Последовательные методы проверки статистических гипотез и обнаружения разладки

1. Диссертация посвящена исследованиям в двух взаимосвязанных разделах статистического последовательного анализа — последовательной проверке гипотез и скорейшему обнаружению «разладки» .

Активное изучение последовательных методов математической статистики началось в 1940;50-х гг. В отличие от классических методов, где объем выборки заранее фиксирован, характерной особенностью последовательных методов является возможность выбирать момент прекращения наблюдений (объем выборки) в зависимости от наблюдаемых данных. Такая возможность во многих случаях обеспечивает выигрыш в среднем числе наблюдений по сравнению с методами с фиксированным объемом выборки при одинаковой вероятности ошибочных решений.

Первая группа задач, рассматриваемых в диссертации, относится к вопросам проверки гипотез о вероятностных характеристиках случайных процессов по результатам последовательного наблюдения за ними. Вторую группу задач составляют вопросы последовательного обнаружения моментов изменения вероятностных характеристик случайных процессов (моментов «разладки»). Совместное исследование двух данных групп задач обусловлено, прежде всего, схожестью методов их решений, основанных на сведении к задачам об оптимальной остановке для марковских процессов. В связи с этим существенную часть работы (первую главу) составляют вспомогательные результаты из теории оптимальной остановки, представляющие ценность и сами по себе.

В работе преимущественно применяется байесовский подход, предполагающий, что ненаблюдаемые параметры являются случайными величинами с известными функциями распределения. Существует также вариационный подход, который не предполагает наличия дополнительной априорной информации. Отметим, что эти два подхода тесно связаны, и в них применяются сходные вероятностно-статистические методы.

2. Математически рассматриваемые задачи формулируются следующим образом. В байесовской задаче о последовательной проверке гипотез предполагается, что на некотором вероятностном пространстве (П, Р) задана ненаблюдаемая случайная величина х с известной функцией распределения и наблюдаемый случайный процесс X = (Х^^о (или случайная последовательность X = (Хп)п^о), для которого известны условные распределения Р" = Ьаду (Х ц = и). Таким образом, ?1 влияет на структуру X, и, наблюдая за X, можно делать предположения об истинном значении /л.

Рассматриваемая задача заключается в проверке гипотез Щ: /л € М^, г = 1,., М, по последовательному наблюдению за X, где М* сМ — некоторые фиксированные непересекающиеся множества. Каждая последовательная процедура проверки гипотез задается с помощью решающего правила (т, с/), состоящего из момента остановки г фильтрации ¥-х = ¿-Р* = а (Х3- в ^ ?), и с^^-измеримой функции принимающей значения 1,., АГ (или любые другие N различных значений). Момент т соответствует моменту прекращения наблюдения, а значение функции (1 соответствует принимаемой гипотезе в момент т. При этом «хорошие» решающие правила должны обладать как малым временем наблюдения, так и низкой частотой ошибочных решений.

Основополагающим результатом теории последовательной проверки гипотез является хорошо известный последовательный критерий отношения вероятностей, предложенный А. Вальдом [46] для задачи проверки двух простых гипотез Н: ?1 = и Н^'. ц = Ц2- Вводя процесс логарифмического отношения правдоподобия Z = где1 др-1 ё<*(р" критерий заключается в том, что следует останавливать наблюдения и принимать гипотезу #2, когда значение Zt становится меньше некоторого уровня А, и гипотезу Н, когда значение становится больше некоторого уров.

1 Предполагается, что вероятностные меры РМ1 и РМ2 локально эквивалентны, т. е. для каждого ^ О сужения мер Р''1 | и РА'2 | эквивалентнытогда процесс 2 корректно определен. ня В (А < В). Уровни, А и В выбираются исходя из требований к среднему времени наблюдения Ет и к вероятностям ошибочных решений («принять гипотезу Hi при справедливости Н^ и наоборот). Отметим, что обращение именно к логарифму отношения правдоподобия объясняется, прежде всего, его удобными свойствами аддитивности.

