Неравенства Джексона в пространствах Lp, 1?p?2, с весом

б.

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена решению экстремальных задач теории приближений — доказательству точных неравенств Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2, на прямой К. со степенным весом и торе Т с периодическим весом Якоби.

Актуальность темы

Задача о точных константах в неравенствах Джексона между величиной наилучшего приближения и модулем непрерывности функции в пространствах Lp, 1 < р < оо, является важной и трудной экстремальной задачей теории приближений. Первое точное неравенство Джексона было доказано Н. И. Черных [45] в 1967 году в пространстве L2 (Т). Он же [47] в 1992 году доказал и первые точные неравенства Джексона в пространствах LP (Т), 1 < р < < 2. Точные неравенства Джексона в пространствах Lp, р > 2, отсутствуют.

В настоящее время точные неравенства Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2, доказаны для тора Td (Н.И. Черных [45], В. А. Юдин [55], В. И. Иванов [25], В. Ю. Попов [40]), евклидова пространства Md (И.И. Ибрагимов и Ф. Г. Насибов [23], В. Ю. Попов [38, 39], O.JI. Виноградов [15], А. Г. Бабенко [3], А. В. Московский [33]), евклидовой сферы Sd~1 (В.В. Арестов и В. Ю. Попов [1], В. Ю. Попов [41], А. Г. Бабенко [2], Д. В. Горбачев [18]), гиперболоида Hd (В.Ю. Попов, Д. В. Горбачев и М. С. Пискорж [17], р = 2), проективных пространств (А.Г. Бабенко [4], р = 2).

В пространстве L2 большой цикл работ был посвящен доказательству точных неравенств Джексона с к-м и обобщенными модулями непрерывности. Отметим работы Н. И. Черных [46], А. Г. Бабенко [24], А. И. Козко и А. В. Рождественского [30], С. Н. Васильева [11, 12], B.C. Балаганского [6].

В пространствах Lp, 1 <р< 2, трудным является как получение оценки сверху (необходимо учесть строгую выпуклость пространств), так и доказательство ее точности (экстремальные последовательности функций принимают всего два значения ±1). Нижние оценки в пространствах Ьр, 1 < р < 2, получены в работах В. И. Бердышева [9], В. И. Иванова [24, 26], Д. В. Горбачева [18], А. В. Московского [33]. Дополнительные трудности в получении нижних оценок появляются, если на многообразии нет группового сдвига.

Следующим этапом в развитии этой тематики может стать доказательство точных неравенств Джексона в пространствах Ьр на многообразиях с весом. К неравенствам Джексона в пространствах Ьр на полу периоде или полупрямой с весом мы уже приходим, рассматривая известные неравенства Джексона на подпространствах зональных сферических функций. При этом получаются неравенства Джексона в пространствах Ьр с весом только для четных функций. Так неравенства Джексона на евклидовом пространстве и евклидовой сфере приводят к неравенствам Джексона на прямой со степенным весом и торе с периодическим весом Якоби для четных функций (А.В. Московский [33], Д. В. Горбачев [18]). Возникает необходимость распространить их на все функции, а также обосновать их точность.

Цель работы. Основной целью диссертации является доказательство точных неравенств Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2, на прямой М со степенным весом и торе Т с периодическим весом Якоби.

Методы исследования. Применяются методы теории функций, теории приближений, функционального анализа, гармонического анализа в пространствах с весом, теории вероятностей, теории матриц.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказаны неравенства Джексона для наилучших приближений целыми функциями экспоненциального типа в пространствах 1/Р)д (М), 1 < Р < 2, с весом |ж|2Л+1, Л > —½. Их точность установлена при р = 2 и Л > О, <р< 2.

