Дипломы, курсовые, рефераты, контрольные...
Срочная помощь в учёбе

Обратные экстремальные задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости с нестандартными граничными условиями

Диссертация: Обратные экстремальные задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости с нестандартными граничными условиями
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Развитие новых технологий в инженерной механике жидкости приводит к новым постановкам задач в теоретической гидродинамике. Необходимость получать течения с требуемыми свойствами является основным стимулом изучения обратных экстремальных задач, которые стали рассматриваться в последнее время в гидродинамике вязкой несжимаемой жидкости. В указанных задачах неизвестными являются граничные значения… Читать ещё >

Содержание

  • 1. Постановки основных краевых задач
    • 1. 1. Постановки основных краевых задач. Обзор предыдущих исследований
    • 1. 2. Основные функциональные пространства и интегральные формулы
    • 1. 3. Дополнительные сведения
  • 2. Разрешимость основных краевых задач
    • 2. 1. Существование и единственность слабого решения основных краевых задач
      • 2. 1. 1. Определение слабого решения Задачи
      • 2. 1. 2. Существование слабого решения Задачи
      • 2. 1. 3. Единственность решения Задачи
      • 2. 1. 4. Случай линейной задачи тепловой конвекции
      • 2. 1. 5. Введение граничных и распределенных управлений
    • 2. 2. Разрешимость Задачи 1 в особом случае
    • 2. 3. Случай уравнений Навье-Стокса
  • 3. Исследование обратных экстремальных задач
    • 3. 1. Теорема существования
    • 3. 2. Применение метода неопределенных множителей Лагран
      • 3. 2. 1. Существование множителей Лагранжа
      • 3. 2. 2. Вывод дифференциальных уравнений и граничных условий для множителей Лагранжа
    • 3. 3. Регулярность множителя Лагранжа
    • 3. 4. Единственность решения экстремальных задач
    • 3. 5. Исследование экстремальных задач в особом случае
    • 3. 6. Экстремальные задачи для уравнений Навье-Стокса

Обратные экстремальные задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости с нестандартными граничными условиями (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Развитие новых технологий в инженерной механике жидкости приводит к новым постановкам задач в теоретической гидродинамике. Необходимость получать течения с требуемыми свойствами является основным стимулом изучения обратных экстремальных задач, которые стали рассматриваться в последнее время в гидродинамике вязкой несжимаемой жидкости. В указанных задачах неизвестными являются граничные значения на определенных участках границы области течения и правые части уравнений, которые находятся из условия минимума некоторого функционала качества.

Хотя первые исследования в этой области появились в начале 80-х годов в работах A.B. Фурсикова [34−36], указанное направление стало интенсивно развиваться только в начале 90-х, когда вычислительная техника достигла уровня, позволяющего численно решать сложные задачи оптимального управления для нелинейных систем с распределенными параметрами. В большинстве работ, посвященных как теоретическим вопросам, так и чисто вычислительным аспектам решения задач оптимального управления гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости, влияние тепловых эффектов на движение жидкости не учитывалось, а все рассмотрения проводились в рамках модели Навье-Стокса. Вместе с тем, для ряда процессов, происходящих в вязких жидкостях, тепловые эффекты играют важную роль. Поэтому исследование обратных экстремальных задач для уравнений вязкой теплопроводной жидкости представляет теоретический и практический интерес.

Основные трудности исследования таких задач связаны с наличием неоднородных граничных условий Дирихле для температуры при рассмотрении стационарной системы Обербека — Буссинеска, описывающей движение вязкой теплопроводной жидкости. В работах [44, 57] F. Abergel и Е. Casas в качестве управления использовалось граничное условие типа Неймана для температуры на части границы. Исследованию более сложных задач оптимального управления для уравнений гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости с использованием управлений Дирихле для скорости и температуры посвящены работы Г. В. Алексеева [3,6].