В работе [43] для случая наблюдения последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин А. Вальд и Дж. Волфовиц доказали оптимальность данного критерия в вариационной постановке, показав, что он обладает наименьшим средним временем наблюдения как при справедливости Н, так и при справедливости #2, среди всех последовательных критериев с такими же вероятностями ошибочных решений. Доказательство основывается на рассмотрении вспомогательной байесовской задачи проверки гипотез.

А. Н. Ширяев в работе [62] доказал оптимальность критерия Вальда в задаче проверки двух простых гипотез о значении коэффициента сноса броуновского движения как в байесовской, так и в вариационной постановке. Общий результат был получен А. Ирле и Н. Шмитцом в работе [21], доказавшими оптимальность критерия Вальда в случае «непрерывного времени», когда процесс Z имеет стационарные независимые приращения.

Рассмотрим подробнее байесовскую задачу проверки двух простых гипотез для броуновского движения. Пусть на вероятностном пространстве (Q, J^", Р) задан наблюдаемый процесс X = (Xt)t^o, имеющий структуру.

Xt = fit + Bt, где В = (Bt)t>0 — стандартное броуновское движение на (Q, ¿-Р, Р), а ц — случайная величина на (Q, Р), не зависящая от В и принимающая два значения /?i и Ц2 с известными вероятностями р и 1 — р. Слагаемое fit можно интерпретировать как полезный сигнал, а слагаемое Bt — как шум. Считается, что ¿-х непосредственно не наблюдаема, а наблюдателю доступна лишь информация, задаваемая фильтрацией F*.

Известный байесовский критерий (см., например, [62, 63]) заключается в нахождении оптимального решающего правила (т*, с?*), минимизирующего в классе всех решающих правил (т, d) среднюю величину риска.

7£(т, (Г): состоящую из штрафа за продолжительность наблюдения и штрафа за ошибочное решение:

Щт, с£) = сЕт + пР (д. = 1, ц = /х2) + г2Р (^ = 2, у, = где с > 0 — «стоимость» единицы времени наблюдения, а г1, г2 > 0 — штрафы за неверные решения.

Без ограничения общности можно считать, что /?1 > 0, [12 = (иначе достаточно перейти к процессу = — + д2)£/2) и ё, принимает значения ±1. Тогда оптимальное решающее правило имеет вид (см. [62, 63]) г* = ы{г ^ 0: Я* г (Л, Б)}, сГ = 86п (ят.), где, А < 0 < 5 — константы, определяемые как решения некоторой системы алгебраических уравнений и зависящие от с, ??1,7*1, г2- процесс логарифмического отношения правдоподобия имеет вид Z% =.

Задача решается путем сведения к задаче об оптимальной остановке. Вводится процесс апостериорных вероятностей тт = (тг^г^о, гДе щ = = }1 |.

При этом щ = е^/((1 — р)/р + е2*), и процесс тг удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению.

Щ = 2^17Г4(1 — щ)(1Ви 7Г0 = р, где В = — некоторое броуновское движение, согласованное с фильтрацией В частности, 7 Г является марковским процессом.

Далее устанавливается, что для любого решающего правила справедливо неравенство.

7£(т, 6) ^ Е ¡-ст + тт{г1(1 — 7гТ), г27гт}], причем равенство достигается, если (1 = +1 при 7^(1 — ттт) ^ г27гт и д, = —1 при гх (1 — 7гг) > г27гт. Тогда для нахождения оптимального решающего правила нужно найти т*, минимизирующий математическое ожидание в предыдущей формуле, и задать сГ так, чтобы достигалось равенство.

Применяя общую теорию об оптимальной остановке марковских процессов, доказывается, что т* является моментом первого выхода 7 г из некоторого интервала (Л', В') С (0,1) или, что-то же самое, моментом первого выхода Z из интервала (А, В), где, А = og{A'/{1 — А')) — og{p/(l — р)), В = og (B'/(l — В')) — og{p/{l — р)). Система уравнений, решениями которой являются, А и В, находится из рассмотрения задачи со свободной границей для инфинитезимального оператора процесса Z.

