О приближении операторами Баскакова функций, имеющих конечное число точек разрыва производных

По всей видимости, как самостоятельная часть математики теория приближений ведет начало с работы П. Л. Чебышева [29] 1854 г., в которой он задается вопросом: как наилучшим образом приближенно представить заданную функцию?

В 1885 г. Вейерштрасс доказал, что каждая непрерывная функция на отрезке может быть с любой степенью точности приближена полиномами. Этот результат натолкнул на мысль искать связи между свойствами функций и скоростью приближения ее полиномами. Функции с одинаковой скоростью приближения образуют некоторый функциональный класс. Приближение целых функциональных классов тригонометрическими полиномами начато в трудах Лебега, Валле-Пуссена, Фейера, Бернштейна, Джексона [28] и продолженное затем в работах Колмогорова, Корнейчука, Крейна, Стечкина, Никольского [25] и многих других, нашло весьма полное освещение во многих монографиях и обзорных статьях.

Первым методом нахождения тригонометрических полиномов, приближающих периодические функции, явился метод, основанный на построении рядов Фурье [12].

Однако, в 1876 году П. Дюбуа-Реймон построил пример непрерывной 2тгпериодической функции, ряд Фурье которой не сходится равномерно [28].

Для периодического случая первый пример приближающей последовательности был построен в 1904 г. Л. Фейером. Было выявлено, что операторы Фейера, решая проблему равномерного приближения непрерывных функций, являются, тем не менее, весьма «некачественным» аппаратом приближения. Они приближают любую дифференцируемую функцию с порядком 0(п~1) (в том числе и 5Ш/). В 1911 г. Д. Джексон предложил операторы, приближающие дважды дифференцируемые функции с порядком 0{п~г). Операторы Фейера и Джексона укладываются в 3 некоторую общую схему. Они получаются с помощью так называемых методов суммирования рядов Фурье.

В дальнейшем было предложено большое количество других аппроксимирующих операторов, получаемых с помощью методов суммирования рядов Фурье. Среди них операторы Зигмунда и операторы Коров-кина [23].

В работе В. А. Баскакова [9] была предложена аппроксимирующая последовательность, относящаяся к тому же классу. В 2001 г. В. А. Баскаков [10] нашел аналитическое представление множителей суммирования, таким образом, ввел понятие — тригонометрические операторы Баскакова.

Среди последних работ по аппроксимативным свойствам операторов следует отметить статьи Ю. Г. Абакумова [2], Е. С. Коган [21], Т. В. Дубровиной [13].

Во второй половине двадцатого столетия идеи и методы теории аппроксимации находят свое применение в различных разделах математической науки, в том числе прикладного характера (теория приближений, теория обработки сигналов), по этой причине данная тематика остается актуальной.

Цель диссертации состоит в получении универсального вида оценки приближения операторами Баскакова функций, имеющих изолированные точки разрыва производных, и исследовании свойств функций, фигурирующих в этих оценках, от приращения аргумента которых зависит поведение главного члена в асимптотическом разложении.

В работе используются отработанные в исследованиях по теории приближений (С.М. Никольским, П. П. Коровкиным, С. Б. Стечкиным и др.) приемы преобразования операторов типа свертки.

В диссертации рассматривается приближение периодических функций специального вида (точнее будет сказано далее) тригонометрическими полиномами. Норма разности функции и полинома определяется равенством ||/(дс) — /К-*0|| = sup|/(Ac) — р (х). Если f (x) — непрерывна, то л такая норма называется чебышевской. Название связано с тем, что П. Л. Чебышев поставил и в принципе решил (нашел критерий) задачу поиска полинома, наименее уклоняющегося от функции именно в смысле выше указанной нормы.

Ряды Фурье приближают в чебышевской метрике любую 2тт-периодическую дифференцируемую функцию, то есть, если fif) — дифференцируема, то ИтЦ"^ (/(*)"*) ~~ /С*) I = 0. п—>00.