Целью диссертационной работы, продолжающей исследования Г. В. Алексеева, является исследование разрешимости как прямых краевых, так и обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости, рассматриваемых при смешанных краевых условиях для температуры и нестандартных граничных условиях для скорости, когда на части границы задано однородное условие Дирихле для скорости, а на оставшейся части — нулевая тангенциальная компонента скорости и полный напор.

Исходя из поставленной цели, были сформулированы следующие задачи:

1. Доказать теорему существования слабого решения стационарной системы Буссинеска при смешанных краевых условиях для температуры и нестандартных граничных условиях для скорости.

2. Получить априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи (далее являющиеся управлениями) принадлежат ограниченным множествам.

3. Установить условия на исходные данные, при которых рассматриваемая краевая задача для стационарной системы Буссинеска имеет единственное решение.

4. Исследовать разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости при указанных выше граничных условиях для температуры и скорости.

5. Обосновать применение метода неопределенных множителей Ла-гранжа и вывести системы оптимальности для определенных функционалов качества.

6. Установить достаточные условия единственности решения обратной экстремальной задачи для конкретных функционалов качества.

Перейдем к формулировке основных результатов диссертационной работы, написанной по материалам работ [5,7,30,48]. Указанная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 103 наименований.

Основные результаты параграфов 3.2 — 3.4 для данного частного случая переходят в следующие теоремы.

Теорема 3.13. Пусть при выполнении условий теоремы 3.11 К С Ь2(Гз) — выпуклое множество, (й, д) Е х К — точка локального минимума в задаче (3.92) и пусть «/(и,-): К —> М. — выпуклый функционал для каждой точки и Е причем функция и —У «7ц (и, д) со значениями в принадлежит классу с о в точке й для любого элемента д Е К. Тогда существует ненулевой множитель Лагранжа (Ао,£) Е М+х? такой, что справедливо уравнение Эйлер а-Лагранжа.

3.93) и выполняется принцип минимума й, д, А0,0 < р, А0,0 Vд Е К.

Теорема 3.14. Пусть выполняются условия теоремы 3.13, причем 5у</4(й, д) Е Н1(0). Тогда существуют функции (Лагранжевы множители)? Е ЛУ, а Е Ь2(0,) и константа Ао > 0- которые вместе с элементом (й, р) удовлетворяют уравнению г/гс^го^- — го1-й х? + х ?) + Уст = —Аобу </ц (й, д) в Н1(0), (3.94) интегральному тождеству + = — Ао < 4(й, д), л*г Vw Е W.

3.95) и вариационному неравенству.

— • п ¿-Г < Ао- ^(й, </)] Е К,. (3.96) г" 1 2.

Если предположить дополнительно, что £,<х и й удовлетворяют соответствующим условиям в (3.38), то из (3.94) и (3.95) нетрудно вывести, рассуждая как в п. 3.2.2, дифференциальное уравнение для функций Н1(А, О), а Е Н1 (П) и граничное условие для а. Простой анализ показывает, что указанные соотношения имеют вид г/го1го^-гоШх?+го^йх?)+У (7 = АоДй в О, а = А0—п в Я-1^^) дп для функционала При / = /з в предположении, что ^ 6 Н (го1-, 0) и / = 2, имеем г/го^о^ —го^х?+го^йх?) + Усг = — Аого1-(го1-й—в О, сг = 0 на Г2.

Будем говорить, что множество К Е Ь2(Г2) обладает свойством «С» в точке (й, д) 6 W х К, если для любого ненулевого решения? Е ЛУ однородного уравнения.

0 Vw Е W (3.97) найдется такой элемент до Е что.

1(д-до)?-п*Г>0. (3.98).

Г2.

Теорема 3.15. Пусть выполняются условия теоремы 3.13 и, кроме того, множество К обладает свойством «С» в точке (й, д), являющейся точкой локального минимума в задаче (3.92). Тогда существует только тривиальное решение? уравнения (3.97), с которым выполняется неравенство.