Рассмотренная задача представляет собой простейшую модель броуновского движения с неизвестным коэффициентом сноса. Часто, однако, возникает необходимость обращения к более сложным случаям, нежели чем когда ?1 принимает лишь два значения. В работе будут изучены две такие задачи, где не было известно точного решения (были известны лишь асимптотически оптимальные решения).

Первая задача была сформулирована и исследована в работах Г. Чернова и Дж. Брейквелла [8−11]. Предполагается, что наблюдается броуновское движение с неизвестным сносом /х, являющимся нормальной случайной величиной с известными средним до и дисперсией Од> и требуется проверить гипотезы Н+: ?1 > 0 и Н: ?1 ^ 0. В качестве показателя оптимальности решающего правила (г, ?) берется средняя величина риска, состоящая из штрафа за продолжительность наблюдения и штрафа за ошибочное решение пропорционального [х. Таким образом, рассматривается задача о нахождении решающего правила (т*, с1*), минимизирующего величину где с, к > 0 — фиксированные константы, (1 принимает значения ±1, соответствующие принятию Н+ и Н-, и полагается sgn0 = — 1.

Г. Чернов и Дж. Брейквелл установили, что оптимальное решающее правило (г*, с?*) таково, что т* является моментом первого выхода наблюдаемого процесса X на некоторую криволинейную границу, а сГ является функцией от Хт*. Ими была найдена асимптотика границы (в предположении ее достаточной гладкости) при? —>• оо и? —> 0, что в некотором смысле соответствует сто —>¦ 0, сто —> оо. Однако явный ее вид найден не был.

В § 2.2 будет доказано, что граница непрерывна, и будет получено интегральное уравнение, однозначно ее характеризующее. Граница будет найдена путем его численного решения.

Вторая задача последовательного различения гипотез, рассматриваемая в диссертации, — задача проверки двух гипотез о значении сноса броуновского движение, где требуется минимизировать максимальное среднее время наблюдения при ограничении на вероятность ошибочного решения. Вопрос подобного типа был поставлен Дж. Кифером и Л. Вейсом [25] в случае дискретного времени, а затем исследовался и другими авторами как в дискретном, так и в непрерывном времени. Причиной рассмотрения такой постановки служит тот факт, что критерий Вальда обладает достаточно большим средним временем наблюдения, если истинное значение параметра не совпадает со значениями в проверяемых гипотезах. Например, в работе [3] было показано, что он может даже уступать критерию с заранее фиксированным объемом выборки. Таким образом, возникает естественное желание найти решающее правило, минимизирующее максимально возможное среднее время наблюдения.

Для броуновского движения данная задача заключается в построении решающего правила (т*, сГ), основанного на наблюдении за процессом Х^, = которое обладает вероятностями ошибочных решений Р (с1 — 1 | д = ?12) и Р{(1 = 2 | ?1 = /?1), не превосходящими заданной величины а, и при этом минимизирующего тахи Е (т | ¡-л = и). Данная задача, как и критерий Вальда, дана не в байесовской постановке (здесь — числовой параметр), однако ее решение все равно основывается на сведении к вспомогательной задаче об оптимальной остановке. Будет показано, что оптимальный момент остановки наблюдения т* является моментом выхода наблюдаемого процесса X на некоторую криволинейную границу, а б,* определяется по значению Хт*- для границы будет получено интегральное уравнение, которое будет решено численно. Данный результат дополняет многочисленные имеющиеся в литературе результаты, посвященные изучению асимптотических свойств оптимальных решающих правил (см., например, работы [2, 26, 55], относящиеся к задаче для броуновского движения).

3. Опишем теперь суть задач обнаружения «разладки». Пусть на некотором вероятностном пространстве задан наблюдаемый случайный процесс X = {Хг)т, имеющий структуру х где N = (Л^)^о и5 = — некоторые случайные процессы на.

