среднем функции $>гъ. Этот результат играет наиболее существенную рель при доказательстве теорем о смешанной гауссовости. Теоремы § 8 за исключением указанной теоремы об устойчивости обобщают на случай фазового пространства общего вида результаты работ Кестена и Стигума [Зб|, Атрэ [28] о функционалах с мартингальным характером сходимости для процессов Гальтона-Ватсона.

Параграфы 9 и 10 диссертации посвящены результатам о смешанной гауссовости для аддитивных функционалов. При некоторых ограничениях на поведение функционала ^^Ji^ и его двух первых моментов доказано, что для 1R.

M^ib^+^Xi^ (4) з при Гь-ъсо f где «в котором математическое ожидание МЯ берется для процесса, начавшегося с одной частицы, имевшей распределение V в пространстве. Правая часть соотношения (4) определяет характеристическую функцию пары случайных величин ^^lW), где % - независящая от гауссовская величина со средним 0 и дисперсией Iпоэтому (4) является утверждением о сходимости к смешанному гауссовскому распределению для Случай, рассматриваемый в §§ 8−9 обладает тем свойством, что С (гС)л 6 удовлетворяет эквивалентности Сф.+1)ъ>С (?ё) при и величина $сходится по распределению при Я->оо к гауС. совскому распределению со средним 0 и дисперсией I, асимптотически независящему от величины w (точная формулировка содержится в теореме 9.1).

Параграф 10 посвящен случаю^{нкционалов,} построенных по функции 5 о Ш /1Еп&й <ег и позти собственным.

J2-+CO «функциям Efl, с собственными значениями по модулю равными Результаты § 10, примененные к процессам Гальтона-Ватсона, позволяют получить результаты работ Кестена, Стигума [Зб] и Атрэ [28] о смешанной гауссовости, при этом константы С СЮ имеют вид У1^, О.

В §§ 11−12 результаты, полученные в§-§-8−10 применяются к изучению поведения суммарного спина Sn (i) от марковских цепей, инвариантных относительно всех изоморфизмов дерева, А. В § 11 доказана возможность сведения к аддитивному функционалу.

K^jflfr) от некоторого марковского процесса с ветвлением, для которого предельное норшрованное число частиц W" неслучайно. Таким образом, для такого процесса yt/^ результат о смешанной гауссовости приводит просто к асимптотической гауссовости суммарного спина при некоторых ограничениях на функцию f и марковскую цепь. В § 11 показано, что величина Sn Й) асиптотически гауссовская при стандартной нормировке на среднее и корень из дисперсии для гиббсовских полей в высокотемпературной области, что ранее известно было для модели Изинга на Z. из работы Малышева [17] .

В последнем § 12 доказываются теоремы о поведении суммарного спина в ферромагнитной модели Изинга на однородных деревьях без внешнего поля для гиббсовского поля со свободными граничными условиями. Показано, что суммарный спин асимптотически гауссов-ский при и асимптотически негауссовский при при этом хвост предельного распределений убывает быстрее чем у гауссовского. В сравнении с результатом § 6 это показывает, что в модели Изинга на деревьях имеются по крайней мере две точки фазового перехода — L, /wfUjs^-1. При переходе через нарушается единственность гиббсовского поля, при переходе через теряется асимптотическая гауссовость суммарного спина. Этот своеобразный эффект на физическом уровне строгости ранее обнаружен ранее был у поведения второго момента суммарного спина Матсудой [38] и у удельной свободной энергии Мюллером-Харт-маном и Зитаром в работе [зэ] .

Список основных обозначений и сокращений однородное дерево,.

— вершины дерева CL и В соединены ребром, А множество ориентированных ребер — класс конечных поддеревьев А.

3V= fa 4 V: 3geV, 6coa{.

С — вершина о лвжит на кратчайшем пути из й. в С и 3b —? -компактное метрическое пространство о&->- -? -алгебра борелевских мнвжеств fr — мера на & 29 ^ f (ЬслбЗ?}Л? А}} - пространство конфигураций спинов в объеме.

VcA.

— G*.

— алгебра в.

— П.в. — для почти всех ЗС-у по мере п.в. — почти всюду.

XJC)0 — симметричная функция из в JR., называемая потенциалом — V м.ц. — марковская цепь.

— класс марковских цепей.

МП, tfafife^}- марковская цепь с указанными параметрами.

— класс гиббсовских мер tyfa у т^А) — набор функций, удовлетворяющих ряду свойств ф= W.

— множество всех наборов Ч> класс гиббсовских мер, являющихся марковскими цепями.

К (А'ц.) — множество вещественных чисел (неотрицательных чисел) (L — множество комплексных чисел У — множество изоморфизмов дерева А.

Ш с*0 — L е^р f.

Hi — множество ограниченных измеримых функций на? (ISII = Sup-flSfeOI • 39. — норма в В S (X) — мера, сосредоточенная в точке сЛ1 — множество целочисленных точечных мер на X.

—? -алгебра в, порожденная аддитивными функционалами т-ЩЖуточечная мера, h>0p — целые положительные числа.

V> = j^SW^at).

JU (to) — значение марковского процесса с ветвлением при #=0,4,. •^ГЛ, — марковский процесс, начавшийся из W 6 сЖ^СЮ — суммарное число частиц в процессе в момент (.7"^ - производящий оператор процесса JJ^ за время Я (??) = дейстше полугруппы средних се*) — с (кь)" gtfO6.

3 — начало доказательства.

1> - конец доказательства.

И — функция, тождественно равная 1.

1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979, 429 с..

2. Беляев М. Ю. Гиббсовские поля на однородных деревьях. -ДАН СССР, 1982, т. 264, № 4, с.787−790..

3. Беляев М. Ю. Дважды инвариантные групповые поля на деревьях.- Вестник МГУ, сер. I, матем.мех., 1983, № I, с. 24−27..

4. Беляев М. Ю. Об асимптотическом поведении функционалов от надкритических марковских процессов с ветвлением. -Рукопись деп. в ВИНИТИ АН СССР 6 апреля 1984 г., Ш)47−84Деп., 46 с..

5. Беляев М. Ю., Берестова Н. А., Молчанов С. А. Предельные теоремы для марковских процессов с ветвлением. ДАН СССР, 1983, т. 268, IS 5, с. 1039−1043..

6. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975, 319 с..

7. Григорчук Р. И., Степин A.M. Гиббсовские состояния и марковские поля на группах. В сб.: «Математические модели статистической физики Тюмень, 1982, с. 55−60.,.

8. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.- М.: ИЛ, 1962, 892 с..

9. Добрушин Р. Л. Задача единственности гиббсовского поля и проблема фазовых переходов. Функц. анализ и его приложения, 1968, т.2, вып. 4, с. 44−57..

10. Добрушин Р. Л. Описание случайного поля при помощи условных вероятностей и условия его регулярности. Теория вероятностей и ее применения, 1968, т. 13, вып. 2, с. 201−229..

11. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965, 524 с..

12. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и13..