I (д — д)? ¦ п <1Т < 0 Уд Е Къ г" 1 2 теорема 3.16. Пусть выполняются условия теоремы 3.13 и условие (2.76) для каждого д Е К. Тогда: 1) однородное уравнение (3.97) имеет только тривиальное решение- 2) любой нетривиальный множитель Лагранжа, удовлетворяющий (3.93), является регулярным, т. е. имеет вид (1,0/ уравнение имеет единственное решение.

Аналогично (3.62) рассмотрим задачу.

7(и, 0) = 1 [ |гоШ|2^ ее Ы. (3.99).

I} 2 (и, д) егаа.

Теорема 3.17. Пусть в дополнение к условиям (г),(гп") выполняется условие.

ЗЛА.

4- [РИ*- + сН1Ы1г-г + ||г||гг)] <16 кг. V.

Тогда экстремальная задача (3.99), где К — ограниченное выпуклое замкнутое множество, имеет единственное решение (и, д) Е X Кг/и.

Заключение

.

В данном заключении сформулируем основные результаты диссертации.

1. Доказана теорема существования слабого решения стационарной системы Буссинеска при смешанных краевых условиях для температуры и нестандартных граничных условиях для скорости.

2. Получены априорные оценки решения, позволяющие сделать вывод о его ограниченности в случае, когда данные краевой задачи (далее являющиеся управлениями) принадлежат ограниченным множествам.

3. Установлены условия на исходные данные, при которых рассматриваемая краевая задача для стационарной системы Буссинеска имеет единственное решение.

4. Исследована разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости при указанных выше граничных условиях для температуры и скорости.

5. Обосновано применение метода неопределенных множителей Ла-гранжа для дифференцируемого функционала качества и выведены системы оптимальности для конкретных функционалов качества.

6. Установлены достаточные условия единственности решения обратной экстремальной задачи для конкретных функционалов качества.

