Большие уклонения и предельные теоремы для некоторых функционалов от случайного блуждания

Основные обозначения.

Рассмотрим Xi, г < п — невырожденные независимые одинаково распределенные случайные величины (н.о.р. сл.в.) с функцией распределения.

Т1 ф. р) F{x), Sn —? Xi. Будем использовать обозначение X для величины, г=1 распределенной также как любая из величин Х{. Положим.

R (h) = EehX, h+ = sup{h: R (h) < oo}, h~ = —inf{h: R (h) < oo}. Потребуем EX = 0. Введем m (h) = d (nR (h))/dh, m+ = lim m (h), m~ = 0 lim rn (h), h->h±0 v ' h-+h~ +0 4 n cr2(h) = dm (h)/dh > 0.

Если X не равно 0 п.н., то функция m{h) монотонно возрастает от — га-до т+ на (~h~, h+), следовательно, у уравнения m{h) = в существует единственное решение при любом 9? (—т~, т+). Будем обозначать его Hq. Для удобства, при положительных в положим h? = h-e Положим.

А (в) = dhe — InR (he), А'(в) = -ВЦ — In Д (^) Положим р[ := P{S < 0, ., 5/ < 0).

Для любого 9 Е (—т~, т+) введем сопряженную к F (x) = Р (Х < х) функцию распределения (ф.р.).

Fx) = R (he)1 I eheydF{y). oo.

Обозначим через сл:.в. с^ф.р. Xf, X2,. — последовательность н.о.р. сл.в. с ф.р. и положим Sп — Y, Xf. Для величин, связанных с блужданием г=1.

5®, будут использоваться такие же обозначения, что и для блуждания 5″, с добавлением верхнего индекса 9.

Будем обозначать.

Мп = maxSfc, тп = min к<�п к<�п.

Тп = 'Тп min{fc: Sk = Мп], т&trade- = maxjfc < п: Sk = mn}, Rn = Мпmin Sk, Dn = max Sk — mn, Tn = Mnmn.

Введем к<�тМ к<�т%.

Зп, к — к ~ и под величинами МП: ГП, тп, т, тщгп будем понимать величины Мп, тп, тп, примененные к блужданию §-к = З^т? к < п. Введем лестничные моменты и высоты для блуждания гпгп{к > 0: 5й>т > Н, т, у = ^.&bdquo-т, где V — положительный параметр, и положим Ащтп := Ап, т{и) = Мп^т-6п—и, $п, т — — 5П, ТО. В случае, когда параметры т, V равны 0, мы будем употреблять обозначения Ь^Щ.

Также, для сокращения записи, мы будем употреблять запись Р{Х € йу), где у — вещественное число, подразумевая под этим Рх (<�Лу). Под равенством такого рода выражений мы будем понимать равенство соответствующих мер.

Основные результаты.

Объектом изучения данной работы является случайное блуждание п — 1 где Хг — н.о.р сл.в. с ф.р. Р, чей максимум Мп = тах^<�п вь совершает большие уклонения Мп > 9п, 9 <�Е (0, ш+), где т+ - положительная константа.

Предположим, что величины Хг невырождены, имеют математическое ожидание равное 0 и удовлетворяют правостороннему условию Крамера: ЕекХ1 = I еНх (1Р (х) < оо, д для всех 0 < /г < Н+ < схэ.

В первой главе нас будет интересовать поведение.

Р (тах5^ > вп), к<�п при п —^ оо в области 0 < 9 < т+. Эта вероятность есть о (1) при п —> оо в силу принципа инвариантности Донскера-Прохорова, однако, нас будут интересовать более точные оценки.

Для этой вероятности в первой главе работы найдена точная асимптотика, для случайного блуждания, подчиненного условию Мп > 9п, исследовано асимптотическое распределение некоторых функционалов и получены функциональные предельные теоремы.