Ряд Фурье функции f (x) имеет вид я °° f{x)—-+ cos АаС + А^ sin kx), (1).

2 к=i.

1 п Iя" где ak=— f (t) cos ktdt, bk=— f (t)smktdt.

Отрезок ряда (1).

SntfVhx) = ?(«A cos кх + Ък sin кх) (2).

2 а=1 называется частной суммой Фурье (или просто суммой Фурье) порядка п.

Задачу равномерного приближения любой непрерывной 2лпериодической функции можно решить, используя операторы Фейера.

• 2 М.

7−1 > 1 я Sin.

5Х (/(0,*) /я = J fit + X)-dt. (3) sin — 2.

Для любой непрерывной 2жпериодической функции /(/) (то есть для ДО е с2х) выполняется lim]|сг"(/(/), х) — /(х)|| = 0.

Я—>оо «.

Операторы Джексона в интегральной форме имеют вид.

Dn (f (.t), x)= ?fit+x) г. nt ^ sin— t sm— dt- (4).

Методы суммирования рядов Фурье представляют собой правила нахождения элементов матрицы.

Л = {Лк,&bdquo-}, п = 0,1,2,к = 1,., Т]{п), Шп 17(11) = 00, иЬ. ГШ.

И—>00 а операторы.

Ln (A, f (i), x) = -f- + + К sinbr) A=J.

5) называются Лсредними сумм Фурье или просто Лсредними. Коэффициенты называются множителями суммирования.

Применив преобразования, операторы (5) можно записать в виде.

Ш.

Ln (A, f (t), x) = K 1 J f (t + х).

— я 1 тт 1.

-+ Z Як cos{kt) v2 Л = 1 '.

Функцию и (*) = — + X Л-. cos (Ai?) называют ядром оператора Х&bdquo-. И 2 А= 1 К, П.

Для операторов Фейера множители суммирования Лк п=1—, для п операторов Джексона г}{п) = 2п — 2, при 0 ^ к ^ п — 2 1.

2п (2п +1) при п — 2 < к < 2п — 2, Лк<&bdquo- = 1.

2пк + 1)1 (пк + 1)0 <{2п-к-2) п-к-2).

2лк +1)!

2п (2п +1) (2п-к-2)1.

Для операторов Зигмунда Хк п = 1 — —, ?3>.

Для операторов Коровкина к ynj.

Лк, п к) кж 1. кл ж 1—Icos-±sin-ctgп +2) /1 + 2 п + 2 п +2 п + 2.

Также для операторов Коровкина известно интегральное представление 2 п Sin — ясое nt mi diсое / — сое.

71 п.

Известно, что для того, чтобы оператор ХИ (Л,-,-) приближал равномерно любую непрерывную 2ягпериодическую функцию необходимо и достаточно выполнения двух условий:

1) при любом к выполняется lim Як п = 1,.

Я-" 00.

2) | ХЙ|| равномерно по п ограничены. Здесь норма оператора определяется равенством.

Хй||= sup.

1/11.

Общие условия гарантирующие равномерную ограниченность норм Ln{Л,-,-) были получены в разное время С. М. Никольским, A.B. Ефимовым, С. Б. Стечкиным, Г. А. Фоминым (см. [28]).

Основное содержание диссертации относится к исследованию аппроксимативных свойств конкретных Лсредних — операторов Баскакова (они введены в работах В. А. Баскакова [9], [10] и изучались в ряде работ, например, в диссертационных исследованиях Е. С. Коган [20] и Т. В. Дубровиной [14]).

Они могут быть представлены в виде п п-т-2 X /С*1' (e4cosfa + Ькsin/tv)J.

2 к=1 здесь ак, Ък коэффициенты Фурье функции fit), т> 0, {кЛ]" =1, п.

О <�к1<�к2<.<�кт<~.

Множители суммирования у операторов Баскакова определяются по формуле г кик2,., кт) J к + ^ п п.

J=1.

ГТ (1к1ж i 11 cos——-1.

1=1,1* j п т п.