2. Доказаны точные неравенства Джексона для наилучших приближений тригонометрическими полиномами в пространствах Lp, a (T), 1 <р < 2, с весом |sinx|2a+1, а > -½.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы при доказательстве точных неравенств Джексона в других пространствах с весом.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2006, 2008, 2011), VIII Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» в г. Казани (2007), Международной летней математической школе С. Б. Стечкина по теории функций в г. Алексине (2007), научном семинаре д.ф.-м.н., профессора В. И. Иванова в ТулГУ (2006;2009, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [28, 48, 49, 50] в журнале, входящем в перечень ВАК РФ.

В работе [28] В. И. Иванову принадлежит общая схема доказательства нижней оценки, а автору — ее реализация.

Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [28, 51, 52, 53, 57].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на 9 параграфов. Нумерация утверждений идет по главам, а формул — по главам и параграфам.

1. Арестов В. В., Попов В. Ю. Неравенство Джексона на сфере в Ь2 // Изв. Вузов. Математика. 1995. № 8. С.13−20.

2. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве Ь2 на многомерной сфере // Матем. заметки. 1996. Т.60, № 3. С.333−355.

3. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве Ь2(Шт) 11 Труды ИММ УрО РАН. 1998. Т.5. С.183−198.

4. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для Ь2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. Матем. 1998. Т.62, № 6. С.27−52.

5. Бадков В. М.

Введение

в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов. Учебное пособие. Екатеринбург: УрГУ, 2006. 132 с.

6. Балаганский B.C. Точная константа в неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве L2 на периоде // Труды ИММ УрО РАН. 2009. Т.15, № 1. С.79−101.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2. М.: Наука, 1966. 296 с.

8. Белкина Е. С. Гармонический анализ Фурье-Данкля и приближение функций: дис.. канд. физ.-мат. наук. Петрозаводск. 2008. 92 с.

9. Бердышев В. И. О теореме Джексона в Lp // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.3−16.

10. Бернштейн С. Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке. Собр. соч. Т.2. М.: Изд-во АН СССР, 1954. С.7−106.

11. Васильев С. Н. Неравенство Джексона в L2(TN) с обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2009. Т.15, т. С.102−110.

12. Васильев С. Н. Неравенство Джексона в Ьс обобщенным модулем непрерывности // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. С.93−99.

13. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. 4.1. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

14. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1991. 576 с.

15. Виноградов О. Л. О константе в неравенстве Джексона для пространства Ьр{—оо, оо) // Вестник СПбГУ. Сер.1. 1994. Вып.З. С.15−22.

16. Витушкин А. Г. Оценка сложности задачи табулирования. М.: Физматгиз, 1959. 228 с.

17. Горбачев Д. В., Пискорж М. С. Точное неравенство Джексона в ½ на гиперболоиде // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып.1. С.54−58.

18. Горбачев Д. В. Точное неравенство Джексона в пространстве Ьр на сфере // Матем. заметки. 1999. Т.66, № 1. С.50−62.

19. Горбачев Д. В. Приближение в Ь2 частичными интегралами Фурье по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т.5. Вып.1. С.38−50.

20. Горбачев Д. В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложений. Тула: Гриф и К, 2005. 192 с.

21. Горбачев Д. В. Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложения: дис.. д-ра физ.-мат. наук. Тула. 2006. 200 с.

22. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2. М.: Мир, 1965. 538 с.

23. Ибрагимов И. И., Насибов В. Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР. 1970. Т. 194, № 5. С.1013−1016.

24. Иванов В. И. Приближение в кусочно-постоянными функциями // Матем. заметки. 1988. Т.44, № 1. С.64−79.

25. Иванов В. И. О приближении функций в пространствах Ьр // Матем. заметки. 1994. Т.56, № 2. С.15−40.

26. Иванов В. И., Смирнов О. И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Ьр. Тула: ТулГУ, 2010. 174 с.

27. Иванов В. И., Лю Юнпин. Оценка снизу констант Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.59−69.

28. Иванов В. И., Чертова Д. В. Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2 на прямой со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.81−93.

29. Иванов В. И., Чертова Д. В. Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2 на прямой со степенным весом // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Межд. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2011. С.25−27.