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук профессору Г. В. Алексееву за ценные советы и постоянное внимание к работе.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Э.А. О разрешимости некоторых экстремальных задач для стационарных уравнений тепловой конвекции // Дальневосточный матем. сб. 1998. Вып. 5. С. 74−85.
  2. Г. В., Малыкин В. В. Численное исследование стационарных экстремальных задач для двумерных уравнений вязкой жидкости // Вычислительные технологии. 1993. Т. 2. N 5. С. 5−16.
  3. Г. В. Теоретический анализ стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции. Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1996.
  4. Г. В., Терешко Д. А. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции. Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1997.
  5. Г. В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, N 5. С. 982−998.
  6. Г. В., Терешко Д. А. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции II. Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1998.
  7. В.К., Капцов О. В., Пухначев В. В., Родионов A.A. Применение теоретико групповых методов в гидродинамике. М.: Наука, 1994.
  8. С.Н., Кажихов A.B., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.
  9. Э.Б., Смирнов Н. В. Об ортогональных разложениях пространства вектор-функций, квадратично суммируемых на заданной области // Тр. Мат. института им. В. А. Стеклова АН СССР. 1960. Т. 59. С. 3−63.
  10. Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981.
  11. А.Г. Задача о стационарной свободной конвекции // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8, N 6. С. 1378−1383.
  12. А.Г., Тиунчик М. Ф. О некоторых задачах механики с разрывными граничными условиями и негладкой границей // Дифферент ур-я. 1978. Т. 14, N 9. С. 1632−1637.
  13. А.Г. Численный анализ начально-краевой задачи для уравнений тепловой конвекции //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31, N 6. С. 471−473.
  14. А.Г. Начально-краевая задача для нестационарных уравнений тепловой конвекции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.1995. Т. 35, N 5. С. 728−738.
  15. А.Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
  16. A.B., Рагулин В. В. О задаче конвекции в вязкой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1979. Вып. 40. С. 127−133.
  17. H.K. О некоторых задачах конвекции в вязкой несжимаемой жидкости // Вестник ЛГУ. 1971. Вып. 2, N 7. С. 29.
  18. O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.
  19. O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.
  20. Л.Д., Лившиц В. М. Гидродинамика. (Теоретическая физика. Т. IV.). М.: Наука, 1988.
  21. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.
  22. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987.
  23. П. Неравенства в механике и их приложения. М.: Мир, 1989.
  24. А.И., Васин И. А. Разрешимость трехмерной обратной задачи для нелинейных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. физ. 1990. Т. 30. N 2. Р. 1540−1552.
  25. В.В. К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления или напора // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО
  26. АН СССР, 1976. Вып. 27. С. 78−92.
  27. А.Б. Экстремальные задачи граничного управления для линейной системы уравнений тепловой конвекции // Дальневосточный матем. сб. 1998. Вып. 5. С. 86−101.
  28. А.Б., Терешко Д. А. Задачи оптимального граничного управления для системы уравнений тепловой конвекции // Тез.
  29. XVI Международной школы-семинара по числ. методам механики вязкой жидкости. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 1998.
  30. Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.
  31. Д.А. Исследование обратных экстремальных задач для стационарных уравнений вязкой теплопроводной жидкости // Дальневосточный матем. сб. 1997. Вып. 4. С. 75−85.
  32. Д.А. Обратные экстремальные задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости с нестандартными граничными условиями // Тез. Международной конференции по обратным задачам математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1998.
  33. В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
  34. М.Ф., Юдович В. И. Об уравнениях стационарной конвекции // Прикл. матем. и механика. 1963. Т. 27, N 2. С. 295−300.
  35. A.B. О некоторых задачах управления и результатах, касающихся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных систем Навье-Стокса и Эйлера // Докл. АН СССР. 1980. Т. 252, N 5. С. 1066−1070.
  36. A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса // Мат. сб. 1981. Т. 115, N 2. С. 281−306.
  37. A.B. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье-Стокса // Мат. сб. 1982. Т. 118, N 3. С. 323−349.
  38. А.Ю. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. N 5. С. 202−213.
  39. А.Ю. Нормальные решения краевых задач для стационарных систем типа Навье-Стокса // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36. N 4. С. 934−942.
