Новые теоремы единственности для степенных рядов

Актуальность темы

Связь между поведением коэффициентов Тейлора аналитической в единичном круге Г) функции и её убыванием на радиусе является одним из существенных вопросов теории аналитических функций. Например, если речь идёт о возможной максимальной скорости убывания на [0,1] аналитической в И функции с редкими коэффициентами, то начало этих исследований было положено в работе Л. Шварца 1943 г. [1]. Дальнейшее развитие относится к работам И. Хиршмана и Дж. Дженкинса [2] и Дж.М. Андерсона 1976 года [3]. В работах Л. Шварца и И. Хиршмана и Дж. Дженкинса рассматривались не степенные ряды, а ряды из экспонент с естественным обобщением убывания по радиусу, а в работе Дж. М. Андерсона изучались ла-кунарные по Адамару степенные ряды и выяснялась возможная скорость их убывания на радиусе (0,1).

Утверждения Л. Шварца, И. Хиршмана — Дж. Дженкинса имеют вид теорем единственности для рядов из экспонент: если количество показателей с ненулевыми коэффициентами на промежутке [0, А] растёт медленнее А, то сумма соответствующего ряда при х —"• +0 не может иметь быстроубывающую мажоранту. Возможный порядок убывания (точнее, порядок убывания логарифма мажоранты) указывается в этих работах точно. Работа Дж.М.

Андерсона посвящена ситуации, при которой количество показателей с ненулевыми показателями растёт не быстрее С log Аполучающийся результат опять имеет вид теоремы единственности. Возможная минимальная мажоранта имеет в таком случае меньший порядок убывания, чем в теоремах JI. Шварца и И. Хир-шмана — Дж. Дженкинса, в которых логарифм мажоранты имеет степенной характер роста при х —> +0. Опыт применения различных теорем единственности в анализе показывает, что, чем точнее теорема единственности, тем более сильные применения она может находить. В связи с упоминаемыми результатами JI. Шварца, И. Хиршмана — Дж. Дженкинса было принципиально важно, возможно ли указать минимальную мажоранту ряда из редких экспонент (или степенного ряда с редкими показателями) более точно, чем только указание порядка роста логарифма этой мажоранты.

Действительно, H.A. Широкову [4], гл. 3, удалось уточнить формулировку указанной теоремы единственности. Если > Акр, то при р > 2 для степенного ряда в [4] была получена оценка логарифма мажоранты с точностью до наилучшей постоянной. Наилучшая мажоранта логарифма модуля (иными словами, самая точная теорема единственности) при оо.

1 < р < 2 при указанном предположении была получена в работе Ф. Л. Назарова и H.A. Широкова [11].

Оставался невыясненным вопрос, насколько существенным для точной формулировки теоремы единственности вышеприведённого типа является применённое в работах Ф. Л. Назарова и H.A. Широкова ограничение на редкость показателей В данной диссертации выясняется, что диапазон ограничений на показатели, позволяющий предполагать получение оценок с наилучшей постоянной, может быть существенно расширен. Именно, предполагается, что для степенного ряда (+) выполнено щ > Akp (og (k + 2))6, к > О, 2 < р < оо, Ь — вещественное. Это потребовало привлечения новых соображений, рассмотрения новых функций и асимптотик.

В работе H.A. Широкова [4], гл. 3, была приведена также теорема единственности о степенных рядах, в которой сопоставлялись возможные мажоранты для величины коэффициентов и для значений ряда на радиусе (0,1). Мажоранта для коэффициентов при этом фактически предполагалась лишь нациная с некоторого номера. Понятно, что нетривиальные теоремы единственности возникают лишь тогда, когда отсутствуют примеры степенных рядов, удовлетворяющих нужному ограничению убывания на радиусе и являющихся полиномами. Например, полиномы.

1 — ж) дгпри любом натуральном N не должны удовлетворять соответствующим ограничениям.

Следовательно, как это и было описано в [4], гл. 3, если рассматривать мажоранту для f (x) вида.

С1е-С| 108(1-«)^ то функция /(ж) может быть полиномом (1 — х) м, все коэффициенты которого с номера Л^ + 1 равны нулю.

Если же степенной ряд /(х) убывает быстрее, чем в (*), например, если справедлива оценка |/(ж)| < С ехр (—С — ж)|Л) с некоторыми С, С > О, Л > 1, то в [4], гл. 3, обнаружено, что оо у коэффициентов этого степенного ряда f (x) = спхп не моп—О жет быть слишком малой мажоранты для коэффициентов. Именно, если сп < С2 ехр (—С л/п) с некоторыми постоянными С2,.

С' > 0, то / = 0. Выражение С ^/Й при этом оказывалось в 1 определённом смысле неулучшаемым: для всякого р, 0 < р < —, и как оказалось, можно подобрать степенной ряд /р (х), /р (х) ф О, оо с радиусом сходимости 1, /р (х) = ^^ Сщрхп такой, что.

