Поточечная скорость сходимости средних Чезаро

Диссертация посвящена изучению поточечной сходимости средних Чезаро положительных порядков простых и кратных рядов Фурье, а также некоторых смежных вопросов.

Пусть т — натуральное число, Т — [—7г, тг], /(х) — это измеримая функция т переменных 27г-периодическая, но каждой переменной, которая ограничена на Тш, а ск (/)егкх (0.1) кегт т.

— ее ряд Фурье, где х = (хи ., хт), к = (к1г ., кт) и кх = ^ а ск (/) = рЦ / /(х)в-^"гх при kezm.

Известно, что в кратном случае сходимость ряда (0.1) можно определять различными способами. Обзор результатов по сходимости различных частичных сумм кратных рядов Фурье можно найти в монографии Л. В. Жижиашвили [1]. При этом результаты для разных сумм весьма сильно отличаются друг от друга. Наиболее употребительными, и, по-видимому, наиболее естественными, являются прямоугольные частичные суммы, т. е. суммы, определяемые формулой.

Ях./Лх-/)=?. ?

N.

ТП т при ё N11 {0}, где N — множество натуральных чисел. С помощью прямоугольных частичных сумм можно определить несколько видов сходимости рядов Фурье. Основными из них являются сходимость по прямоугольникам (по Прингсхейму) — когда все индексы независимо стремятся к бесконечности, по кубам — когда /1 = /2 = ••• = 4п °о, а также А-сходимость (Л > 1) по прямоугольникам — когда индексы стремятся к бесконечности независимо, но отношение любых двух индексов не превосходит заданного числа Л.

Следует отметить, что в многомерном случае даже прямоугольные частичные суммы ведут себя не так, как одномерные частичные суммы рядов Фурье. В частности, принцип локализации Римана несправедлив даже в случае размерности 2 и даже для квадратных частичных сумм непрерывной функции. Ряд Фурье непрерывной функции двух переменных почти всюду сходится по кубам (Н.Р.Тевзадзе, [2]), но при любом Л > 1 он может всюду Л-расходиться (Ч.Фефферман, [3]), (М.Бахбух, Е. М. Никишин, [4]), (А.Н.Бахвалов, [5]).

Из сказанного выше вытекает, что проблема восстановления ограниченной измеримой функции многих переменных по ее ряду Фурье, если она обладает определенной гладкостью в окрестности заданной точки, а также изучение скорости этого восстановления являются актуальными задачами. В диссертации предлагается использовать для этих целей средние Чезаро. При этом подчеркнем, что речь идет не об аналоге принципа локализации Римана, поскольку, как вытекает из результатов работ И. Херриота [6], В. А. Ильина [7] и Н. Ч. Крутицкой [8], [9], для (С, а)-средних Чезаро аналог принципа локализации верен для всех интегрируемых функций двух переменных лишь для, а > 1, либо надо требовать определенной гладкости от функции во всех точках. Мы рассматриваем иную ситуацию: от функции требуются измеримость, ограниченность и гладкость по отношению к фиксированной точке.

В одномерной ситуации является актуальным вопрос о скорости сходимости средних Чезаро в точке, если известно поведение 27г-периодической измеримой ограниченной функции при приближении к этой точке.

Основной задачей, решаемой в диссертации, является установление окончательных в своих терминах оценок скорости поточечной сходимости средних Чезаро в одномерной и многомерной ситуации, когда известно, что27Г-периодическая по каждой переменной функция измерима, ограничена наТт и обладает определенной гладкостью в данной точке. При этом будут выявлены различия между одномерной и многомерной ситуациями.

Приведем некоторые определения. Если число ?3 > 0, натуральное число т>1,Т = [—7г, 7г], функция /(х) е Ь (Тт), а числа щ е N и {0}, г = 1, гтг, то определим чезаровские (С, /?)-средние ряда Фурье функции /(х) формулой <.*>(*- Лт 711 пт т.

П< Е-ЕП<" 45'.и (х-л,.

