Эргодические свойства газа Лоренца и близких к нему динамических систем

Одной из основных и наиболее популярных моделей неравновесной статистической механики является газ Лоренца. Она была предложена в 1905 году голландским физиком и математиком Г. А. Лоренцем как модель электропроводности металлов и с тех пор носит его имя /см. [1] /.

Газом Лоренца называется динамическая система, которая описывает поведение счетного числа частиц, свободно движущихся в В^ между хаотически разбросанными неподвижными сферическими рассеивателями, от которых частицы отражаются по закону упругого удара /тангенциальная составляющая остаётся неизменной, а нормальная меняет знак/. В диссертации всюду рассматривается случай Ж = ?

Газ Лоренца относится к классу динамических систем бильярдного типа /см. [2] /. Иногда под газом Лоренца понимают также динамические системы, порождённые движением одной частицы, свободно движущейся в ¡-Ц^ между неподвижными сферическими рассеивателями с аналогичным отражением от них. В тексте диссертации во избежание путаницы такие динамические системы в отличие от систем, о которых говорилось выше, называются бильярдами в соответствии с [2] .

Газ Лоренца интенсивно изучается и до настоящего времени. Здесь можно упомянуть математические работы Я. Г. Синая [~3, 4], Л. А. Бунимовича и Я. Г. Синая [5−7], Г. Галавотти [¡-В, 9], Г. Гала-вотти и Д. Орнстейна [ю], Ш. Голдстейна, Дж. Лебовица и М. Айзен-мана [и], А. Крамли и Д. Саеа [12−13], Дж. Махты и Р. Цванцига и др. Подробный анализ проблем, относящихся к этой модели, содержится в большом обзоре.

Необходимость исследования газа Лоренца объясняется тем, что эта динамическая система естественно возникает при моделировании некоторых физических процессов. К таковым, например, относится движение медленных нейтронов в тяжелой жидкости /см.

1б] /, поведение смеси двух газов, один из которых состоит из легких молекул массы Уть, а другой — из тяжелых молекул массы И / т/м^ ^ /- см. «например, [15, 17] .

Одним из первых вопросов, возникающих при исследовании газа Лоренца, является вопрос о его эргодичности. Впервые положительный ответ на этот вопрос был дан Я. Г. Синаем в [з] для-: динамической системы, описывающей движение материальной точки на торе с конечным числом неподвижных рассеивателей. Им было показано, что эта динамическая система является К-системой, а значит, имеет достаточно сильные статистические свойства. Из того, что динамическая система является К-системой, следует, что она эргодична, обладает перемешиванием всех степеней, а также, что сопряженная группа унитарных операторов в подпространстве функций с нулевым средним имеет счетно-кратный ле-беговский спектр /см. [18, 19] /.

В первой главе настоящей диссертации рассматриваются две динамические системы, относящиеся к газу Лоренца. Опишем их подробнее. Дусть & = {^{подмножество} точек плоскости, являющихся центрами рассеивателей. Считаем, что для всех <> Ф $ • Здесь с1и&Ь — евклидова метрика на плоскости &-г. ^?^(эс/с^Сэс,^)^ </}. Это множество называем рассеивателем с центром в точке 1.

Оц .0 Ьъг .

Пусть — расслоение, базой которого служит О£, а слоем над кавдой точкой с^ е 0% - единичная окружность В^(с^).

Точки пространства J>fg называются линейными элементами или частицами. Естественную проекцию на обозначим через. Через {T^j обозначаем однопараметрическую группу сдвигов вдоль траекторий динамической системы, порожденной движением точечной частицы в О? с упругим отражением от Ф Оц. Она сохраняет меру $ на /см. [zj /, где clj-d^-olo , — мера на Оц, индуцированная евклидовой метрикой, а «?0 — естественная мера на слое ?^fy)-~ f* * (fy) • является конфигурационным пространством рассматриваемой динамической системы, а — её фазовым пространством.

Пусть теперь & ?? — совокупность счетных подмножеств множества Оц таких, что для любого ограниченного Е> из 0% имеем Cajid (Q.nb)<�°°, GLCGLr. Фазовым пространством Н R газа Лоренца служит множество пар X — {&, > где Ol? Q-d,^а — функция со значениями на окружности 7 |V|H}. пара, f? Q называется так же, как и выше, линейным элементом или частицей. Отображение Л'.Нц—определяется равенством &.

