Построение и применение в различных областях страхования вероятностных моделей для марковских систем

Актуальность проблемы.

1. Развитие актуарной науки в России и других странах. Моделирование — один из самых распространенных и доступных приемов изучения реальных процессов, происходящих в экономике, в частности, в страховом бизнесе. В силу своей специфики страхование, как финансовый институт, имеет своей целью обеспечение страхователей, т. е. физических лиц, заключающих договоры страхования или третьих лиц, в пользу которых они заключены, денежными средствами при наступлении страховых случаев. Последние, в свою очередь, являются реализацией неких случайных событий, качественно и количественно судить о которых можно, изучив степень риска того или иного конкретного договора страхования. Это, безусловно, делает вероятностное (стохастическое) моделирование одним из наиболее важных инструментов при принятии решений о ведении дел в страховых компаниях.

Следует заметить, что количественной оценкой риска занимаются актуарии — специалисты в страховой (актуарной) математике. Основы актуарной теории как особой отрасли науки были заложены в XVII в. работами таких ученых, как Д. Граунт, Я. Де Витт, Э. Галлей. Э. Галлей определил основные функции таблиц смертности, исчислил вероятности дожития и смерти, ввел понятие средней продолжительности жизни, исчислил тарифы по страхованию ренты. К концу XVII — началу XVIII века страхование жизни встало на научную основу. В XVIII веке актуарную теорию разрабатывали ряд ученых, включая знаменитых российских академиков Д. Бернулли и Л. Эйлера.

Зачатки стохастического исчисления актуарная наука ассимилировала около столетия назад. Дифференциальные уравнения для вероятности возможного разорения компании были получены Лундбергом еще в 1903 г., когда понятие стохастического процесса не было еще точно определено. С начала 20 века в Европе и США актуарная математика получила мощный стимул для дальнейшего развития благодаря огромному вкладу в нее таких выдающихся математиков, как Г. Крамер, В. Феллер, А. Лотка, а также, позднее, таких известных ученых-актуариев, как Н. Buhlmann, H.U. Gerber, C.D. Daykin, Р. Embrechts, R. Norberg, P. Petauton и других [13, 42, 44, 40, 21, 22,47−52].

На рубеже 19 и 20 веков в России быстро развивалось страховое дело и актуарные практика, образование и наука, что нашло свое отражение в работах Б. Ф. Малешевского, Н. С. Лунского, Ф. А. Бабаловича, П. М. Гончарова и многих других. После монополизации страхового дела в СССР существовало только две страховые организации: Госстрах и Ингосстрах, что не стимулировало развитие актуарной науки. Однако, и в СССР продолжались работы по актуарной науке и смежным проблемам демографии, что нашло свое яркое отражение в трудах таких ученых, как Кагаловская Э. Т., Калихман А. И., Мотылев Л. А., Рейтман Л. И., Четыркин Е. М. и ряда других.

С начала 90-х годов в России в области страховой и финансовой математики активно работают такие известные ученые, как Ширяев А. Н., Четыркин Е. М., Фалин Г. И., Башарин Г. П., Булинская Е. В., Виноградов О. П., Королев В. Ю., Мельников A.B., Ротарь В. И., Шоргин С. Я. и другие [35−37, 33, 34,31,32, 2−12, 24, 17, 38, 39].

По инициативе заведующего кафедрой теории вероятностей, профессора, академика АН УССР Гнеденко Б. В. и ректората МГУ им. М. В. Ломоносова в 1993 г. на механико-математическом факультете была открыта экономико-математическая специализация, основой которой служила страховая и финансовая математика. Аналогичную работу на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ проделал профессор кафедры исследования операций Ашманов С. А., а в 1995 г. на экономическом факультете МГУ была создана кафедра управления риском. В 1994 г. на базе МГУ было создано Российское Общество Актуариев, первым президентом которого стал член-корреспондент РАН Ширяев А.Н.

С 1994 г. по инициативе руководства Российского университета дружбы народов на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета физико-математических и естественных наук в рамках специальности «Прикладная математика и информатика» читается цикл актуарных дисциплин и производится выпуск бакалавров и магистров.

Учебная и исследовательская работа в этом направлении проводится в ряде ведущих вузов Москвы, Санкт-Петербурга и некоторых других городов России в рамках экономических и экономико-математических специализаций.

2. Актуальность работы. Теория стохастического исчисления, которая свое развитие получила, в основном, в последние полвека, дает возможность унифицированного подхода к широкому классу задач, связанных с предсказанием поведения в будущем страховых договора, портфеля или предприятия на основе прошлой истории. Подходящие версии теоремы Дуба о свободном выборе и цепное правило для семимартингалов (обобщенная формула Ито) вместе с разложением Дуба-Мейера и некоторые элементарные факты из теории мартингалов дают интегральные, дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения и для моментов современных стоимостей финансовых потоков, для вероятности разорения и других функций, имеющих практический интерес. Подход работает в достаточно сложных моделях, способных отвечать реальным системам, минимизируя как риск ответственности страховой компании перед клиентами, так и риск размещения активов.

Очень часто достаточно сложные системы, описывающие финансовые взаимоотношения страховой компании (страховщика) и ее клиента (страхователя), обладают свойством Маркова, т. е. отсутствием памяти.