7=1 / /1=0 1т=0 -=1 где 5'г1).)гт (х- /) — соответствующая прямоугольная частичная сумма ряда Фурье функции /, а — числа Чезаро.

ПО0 + О п! «.

Ниже через С (.) будут обозначаться положительные постоянные, зависящие лишь от параметров, перечисленных в скобках. Эти постоянные не обязаны быть одинаковыми в различных утверждениях, кроме случаев, когда это будет специально оговорено.

В первой главе изучаются ряды Фурье ограниченных измеримых2тг-периодических функций одной переменной, имеющих заданную гладкость в некоторой точке.

Определение 1. Пусть ф{£) — неубывающая на [0, оо) неотрицательная функция, такая что ф{&euro-) —0 при? —" +0 и + ?2) < + Ф{Ь) при любых ?1 > 0 и ?2 > 0. Тогда будем говорить, что ф (Ь)? Ф.

Отметим, что, как было установлено С. М. Никольским [11], класс Ф совпадает с совокупностью всех модулей непрерывности функций из пространства С.

Первый параграф посвящен доказательству оценок сверху. Несмотря на то, что нас будет интересовать скорость сходимости средних Чезаро в фиксированной точке в зависимости от поведения функции по отношению к этой точке, необходимо упомянуть о классических результатах С. Н. Бернштейна [12] (для /3 = 1) и П. Л. Ульянова [13] (для 0 < /3 < 1), которые установили, что если О < а < 1 и 27г-периодическая функция одного переменного f{x)? Lipa, то f{x)-rt{x-J).

Основным результатом первого параграфа являются следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть функция ip (t) 6 Ф такова, что о.

Пусть, также, определенная на R, 27г-периодическая измеримая функция f{x) в заданной точке х0 удовлетворяет при всех t Е Т условию о + t) — f (x0) < V (|i|).

Тогда, если /3 е (0,1], п > 1, /) — чезаровское (С, /3)-среднее ряда Фурье функции /(ж), то.

7 Г.

1/Ыo?(s0-/)| < С{Р)п* J ^dt,.

7 Г П где постоянная С (/3) зависит только от (3.

Отметим, что случай /3 > 1 мы в данной работе рассматривать не будем, поскольку соответствующие ядра Фейера устроены несколько иначе и требуется другой подход. Отметим лишь, что при любом /3 > 1 даже обращение в ноль функции /(ж) в окрестности заданной точки жо? Т, вообще говоря, не гарантирует сходимость к нулю средних Фейера сг%(хо- /) со скоростью, большей чем О (^) при п —> оо. Это будет продемонстрировано в первом параграфе главы 1.

Теорема 2. Пусть функция? Ф такова, что о.

Пусть, также, определенная на И, 27Г-периодическая, измеримая функция одной переменной /(ж) в заданной точке жо удовлетворяет при всех Ь ЕТ условию о + г) — /Ы1 < Ф (Щ).

Тогда, если /3 е (0,1) и сг^(ж- /) — чезаровские (С, /3)-средние ряда Фурье функции /(ж) при п > 1, то при п —> оо.

Возникает естественный вопрос: нельзя ли в Теореме 2 взять/3 = 1? Конечно, из Определения 1 следует, что любая ненулевая функция ф ({) € Ф удовлетворяет условию ф{Ь) > при всех t > 0, что вместе с монотонностью функции ф (£) влечет, что ф^) > а при некотором С > 0 и всех? е (0,1). Отсюда.

2^-00. О.

Однако, как будет показано в первом параграфе главы 1, при /3 = 1 даже обращение в ноль функции /(ж) в некоторой окрестности точки жо не гарантирует выполнение условия.

К (ж0-/)| = о (п~1).

Во втором параграфе первой главы будет установлена окончательность оценок сверху. Следует сказать, что в некоторых случаях окончательность таких оценок сразу следует из результатов, полученных А. И. Рубинштейном [14]. Им, в частности, было доказано, что для любого? > 0 и для любого модуля непрерывности 0 — некоторая постоянная. Таким образом, для ф{&euro-) = ta, 0 < а <? приводимая ниже теорема 3 вытекает из результатов А. И. Рубинштейна. Однако, если.