Пусть ЭС-17 (X) — случайная величина, значение которой равно числу частиц xeX в ис^Сц, где ^(и)^^. Меру ^ зададим, полагая = feCl/Д fe! и для непересекающихся Щ и :

Однопараметрическую группу^J преобразований пространства Нц определим следующим образом >••'}) — = {T^Xj уТ^х^ ],. Эта динамическая система.

Нц «[$Ч) называется пуассоновской надстройкой над (aCr. ¦)§¦> {Т^}) /см. [18] /. В первом параграфе главы I доказывается следующая теорема.

ТЕОРЕМА. 1.3. Если — конечное множество, то динамическая система (fig, > является К-системой.

Доказательство теоремы состоит в предъявлении для данной динамической системы К-разбиения, строящегося аналогично К-раз-биению для идеального газа, предложенного К. Л. Волковысоким и Я. Г. Синаем в [20] .

Во втором параграфе главы I рассматривается взаимодействующий газ Лоренца. Предположим, что R. — такое множество, что существуют константы? j1^^ и такие, что.

I/ при всех ;

2/ если Dx С — круг достаточно большого радиуса с центром в начале координат, то длина любого прямолинейного отрезка t С 0& такого, что t ПЭх^ Ф «превосходит г*.

Через обозначим множество единичных векторов с носителями на, направленных вне 0%. Топологически pf представляет собой двумерный цилиндр с координатами (S,^), где & - координата точки приложения вектора на Q £>ч1, а? — угол мевду вектором и внешней нормалью к окружности в точке &. На кавдом Jbti имеется естественная мера JU /являющаяся ограничением g на /, для которой c (ju = COntk • cos Vel i df. Цусть.

MR= U = f эс: f (*к — 3%}.

4″ где Ч>(*) — координата У вектора эс.

Поток {Т*} на с/У^ зададим следующим образом: частица эсдвижется со скоростью ^ | пока не достигает одной из областей 9>Ъ1 в точке V), после чего, попадая в область действия сферически симметричного отталкивающего потенциала, движется там, пока не достигает границы в точке (Ъ+ЖьМ, Я-Ч>), где — заданная функция, и продолжает движение с постоянной скоростью, пока не достигает одной из областей Ь%^ и т. д. Предположим, что Ж — функция класса, удовлетворяющая условиям: а/ - б/ АЩ^й^^^с .где О* - в/.

В [21] японский математик И. Кубо рассмотрел движение материальной точки массы т и энергии Епод действием г. потенциала вида и ((у) — У «00 «гДе — отталкивающий потенциал, соответствующий точке, причем выполнены следующие условия:

VI/ непрерывно при и для.

У 2/ принадлежит классу С^(0,1), и существуют левые производные Щ О) и 11% (1⁰).

УЗ/ — ¿-¡-/(/¿-(у) монотонно убывает и и1(4^о)<0.

Там же он показал, что если 0.

В этом случае условия /V/ / - /УЗ / будут выполнены./.

О, 1 при 0. а>а.

Основной результат [21] состоит в том, что динамическая система, порожденная движением материальной точки на торе под действием потенциала II описанного вида / I < 00 /, является К-еистемой.

Введем преобразование множества в себя, индуцированное потоком {Т*} в. сохраняет меру /см. [21] /.

Пусть Кц — совокупность счетных подмножеств множества О) 0? таких, что для любого ограниченного & имеем СхклА (К П В)^, К? к%. Фазовым пространством Пц взаимодействующего газа Лоренца служит множество пар Х =, где К С, ^ - функция на К со значениями на полуокружности { € С, I =, < ^-^г} «.

Пара ЭС=(<}, ^? /С называется так же, как и вше, линейным элементом или частицей. Отображение Х — Пц—^/С^ определяется равенством так же, как и.

X: Н &/.

Меру на П% зададим требованиями: а/ ?(Х-.Х^к^У^ехр^ц)), исМц — б/ для непересекающихся, 1/% С :

О (х: хщ (х)=^, ^ ^ /У.

