Гауссовская аппроксимация и принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних

Работа посвящена исследованию точности гауссовской аппроксимации, а также изучению логарифмической асимптотики вероятностей больших уклонений нормированного процесса частных сумм стационарно связанных наблюдений, имеющих структуру так называемых скользящих средних последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин, в случае притяжения этого процесса к фрактальному броуновскому движению с произвольным параметром Хёрста. Отметим, что форма зависимости упомянутых скользящих средних, вообще говоря, не укладывается в общепринятые схемы. В частности, классическое сильное (или равномерно сильное) перемешивание здесь уже может не иметь места. Стало быть, в данном случае далеко не всегда могут быть использованы классические результаты по асимптотическому анализу сумм стационарно связанных случайных величин.

Интерес к подобным предельным теоремам наблюдается уже давно (см., например, [8], [9]) и объясняется ярко выраженной прикладной направленностью рассматриваемой в диссертации модели. Например, подобные случайные процессы частных сумм возникают в финансовой математике и теории страхования.

В классической монографии И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника [9] впервые приводится одномерная центральной предельной теоремы для нормированного процесса частных сумм скользящих средних. В работе Ю. А. Давыдова [8] доказывается функциональный вариант центральной предельной теоремы — так называемый принцип инвариантности в форме Донскера (теорема сходимости). В п. 1.2 первой главы диссертации теорема 2 усиливает последний результат, снижая моментные ограничения на исходную последовательность случайных величин, по которым строятся скользящие средние. Кроме того, мы усиливаем соответствующий результат П. Биллингсли [2] в случае притяжения упомянутого процесса частных сумм к винеровскому процессу, значительно ослабляя условия на коэффициенты, с помощью которых строятся скользящие средние, при тех же оптимальных моментных ограничениях на упомянутую исходную последовательность случайных величин. Мы также частично усиливаем один результат П. Холла и К. Хейди [26], приводя достаточно широкий класс упомянутых выше коэффициентов, который не удовлетворяет условиям в [26], но для которого справедлив отмеченный выше принцип инвариантности Донскера (см. вторую часть теоремы 2 и замечание 7).

Заметим, что метод доказательства в [2] сводит исходные процессы частных сумм к аналогичным процессам, но построенным по «срезанным» скользящим средним с конечным набором порождающих коэффициентов. Для видоизмененного процесса применялись известные предельные теоремы для процессов частных сумм стационарно связанных m-зависимых случайных величин, что дало в итоге существенное огрубление достаточных условий сходимости. Авторы в [26] использовали приближение процессов частных сумм скользящих средних с помощью мартингалов и применили соответствующие предельные теоремы. Этот более тонкий подход несколько ослабил ограничения в [2] на коэффициенты, порождающие скользящие средние. В настоящей диссертации при доказательстве соответствующей теоремы сходимости (см. далее вторую часть теоремы 2) используется принципиально иной подход, а именно, представление исходного процесса частных сумм как линейного преобразования процесса с независимыми приращениями (классического случайного блуждания с независимыми одинаково распределенными скачками) с последующим использованием соответствующего метода одного вероятностного пространства.

Далее, в первой главе в п. 1.1 и п. 1.3 мы с помощью метода одного вероятностного пространства получаем также оценки скорости сходимости в принципах инвариантности в форме Штрассена (см. теорему 1) и Донскера (см. теорему 3 и замечание к ней), где существенно используются результаты Я. Комлоша, П. Майора и Г. Туш-нади. Ранее этот подход применялся в работах К. Вонга, И. Лина и К. Галэти [32], а также Т. Константопулоса и А. И. Саханенко [28].

Мы строим процесс частных сумм скользящих средних и фрактальное броуновское движение на одном вероятностном пространстве так, что их разность оказывается малой по сравнению с самими процессами. В принципе инвариантности Штрассена мы несколько расширяем класс предельных гауссовских процессов по сравнению с [28] и [32]. В п. 1.3 первой главы мы доказываются также неравенства (см. теорему 3), которые существенно используются при получении принципа больших уклонений в так называемой зоне нормальных уклонений (см. доказательство теоремы 4 для нижней зоны уклонений).