2тг.

U Г ip (t)dt lim, .. / —¦=—г- = оо, и результат является новым. Данное замечание относится и к теореме 13 из третьей главы диссертации. Что же касается теоремы 11 главы 2, то ее можно было бы непосредственно вывести из теоремы А. И. Рубинштейна, но для полноты изложения мы приведем ее доказательство.

Во втором параграфе будут доказаны такие утверждения. Теорема 3. Пусть? е (0,1], а функция ф{£) Е Ф такова, что о.

Тогда существуют определенная на R, 27г-периодическая измеримая функция д (х), удовлетворяющая в заданной точке xq при всех t Е Т условию д (х0 +1) — < возрастающая последовательность натуральных чисел {7v}?li и постоянная С = С (ф, /3) такие, что при всех г имеем.

7 Г.

7 Г.

Теорема 4. Пусть /5? (0,1), не равная тождественно нулю функция? Ф такова, что и неотрицательная последовательность чисел Ьг —0 при г —> оо. Тогда существуют определенная на К, измеримая функция <?(:с), удовлетворяющая при всех? ? Т условию — <7(0)| < и возрастающая последовательность натуральных чисел {пг}^, для которых при всех г справедлива оценка.

В связи с приведенными выше теоремами 3 и 4 возникает вопрос: возможно ли так модифицировать приведенные примеры, чтобы оценки снизу выполнялись не по некоторой подпоследовательности, а при всех п? Данная проблема обсуждается в третьем параграфе первой главы. Здесь установлены такие результаты.

Теорема 5. Пусть ?3? (0,1), а функция? Ф такова, что о.

Ш-о1{Ъ-д)>ЪПгп/.

7 Г о.

7 Г и и.

7 Г.

0.2) и при и? (0,1). Тогда не существует измеримой на Т функции д (х) такой, что д (х) <�Сф{х) прижеТи п.

В частности, условиям теоремы 5 удовлетворяют функции ф (г) = при любом 7? II. Здесь необходимо также отметить, что условие (0.2) обычно называют условием Бари — Стечкина или условием Зигмунда. Действительно, данное условие (так же, как и другие сходные условия) подробно обсуждалось в работе Н. К. Бари и С. Б. Стечкина [11]. В то же время необходимо упомянуть, что ранее аналогичные условия вводились и в статье П. Л. Ульянова [12]. Более подробно ситуация описана в статье П. Л. Ульянова [13].

Теорема 6. Пусть функция ф (Ь)? Фи выполнено условие (0.2). Тогда существует измеримая на Т функция д (х) такая, что д (х) — д (0)| < Сф{х) при х? Т и для любого ?3? (0,1] и для любого п > 1 выполнено неравенство д (0) — д) > Ь.

Заметим, что если.

7 Г и" < (Щи) и при и? (0,1), то условие (0.2) тем более выполнено.

В основном, в диссертации изучается скорость сходимости средних Чезаро. Известно, что используемые в определении средних Чезаро числа Чезаро имеют степенной порядок роста (убывания). В связи с этим интересно рассмотреть аналогичные вопросы для более подробной шкалы методов суммирования. В четвертом параграфе первой главы диссертации будет рассмотрен в одномерной ситуации вопрос об оценках сверху скорости сходимости средних Вороного 27г-периодической измеримой ограниченной функции, обладающей некоторой заданной гладкостью. Приведем, вначале, соответствующие определения.

Пусть задана невозрастающая последовательность положительных чисел!/ =.

1п}п=о> такая, что /0 < 2Zi, ln < 2l2n при n = 1,2,. и.

00 ОО.

71=0.

Положим п.

Ln — ^ ^ jfc=о при гг = 1,2,. Теперь, если задан числовой ряд.

ОО п=О то скажем, что он L-суммируется к числу а, если существует lim crL n — а, п—>оо где п к.

L, n — у^к = Т~ ^ ^ ^ ttr к=0^п к=0 г=0 при п = 0,1,2,. Отметим, что для Zfc = 1 метод L совпадает с (С, 1)-методом Чезаро. Методы (С, а) при аG (0,1) не укладываются в описанную схему.