30. Козко А. И., Рождественский А. В. О неравенстве Джексона в Ь2 с обобщенным модулем непрерывности // Матем. сборник 2004. Т. 195, № 8. С.3−46.

31. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973. 312 с.

32. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983. 576 с.

33. Московский А. В. Теоремы Джексона в пространствах Ьр (Шп) и // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып.1. С.44−70.

34. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969. 480 с.

35. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987. 320 с.

36. Платонов С. С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. Матем. 2007. Т.71, № 5. С.149−196.

37. Платонов С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций на полупрямой // Сиб. матем. журн. 2009. Т.50, №. С.154−174.

38. Попов В. Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика. 1972. № 6. С.65−73.

39. Попов В. Ю. О точных константах Джексона для наилучших сферических среднеквадратических приближений // Изв. вузов. Математика. 1981. № 12. С.67−78.

40. Попов В. Ю. Многомерные приближения в £2(Тт) // Теория функций и приближений: тр. 3-й Саратовской зимней школы. Межвузовский научн. сб. Ч. З. Саратов: СГУ, 1988. С.22−25.

41. Попов В. Ю. Приближение на сфере в L2 11 ДАН СССР. 1988. Т.301, № 4. С.793−797.

42. Рустамов Х. П. О приближении функций на сфере // Изв. РАН. Сер. Матем. 1993. Т.57, № 5. С.127−148.

43. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

44. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

45. Черных Н. И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.71−74.

46. Черных Н. И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 // Матем. заметки. 1967. Т.2, № 5. С.513−522.

47. Черных Н. И. Неравенство Джексона в Lp (0,2тг), 1 < р < 2 с точной константой // Труды МИРАН. 1992. Т.198. С.232−241.

48. Чертова Д. В. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.1. С.5−27. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.2. С.55−61.

49. Чертова Д. В. Теоремы Джексона в пространстве L2® со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.З. С.100−116.

50. Чертова Д. В. Оценка сверху констант Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2 на прямой со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.94−109.

51. Чертова Д. В. Неравенство Джексона в пространстве Lp, 1 < р < 2 с весом Лежандра // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Межд. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2006. С.98−99.

52. Чертова Д. В. О теоремах Джексона в пространствах Lp, 1 < Р < 2 с периодическим весом Якоби / / Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Межд. научн. конф. Тула: ТулГУ, 2008. С.97−100.

53. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т.2. М.: Мир, 1985. 400 с.

54. Юдин В. А. Многомерная теорема Джексона в L2 // Матем. заметки. 1981. Т.29, № 2. С.309−315.

55. Andersen N.B., de Jeu M. Elementary proofs of Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform on the real line // Int. Math. Res. Not. 2005. V.30. P.1817−1831.

56. Chertova D.V. Jackson theorems in Lp-spaces, 1 < p < 2 on the line with power weight // Труды Международной летней математической школы С. Б. Стечкина по теории функций. Тула: ТулГУ, 2007. С.160−161.

57. Dunkl C.F. Differential difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V.311. P.167−183.

58. Mejjaoli H., Sraieb N. Uncertainty Principles for the continuous Dunkl Gabor transform and the Dunkl continuous wavelet transform // Mediterr. J. M. 2008. V.5. P.443−466.

59. Rosier M. Dunkl operators: Theory and applications // Lecture Notes in Math. 2002. V.1817. P.93−135.

60. Rosier M. Bessel-type signed hypergroups on R // Probability Measures an Groups and Related Structures: proc. conf. Oberwolfach, 1994. Would Scientific, 1995. P.292−304.

61. Salem N.B., Kallel S. Mean-periodic functions associated with the Dunkl operators // Integral Transforms and Special Functions. 2004. V.15, № 2. P. 155−179.

62. Trimeche K. Paley-Wiener theorems for the Dunkl transform and Dunkl translation operators // Integral Transform. Spec. Funct. 2002. V.13, m. P. 17−38.