Иными словами, в каждый момент действия договора страхования возникающие финансовые потоки определяются ситуацией, сложившейся непосредственно к этому моменту, и не зависят от предыдущей истории этих взаимоотношений. Примерами таких систем являются финансовые потоки, возникающие в результате заключения договоров страхования жизни определенного вида или договоров страхования автогражданской ответственности. Поскольку такие договоры заключаются наиболее часто и являются классическими с точки зрения теории страхования и поскольку изучены и применяются на практике далеко не все математические аспекты, связанные с ними, то выбор темы исследования представляется достаточно актуальным.

Целью данной диссертационной работы является изучение, систематизация и дальнейшее развитие вероятностных моделей, широко используемых в актуарной математике при исследовании страховых систем, обладающих свойством Маркова, а в некоторых случаях и без него, и применение полученных результатов в практической деятельности.

Методы исследований. В работе использованы методы теории вероятностей, математической статистики, актуарной и финансовой математики, математической демографии.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

— с помощью дифференциальных уравнений для резервов в страховании жизни получены новые формулы для расчета неттои брутто-премий по страхованию пенсии по инвалидности, удобные для практического примененияпостроена и исследована математическая модель финансовой деятельности страховой компании при осуществлении ей перестрахования жизни для двух различных типов договоров перестрахования;

— тарифы существующего во многих странах, включая Беларусь, и готовящегося в РФ обязательного страхования автогражданской ответственности, основаны на использовании системы бонус-малус (скидок и надбавок) и нуждаются в серьезных расчетах. Полученные в третьей главе результаты позволяют прогнозировать изменение страховых взносов, которые на практике за несколько лет уменьшаются более чем вдвое, что может нанести страховой компании большие убытки.

Практическая ценность работы. Большинство вероятностных и статистических методов, описанных в диссертации, применимо и частично уже было использовано в работе страховых и перестраховочных компаний. Результаты диссертации могут быть полезны при принятии решений о заключении договоров перестрахования на основе изучения финансовых показателей перестраховочной деятельности. Приведенные в диссертации формулы позволяют рассчитать страховые резервы и страховые премии для различных типов договоров страхования жизни. Кроме того, полученные результаты позволяют смоделировать финансовые потоки, возникающие в результате заключения договоров страхования. Результаты Главы 4, позволяют органам страхового надзора и страховым компаниям при страховании автогражданской ответственности обоснованно вводить в действие системы бонус-малус. Публикации по теме диссертации и результаты работы использовались на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов в студенческих НИР, выпускных работах бакалавров и магистерских диссертациях.

Реализация результатов работы. Исследования проводились по плану госбюджетных НИР Российского университета дружбы народов «Математические методы и модели в демографии и страховании» государственный регистрационный номер 01.20.00 6 593). В ЗАО «Страховом обществе «ЛК-Сити» на практике проводилось сравнение эффективности рассмотренных автором различных методов перестрахования с точки зрения перестрахователя, что подтверждается справкой о внедрении. В результате наиболее эффективным был признан метод, рекомендуемый автором в диссертации.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на ХХХ1-ХХХУ научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 1995;1999 г. г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 58 наименований и двух приложений. Диссертация содержит 108 страниц текста, 5 рисунков, 11 таблиц.

Основные результаты диссертации отражены в следующих опубликованных работах:

1.Башарин Г. П., Сухинин В. Ю. Модель Бюльмана-Штрауба в теории достоверного оценивания. Тезисы докладов XXXI научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 15−23 мая 1995 г, С. 82.

2. Башарин Г. П., Сухинин В. Ю. О некоторых приложениях теории достоверного оценивания в автотранспортном страховании // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика». М.: Изд-во РУДН, 1996, № 1, С.57−76.

3. Сухинин В., Плаксина Н. Страхование на случай возникновения смертельно-опасных заболеваний // Страховое дело. 1997, № 12, С. 34−41.

4. Башарин Г. П., Сухинин В. Ю. Использование непрерывных цепей Маркова при расчетах в страховании жизни. Тезисы докладов XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 19−22 мая 1998 г, С. 6−7.

5. Коннор П., Плаксина Н., Сухинин В. Страхование на случай постоянной потери трудоспособности // Страховое дело. 1998, № 1, С. 52−57.

6. Малых Д., Сафонов А., Ланда Т., Сухинин В., Плаксина Н. К вопросу об оценке обязательств страховщиков по договорам долгосрочного страхования жизни // Страховое дело. 1998, № 6, с.с. 43−50.

7. Башарин Г. П., Сухинин В. Ю. Вероятностный анализ рентабельности различных договоров перестрахования жизни // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика». М.: Изд-во РУДН, 1999, № 1, С.78−91.

8. Сухинин В. Ю. Использование непрерывных цепей Маркова для сравнения рентабельности различных договоров перестрахования. Тезисы докладов XXXV Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания, РУДН, 24−28 мая 1999 г, С. 44−45.

9. Башарин Г. П., Сухинин В. Ю., Солохина Т. Е. Сравнительный анализ различных вероятностных распределений при моделировании систем бонус-малус // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика». М.: Изд-во РУДН, 2000, № 1, с.с.37−48.

10. Башарин Г. П., Сухинин В. Ю., Солохина Т. Е. Численный анализ систем бонус-малус в автомобильном страховании. Тезисы докладов XXXVI Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественных дисциплин, РУДН, 22−26 мая 2000 г, С. 38.

11. Сухинин В. Ю. Элементы планирования дохода от инвестирования страховых средств. Тезисы докладов XXXVI Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественных дисциплин, РУДН, 22−26 мая 2000 г, С. 37.

Заключение

.