Для функции f (x) 6 L (T) обозначим через ж) при п — 0,1, 2, соответствующие средние Вороного тригонометрического ряда Фурье этой функции в точке х. Введем, также, в рассмотрение функцию l (t), заданную на [0,2] и такую, что ?(2) = ¿-о, Кп) — In при п = 1,2,., l (t) линейна на отрезках [0,2] и п' ¦> Ц—о'.

0) = lim ln.

TL—>00.

Удалось установить такой результат.

Теорема 7. Пусть функция ijj (t) 6 Ф и функция l (t) таковы, что ujtamdt< Е Т имеем х0) — <�ть, п (/-хо) < С{ф, 1) ф (-).

71 при п — 1,2,., где постоянная С (ф, I) зависит только от функций ф^) и Отметим, что при /(?) = 1, теорема 7 совпадает с теоремой 1 для /3 = 1. Во второй главе диссертации рассматривается двумерная ситуация для частного случая, когда разлагаемая в ряд функция обладает степенной гладкостью в некоторой точке.

Справедливо такое утверждение.

Теорема 8. Пусть даны р > 0, ?3 <Е (0,1], к > 1 и, а € (0,1). Пусть 2тг-периодическая по каждому переменному функция/(х, у) измерима, ограничена и определена на квадрате Т2, и в заданной точке (хо, уо) Для всех вЛ Е Т удовлетворяет условию.

0 + 5, уо + ?) — 1Ыуо) < рЫ*2 + *2)а.

Пусть (7% (х, у] /) — чезаровские (С,/3)-средние ряда Фурье функции /{х, у) такие, что | < ^ < кп е N, 777, 6 N. Тогда существуют такие постоянные Са (а,/3,/с, р), С2(а,/3,к, р) и С3(а, ?3, к, р), что.

1) если /3 > а, то о, Уо) — о" п-т (а'о, Уо-/)| < С1 (а, /3, к, р) п~а.

2) если 0 < ?3 < а, то.

1Ы, Уо) ~ (Тщт (хо, Уо', /) < С2{а,/3,к, р) п~р-,.

3) если 0 < ?3 — а, то я0, Уо) — о, 2Л) — /)| < Сз (а, /5, /с, 1п (п + 1).

Этот результат сразу вытекает из нижеследующего, который будет доказан в первом параграфе второй главы.

Теорема 8'. Пусть даны р > 0, /3 € (0,1], к > 1 и, а е (0,1). Пусть 2тт периодическая по каждому переменному функция/(х, у) измерима, ограничена и определена на квадрате Т2, и в заданной точке (х0,уо) для всех 6 Т удовлетворяет условию.

1/(10 + 5, Уо + ?) — ?{х0,у0) < р (Д2 + г2Г.

Пусть а^.т (х, у- /) — чезаровские (С,/?)-средние ряда Фурье функции /(х, у). Тогда существуют такие постоянные Сх (а, /3, р), (а,/3,р) и С3(а,/3,р), что.

1) если ?3 > а, то.

1/(^0, Уо) ~ &п-, т (хо:Уо-, Л < Сг (а, /3, /))(тт (п, т))~а;

2) если 0 < ?3 < а, то о, Уо) — сгЦ. т (хо, у0- /)| < С2(а, ?3, р)(шш (п, т))/3;

3) если 0 < /3 = а, то о, Уо) — 0″ п-т (жо, г/о-/)| ^ С3(а^/3, р)(тт (п, 1п (тт (п, т) + 1).

В втором параграфе второй главы доказывается, что оценки теоремы 8 нельзя усилить по порядку. Здесь будут доказаны следующие утверждения.

Теорема 9. Пусть 0 < /3 < 1. Тогда существуют положительная постоянная С (/3) и измеримая и ограниченная на Т2 функция равная нулю в некоторой окрестности точки (0,0), такие, что для некоторой последовательности натуральных чисел где П&- —> оо при к —> оо, справедлива оценка nk.