Стоит отметить, что условие нулевого математического ожидания может быть заменено на его неотрицательность, при этом все описанные результаты остаются в силе. В случае отрицательного среднего поведение вероятности Р (Мп > 9п) качественным образом меняется (см. (КогзЬипоу, 2003)). Правостороннее условие Крамера, обеспечивающее экспоненциальную скорость убывания 1 — Р (х) при х оо, является принципиальным для методов, используемых в работе.

Теория больших уклонений ведет отсчет от работ Бахадура и Ранга Pao (Bahadur, Rao, 1960), Петрова (Петров, 1965), где были получены, соответственно, «грубая» и «точная» асимпотики.

In P (Sn > On)/пЛ (0), п —^ оо.

P (Sn > вп) ~ СОТп-^е" ^", п оо, причем функции Л (0), С {в) были найдены явно. В работе (Bahadur, Rao, I960) описаны распределения функционалов, связанных с блужданием, при условии совершения Sn большого уклонения, в том числе распределение отдельных величин Х{ при этом условии. Удается изучить и всю траекторию в целом — в работах (Боровков, 2000), (Полещук, 1989) при разных условиях получены функциональные предельные теоремы о слабой сходимости процесса.

X{nt) = (S[nt] + X[nt+1](nt — [nt]) — 9nt)/(y/na{ho)), t E [0,1], при условии Sn > вп к процессу броуновского моста в пространстве непрерывных функций на отрезке [0,1].

Большие уклонения Мп описаны менее полно, хотя показано, что асимптотика вероятностей больших уклонений для нее получается такой же с точностью до мультипликативной константы. В работе (Боровков, Коршунов, 2000) получено явное выражение для этой константы в более общем случае, когда вместо случайного блуждания рассматривается асимптотически N-однородная марковская цепь.

Первая глава данной диссертации дополняет описанные выше работы.

В теореме 1.1 выводится асимптотика.

Р (Мп > вп) ~ ?>(0)е-л (б)7л/п, п —У оо.

Результат теоремы 1.1 близок к результатам, полученным в (Боровков, Коршунов, 2000), однако подход диссертации, заключающийся в прямом вероятностном анализе траекторий, существенно отличается от методов, используемых Боровковым и Коршуновым. Доказательство теоремы 1.1 является базовым для получения последующих результатов работы. Теорема 1.2 обобщает результат теоремы 1.1, в ней приведен явный вид асимптотики Р (Мп > вп— сл/п — и), где с — вещественная константа:

Р{Мп >9п + cyfaи)~ D{9)e~.

Теоремы 1.3, 1.4, 1.5 описывают предельные распределения отдельных участков блуждания Sn при условии Мп > вп. Теорема 1.3 показывает, что «левый край» Хг-, г < к = O (l) блуждания при условии большого уклонения асимптотически распределен как н.о.р. величины Xf с так называемым «сопряженным» распределением F9(x), имеющим математическое ожидание 9:

Р (Хг G Дь Хк G АкМп > вп) = П Р (Хв G Дг)(1 + о (1)), г=1 п —> сю. Теорема 1.5 показывает, что величины где 1 < г < к различные вещественные числа из промежутка (0,1), распределены по тому же закону:

P{X[nti] е Дь ., X[ntk] g Afc|Мп >9n)=f[ Р (Х9 Е Дг-)(1 + о (1)), г=1 п —> оо. Замечание 1.3, приводимое после теоремы 1.5 указывает, что в действительности вместо [nil],., [ntk] можно рассматривать любую последовательность целочисленных моментов такую, что п — тах (г7-«)) —со j.

Теорема 1.4 демонстрирует специфическое для максимума отличие в распределении Xn~i, i < к = 0(1):

Р (Хп G Дь. A-fe+i G Дй|Мп > вп — и) оо.

— оо-, п —> оо.

P (S!>0,l<0Д<^<0Д (Л")-' 1=0.

В случае Sn > вп такие особенности величин из «правого края» отсутствуют. Теорема 1.6 описывает предельное распределение величины Мп — Sn: оо.

Р{Мп — Sn б UMn >dn-u)=Yl P{Si < о, Sk < О, ske U) R{he)~k к=0 оо.

Е P{Si < 0,., Sk < 0) R (h9)-k) — к=О.