2 к. тг 2кжл cos——-cos—-— п п.

2кя sin?—— п.

2к ¡-я sin—— п о {гп{к^1у. Л&bdquo-) Приведенное аналитическое выражение множителеи найдено В. А. Баскаковым (см. [10]).

В предлагаемой диссертационной работе используется представление операторов Баскакова в виде свертки пк>. .. , и/ вт -1 |(соз г — соэ—).

Та&trade- «2тгк1 | ](СОЗ?-СОЭ.

2 у=1 п.

Известные операторы Фейера можно считать частным случаем операторов Баскакова при ш = 0.

Известно [2], [10], что при любых допустимых значениях параметров м, к^ последовательность {м,[г'" 1(/С1″ «'А'»)} имеет равномерно по п ограниченные нормы и является аппроксимирующей, то есть для любой непрерывной периодической функции У (О&euroвыполняется.

Нш и—"СО 0.

Исследование порядка величины (?), х) — /(х) когда /(*") принадлежит тому или иному классу функций, является одной из основных задач исследования аппроксимативных свойств операторов.

В диссертационном исследовании рассматривается задача оценки приближения функций, /-ая производная которых имеет разрывы первого рода в изолированных точках. Задача оценки наилучшего приближения подобных функций рассматривалась в работах С. Н. Бернштейна, С. М. Никольского (см. [25]). С. М. Никольский получил также оценку скорости приближения операторами Фейера функций в точке разрыва первой производной. В работе (см. [27]) С. А. Теляковский рассмотрел аналогичную задачу в случае приближения функций на отрезке [ОД] многочленами Бернштейна.

Основные результаты диссертации являются новыми, перейдем к их краткому изложению.

В первой главе рассматривается задача приближения операторами Баскакова функций, которые имеют непрерывные производные порядка i — 1, но производные порядка i при этом могут иметь разрывы в изолированных точках.

В первом параграфе «Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые их свойства» излагаются известные результаты, касающиеся аппроксимирующих последовательностей операторов Баскакова. Эти результаты изложены, например, в [2], [14], [15], [16].

Определение 1 ([2], п. 1.4). Если 2лпериодическая функция непрерывна на [-яг, я-], то говорят, что она принадлежит классу С2/Т .

Определение 2 ([2], п. 1.4). Если для найдется константа.

М> 0, такая, что При условии -?2| <2/Z" выполняется.

1> то говорят, что f (t)eLipMl т Класс Lip определяется равенством Lip — LipM 1.

Определение 3 ([2], п. 1.5). Если fit) Е С2я. имеет непрерывную 2жпериодическую производную порядка i (то есть, то говорят, что /(0? Сг1п. Если при этом /(/)(0 е LipM 19 хо пишут до е wihi .

Если константа М не фиксируется, то пишут fit) е JГ Я1.

В дальнейшем будем рассматривать 2лпериодическую функцию, равную, а при t G (-7Г, .

В работах Е. С. Коган [19], Т. В. Дубровиной [13], Н. А. Забелиной [16] имеются точные оценки ||Мд (/(*)"*)-/(л-)|. Сформулируем основные свойства тригонометрических операторов Баскакова: если f (t)<2m + l (Е.С.Коган [19]) — \мп (/(О, X) — Дх)|| = 0(п-2т'1 In п), если f{t) е W2mHl (Н.А. Забелина [16]) — \M"(At), x)-f (x)\=0(n-2m-1) если ДО е W2m+1Hl (Т.В. Дубровина [13]).

Из данных результатов видно, что операторы Баскакова приближают с наилучшим порядком функции классов WH1 при условии i < 2 т.

Во втором параграфе «Поведение величины Mn (f (t), х + 2гп~1), если х — изолированная точка разрыва (t) «приводится оценка величин Mn (tl, 0), Mn{t2rnx).

Доказана лемма 1.1- вспомогательное утверждение, использующееся при доказательстве теоремы, имеющей ключевое значение.