О, Р), а в ^ 0 — неизвестная величина. Процесс 5 интерпретируется как сигнал, а в — как момент его появления (момент «разладки2»). Предполагается, что в непосредственно не наблюдаема, а наблюдатель может судить о значении в лишь по изменениям в структуре процесса X. Задача состоит в обнаружении разладки по результатам последовательного наблюдения за X как можно скорее после того, как она произошла.

Каждая последовательная процедура подачи сигнала о наступлении разладки отождествляется с моментом остановки т фильтрации ¥-х = — о{Х38 ^ ?). При этом «хорошие» моменты подачи сигнала должны быть как можно более близкими к моменту разладки 9.

Активное исследование задач обнаружения разладки началось в 195 060-х гг. в работах А. Н. Ширяева, С. Робертса, Э. Пэйджа и др. (см. [32, 33, 39, 58−60]) — отметим также метод контрольных карт, предложенный У. Шьюартом в 1920;х гг. [40].

Байесовская постановка задачи обнаружения разладки была предложена в работе А. Н. Ширяева [60] для процесса броуновского движения и формулируется следующим образом. Пусть на вероятностном пространстве (О, Р) задан случайный процесс X = (Х^^о со структурой.

Хг = - в)+ + Ви где В = (В^^о — стандартное броуновское движение на^, Р), 6 — экспоненциально распределенная случайная величина с известным пара.

2Термин «разладка» происходит из применений данной теории в вопросах контроля качества продукции, где момент в интерпретируется как сбой (разладка) оборудования. Процесс N соответствует доле брака в готовой продукции при нормальном режиме работы, а процесс 5 — дополнительной доле брака после сбоя. метром Л, и ?1 ^ 0 — известная константа. В обозначениях выше, Л^ = Ви (* - Оу.

Критерий качества обнаружения разладки заключается в нахождении оптимального момента остановки т* фильтрации ¥-х, минимизирующего среднюю величину риска 7£(т), состоящего из штрафа за ложную тревогу и штрафа за запаздывание:

Щт) = гР (т < в) + сЕ (т — $)+, где г > 0 — штраф за ложную тревогу, а с > 0 — штраф за единицу времени запаздывания. Без ограничения общности считают г — 1, что и будет предполагаться далее.

Задача нахождения г* решается путем сведения ее к задаче об оптимальной остановке для процесса апостериорных вероятностей 7 Г = (71^)^0, 7Г4 = Р (0 ^? | А именно, момент т* может быть найден как минимизирующий математическое ожидание (см., например, [60, 63]) Е.

1 — 7ГТ + с / 7Г3(1з.

Jo.

Доказывается, что процесс 7 г удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению.

1щ = Л (1 — щ)(Ы + - 7Гь)(1Вь с броуновским движением В = (В)^о, согласованным с фильтрацией ¥-х. В частности, 7 Г является марковским процессом, и, используя общие результаты марковской теории об оптимальной остановке, устанавливается, что оптимальный момент т* имеет вид т* = ы{г ^ 0: щ ^ А}, где, А е (0,1) — константа, зависящая от Л и с, которая однозначно характеризуется как решение некоторого алгебраического уравнения.

В третьей главе диссертации будут рассмотрены более сложные модели стохастических систем с разладкой. Сначала в § 3.1 будет сформулирована общая постановка байесовской задачи о разладке на фильтрованном вероятностном пространстве, частным случаем которой являются задачи о разладке случайных процессов и случайных последовательностей.

Ключевым результатом, излагаемым в § 3.2, является теорема о сведении задач обнаружения разладки к задачам об оптимальной остановке для обобщенной статистики Ширяева-Робертса ф. Выводится стохастическое дифференциальное уравнения, которому удовлетворяет процесс ф — о, и устанавливается, что в случае разладки диффузионного процесса X пара (ф, X) является марковским процессом. Это дает возможность применять методы общей теории об оптимальной остановке марковских процессов. Полученный результат дополняет работы [42, 61].