Теорема 1.7 подытоживает теоремы 1.3−1.6, описывая совместное распределение функционалов, рассматриваемых выше.

Во всех теоремах 1.1−1.7 доказана равномерность сходимости по в Е [0ъ02] С (0,ш+), в теоремах 1.2, 1.8 — равномерность по |с| < С < оо.

В заключительной третьей части первой главы, описывается условное функциональное поведение траекторий блуждания Sn, подчиненных условию Мп > вп. Рассмотрим процессы XV>(tTn/n), где тп := min{fc: Sk = Mn}, X^nt) — процесс, описанный выше. Теорема 1.9 утверждает, что процесс Y^{t) при условии Мп > вп сходится к броуновскому мосту в пространстве непрерывных функций на отрезке [0,1], теорема 1.10 утверждает, что для процесса X^nt) справедлив тот же результат, теорема 1.11 описывает совместное асимптотическое распределение процесса Уи марковской цепи Zk = STn+k — Мп при условии Мп > вп.

Таким образом, первая глава настоящей работы продолжает серию работ о больших уклонениях и больших уклонениях максимума, заполняя ряд имеющихся там пробелов.

Теоремы о больших уклонений для случайных блужданий позволили изучить большие уклонения ряда функционалов от них: статистик Эрдеша-Реньи Тп тп = max (Sjfc+n — Sk) и Шеппа Wn, m = max max (Sk+i — Sk). Cere, k.

Штейнбах (Csorgo, Steinbach, 1960), Эрдеш, Рсньи (Erdos, Renyi, 1970) и Шепп (Shepp, 1964) рассматривали предельное поведение статистик ТП)7П, Wnjm при различном соотношении на п, т оо. В работе (Erdos, Renyi, 1970) при условии EXi = 1 доказано, что.

Р (^ТпШ1пп]/[с (в)Ып^ = в) = 1, в работе (Csorgo, Steinbach, 1960) — что.

Р (Ит (ТпШ1пп]/[с (в) Inn]½ — в[с (в) Inn]½) = 0) = 1, в работе (Deheuvelse, Devroy, 1983) что.

Р (limsup ((Tn [с (0)inn] - 0[c (o)lnn])/lnlnn) = 1/Щ) = 1, n—" 00.

P (limmf ((Tn5[c (o)lnn] - 0[c (0)lnn])/lnlnn) = -1 /Щ) = 1.

Продолжением темы являются, в частности, работы (Козлов М.В., 2001), (Козлов A.M., Питербарг, 2002), (Козлов A.M., 2004 (2)), а также очень важная работа (Komlos, Tusnady, 1975). В частности получены асимптотика.

Р{Тт, п > вп) = тС{в)е~^п/^ где те~А^п/^/п — о (1), m, п —> оо, и аналогичная асимптотика для больших уклонений статистики Шеппа. Для статистики Эрдеша-Реньи удается отыскать константу С (в) в явном виде (см. (Козлов М.В., 2001), (Komlos, Tusnady, 1975)). Метод «двойных сумм», используемый в работах (Козлов A.M., 2004 (1)), (Козлов A.M., 2004 (2)), не позволяет получить соответствующую константу для статистики Шеппа.

В работе (Козлов М.В., 2001) получены функциональные предельные теоремы о сходимости к броуновскому мосту и броуновскому движению отдельных участков блуждания, в работах (Komlos, Tusnady, 1970), (Козлов A.M., 2004 (2)) — предельные теоремы для статистик ТП) Ш, Wn^m и некоторых связанных с ними статистик. Некоторые интересные результаты также имеются в работе (Козлов A.M., 2004) и связаны со случаем гауссовских и субгауссовских величин Xjt.

Настоящая работа продолжает исследования описанной области. Во второй главе получен явный, хотя и достаточно громоздкий, вид мультипликативной константы, фигурирующей в описании вероятности P (WniTn > On) в зоне гпе~~А^пл/п —у 0, n, га —> оо с помощью подхода, родственного методам работы (Komlos, Tusnady, 1970).