Преобразование пространства /7^ определим следующим образом: ({сси хг, ,.})=, 7* а*,.^ М^ при всехС.

Основной результат второго параграфа главы I состоит в следующем.

ТЕОРЕМА. 1.9. При выполнении условий I/ - 2/ на расположение рассеивателей и а/ «в/ на функцию Ж (1,ч>) динамическая система ГЛ^у^, 5*) является К-системой.

Доказательство этой теоремы основано на использовании метода трансверсальных слоений, развитого в (4, 5]. Одна из основных трудностей, возникающих при исследовании рассеивающих бильярдов, состоит в том, что трансверсальные слоения для них существуют только почти всюду. Более того, каждый отдельный слой трансвер-сального слоения имеет особенности. Эти особенности разбивают весь слой на отдельные регулярные компоненты, каждая из которых уже является «хорошим» многообразием. Такие же трудности возникают и в нашей системе. Преодолеваются они на том же пути, что ив [4].

Во второй главе диссертации рассматриваются бильярды. Мы предполагаем, что есть такая постоянная С, что длина любого прямолинейного отрезка t С О^ не превосходит С Такие системы называются бильярдами с конечным горизонтом / ?22] /. Предполагается, что ^-[^-???-^ - периодическое множество точек плоскости. Это означает, что существует конечное множество? С? и счетная группа Г трансляций плоскости с компактной фундаментальной областью такие, что для всех^Г, имеем ¿-'Я ПдчЦ = ф и .

Г 8.

— преобразование множества М — в себя, индуцированное потоком {Т^ в • Т сохраняет меру^Х /см. [4] /. В [б] Л. А. Бунимович и Я. Г. Синай построили марковское разбиение, отвечающее динамической системе (М^ > Т), периодическое с тем же периодом, что и /?. /В дальнейшем, когда говорится о периодичности множеств или функций, то подразумевается периодичность с тем же периодом, что и? ./. Обозначим это разбиение через ^ / знак /V/ означает, что это периодическое разбиение/. Через Мо г* обозначим множество &, лежащих в одной ячейке. Через.

Т0 обозначим преобразование Мо на себя, индуцированное периодическими граничными условиями. М является накрывающим пространством для Мо • Через J: М —^ Мо обозначаем естественно определенное накрывающее отображение,^о — ограничение меры на Мо • Также буквой о обозначаем меру на А/, сконцентрированную на М0 и ограничение которой на Мо совпадает с ограничением^/ на Мо .Из текста будет ясно, о какой из этих двух мер идет речь. В противном случае будет указываться пространство, на котором рассматривается • Цусть? — разбиение.

Мо > являющееся ограничением разбиения. Пусть.

Цусть 0 «пространство функций, постоянных на элементах ^ ~ и интегрируемых на М о по меРе ^ о Введём в рассмотрение оператор Р в ?^(М0}^о) *.

Здесь С и С1 элементы разбиения ?" «*.

Оператор Р называется обобщенным марковским оператором, т.к. в случае обычных цепей Маркова Р соответствует рассматриваемому в теории марковских процессов оператору перехода. В § I главы II аналогично определяется обобщенный марковский оператор, отвечающий движению частицы на всей плоскости.

Вместо преобразования То можно рассматривать соответствующий стационарный случайный процесс /см. [б, 7] /. А именно, пусть Л — пространство последовательностей ,.

Ж.+ «~ элемент марковского разбиения ^ с номером о^. Рассмотрим отображение у» -Мо—^ Л, У (х)=сд «если ТфОСеСсд^ , — п<�о°. Меру обозначаем через. Она инвариантна относительно сдвигов и определяется на естественнойалгебре подмножеств Л. обозначается через .Т.к. у — взаимно-однозначное отображение подмножества полной меры в на /см. /б}/, то функцию ^ 4 на Мо можно отождествлять с функцией на, еслиДОЯ п"в» Х^Мо по мерено — в этом случае ^ и ^ обозначаем одним и тем же символом.

При исследовании газа Лоренца приходится решать уравнения вида ^ — = § «^ € ^ ^(Мо^о) • Примеры содержатся во втором и третьем параграфах главы II. Возникает вопрос о разрешимости этого уравнения. Решению этого вопроса посвящен первый параграф второй главы настоящей диссертации. Основное определение этой части — определение класса функций Ф (-&о).