  40. П.С. О нестационарной свободной конвекции в ограниченной области // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1966. Т. 6, N 2, С. 283−303.
  41. О.Ю. О некоторых задачах оптимального управления, связанных с системой Навье-Стокса // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1991. N 15. С. 108−127.
  42. В.И. О возникновении конвекции // Прикл. матем. и механика. 1966. Т. 30, N 6. С. 1000−1005.
  43. В.И. Свободная конвекция и ветвление // Прикл. матем. и механика. 1967. Т. 31, N 1. С. 101−111.
  44. Abergel F., Temam R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 1990. V. 1. P. 303−325.
  45. Abergel F., Casas E. Some optimal control problems of multistate equations appearing in fluid mechanics // Math. Modelling Numer. Anal. 1993. V. 27. P. 223−247.
  46. Adams R. Sobolev Spaces. Academic Press. New York, 1975.
  47. Alekseev G.V., Malikin V.V. Optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with boundary control. Preprint. Vladivostok: Dalnauka, 1993.
  48. Alekseev G.V., Malikin V.V. Numerical analysis of optimal boundary control problems for Navier-Stokes equations // Comp. Fluid Dynamics J. 1994. V. 3. N 1. P. 1−26.
  49. Alekseev G.V., Tereshko D.A. Solvability of the inverse extremal problem for the incompressible heatconducting fluid equations //J. Inverse Ill-posed Problems. 1998. V. 6.
  50. Begue C., Conca C., Murat F., Pironneau O. A nouveau sur les equations de Stokes et de Navier-Stokes avec des conditions aux limites sur la pression // C. R. Acad. Sci. Paris, Serie I. 1987. V. 304, N 2. P. 23−28.
  51. Bendali A., Dominguez J.M., Gallic S. A variational approach for the vector potential formulation of the Stokes and Navier-Stokes problems in three dimensional domains //J. Math. Anal. Appl. 1985. V. 107, N. 2. P. 537−560.
  52. Bernardi C., Canuto C., Maday Y. Spectral approximations of the Stokes equations with boundary conditions on the pressure // SIAM J. Numer. Anal. 1991. V. 28, N 2. P. 333−362.
  53. Burkardt J., Peterson J. Control of steady incompressible 2D channel flow // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P. lll-126.
  54. Casas E., Fernandez L. A Green’s formula for quasilinear elliptic operators //J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 142. P. 62−72.
  55. Casas E. The Navier-Stokes equations coupled with the heat equation: analysis and control // Control Cybernet. 1994. V. 23, N 4. P. 605−620.
  56. Casas E. Optimality conditions for some control problems of turbulent flows // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P. 127−147.
  57. Conca C. Approximation de quelques problemes de type Stokes par une method d’elements finis mixtes // Numer. Math. 1984. V. 45, N 1. P. 75−91.
  58. Conca C. On the aplication of the homogenization theory to a class of problems arising in fluid mechanics //J. Math. Pures Appl. 1985. V. 64, N 1. P. 31−75.
  59. Conca C., Murat F., Pironneau 0. The Stokes and Navier-Stokes equations with boundary conditions involving the pressure // Japan. J. Math. 1994. V. 20, N 2. P. 279−318.
  60. Conca C., Pares C., Pironneau O., Thiriet M. Navier-Stokes equations with imposed pressure and velocity fluxes //J. Numer. Methods Fluids. 1995. V. 20. P. 267−287.
  61. Dabaghi F.E., Pironneau O. Stream vectors in three dimensional aerodynamics // Numer. Math. 1986. V. 48. P. 561−589.
  62. Desai M. and Ito K. Optimal control of Navier-Stokes equations // SIAM J. Contr. Opt. 1994. V. 32. N 5. P. 1428−1446.
  63. Dubois F. Discrete vector potential representation of a divergence-free vector field in three-dimensional domains: numerical analysis of a model problem // SIAM J. Numer. Anal. 1990. V. 27, N 3.
  64. Ito K., Ravindran S.S. A reduced basis method for control problems goverened by PDEs. Preprint, Department of Mathematics, North Carolina State University, USA, 1997.
  65. Fattorini H., Sritharam S.S. Existence of optimal controls for viscous flow problems // Proc. of the Royal Soc. of London, Serie 1. 1992. V. 439. P.81−102.
  66. Foias C., Temam R. Remarques sur les equations de Navier-Stokes stationnaires et les phenomenes successifs de bifurcation // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, IV. 1978. V. 5, N 1. P. 29−63.
  67. Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. On exact boudary zero-controllability of two-dimensional Navier-Stokes equations // Acta Appl. Math. 1994. V. 37. P. 67−76.
  68. Fursikov A.V. Exact boudary zero controllability of three dimensional Navier-Stokes equations //J. of Dynamical and Control Syst. 1995. V. 1, N 3. P. 325−350.
  69. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. On controllability of certain systems simulating a fluid flow // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.149−153.
  70. Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. Local exact controllability of the Navier-Stokes equations // C.R. Acad. Sei. Paris. Serie I. 1996. V. 323, N 3. P. 275−280.