В § 3.3 рассматривается задача о разладке броуновского движения, когда момент разладки в принимает значения из конечного отрезка и равномерно распределен на нем. Равномерное распределение является естественной моделью разладки на отрезке при отсутствии дополнительной априорной информации о структуре в, так как оно обладает наибольшей энтропией (по этой же причине экспоненциальное распределение является естественной моделью разладки на полупрямой).

Данная задача оказывается существенно труднее задачи о разладке с экспоненциальным распределением в, так как ее удается свести лишь к неоднородной марковской задаче об оптимальной остановке, где оптимальные границы остановки не являются прямолинейными. Для решения применяются общие результаты, доказываемые в главе 1.

Материал § 3.4 посвящен задачам об оптимальной остановке броуновского движения и геометрического броуновского движения с разладкой на отрезке. Рассматривается модель, где у данных процессов коэффициент сноса изначально положителен, а после разладки меняется на отрицательный. Задачи заключаются в нахождении моментов остановки, максимизирующих среднее значение остановленных процессов. В случае экспоненциального распределения момента разладки данная модель изучалась ранее в работах [5, 15, 41], где ей придавалась экономическая интерпретация вопроса выбора оптимального момента продажи акции.

4. Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, приложения, списка обозначений и списка литературы.

1. Anderson T. W. The integral of a symmetric imimodal function over a symmetric convex set and some probability inequalities // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1955. — Vol. 6, no. 2. — Pp. 170 176.

2. Anderson T. W. A modification of the sequential probability ratio test to reduce the sample size // The Annals of Mathematical Statistics. — 1960. Vol. 31, no. 1. Pp. 165−197.

3. Bechhofer R. A note on the limiting relative efficiency of the Wald sequential probability ratio test // Journal of the American Statistical Association. 1960. — Vol. 55, no. 292. — Pp. 660−663.

4. Beibel M. A note on sequential detection with exponential penalty for the delay // The Annals of Statistics. 2000. — Vol. 28, no. 6. — Pp. 16 961 701.

5. Beibel M., Lerche H. R. A new look at optimal stopping problems related to mathematical finance // Statistica Sinica. — 1997. — Vol. 7. — Pp. 93 108.

6. Blumenthal R. M., Getoor R. K. Markov processes and potential theory.- New York: Academic Press, 1968.

7. Breakwell J., Chernoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution II (large t) // The Annals of Mathematical Statistics. — 1964. Vol. 35. Pp. 162−173.

8. Chernoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution // Fourth Berkeley Symposium. — 1961. — Vol. 1. — Pp. 79−91.

9. Chernoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution IV (discrete case) // The Annals of Mathematical Statistics. — 1964. — Vol. 36. Pp. 55−68.

10. Chernoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution III (small t) // The Annals of Mathematical Statistics. — 1965. — Vol. 36. — Pp. 28−54.

11. Davis M. H. A. A note on the Poisson disorder problem // Mathematical control theory: proceedings of a conference, Zakopane, January 1974. — Vol. 1. 1976. — P. 65.

12. Dubins L. E., Gilat D., Meilijson I. On the expected diameter of an L2-bounded martingale // The Annals of Probability. — 2009. — Vol. 37, no. 1. Pp. 393−402.

13. Dubins L. E.- Schwarz G. A sharp inequality for sub-martingales and stopping times // Asterisque. — 1988. — Vol. 157−158. Pp. 129−145.

14. Ekstrom E., Lindberg C. Optimal closing of a momentum trade // Journal of Applied Probability. 2013. — Vol. 50, no. 2. — Pp. 374−387.

15. Feinberg E. A., Shiryaev A. N. Quickest detection of drift change for Brownian motion in generalized Bayesian and minimax settings / / Statistics & Decisions. — 2006. — Vol. 24, no. 4. Pp. 445−470.

16. Gapeev P. V. The disorder problem for compound Poisson processes with exponential jumps // The Annals of Applied Probability. — 2005. — Vol. 15, no. 1A. Pp. 487−499.

