Распространение и взаимодействие локализированных мод в нелинейных диссипативных средах

Локализованные решения такие как кинки, вихри и вихревые нити, дислокации и т. д. играют огромную роль в различных приложениях.

Данная диссертация посвящена исследованию структур из таких локализованных мод, возникающих при их взаимодействии в простых, но фундаментальных физических, биологических и химических системах. Особое внимание уделено проблеме контроля временного поведения мод при помощи параметров системы. Впервые предъявляются модели, где может осуществляться полный контроль поведения таких систем, когда возможно получать как периодические, так и хаотические режимы движения локализованных мод.

Для решения этих задач в диссертации использованы асимптотические, точные аналитические и вычислительные методы, а также их комбинации, которые являются мощным и удобным средством решения этих задач. Основное внимание уделено исследованию взаимодействия нелинейных волн — кинков.

Распространение и взаимодействие локализованных нелинейных волн в дис-сипативных средах — один из наиболее важных эффектов, возникающий при описании многих физических (и не только физических) явлений.

Такие волны можно наблюдать, например, при фазовых переходах в бинарных сплавах, в процессах горения и полимеризации, гидродинамике, физике плазмы и т. д. Взаимодействие этих волн может приводить к образованию сложных структур, наблюдаемых в физике полимеров, жидких кристаллов и твердых тел.

Задачи математического описания таких волн и особенно их взаимодействия во многом далеки от полного решения и остаются актуальными.

В данной диссертации получен ряд новых результатов в этой области на основе использования как новых точных, так и новых асимптотических решений и численного моделирования, а также совместного использования всех этих методов и результатов.

Необходимо отметить, что актуальные задачи нелинейной физики настолько сложны, что часто очень важно иметь хотя бы качественную информацию о структуре решения, его устойчивости, поведении на больших временах и т. д. Например, актуален вопрос, насколько «сложна» может быть структура, порожденная взаимодействием нелинейных волн. Сама строгая математическая постановка такой проблемы далеко не тривиальна и стала возможной лишь в последнее время в результате работ O.A. Ладыженской, Ю. С. Ильяшенко,.

A.B. Бабина и В. И. Вишика, В. И. Арнольда, Д. В. Аносова, D. Ruelle и F. Takens, S. Smale, R. Thom, M. Hirsch, J. Hale, R. Temam, G. Sell, J. Mallet-Paret, P. Polacik [1],[2],[3],[17],[48], [81],[79],[30] и других по теории аттракторов, инвариантных и инерциальных поверхностей и ряда работ по теории нелинейных волн и асимптотическим методам (краткий обзор см. ниже).

Первыми пионерскими работами, где были открыты простейшие бегущие волны в нелинейно-диссипативных средах, были работы 1937 г. А. Н. Колмогорова, Н. С. Пискунова, Г. И. Петровского [16] и P.A. Фишера [52], в которых была рассмотрена задача Коши для уравнения.

Щ = ихх + и (1 — и), X € R, t > 0, (1) возникающего в популяционной генетике.

В этих работах было установлено существование нелинейной волны (кинка) для уравнения (1) и ее глобальная устойчивость, а также была произведена классификация начальных данных, приводящих к появлению кинка на больших временах.

В течение более чем 20 лет эти работы не привлекали к себе особого внимания. Однако, впоследствии идеи, изложенные в [16],[52], послужили основой для многочисленных исследований, развившихся в настоящее время в одно из важных направлений современной математической и теоретической физики. Число публикаций, посвященное этой проблематике, весьма велико и не позволяет в рамках настоящей работы сделать хоть сколько-нибудь полный исторический обзор. Остановимся здесь только на некоторых важных для настоящей работы этапах развития исследований в этом направлении. Итак, спустя почти 30 лет после опубликования [16],[52] (шестидесятые годы) появляется ряд работ Я. И. Канеля [13],[14], в которых исследовались уравнения более общего вида по отношению к работам [16],[52]. В этих работах так же, как и в [16], были исследованы вопросы существования и глобальной устойчивости решений в виде бегущих волн. В 1976 г. была опубликована классическая работа Файфа и Маклеода [51], в которой была изложена полная теория распространения волн для уравнения щ = uxx + f (u) x е R, t> 0 (2) при достаточно общих предположениях о функции /, а также исследовано асимптотическое поведение решений при t —> оо.

