Геометрические методы в теории случайных полиномов

0.1. Краткая история.

7ГПримерно в это же время Логан и Шепп [30, 31] показали, что для случайныхвеличин^j с характерргстической функцией распределения е¹^1''(0 < а ^ 2) справедливо асимптотическое равенствопричем констапта CQ. была ими явно выписана. Эта оценка была распространена И. А. Ибрагимовым и Н. Б. Масловой [9] на класс раснределений, принадлежащих области иритяжепия устойчивого закона. Из личной беседы с И. А. Ибрагимовым автору стало известно, что средиспецр1 ал истов в данной области существует гипотеза о том, что для любогопевырождеииого распределепия коэффициентов существуют такие константы ci, C2, что справедливо следующее неравенство: ci log п ^ EAo (iV4 П Ж)^ ^ С2 log п, п G N. Пример, построенный в параграфе 1.5., опровергает дапную гипотезу.40.1.2. Комплексные корни Первый результат в изучении поведениясреднего числа корней в комлексной области получил Хаммерсли [23]. Онвывел точную формулу для ЕЛо (М" 1^ {|^ 1 < '" }) ^ случае нормально распределе11ных коэффициентов (случай произвольного распределения, имеющегоплотность, рассмотрен в параграфе 1.4.).Построенный в параграфе 1.5. пример случайного полинома показывает, что помимо «копцентрацрги» корней около единичной окружности комплексной плоскости в их поведепии может наблюдаться соверпгенно иная картина.0.2. Связь с интегральной геометриейАсимптотическую формулу (2) в случае стандартных гауссовских коэффициентов Кац получил, доказав следующее равенство:1 fl^ЕЛо (М"П [",/?]) = - / I 1 ^ J a (3)Предложенное им доказательство основано на следующем несложном факте. Пусть функция /(?) непрерывна на отрезке [о-,/?], непрерывно дифференцируема на интервале [а. (3) и имеет конечное число стационарных точек (гдепроизводная обращается в ноль). Тогда число нулей функции f{t) на интервале {п:(3). которое мы обозначим за п (о-,/3), определяется формулой: cos (C/(i)) f{t) dt. aПри подсчете n{a, (3) кратный нуль считается один раз, а нуль, совпадающийс, а или (3, считается за «иол-пуля» .Описанный вывод формулы для среднего числа вещественных корней является в представлении автора весьма важным, т.к. указывает на то, что задачи, связанные со случайными полиномами, можно исследовать с помощьюгеометрических методов. Такому исследованию носвящена данная работа.0.3. Краткое содержание работыПервая часть работы имеет дело с полиномами от одной переменной. Параграф 1.1. начинается с примера, взятого из книги Л. Сантало [13,стр. 3]. В нем рассматривается множество плоских прямых, на котором задается некоторая плотность (дифференциальная форма). Путем интегрирования этой плотности на множестве прямых определяется мера, которая позволяет ввестр! понятие случайной прямой. После этого введенная плотностьрассматривается в различных координатах, что позволяет вычислить среднее число точек пересечения случайной прямой с некоторой фиксированнойкривой. Похожая конструкция иснользуется в большинстве дальнейших рассуждений. Во второй части параграфа она применяется к случайным полиномам (по аналогии со случайными прямыми), в результате чего выводится формуладля среднего числа веш, ественных корней случайного полинома, коэффициенты которого имеют произвольную совместную плотность распределения. Вкачестве следствия из формулы приводится равномерная оценка сверху длясреднего числа веш-ествепных корней, лежапдих в множестве, отделимом от{—1,1}. Далее полученная формула приводится к другому виду с помош-ьюаппарата характеристических функций, после чего из нее в качестве примера выводится формула для «средней плотности «вещественных корней дляустойчивого закона с нараметром 5 G (0,2]. Случаи 5 = 1 (раснределениеКоши) и (^ = 2 (нормальное распределение) рассматриваются отдельно. В нараграфе 1.2. веш, ественные корни случайного нолинома рассматрнваются как случайное точечное поле. Находится его корреляционная функция. В качестве следствия рассматривается случай нормального распределения, который был исследован П. Влехером и К. Ди [20]. В нараграфе 1.3. решается вопрос о нахожденрш раснределения числа вещественных корней. В параграфе 1.4. ВЫВОДРТТСЯ формула среднего числа комплексных корней, лежащих в иекоторой области комплексной плоскости. В параграфе 1.5. построен пример случайного нолинома стененип с независимыми одинаково распределенными коэффициентами, имеющего в среднем менее 9 вещественных корней при всех п. Что касается его комплексныхкорней, то в среднем? + О (^) Р13 НИХ НИХ концентрируется около нуля истолько же уходит на бесконечность при п -^ оо. Во второй части рассматриваются полиномы от нескольких переменных, а также системы полиномов.8 В параграфе 2.1. вычисляется средняя площадь случайной алгебраической поверхности, порожденной нулями случайного полинома от d переменных, лежащих в произвольном ограниченном измерргмом множестве. Отдельно рассматривается случай нормального распределения: выводится формула, ранее полученная И. А. Ибрагимовым н С. Подкорытовым [8]. Параграф 2.2. развивает идею предыдущего параграфа и по аналогии снулевой поверхностью полннома рассматривается множество нулей его градиента: находится среднее число элементов в нем. В параграфе 2.3. находится, сколько точек содержит в среднем случайноевекторное поле, порожденное системой из d нолиномов от d переменных. Параграф 2.4. обобщает результаты второй части. В нем рассматриваетсясистема из к случайных функций от d переменных, где к ^ d. Находятсядостаточные условия, при которых данная система будет невырожденной, инаходится средний объем подмногообразня размерности d — k, порожденногоэтой системой (при этих условиях).0.4. Предварительные сведергая и обозначенияВезде в работе будут иснользоваться обозначения и правила внешнего исчисления дифференциальных форм. Ознакомиться с ними можно, например, вкниге А. Картана [10]. Через Л/,. (Л) мы обозначаем меру лебега множества, А нри к ^ 1 я количество его элементов при к = 0. Символом Ifc мы будем обозначать единичную матрица размера /с х /с, аО/г — матрицу, состоящую PI3 одних нулей, размера к х к.6/j обозначает мультииндекс, у которого на к-м месте стоит единица, а наостальных — нули. Через х (^) J^ ibi будем обозначать индикатор множества Л. Если М является матрицей, то результат ее транспонирования будет обозначаться через0.5. ВлагодарностпАвтор выражает глубокую благодарность своему научному руководителюИ.А. Ибрагимову за постановку задач, а также за многочисленные обсуждения PI советы, касающиеся практически всех сторон диссертации. Такжеавтор благодарен людям, чьи советы помогли ему в процессе написания работы: М. И. Гордину (параграф 1.2.), А. Ю. Зайцеву (параграф 1.5.), А. И. Назарову (формула 1.6). Автор очень признателен А. В. Вулинскому, В. А. Егорову и М. А. Лифшицу за то, что они любезно согласились прочесть даннуюдиссертаЩ’По.