  71. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Local exact boundary controllability of the Boussinesq equations // SIAM J. Contr. Optim. 1998. V. 36, N 2. P. 391−421.
  72. Fursikov A.V., Gunzburger M.D., Hou L.S. Boundary value problems and optimal boundary control for the Navier-Stokes system: the two-dimensional case // SIAM J. Contr. Optim. 1998. V. 36, N 3. P. 852 894.
  73. Gad-el-Hak M. Flow control // Appl. Mech. Rev. 1989. V. 42. P. 261 293.
  74. Gaultier M., Lezaun M. Equations de Navier-Stokes couplees a des equations de la chaleur: resolution par une methode de pointe fixe en dimension infininie // Ann. Sc. Math. Quebec. 1989. V. 13. P. 1−17.
  75. Girault V., Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Theory and algorithms. Berlin: Springer-Verlag, 1986.
  76. Girault V. Incompressible finite element methods for Navier-Stokes equations with non-standard boundary conditions in M3 // Math, of Comp. 1988. V. 15, N 183. P. 55−74.
  77. Grisvard P. Boundary value problems in non-smooth domains. Pitman. London, 1985.
  78. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with distributed and Neumann controls // Math, of Comp. 1991. V. 57, N 195. P. 123−151.
  79. Gunzburger M., Hou L., Svobodny T. Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier
  80. Stokes equations with Dirichlet conditions // Math. Modelling Numer. Anal. 1991. V. 25. P. 711−748.
  81. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Boundary velocity control of incompressible flow with application to viscous drag reduction // SIAM J. Control Optim. 1992. V. 30, N 1. P. 167−182.
  82. Gunzburger M.D. A prehistory of flow control and optimization // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.185−195.
  83. Hishida T. Asymptotic behavior and stability of solutions to the exterior convection problem // Nonlinear Anal. 1994. V. 22. P. 895 925.
  84. Antontsev S.N., Kazhikhov A.V., Monakhov V.N. Boundary value problems in mechanics of nonhomogenuous fluids. North-Holland, 1990.
  85. Lukaszewicz G. On the stationary flows of viscous incompressible and heat-conducting fluids // Math. Methods in the Appl. Sci. 1988. V. 10. P. 329−337.
  86. Morimoto H. On the existence of weak solutions of equation of natural convection //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1989. Sect. IA. V. 36. P. 87−102.
  87. Morimoto H. On the existence and uniqueness of the stationary solution to the equations of natural convection // Tokyo J. Math.1991. V. 14. P. 217−226.
  88. Morimoto H. Non-stationary Boussinesq equations //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. 1992. V. 39. P. 61−75.
  89. Necas J. Les methodes directese en theorie des equations elliptiques. Masson. Paris, 1967.
  90. Oeda K. Weak and strong solutions of the heat convection equations in regions with moving boundaries //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. 1989. V. 36. P. 491−536.
  91. Oeda K. Stationary solutions of the heat convection equations in exterior domains // Proc. Japan Acad. Sci., Ser. A. 1997. V. 73. N 61. P. 111−115.
  92. Pironneau 0. Conditions aux limites sur la pression pour les equations de Stokes et de Navier-Stokes // C. R. Acad. Sci. Paris, Serie I. 1986. V. 303, N 9. P. 403−406.
  93. Saranen J. On generalized harmonie fields in domains with anizotropic nonhomogeneous media // J. Math. Anal. Appl. 1982. V. 88, N 1. P. 104−115.
  94. Shinbrot M., Kotorynski W.P. The initial value problem for viscous heat-conducting // J. Math. Analys. and Appl. 1974. V. 45. P. 1−22.
  95. Svobodny T. Shape optimization and control of separating flow in hydrodynamics // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P. 325−339.
  96. Temam R. Remarks on the control of turbulent flows // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. P.357−371.
  97. Vasin I.A. Inverse boundary value problems in viscous fluid dynamics // Ill-Posed Problems in Natural Sciences. Proc. Intern. Conf. Moscow. August, 19−25. 1991. VSP. Moscow. 1992. P. 423−430.
  98. Verfurth R. Finite element approximation of steady Navier-Stokes equations with mixed boundary conditions // RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1985. V. 19. P. 461−475.
  99. Verfiirth R. Finite element approximation of incompressible Navier-Stokes equations with slip boundary conditions // Numer. Math. 1987. V. 50. R 697−721.
  100. Verfiirth R. Mixed finite element approximation of the vector potential // Numer. Math. 1987. V. 50. R 685−695.
  101. Yuh-Roung Ou. Mathematical modelling and numerical simulation in external flow control // Flow control. IMA 68. Ed. M.D. Gunzburger. Springer., 1995. R219−255.
  102. Zarubin A.G. On an iterative method for approximate solution of an initial boundary value problem for the heat convection equation // Comput. Fluid Dynamics J. 1994. V. 4. R 323−332.
Заполнить форму текущей работой

Заказал и сдал!