Следующим весьма важным этапом развития было доказательство существования и глобальной устойчивости волн-кинков для некоторых классов систем уравнений вида.

Ui = ихх + f (u, x, t), (3) где параметр порядка u = (ui,., un) — n-мерный вектор. Как было показано в работах [9],[10], для существования волны вида и = и (ж — vt) достаточно, чтобы система была монотонной. (Это свойство математически может быть сформулировано как условие dfijdu3 > 0 для всех i ф j).

Отметим, что условие монотонности весьма ограничительно с физической точки зрения: многие важные даже простейшие системы, например брюссе-лятор, не входят в этот класс. Кроме того, известно, что асимптотические режимы при t —> оо в таких системах просты и сводятся для начальных данных общего вида к предельным циклам и равновесиям [79].

В случаях, когда система не обладает свойством монотонности, утверждение о существовании таких волн, вообще говоря, неверно. В работе [б] было показано, что решения уравнения (3) могут иметь вид и = qi (t), ^(i)? •••¦> Qn (t)), причем параметры qi (t) могут зависеть от времени весьма нетривиальным образом.

Параллельно с исследованиями существования и устойчивости кинков в диссипативных нелинейных средах развивалась теория возмущений для кинков и асимптотические подходы для описания таких решений. Среди отечественных работ, посвященных этим задачам, следует отметить работы В. П. Маслова и его школы [20] и работы И. А. Молоткова и С. А. Вакуленко [21], среди западных работ — работы P.C. Fife, М. Schatzman и de Mottoni J. Rubinstein, P. Sternberg, J. Keller, Y. Nishiura, X. Chen и др. 49],[50],[74],[40].

В заключение этого краткого обзора следует отметить ряд работ, посвященных вопросам взаимодействия волн и образования структур из волн [39],[55],[21].

Однако, все эти результаты охватывают широкий, но далеко не полный с физической точки зрения класс нелинейных диссипативных систем.

Сформулируем теперь основные цели диссертации и их место среди современных исследований.

После работы [6] стал актуален вопрос насколько «сложной «в смысле поведения по времени может быть структура кинка или системы кинков для общих немонотонных диссипативных одномерных систем.

Для математически корректного подхода к проблеме сложности траекторий в диссипативных системах P. Polacik предложил так называемый метод реализации векторных полей, впоследствии развитый в работах P. Polacik и его коллег, а также С. А. Вакуленко. Основная цель исследований заключалась в построении примера начально краевой задачи для параболического уравнения, в которой бы наблюдалось хаотическое поведение. Такие примеры были построены, тем не менее согласно Р. Ро1ас1к были «физически не мотивированы, не имели простого явного вида, и соответствующий хаос всегда неустойчив» [79].

Приблизительно в то же время С. А. Вакуленко предложил подход, позволяющий строить решения систем слабосвязанных одномерных параболических уравнений и доказать возможность существования сложного поведения вплоть до устойчивого хаоса. Тем не менее примеры, предложенные им, имеют сложный вид и по — видимому физически нереализуемы из-за присутствия сложных трансцендентных нелинейных членов.

Первая цель диссертации заключается в нахождении и исследовании простых, физически реализуемых моделей типа (3), когда взаимодействие кинков приводит к образованию связанного состояния с периодически и хаотически осциллирующей структурой.

Хотя системы типа (3) являются достаточно общими и описывают широкий спектр физических явлений, существует целый набор актуальных задач, где возникают несколько более сложные модели, которые приводят к системам квазилинейных или даже полностью нелинейных уравнений. Например, некоторые модели кинетики разделения сыпучих многокомпонентных смесей описываются системой полностью нелинейных уравнений.

Вторая цель диссертации — построение асимптотического подхода для исследования модели вибрационного разделения многокомпонентных сред, предложенной в [5].