Теорема 2.1 описывает асимптотику условной вероятности события Wn>m > On при условии W^m-1 < вп:

P (Wn, m > enWn, m^ < On) ~ p (e)C (0)D (0)e~AW.

Значения на отдельных участках [к, к + п], разумеется, зависимы, но зависимость не меняет асимптотики вероятности, лишь добавляя к константе D (?)C (?), фигурирующей в теореме 1.1, дополнительный мультипликативный множитель р (в), вычисленный в работе явно.

Пользуясь теоремой 2.1, удается получить теорему 2.2, задающую асимптотику вероятностей большого уклонения статистики Шеппа в явном виде:

P (Wn, m > вп-и) = me~mnn-½p (e)C (e)D (e), m = о (л/пеА^п). Теоремы 2.3 и 2.4 обобщают теоремы 2.1, 2.2 на случай уклонений на величину вп + Су/п — и. Как и в случае теорем 1.2, 1.8, это выражается в добавлении коэффициента e~hec/n.

Теоремы 2.2, 2.4 описывают поведение вероятности большого уклонения статистики Шеппа в зоне га = о (д/пеЛ^п). В следующих теоремах 2.5 и 2.6 исследуется блуждание в зоне mn~½e~A^n —> const. Для статистик рТп, п и т. п. (в) := min{&: > On} получены следующие предельные теоремы:

Jim Р{тп{в)р{в)С{в)0{в)е-^пп-½ > х) = е" *.

P (pn, m — On < х) е-лтстюе-ьв* ^ еЛ (0)п^/т А.

Теоремы 2.7 и 2.8 являются функциональными предельными теоремами для участков блуждания (0, тп (В)], (тп (6), тп (6) + п). Положим при t? [0,1].

X^{t) = (STn+[tn] - Sr" + XTn+[tn]+1(nt — H) — 9nt)/ynr{he)),.

У<" >(*) = S[Tnt]/V^DX?, где во втором случае требуется дополнительное условие конечности дисперсии Xi). Тогда процесс Х^п>){€) сходится при условии Мп > 9п к броуновскому мосту, a Y^ (t) при том же условии сходится к стандартному винеровскому процессу. Теорема 2.5 является аналогом классического «принципа инвариантности», но со случайным концом тп{9), теорема 2.6 близка к теореме 1.10.

В третьей главе рассматриваются большие уклонения некоторых других статистик, связанных с максимумом, а также многомерная задача о статистике Шеппа. Теорема 3.1 описывает большие уклонения «взлета» случайного блуждания Rn — maxi.

P (Rn > Bn + cy/n-u) = (l + oilJJe-^/^^^WCOTe-^-^^+^n-½, и = o (y/n). Теорема 3.2 является аналогом теоремы 1.8 для больших уклонений максимума и описывает совместное распределение различных функционалов, связанных с блужданием, при условии Rn > Вп + с^/п + и. Теорема 3.3 является аналогом теорем 1.9−1.10. Пусть.

T-min л тmin.

У («>(*) = Х^Сп п j), t G [0,1], тъ где т™ш — момент первого достижения минимума перед максимумом, Х^ (t) — процесс, определенный выше. Тогда процессы Y^(t), X^(t) при условии Rn > Вп слабо сходятся к броуновскому мосту в пространстве непрерывных функций на отрезке [0,1]. Аналогичные теоремы удается получить для статистики Dn = maxi< сю, h~ < h < 0. При выполнении двустороннего условия Крамера можно сформулировать теорему 3.4 о больших уклонениях статистики размаха Тп — max^.

P (Tn > вп + и) = (1 + о (1)) (.P{Rn >9п + и) + Р (Тп >вп + и)).

Также в третьей главе рассматривается d-мерная статистики Шеппа: ^ki.

-. + ^k1.

Wnm, ти := max к.