Из теоремы 9 вытекает невозможность усиления утверждения 2) в теореме.

8.

Теорема 10. Пусть 0 < ?3 < 1. Тогда существуют положительные постоянные Ci (?3), С2{Р) и измеримая на Т2 функция g (s, t) такие, что для всех s € Т и t G Т функция g (s, t) удовлетворяет условию |.g (s, ?)| < С{(3) (л/s2 + и для некоторой последовательности натуральных чисел где щ оо при к -" оо, справедлива оценка |cffcinfc ((0, 0) — > 1ппк.

Теорема 10 показывает окончательность утверждения 3) в теореме 8.

Теорема 11. Пусть 0 < а < 1 и /3 G (0,1]. Тогда существуют положительные постоянные Ci (a), (^(си) и измеримая на Т2 функция g (s, t) такие, что для всех s G Т и t G Т функция g (s, t) удовлетворяет условию |g (s,?) — g (0,0)| < С (а) (/s2 + ¿-2)а и при всех n е N справедлива оценка |о"^п ((0, 0) — д)—д (0, 0)| > С2(а)п-а.

Таким образом, и утверждение 1) теоремы 8 нельзя усилить.

Можно было бы изучить и вопрос об окончательности оценок теоремы 1'. Мы не будем подробно останавливаться на этом, однако отметим, что, например, для функций, зависящих только от первой переменной, увеличение второго индекса в средних Чезаро ничего не меняет. Далее в работе будут изучаться только средние с ограниченным отношением индексов.

Во третьей главе скорость поточечной сходимости средних Чезаро изучается для всех размерностей m > 1 и произвольной гладкости функции в заданной точке. В первом параграфе этой главы будут доказаны основные оценки сверху скорости сходимости средних Чезаро с ограниченным отношением индексов. Сформулируем соответствующие результаты.

Теорема 12. Пусть В. — положительное число, т — натуральное число, функция е Ф. Пусть определенная на И771, 27г-периодическая по каждому переменному измеримая функция /(х) в заданной точке х0 удовлетворяет при всех I е Тт условию т 2 ?2 хо + ^-/(хо)|<^(И), где.

Тогда, если /3 € (0,1], сг^(х-/) — чезаровские (С,/5)-средние ряда Фурье функции /(х) с ограниченным отношением индексов, т. е. такие, что 'Щ < Я при 1 < г^ < т, то.

2тг Дхо) — (хо- /) I < С (Я, т, р) щр ^ г,.

ТТ «1 где постоянная С (Д, га, /3) зависит только от й, т и /3.

Как будет видно из дальнейшего, в общем случае теорему 12 усилить нельзя. Во втором параграфе третьей главы будет изучен вопрос об окончательности теоремы 12. Для случая, когда о окончательность этой оценки сразу будет следовать из результатов первой главы. Точнее, справедлив такой результат.

Теорема 13. Пусть ?3 е (0,1], т — натуральное число, а функция е Ф такова, что.

3+1 о.

Тогда существуют определенная наГ1т, 27г-периодическая по каждому переменному, измеримая функция д (х), удовлетворяющая в заданной точке Хо при всех.

7 Г.

J^ИгсИ = оо. t Е [—7г, 7г]т условию |<7(хо + ^ — ^(х0)| < возрастающая последовательность натуральных чисел {пг}^=1 и постоянная С = С (ф,(3,т) такие, что при всех г имеем.

7 Г.

1 В (*>) — (хо- 5)1 > Он,-" / Щль.

7 Г.

Пг.

Далее, верно и нижеследующее утверждение.

Теорема 14. Пусть Е (0,1], натуральное число т > 2 и не равная тождественно нулю функция ф (£) € Ф такова, что о.

Тогда существуют определенная на Л&trade-, 27г-периодическая по каждому переменному, измеримая функция <?(х), удовлетворяющая в заданной точке хо при всех t е [—7г, 7г]т условию |#(хо +1) — #(хо)| < «0(1¹), возрастающая последовательность натуральных чисел {п7.}^:1 и постоянная С — С (ф:(3,т) такие, что при всех г имеем.