Основным результатом второй главы является принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних. Наибольший прогресс в этой области достигнут для процессов с независимыми приращениями (см. [4], [13], [31]), гауссовских процессов (см. [3], [12], [23]) и марковских процессов (см. [6], [31]). Однако процесс частных сумм скользящих средних в общем случае не принадлежит ни одному из указанных классов. В связи с этим отметим, что в диссертации впервые доказан принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних. Инструментом для получения этого результата стал соответствующий результат А. А. Пухальского для пространства С[0, 1] (см. [16], [30]). Кроме того, мы использовали вышеупомянутый результат из первой главы, касающийся гауссовской аппроксимации, а также экспоненциальные неравенства для сумм скользящих средних — аналоги классического неравенства С. Н. Бернштейна. Во второй главе (см. предложение 5 в п. 1.2) мы также устанавливаем связь между функцией уклонений для фрактального броуновского движения и нормой в так называемом пространстве Камерона-Мартина для распределения процесса фрактального броуновского движения в С[0,1].

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Нумерация теорем, лемм, предложений и формул сквозная.

Список литературы

составлен последовательно по двум алфавитам — русскому и латинскому. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [21], [22].

1. Аркагиов Н. С., Борисов И. С. Гауссовская аппроксимация процессов частных сумм скользящих средних // Сиб. мат. журнал. — 2004. — Т.45. — № 6. — С. 1221−1255.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977. •.

3. Богачев В. И. Гауссовские меры. — М.: Наука, 1997.

4. Боровков А. А. Граничные задачи для случайных блужданий и большие уклонения в функциональных пространствах // Теория вероятн. и ее примен. — 1967. Т.12. — № 4 — С. 635−654.

5. Боровков А. А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. — М.: Наука, 1980.

6. Боровков А. А., Могулъский А. А., Саханенко А. И. Предельные теоремы для случайных процессов. Т. 82. — ВИНИТИ, 1995.

7. Гихман И. И., Скороход А. В.

Введение

в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1965.

8. Давыдов Ю. А. Принцип инвариантности для стационарных процессов // Теория вероятностей и ее применения. — 1970. — Т.24. — № 3 — С. 487−498.

9. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. — М.: Наука, 1965.

10. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989.

11. Лидбеттер М., Ротсен X., Линдгрен Г. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. — М.: Мир, 1989.

12. Лифшиц М. А. Гауссовские случайные функции. — Киев: TBiMC, 1995.

13. Могулъский А. А. Большие уклонения для траекторий многомерных случайных блужданий // Теория вероятн. и ее примен. — 1976. — Т.21. — № 2 — С. 309−323.

14. Могулъский А. А. Большие уклонения в пространстве траекторий для последовательностей и процессов со стационарными приращениями // Сиб. матем. жур. 1975. — Т.16. — № - С. 314−327.

15. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. — М.: Наука, 1987.

16. Пухалъский А. А. К теории больших уклонений // Теория вероятн. и ее примен. 1993. — Т.38. — № - С. 553−562.

17. Стоянов Й. Контрпримеры в теории вероятностей. — М.: Факториал, 1999.

18. Скороход А. В. Предельные теоремы для случайных процессов // Теория вероятн. и ее примен. — 1956. — Т.1. — № — С. 289−319.

19. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. — М.: Мир, 1984.

20. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980.

21. Ben Arous G., Ledoux M. Schilder’s large deviation principle without topology // Pitman Research Notes in Math. — 1993. — V. 284. — P. 107−121.

22. Bronski J. C. Small Ball Constant and Tight Eigenvalue Asymptotics for Fractional Brownian Motions. // J. Theoret. Probab. — 2003. — V. 16. — № 1 — P. 87−100.

23. Dembo A., Zeitouni O. Large Deviations Techniques and Applications. — BostonLondon: Jones and Bartlett Publishers, 1993.

24. Hall P., Heyde C.C. Martingale limit theory and its application. — New York: Academic Press, 1980.

25. Hsing T. On the asymptotic distributions of partial sums of functionals of infinite-variance moving averages // Ann. Probab. — 1999. — V. 27, № 3. — P. 1579−1599.

26. Konstantopoulos Т., Sakhanenko A. Convergence and convergence rate to fractional Brownian motion for weighted random sums. // Сиб. электронные матем. известия. — 2004. T. l — С. 47−63.

27. Mandelbrot В., Van Ness J. Fractional Brownian motions, fractional noise and applications // SIAM Review. — 1968 — V. 10 — P. 422−437.

28. Pukhalski A. A. On functional principle of large deviations // New Trends in Probability and Statistics. — Vilnius, 1991. — C. 199−219.

29. Varadhan S. R. S. Asymptotic probabilities and differential equations// Comm. pure appl. math. 1966. — V. 19. — JV"3. — P. 261−286.

30. Wang Q., Lin Y., Gulati С. M. Strong Approximation for Long memory Process with Applications. // J. Theoret. Probab. — 2003. — V. 16. — № 2 — P. 377−389.