Теорема 1.1. Пусть fit) G С2л. Если fit) имеет в некоторой окрестности точки t=x непрерывную производную (i-)-vo порядка, а производная z-ro порядка непрерывна в проколотой окрестности и терпит разрыв первого рода в самой точке х, то для действительного г > 0 и г<2т+1 выполняется асимптотическое равенство.

M^-k'" fit), x + 2rn-l) = f{x + 2m-l) + + ir) ifi°(х) — + о (п-1), где.

— dt.

ПИ, 2-'2) '.

2 sin21 т.

Функции ФД>), от приращения аргумента которых зависит поведение главного члена в асимптотическом разложении, будем называть функциональными характеристиками.

При 1 < / < 2 т интеграл, фигурирующий в равенстве, определяющем Ф,(У) сходится, при / > 2 т теорема не применима.

При 1 = 1 теорема доказана Е. С. Коган [21].

Теорема 1.1. дает общую информацию об уклонении величины (f (t), x + 2rn~~l) от f (x + 2rn l), конкретизацию этой информации дает знание свойств функций Ф, — (г).

В третьем параграфе «Свойства функций Фг (г)>> включены основные, известные к 2009 г. результаты. Все перечисленные далее свойства, кроме отраженного в теореме 1.11, получены автором. Теорема 1.11 получена совместно с Ю. Г. Абакумовым и P.P. Батыровой, при этом Ю. Г. Абакумову принадлежит идея доказательства, P.P. Батырова разобрала случай т-3, случай ш=4 разобран автором [34].

Предложение 1.1. При 1 < i < 2 т., т>0, при целых 0 < кл < • • • < кт выполняется lira ФДг) = 0.

Теорема 1.2. При фиксированных т, 0 < кх < • • • < кт и при.

Предложение 1.2. При 0.

1 < / < 2 т имеет место равенство = —2/Ф (1 (г)..

Ф2,(0) = 0..

Предложение 1.3. При да = 1 и любом допустимом значении к выполняется неравенство Ф, (0) > 0..

Теорема 1.3. Фт (0) = 0(1п к)..

Теорема 1.4. При т = 1 существует Л0 удовлетворяющее равенству sin2/.

J Л/1 2 2, 2ч, такое, что Ф^г) на отрезке [О, Я0] убывает, при о / ^/с 7 Г t) л0 этом Ф1(Я0)<0, на [Л0,оэ) возрастая стремится к нулю при.

Г —> со..

Теорема 1.5. При т- 1 Ф2М < 0 при Т Е [0,ао). На промежутке оо. •, 2, г sin t.

10, оо) существует TQ удовлетворяющее равенству J-j-!-?-ut =), t (k 7С —i) такое, что Ф2(г) на отрезке [О, г0] убывает, на промежутке К, 00) Ф 2 (г) возрастает, при этом ^^ФгС7') = 0..

Теорема 1.6. Существуют <%о, Аь такие, что 0 < ос0 < Д, < 1 и для.

1 А) Г) а0 (которое фигурирует в теореме 1.4.) выполняется ао < — < Ро..

КЛ.

Теорема 1.7. Ф 1 (г) ~ Ф1 (Л>) равномерно по к ограничен..

Обозначим г0 — точку минимума Ф200 (фактически г0 зависит от к). Условимся обозначать г0 = (1 — ук) кк..

Теорема 1.8. Существует? > 0 не зависящее от к такое, что выполняется У к < 1 ~? ..

Фактически доказано, что существует У™=\тукт При этом 0.600 < у" < 0.6007 ..

Теорема 1.9. При к -> оо выполняется |Ф2(г0)| = 0(к)..

Предложение 1.4. При т = 2 и любых целых 0 <�кх<�к2 выполняется Ф3(0)< 0..

Теорема 1.10. При т = 1, если кх < к2, то Фщ)(0) <�ФКкг)Ф)..

Теорема 1.11. Равенство signO^O) = (-1) 2 выполняется: при т-Ъ для z = l, 3,5, при т — 4 для / = 1,3,5,7..