Для неё находится асимптотика вероятности больших уклонений P{WL., md, n > On2) = (l + o (l))C (e)D (e)e-A^n2n-1m1m2.mk, что продолжает работу (Deheuvels, 1985).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах (Шкляев, 2010), (Шкляев, 2010 (2)), (Шкляев, 2011).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Михаилу Васильевичу Козлову за привлечение интереса к данной проблематике, неоценимую помощь в работе над диссертацией и за участие в становлении автора как математика.

Автор признателен С. А. Пирогову, Д. А. Коршунову за полезные обсуждения тематики диссертации, позволившие внести в неё некоторые коррективы. Мне приятно поблагодарить И. В. Денисова, руководившего моей научной деятельностью в студенческие годы.

3.2.1 Основные результаты.

Рассмотрим матрицу {Х^.^, ц — 1,2,., у = 1,2,.} из н.о.р. сл.в., удовлетворяющих условиям (А), (В). Положим ^k1.

Величина является с!-мерным аналогом статистики Шеппа.

Именно, для каждого «кубического окна» п х. х п с одной из вершин в пределах параллелипипеда [0,шх] х. х [0, т^], мы выписываем координаты 21,., ^ векторов, принадлежащиъ этому окну, в порядке возрастания чисел.

Зъ-За, в которых фигурируют в качестве цифр, а затем выбираем максимум среди сумм по первым к < номерам. Полученную величину мы максимизируем по всем таким кубическим окнам и полученную величину называем статистикой Шеппа. Для нее удается вычислить вероятность большого уклонения П.

Теорема 3.5. При п —> оо, тг —у оо, г < к: т1. тк «о (еА^п<1 п²), соотношение.

Рф^тьп > 0пй) = (1 + о (1))С (0)е" л^ т1т2. т, п-й/2, выполнено равномерно по 0 Е [01,02]? (0,т+)).

Эта теорема является аналогом теорем, полученных Девельсом (БеЬеиуе^, 1983) для многомерной статистики Эрдеша-Реньи. Однако, следует заметить, что при рассмотрении многомерной задачи теряется специфика движущегося окна, присутствовавшая в одномерной. Фактически, в многомерной задаче отсутствует сцепление окон — вероятность большого уклонения на одном из окон просто равна сумме вероятностей уклонения на каждом. Это связано с тем, что если ранее для любого положения окна находились соседние, получающиеся из него сдвигом на 1, то для многомерной задачи максимальное пересечении двух окон равно п^ — п. За счет этого зависимость между уклонениями на разных окнах мала, и, фактически, задача сводится к т. Шк независимым испытаниям Бернулли. Таким образом, многомерная постановка задачи работы (БеЬеиуеЬ, 1983) оказывается по существу менее содержательной, нежели одномерный случай.

3.2.2 Доказательство теоремы 3.5 об асимптотике больших уклонений многомерной статистики Шеппа.

Распишем вероятность Р (М*м^кй > впА, > впа), къ ., ка, к,.,.

— различные наборы индексов. Заметим, что разность кубов Д + п] х. х [ка, ка + п] и := [/1,+ п] х. х [??, 1а + п] состоит не менее чем из т/-1 наборов ?1, Действительно, пусть кг < тогда параллелипипед.

1, &1 + п] х. х [кг-1, кг-г+п] х к{ х &-г-+1 + п] х. х [к^ ка+п] полностью содержится в 1, но не содержится во /2. Рассмотрим 1 П/2 и выберем из них п/2 точек с наименьшими координатами (в смысле упомянутой в начале части нумерации). Полученное множество обозначим через I.

Тогда.

Р{М1к1ка > 9п > впа) = Р (М?М^Л > 9па) (3.31).

Ж^-А, >? А,-Л > ^1/21^ > 0пл) + • ч ,., г'й)б/^.д, < 0|/|/2, > < гь., г, г)б1 П Е > > + гь-лОе/ Е ^ь-А* < 0|/|/2).

Первое слагаемое (3.31) есть ОЦЦ-^е-^^п^е-^71″), то есть 0^е~к{в/2)п/2п-й/2е-к{в)па^ ПрИчем 0(1) равномерно мало по рассматриваемым I. Оценим второе. Выпишем наборы (?1,., г^), входящие в /1, в порядке возрастания в смысле упомянутой нумерации и определим X, — := Х^.^, где.