Таким образом, для ситуации, когда I < оо, т о многомерная ситуация существенно отличается от одномерной.

Нумерация теорем, лемм и других утверждений в работе — сквозная, а формулы имеют тройную нумерацию, причем первое число означает номер главы, второе — номер параграфа, а третье — собственно номер формулы в параграфе. Результаты диссертации опубликованы автором в работах [18] - [21]. Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю.

— доктору физико-математических наук профессору Потапову Михаилу Константиновичу за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Л. В. Жижиашвили. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1983.

2. Н. Р. Тевзадзе. О сходимости двойного ряда Фурье функции, суммируемой с квадратом. Сообщения АН ГССР, 1970, т. 57, е 3, с. 525 528.

3. Ch.Fefferman. On the divergence of multiple Fourier series. Bull. Amer. Math. Soc., 1971, v. 77, N 2, p. 191 195.

4. М. Бахбух, Е. М. Никишин. О сходимости двойных рядов Фурье от непрерывных функций. Сиб. математ. журнал, 1973, т. 14, е 6, с. 1189 1199.

5. А. Н. Бахвалов. О расходимости всюду рядов Фурье непрерывных функций многих переменных. Математ. сборник, 1997, т. 188, N 8, с. 45 Ц- 62.

6. I.G. Herriot. Norlung summmability of double Fourier series. Trans. AMS, 1942, V.52, Nl, p. 72 94.

7. B.A. Ильин. Условия локализации прямоугольных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье в классах С. М. Никольского. Матем. заметки, 1970, т. 8, N 5, с. 595 606.

8. Н. Ч. Крутицкая. Локализация при ограниченном суммировании методами Чезаро, Рисса и Абеля кратных рядов Фурье. Матем. заметки, 1972, т. 12, N 4, с. 355 364.

9. Н. Ч. Крутицкая. Окончательные условия локализации прямоугольных че-заровских средних и средних Абеля при ограниченном суммировании кратного тригонометрического ряда Фурье в классах Лиувилля. Изв. АН СССР. Сер. матем, 1973, т. 37, N 3, с. 593 602.

10. А. Зигмунд. Тригонометрические ряды. Т.1. Москва: Мир, 1965.

11. С. М. Никольский. О наилучшем приближении многочленами функций, удовлетворяющих условию Липшица. ДАН СССР, 1946, т. 52, N 1, с. 191 194.

12. S.Bernstein. Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polinomes de degre donne. Mem. de l’Acad. Royale Belgique, 1912, v. 4, p. 1 104.

13. П. Л. Ульянов. О приближении функций. Сибирский математ. журнал, 1964, т. 5, N 2, с. 418 437.

14. А. И. Рубинштейн. Об w-лакунарных рядах и о функциях классов Нш. Математ. сборник, 1964, т. 65, N 2, с. 239 -Ц 271.

15. Н. К. Бари, С. Б. Стечкин. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций. ТММО, 1956, т.5, с. 485 522.

16. П. Л. Ульянов. О некоторых эквивалентных условиях сходимости рядов и интегралов. УМН, 1953, 8, N 6, с. 133 141.

17. П. Л. Ульянов. О модулях непрерывности и коэффициентах Фурье. Вестн. МГУ, Сер.1, 1995, N 1, с. 37 52.

18. Дьяченко A.M. Об одном свойстве средних Чезаро двойных рядов Фурье. Современные проблемы теории функций и их приложения, 2008, Изд-во Саратовского ун-та, Саратов, с. 69.

19. А. М. Дьяченко. О свойствах средних Чезаро двойных рядов Фурье. Вестник МГУ. Сер. 1, Математика, Механика, 2010, N 2, с. 3 11.

20. А. М. Дьяченко. Скорость поточечного приближения функций Чезаров-скими (С,/3)-средними их рядов Фурье. Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики?', Тула, 2009, с. 35−37.

21. А. М. Дьяченко. Скорость поточечного приближения функций Чезаров-скими (С,^{-средними} их рядов Фурье. Матем. заметки, 2010, т. 88, N 2, с. 217 228.