Для т = 3 теорема 1.11 доказана P.P. Батыровой. Результат представлен в печать..

В четвертом параграфе «Элементарные свойства функций Ф20) при ш=2» выясняется характер изменения функций Ф-(г) (/=0, 1, 2, 3, 4) в зависимости от изменения параметра г: значение в нуле, промежутки монотонности, знаки экстремумов, предел при г -> оо..

Вторая глава посвящена исследованию линейных комбинаций тригонометрических операторов Баскакова. Линейные комбинации естественно возникают в проблемах приближения тригонометрическими операторами Баскакова функций вблизи точек разрыва /-ой производной..

Теорема 1.10 говорит о том, что приближение операторами функций вблизи точки разрыва второй производной дает с ростом параметра к все более худшие результаты. Этот факт дает основание поставить задачу о поиске линейных комбинаций операторов Баскакова, аппроксимативные свойства которых по возможности более предпочтительны по сравнению с аппроксимативными свойствами самих операторов Баскакова..

В первом параграфе приводятся общие сведения о линейных комбинациях. Во втором параграфе исследуем линейные комбинации из двух слагаемых. Доказывается, что функции Ф^аД**), фигурирующие в асимптотическом разложении функции, равномерно по к и Г ограничены, что показывает улучшение аппроксимативных свойств операторов Баскакова..

Доказаны следующие теоремы..

Теорема 2.1. Функции Фи, л*(г) равномерно по к я Г ограничены..

2) = °.

Теорема 2.2. Функции^2,к, як (г) имеют следующие свойства:.

VIII к, '.

Теорема 2.1 показывает, что свойства функции Ф]значительно лучше свойств как функции Ф1(1), так и. Однако, согласно теореме 2.2 свойства функции > если улучшаются, то незначительно. Последний факт объясняется тем, что построение линейных комбинаций из двух операторов имеет «ограниченные возможности маневра» в том смысле, что улучшать свойства одновременно двух функций не получается, изменяя только один параметр..

В третьем параграфе рассматриваем комбинации операторов из трех слагаемых м&trade-, м&trade-2 Комбинация из трех слагаемых возникла в связи с двумя фактами, имеющих негативное значение: Фца)(0) = 0(пк) (см. пункт 1.3, теорему 1.3), Ф2(А).

0о)| = .

Комбинация из трех слагаемых имеет вид: м (к, льл2) (/(а х) = ЛхМШ) {Ш х) + я2м^(2) х) +.

Исследуется вопрос, при каких значениях и Я2 операторы имеют наиболее благоприятные свойства. При этом Л1 и Л2 подбираются так, чтобы выполнялись равенства:.

4Фко (0) + ^ф1(2)(0) + (1 — л — ^)Ф1(,)(0) = о, АФ2(1)(>о) + ?2Ф2(2)(го) + (1 — Л — ^)Ф2(*)Оо) = -<Р' где ф постоянная не зависящая от к, г^— точка минимума функции.

Ф2(от ^ зависит> причем \т.

Также получены некоторые результаты при выборочно взятых значениях к и (р. В Приложении 2 приведены графические иллюстрации функций.

Основные результаты..

1. Найдена асимптотическая оценка приближения 2ппериодической функции вблизи точки, где ее производная заданного порядка имеет разрыв первого рода..

2. Получено аналитическое выражение главного члена асимптотики приближения тригонометрическими операторами Баскакова функций с разрывными производными заданного порядка..

3. Доказано, что аппроксимативные свойства операторов Баскакова могут быть улучшены в классе их линейных комбинаций..

Заключение.

В диссертационной работе рассматривается приближение функций, производные которых имеют разрывы первого рода, тригонометрическими полиномами. При этом задача рассматривается для производных произвольного порядка..

В работе задача решена для случая приближения — тригонометрическими операторами Баскакова, являющимися Л-средними сумм Фурье. Применение используемых методов к другим Л-средним, по-видимому, принципиальных затруднений не вызовет..