Определение. Функция? € принадлежит классу Ф (&о) * если можно найти такие постоянные /1^>0, О, ?<>0 ,!сг>0, 4 «что для всех существует функция, для которой:

Класс функций ^ € Ф (.0.0), для которых / - 0 «обозначаем через ^ 0 (йо) / - символ математического ожидания/. При этом аппроксимирующие функции также можно считать имеющими математическое ожидание О. Основной результат первого параграфа главы II состоит в следующем.

ТЮРЕМА 2.2. Если ^? «то существует решение уравнения / - Р{ -? «представимое в виде ряда / — «8 + 1*8 + 1 Уо — почти всюду/, причем с Фо (Ло) .

В неравновесной статистической механике гидродинамические моды определяются как собственные функции линеаризованных уравнений гидродинамики /см. ?23, 24] /. Аналогично в [зб]собственные / а точнее, «почти-собственные11/ функции обобщенного марковского оператора ¿-Р называются гидродинамическими модами. Строгое определение гидродинамических мод для газа Лоренца содержится во втором параграфе главы II. В [Зб| Я. Г. Синаем построены гидродинамические моды для газа Лоренца с периодической конфигурацией рассеивателей. В § 2 главы II строятся гидродинамические моды для динамической системы, порожденной движением неразличимых, не взаимодействующих между собой точечных частиц в Щ?' между периодически расположенными неподвижными круговыми рассеивателями с упругим отражением от них.

В ¡-у] Л. А. Бунимович и Я. Г. Синай, используя довольно сложную технику С. Н. Бернштейна / /, доказали центральную предельную теорему /ЦПТ/ для бильярда.

ТЕОРЕМА 2.14. Существует невырожденное двумерное гауссовское распределение с: нулевым вектором средних, плотность которого равна ?-, такое, что.

— значение iой координаты точки ^(Т ^ос), i=-f- 2 .

В третьем параграфе главы II приводится эквивалентная выписанной формулировка ЦПТ с помощью обобщенного марковского оператора Р и приводится её доказательство, которое использует принцип инвариантности для мартингалов /теорема П. Биллингсли [2б] / и результат теоремы 2.2. Это доказательство существенно короче предложенного в [7] .

В четвертом параграфе второй главы рассматривается бильярд с фиксированным расположением круговых рассеивателей /единичного радиуса/, центры которых находятся в узлах треугольной решетки /см. рис. I/. Расстояния между центрами соседних рассеивателей равны (Z+Vj). Предполагается ~ 2, что влечет конечность горизонта для бильярда в Og. Эта модель впервые была рассмотрена в [14] Дк. Махтой и Р.Цванцигом.

Разобьем область 0% на элементарные ячейки — криволинейные шестиугольники, конфигурация которых представлена на рис. I /заштрихованные области/. Естественным образом определяем центр элементарной ячейки. Значение функции J*j в точке осе М определяем как значение ос^ координаты центра элементарной ячейки, на границе которой лежит точка Х (х) ,.

Рис. I.

В четвертом параграфе второй главы исследуется коэффициент диффузии данной динамической системы, а точнее, такая функция «что Щк —->- при кавдом фиксированном: , где (Ы^Нн^^О •.

Показано, что = о (№ для любого сколь угодно малого 0 положительного с?

Основные результаты диссертации опубликованы в [34, 35, Зб}. В работе [Зб] результаты, принадлежащие соискателю, составляют содержание § 2 — § 3, что отмечено в тексте статьи. В диссертации эти результаты излагаются в первом параграфе главы II. В работе [34] излагается результат, который является более сильным, чем основной результат второго параграфа первой главы диссертации.

По опубликованным работам сделаны доклады на семинарах по теории динамических систем на механико-математическом факультете МГУ и на конференции молодых ученых /МГУ, 1983 г./.

Автор выражает благодарность научному руководителю Я. Г. Синаю за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также Л. А. Бунимовичу за помощь при оформлении рукописи.

1. кошЬгИ.Д. TfoMwn ofreacbtonbin сMetoMu bodw". — Рюс. JfyMJL.Jcad.^QOf,, 5*5,604,.

2. Синай Я. Г.