17. Gapeev P. V., Peskir G. The Wiener disorder problem with finite horizon // Stochastic processes and their applications. — 2006. — Vol. 116, no. 12. Pp. 1770−1791.

18. Gapeev P. V., Shiryaev A. N. Bayesian quickest detection problems for some diffusion processes // Advances in Applied Probability. — 2012. — Vol. 45, no. 1. Pp. 164−185.

19. Harrison J. M., Shepp L. A. On skew Brownian motion // The Annals of Probability. 1981. — Pp. 309−313.

20. Irle A., Schmitz N. On the optimality of the SPRT for processes with continuous time parameter // Statistics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics. 1984. — Vol. 15, no. 1. — Pp. 91−104.

21. Jacod J., Shiryaev A. Limit Theorems for Stochastic Processes. — 2nd edition. — Springer, 2002.

22. Kallenberg O. Foundations of modern probability. — Springer, 2002.

23. Karatzas I. A note on Bayesian detection of change-points with an expected miss criterion // Statistics & Decisions. — 2003. — Vol. 21, no. 1. — Pp. 314.

24. Kiefer J., Weiss L. Some properties of generalized sequential probability ratio tests // The Annals of Mathematical Statistics. — 1957. — Vol. 28, no. 1. Pp. 57−74.

25. Lai T. L. Optimal stopping and sequential tests which minimize the maximum expected sample size // The Annals of Statistics. — 1973. — Vol. 1, no. 4. Pp. 659−673.

26. Lejay A. On the constructions of the skew Brownian motion // Probability Surveys. 2006. — Vol. 3. — Pp. 413−466.

27. Lorden G. 2-SPRT's and the modified Kiefer-Weiss problem of minimizing an expected sample size // The Annals of Statistics. — 1976. — Vol. 4, no. 2. Pp. 281−291.

28. Mas-Colell A., Whinston M. D., Green J. R. Microeconomic theory. — Oxford university press, 1995.

29. Matsumoto PL., Yor M. Exponential functionals of Brownian motion I: Probability laws at fixed time // Probability Surveys. — 2005. — Vol. 2. — Pp. 312−346.

30. Novikov A. On moment inequalities and identities for stochastic integrals // Proceedings of the Second Japan-USSR Symposium onProbability Theory / Ed. by G. Maruyama, Yu. Prokhorov. — Springer, 1973. Vol. 330. — Pp. 333−339.

31. Page E. S. Continuous inspection schemes // Biometrika. — 1954. — Vol. 41. Pp. 100−114.

32. Page E. S. Control charts with warning lines // Biometrika. — 1955. — Vol. 42. Pp. 243−257.

33. Peskir G. On the American option problem // Mathematical Finance. — 2005. Vol. 15, no. 1. — Pp. 169−181.

34. Peskir G., Shiryaev A. Optimal stopping and free-boundary problems. — Birkhauser Basel, 2006.

35. Peskir G., Shiryaev A. N. Solving the Poisson disorder problem // Advances in Finance and Stochastics. — 2002. — Pp. 295−312.

36. Poor H. V., Hadjiliadis O. Quickest Detection. — Cambridge University Press, 2009.

37. Revuz D., Yor M. Continuous martingales and Brownian motion. — 3rd edition. — Springer, 2004.

38. Roberts S. W. Control charts based on geometric moving average // Technometrics. 1959. — Vol. 1. — Pp. 239−250.

39. Shewart W. The application of statistics as an aid in maintaining quality of a manufactured product // Journal of the American Statistical Association. — 1925. Vol. 20, no. 152. — Pp. 546−548.

40. Shiryaev A., Novikov A. A. On a stochastic version of the trading rule «Buy and Hold-// Statistics & Decisions. 2009. — Vol. 26, no. 4. — Pp. 289−302.

41. Shiryaev A. N., Zryumov P. Y. On the linear and nonlinear generalized Bayesian disorder problem (discrete time case) // Optimality and Risk-Modern Trends in Mathematical Finance. — 2010. — Pp. 227−236.