1. Д. Н. Запорожец, И. А. Ибрагимов, О случайной алгебраической поверхности, ОПиПМ, Тезисы докладов, 10(2003), 650.

2. Д. Н. Запорожец, О распределении числа вещественных корней случайного полинома, Записки научных семинаров ПОМИ, 320(2004), 74−85.

3. Д. Н. Запорожец, О вычислении среднего объема случайных многообразий, Записки научных семинаров ПОМИ, 311(2004), 133−146.

4. Д. Н. Запорожец, Случайные полиномы и геометрическая вероятность, ДАН, 400(2005), 299−303.

5. Д. Н. Запорожец, Пример случайного полинома с необычным поведением корней. Теория вероятн. и ее примен., 2(2005), 549−555.

6. И. А. Ибрагимов, Н. Б. Маслова, О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов, Теория вероятн. и ее примен., 2(1971), 229−248.

7. И. А. Ибрагимов, Н. Б. Маслова, О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов I, Теория вероятн. и ее примен., 3(1971), 495−503.

8. И. А. Ибрагимов, С. С. Подкорытов, 0 случайных вещественных алгебраических поверхностях, ДАН, 343(1995), 734−736.

9. И. А. Ибрагимов, Н. Б. Маслова, О среднем числе вещественных нулей случайных полиномов, ДАН СССР 199(1971), 1004−1008.

10. А. Картан, Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы, Мир, М.(1971).

11. М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, Мир, М.(1965).

12. Г. Крамер, Математические методы статистики, Мир, М.(1975).

13. Л. Сантало, Интегральная геометрия и геометрические вероятности, Наука, М.(1983).

14. А. Сошников, Детерминированные случайные поля, УМН, 55(2000), 108— 160.

15. Г. Стренг, Линейная алгебра и ее применения, Мир, М.(1980).

16. Д. К. Фадеев, Лекции по алгебре, Лань, СПб.(2002).

17. В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Мир, М.(1984), Т.2.

18. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, ФИЗМАТЛИТ, М.(2002), Т.1.

19. Д. И. Шпаро, М. Г. Шур, О распределении корней случайных многочленов, Вестн. Моск. Унив., 3(1962), 40−43.

20. P. Bleher, X. Di, Correlations between zeros of a random polynomial, Journ. Statist. Phys., 88(1997, 269−305.).

21. A. Bloch, G. Polya, On the roots of certain algebraic equations, Proc. London Math. Soc., 33(1932), 102−114.

22. A. Edelman, E. Kostlan, How many zeros of a random polynomial are real? Bull. AMS 32(1995), 1−37.

23. J.M. Hammersley, The zeroes of a random polynomial, Proc. Third Berkeley Symposium on Probability and Statistics, 2(1956), 89−111.

24. I. Ibragimov, O. Zeitouni, On roots of random polynomials, Trans. AMS, 349(1997), 2427−2441.

25. M. Kac, On the number of real roots of a random algebraic equation, Bull. AMS, 49(1943), 314−320.

26. M. Kac, On the number of real roots of a random algebraic equation, Proc. London Math. Soc., 50(1948), 390−408.

27. J.E. Littlewood, A.C. Offord, On the number of real roots of a random algebraic equation I, J. London Math.Soc., 13 (1938), 288−295.

28. J.E. Littlewood, A.C. Offord, On the number of real roots of a random algebraic equation II, Proc.Cambr.Phil.Soc., 35 (1939), 133−148.

29. J.E. Littlewood, A.C. Offord, On the number of real roots of a random algebraic equation III, Матем.сб., 12, 3 (1943), 277−286.

30. B.F. Logan, L.A. Shepp, Real zeros of random polynomials Proc. London Math. Soc. 18(1968), 29−35.

31. B.F. Logan, L.A. Shepp, Real zeros of random polynomials. II Proc. London Math. Soc. 18(1968), 308−314.

32. L. Shepp, R.J. Vanderbei, The complex zeros of random polynomials, Trans. AMS, 347(1995), 4365−4383.

33. D. Zaporozhets, On random polynomial with curious distribution of the roots, International Conference on Analytical Methods in Number Theory, Probability Theory and Mathematical Statistics, Abstract of Communications (2005), 99−100.