0 < г < 72^, а (?1, — г-ое по порядку число из §-к = Х +. + Хк, Мк — гпахг<�к3{, к < п2. Образ множества ¿—мерного множества номеров.

1 при этом обозначим через I = {?1, г2,., гр}, I С {1,гг.^}, р = |/|, ?1 < ?2 <. < гр. Заметим, что в силу определения I справедливо неравенство.

Е 1} < — п/2. Выразим второе слагаемое (3.31) через X:

Р (Мпа > 9п ]ГХг < 9р/2) = (3.32) ш.

Р (Мп<�Мр, гр+ §-гр > < 9р/2), ге/ где ^ < Р (тп<* < пА — п/2,МпЛ > 9пй) < Р{Мпап/2 > впй) < е-Л^п" п-^2Р (/г0)-п/2(1 + о (1)), п оо, в силу теоремы 1.2.

Преобразуем второе слагаемое (3.32) следующим образом:

Р (Мп^р4р + §-{р > 9па,? Хг < Ор/2) = /./ Р (Мп^р > 9п'* - (3.33) ш я яЖ1 —. -Хр-ух- .ур)хт.хг<�вр12Р (.-1 е йу^Р^Хь? С^х) X. ш хР{§ гр-1-гр1 € ?Ур)Р (Хгр? £&-р) =/./ Р{Мпа^р + >

Л Д 98.

Xi? dx 1,., Xp? dxp, S^-i+p — Sp E .5гр1+р — 5fp1+p G dyp) X хХЕхг<�ер/2 = P{Mnaiptip + 5ip > 4 < 0p/2) < гб/ P (M"d > 0nd, < 0p/2), где x ~ характеристическая функция множеств. Применяя к правой части (3.33) теорему 1.2, имеем вр/2.

P (Mnd > 6nd, Sp < вр/2) = f P (Sp e dx) P (Mndp > dnd — x) + (3.34).

— вр/2 dp/2 t = (1 + о (1))п-^2Л (0)С (0)е-л^п" | P (Sp e dx) e~x" .

— вр/ 2 xeheXR{heYP + < (1 + o (l))D (0Kd (0,0)P (|S*| < 0p/2) + (1 + о (1))?>(б)тгп.,(0,О)тгп/2(0/2,0)+ Л?, где o (l) равномерно мало по n/2 < р < nd — n/2.

Л? < < p) + P (Mndp > 0(nd+n/4)) < 2e-A (o)ndn-d/2P (/io)-n/4(l + o (l)), Подставляя (3.34), (3.33), (3.32) в (3.31), имеем.

P (MdnMkd > end, MdAld > 0nd) < D (e)7rnd (0,0)(3P (M" «/4 + (3.35).

2e-A (e/2)n/2j < а{в)Ъ{вуп1Гпа{в, 0), где 6(0) < 1, а (0) < oo V0 G (0, m+), а o (l) равномерно мало по ki, kd, h, h в силу предыдущих замечаний.

Пользуясь формулой включения-исключения, мы можем написать для вероятности, фигурирующей в условии теоремы 3.5 следующие оценки: впа) = Р (к тМл"мкл > впл) < (3.36) < Р{М%м.kd > вп") = mi. mdP{Mna > вп% kt вп") > (3.37) Е > вп") — Е Е йад* кл>впМ^"41>вп.

Заметим, что при фиксированных найдется не более пй окон, содержащих ., к^ поэтому последняя сумма в правой части (3.37) из (3.34) I оценивается сверху величиной а{9)Ь{9)-пп (1Р{МГ111 > вп (1)+т1.т (1Р (Мп<1 > впй)2 = о (Р (Мп. > впа)), п оо. Подставляя полученную оценку в (3.37) и используя (3.36), имеем при п —У оо 0п2) — Ш1. ШЙР (МП2 > 9п2)| = о (ш1.тс/Р (Мп2 > 0п2)). Теорема 3.5 доказана.

Глава 4.