Введение

в эргодическуго теорию.- Ереван: изд-во Ереванского ун-та, 1973.

3. Синай Я. Г. Динамические системы с упругими отражениями.- Успехи мат. наук, 1970, т.25, № 2, с. I4I-I92.

4. Синай Я. Г. Эргодические свойства газа Лоренца.- Функц. анализ и его прил., 1979, т.13, вып. З, с. 46−59.

5. Ъушк fi., (judsvd duurvib Т-Аиплуп fren Ш^jcrwfart Ргсхщ, нл P^dwdcutiuyt T-fimy-. — I92Z} fhejo-wdtf Mcubhmcdical an^i'duuU (Hfl$), budapwb*.

6. ЮгсипЛ Д., Ъ,^ocal Т&тяглл,.J/° 54? i984 of Ufcvbhwatical (НЙ$), budapeot.

7. Maokta J., 'Z.v^cuim^ R-. TXfjfaion a P&U&cUc ^ш^г 6c^.—ranAitUitie Цоъ Pb^Uml Всшгсл cond ТесЛпоЬшcfcl^cl, Co^Pojdk^^m^Z.P^Tbiwt.

8. Wojjj^l ?. Оы Солi SWi frtom^{сгапЫcMocLfa.Jiotes} in f. 33?-367.

9. Сш> 1(.^" Zwufol RF,^sUnzojt Ttouitfcrd ТШу,.

10. РейеяЛ. R-. ¿-омг $unf>a RsmanM. on ih? of «Vwo^mi Т-Ыш. — cuictuM jfoUb. Ъ Ph^icL, 1374,.

11. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин C.B. Эргодическая теория.— М.: «Наука», 1980.

12. Синай Я. Г. Динамические системы со счетнократным лебегов-ским спектром. I, — Изв. АН СССР, сер. мат., 1961, т. 25,№ 6, с. 899−924.

13. Волковысский К. Л., Синай Я. Г. Зргодические свойства идеального газа с бесконечным числом степеней свободы.- Функц. анализ и его прил., 1971, т. 5, вып. 3, с. 19−21.

14. Юд1о dk Рü-Ú-jjjiM biMwtd ВуЖшл., I, ТАеofr ihl. d- 51,.

15. Резибуа П., Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов.- М.: «Мир», 1980.

16. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика.- М.: «Мир», 1978.

17. Бернштейн С. Н. Распространение предельной теоремы теории вероятностей на суммы зависимых случайных величин.- Успехи мат. наук, 1944, т. 10, с. 65−114.

18. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер.- М.: «Наука», 1977.

19. Партасарати К.

Введение

в теорию вероятностей и теорию меры.- М.: «Мир», 1983.

20. Рохлин В. А., Синай Я. Г. Построение и свойства инвариантных измеримых разбиений.- Доклады АН СССР, 1961, т. 141, Р 5, с. I038-I04I.

21. Пинскер М. С. Динамические системы с вполне положительной и нулевой энтропией.- Доклады АН СССР, i960, т. 133, № 5, с. 1025−1026.

22. Синай Я. Г. Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы.- Функц. анализ и его прил., 1968, т. 2, вып. I, с. 64−89.

23. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том I. Функциональный анализ.- М.: «Мир», 1977.32. bwtin Я., Реалс^С. Spedha. о£ %гшп fkcKbudh ofr Ofsewt^ Ртсс. Лтт. JJLaJbk. £ос., 4966,41, р, 462 -166.

24. Синай Я. Г. Построение марковских разбиений.- Функц. анализ и его прил., 1968, т. 2, вып. 3, с. 70−80.

25. Ефимов K.M. Эргодические свойства взаимодействующего газа Лоренца.- Успехи мат. наук, 1981, т. 36, № 6, с. 215−216.

26. Ефимов K.M. Мартингальный метод доказательства центральной предельной теоремы для газа Лоренца. Депонирована в ВИНИТИ 13.07.83, № 3881−83 Деп.

27. Ефимов K.M., Синай Я. Г. Гидродинамические моды для газа Лоренца с периодической конфигурацией рассеивателей, — В кн.: Некоторые вопросы современного анализа, М.: изд-во МГУ, 1984, с. 102−119.