Многие физически актуальные задачи в настоящее время не могут быть исследованы чисто аналитическими средствами. При этом использование при исследовании таких задач только численных подходов хоть и позволяет получить решение с высокой точностью, но не дает возможности объяснить с физических позиций возникающие эффекты. Иными словами, результаты численного моделирования могут быть недостаточны для полного понимания поведения модели. В таких случаях достаточно часто оказывается плодотворным использование комбинации численных и аналитических методов.

Третья цель диссертации — это исследование при помощи комбинации обобщенного принципа Уизема и численных методов задач о сильном взаимодействии кинков и структурообразовании в нелинейной нелокальной среде.

В последние два десятилетия наблюдается постоянный рост интереса к теории нейронных сетей. Дело в том, что такие системы представляют собой простейшие физически и биологически фундаментальные модели.

Четвертая цель диссертации заключается в исследовании как аналитическом, так и численном поведения классических моделей нейронных сетей на больших временах.

Перейдем теперь к описанию структуры и основных результатов диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения.

1. Аносов Д. В., Арансон С. Х. и др. Динамические системы с гиперболическим поведением. Итоги Науки и Техники. Сер. Современные проблемы математики. ВИНИТИ, 1991. т. 66.

2. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников JI. П. Теория бифуркации. Итоги Науки и Техники. Сер. Современные проблемы математики. ВИНИТИ, 1985. т.5.

3. Бабин A.B., Вишик М. И. Аттракторы эволюционных уравнений М.: Наука, 1989.

4. Блехман И. И. Вибрационная механика М.: Наука, 1994.

5. Блехман И. И., Хайнман В. Я. О теории вибрационного разделения сыпучих смесей, Изв. АН СССР. Механика (1965) N5, с. 22.

6. Вакуленко С. А. Существование химических волн со сложным движением фронта, ЖВМ и МФ (1991) 31(5), с. 735.

7. Вакуленко С. А., Гордон П. В. Распространение и рассеяние кинков в неоднородной нелинейной среде, Теор. и Мат. Физ. (1997) 112(3), с. 384.

8. Вакуленко С. А., Гордон П. В. Осциллирующие кинки в однородной нелинейной среде, Труды 24 школы семинара Анализ и Синтез Нелинейных Механических Колебательных Систем, С-Петербург (1997), с. 79.

9. Вольперт А. И. Волновые решения параболических уравнений. Препринт Института Химической физики АН СССР. Черноголовка. 1983.

10. Вольперт В. А. Некоторые вопросы устойчивости бегущих волн. Препринт Института Химической физики АН СССР. Черноголовка. 1980.

11. Вольперт В. А., Вольперт А. И., Волновые решения монотонных параболических систем, Некотрые приложения функционального анализа к задачам математической физики. АН СССР Сиб. отд. инст. математики Новосибирск (1990) 145, с. 49.

12. Дынкин Е. Б., Юшкевич A.A. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967.

13. Канель Я. И., О некоторых задачах для уравнений теории горения, Докл. АН СССР (1961) 136(2), с. 277.

14. Канель Я. И., О стабилизации решений уравнений теории горения при финитных начальных функциях, Мат. Сборник (1964) 65(3), с.

15. Карпман В. И. Нелинейные волны в дипергирующих средах. М.: Наука, 1973.

16. Колмогоров А. Н., Петровский Г. И., Пискунов Н. С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической прблеме, Бюлл. МГУ. (1937) Сер. А, 1 (6), с. 1.

17. Ладыженская O.A., О нахождении минимальных глобальных аттракторов для уравнения НавьеСтокса и других уравнений с частными производными, УМН (1987) 42(6), с. 25.

18. Лэм Дж. Л.

Введение

в теорию солитонов. М.: Мир, 1983.

19. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983.

20. Маслов В. П., Волосов К. А., Данилов В. Г. Математические проблемы тепло массопереноса. М.: Наука, 198 721 22 [23 [24 [2526 2728 293 034.