71=0.

Шх) < Схрехр (~СР11оё (1 — х)|А) (* *) с некоторыми Ср > О, Л > 1, но при этом спф < С2Рехр (-СрПрУ) (* * *).

Тем не менее, оставался вопрос, обычный для многих разделов анализа, является ли мажоранта.

С2 ехр Сл/Л^ (****) действительно наименьшей мажорантой для справедливости теорем единственности приведённого выше типа, или для них существуют принципиально меньшие мажоранты для коэффициентов.

Определённым аргументом в пользу возможного утверждения о том, что семейство мажорант С ехр С содержит все минимальные мажоранты для обсуждаемых теорем единственности, является факт, в силу которого при выполнении оценки * *) вместо оценки (* *) оказывается справедлива лучшая оценка |/(ж)| < С ехр Со (1 — ж)9^^, причём д (р) —> оо при 1.

Вопрос о возможном «зазоре» между допустимыми неравен.

1 1 ' 1 ствами сп < С ехр (—Спр), р < и неравенствами Сп < С ехр Сп2^, влекущими теорему единственности, оставался открытым.

Во второй главе диссертации разбирается задача об этом «зазоре» и выясняется, что теоремы единственности для степенных рядов справедливы и при применении мажорант, больших, чем приведённые в (* * * *). Оказывается, что если степеноо.

НОЙ ряд f{x) = Сп^удовлетворяет условию (*) и условию п= О 1 сп < Сехр (-с Jl ], С, С' > 0, п > 0, то / = 0. У log (+ 2) J.

Это усиление теоремы из [4], гл. 3, удаётся получить путём усложнения и изменения соответствующих рассуждений.

Цель работы состоит в исследовании вопроса о возможной скорости убывания аналитической в единичном круге функции оо f (x) = ськХПк, / Ф 0 на луче (0,1) при х —>• 1 —, если ее.

А-=0 ненулевые коэффициенты а&достаточно редки, а именно: п&- >

А$(к Jt2)1Pog (&-+2), где р > 2, Ь ф 0, Ъ — вещественное, а также вооо' проса о возможной скорости убывания /(х) = апхп, / ф 0 на.

А-=0 луче (0,1) при х —> 1— при ограничении на рост коэффициентов.

Г1 Ук а^ а именно: < Сге Основные результаты. оо.

— Теорема 1. Предположим функция f (x) = У^а^ж7^, f ф 0 и к=О последовательность {п^} удовлетворяют соотношениям nk>A0{k + 2yog (k + 2) b, (1) f (x) < - < х < 1. (2) б.

Тогда на s, Ъ: Со накладываются определенные ограничения (см. стр 12) оо.

— Теорема 2. Пусть функция f (z) — anzn аналитична в п=о круге D. Предположим, что существуют постоянные Л > 1, Со, Ci, Сз > 0 такие, что выполняются условия < Со exp (-Ci |log (l — ®-)|А), ^ < х < 1,.

Kl < Ciexp (-Cbj-^^), n > 0.

Тогда f{x) = 0.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её методы могут использоваться в других задачах, связанных с возможной скоростью убывания функций при определённых условиях, наложенных на её тейлоровские коэффициенты (на редкость ненулевых коэффициентов или на скорость их убывания).

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по теории операторов и комплексному анализу в ПОМИ РАН в 2010 году.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 работы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на 6 параграфов, изложена на 67.

1. Schwartz L., Etudes des sommes d’exponentielles relies, Paris, 1943.

2. Hirschman I.I., Jenkins J. A., On lacunary Dirichlet series, Proc. Amer.Math.Soc., 1, N4, 512−517, 1950.

3. Anderson J.M., Bounded analytic functions with Hadamard gaps, Mathematika, 23, N2, 142−147, 1976.

4. Shirokov N.A., Analytic functions smooth up to the boundary, Lecture Notes in Math., v. 1213, 1988.

5. Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, М., ГИТТЛ, 1950.

6. Маркушевич А. И., Теория аналитических функций т.2, М., «Наука», 1968.

7. Федорюк М. В., Метод перевала, «Либроком», 2010.

8. Левин Б. Я., Распределение корней целых функций, М., ГИТТЛ, 1956.

9. Гофман К., Банаховы пространства аналитических функций, М., «Мир», 1970.

10. Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, М., «Наука», 1966.

11. Назаров Ф. Л., Широков H.A., Об убывании (Р, А)-лакунарных рядов, Записки научных семинаров ПОМИ, 327, 135 149, 2005Работы автора по теме диссертации.

12. А. М. Чириков, Н. А. Широков. Слаболакунарные ряды.-Вестник Санкт-Петербургского университета, 1 серия, 4 выпуск, 62−66, 2009.

13. A.M. Чириков, Степенные ряды с быстроубывающими коэффициентами, Записки научных семинаров ПОМИ, т. 376, 167−175, 2010.