42. Wald A., Wolfowitz J. Optimum character of the sequential probability ratio test // The Annals of Mathematical Statistics. — 1948. — Vol. 19, no. 3. Pp. 326−339.

43. Weiss L. On sequential tests which minimize the maximum expected sample size // Journal of the American Statistical Association. — 1962. — Vol. 57, no. 299. Pp. 551−566.

44. Zhitlukhin M. V. A maximal inequality for skew Brownian motion // Statistics & Decisions. — 2009. Vol. 27, no. 3. — Pp. 261−280.

45. Валъд А. Последовательный анализ (пер. с англ.). — Москва: Физмат-гиз, 1960.

46. Дубине Л. Е.- Шепп Л. А., Ширяев А. Н. Оптимальные правила остановки и максимальные неравенства для процессов Бесселя // Теория вероятностей и ее применения. — 1993. — Т. 38, № 2. — С. 288−330.

47. Житлухин М. В., Муравлёв А. А. Об уравнениях для оптимальных границ в задаче Чернова различения двух гипотез // Успехи математических наук. 2011. — Т. 66, № 5. — С. 183−184.

48. Житлухин М. В., Муравлёв А. А. О задаче Чернова проверки гипотез о значении сноса броуновского движения // Теория вероятностей и ее применения. 2012. — Т. 57, № 4. — С. 778−788.

49. Житлухин М. В., Муравлёв А. А., Ширяев А. Н. Оптимальное решающее правило в задаче Кифера-Вейса для броуновского движения // Успехи математических наук. — 2013. — Т. 68, № 2. — С. 201−202.

50. Житлухин М. В., Ширяев А. Н. Байесовские задачи о разладке на фильтрованных вероятностных пространствах // Теория вероятностей и ее применения. — 2012. — Т. 57, № 3. — С. 453−470.

51. Житлухин М. В., Ширяев А. Н. Задачи об оптимальной остановке для броуновского движения с разладкой на отрезке // Теория вероятностей и ее применения. — 2013. — Т. 58, № 1. — С. 193−200.

52. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. — Москва: Мир, 1968.

53. Липцер Р. Ш.- Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. — Москва: Наука, 1974.

54. Новиков А. А., Драгалин В. П. Асимптотическое решение задачи Кифера-Вейса для процессов с независимыми приращениями // Теория вероятностей и ее применения. — 1987. — Т. 32, № 4. — С. 679−690.

55. Олейник О. А., Вентцелъ Т. Д. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа // Математический сборник. 1957. — Т. 41, № 1. — С. 105−128.

56. Павлов И. В. Последовательная процедура проверки сложных гипотез с применениями к задаче Кифера-Вайсса // Теория вероятностей и ее применения. 1990. — Т. 35, № 2. — С. 293−304.

57. Ширяев А. Н. Задача скорейшего обнаружения нарушения стационарного режима // Доклады АН СССР. 1961. — Т. 138, № 5. — С. 1039.

58. Ширяев А. Н. Обнаружение спонтанно возникающих эффектов // Доклады АН СССР. 1961. — Т. 138, № 4. — С. 799−801.

59. Ширяев А. Н. Об оптимальных методах в задачах скорейшего обнаружения // Теория вероятностей и ее применения. — 1963. — Т. 8, № 1. С. 26−51.

60. Ширяев А. Н. О марковских достаточных статистиках в неаддитивных байесовских задачах последовательного анализа // Теория вероятностей и ее применения. — 1964. — Т. 9, № 4. — С. 670−686.

61. Ширяев А. Н. О двух задачах последовательного анализа // Кибернетика. 1967. — Т. 2. — С. 79−80.

62. Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. — 2 изд. — Москва: Наука, 1976.

63. Ширяев А. Н. Стохастическая финансовая математика. — Москва: Фазис, 1998.

64. Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд. — Москва: МЦНМО, 2004.

65. Ширяев А. Н. О стохастических моделях и оптимальных методах в задачах скорейшего обнаружения // Теория вероятностей и ее применения. 2008. — Т. 53, № 3 ~ 36.1042.