Оценки точности асимптотических разложений в предельных теоремах для решетчатых распределений

к главе 1 в этой главе изложены некоторые результаты, связанные со свертками зарядов специального вида, называемых далее пуассоновскими. Рассмотрены некоторые теоретические аспекты, важные для понимания существа дела, но оставшиеся в тени в работах других авторов. Так, например, указан простой способ получения асимптотических разложений в сверки пуассоновских зарядов, подходяпщй для широкого класса решетчатых распределений. Показана аналогия между такими разложениями и классическими для теории вероятностей разложениями Грама-Шарлье типа, А и В и рядами ЭджвортаКрамера. Основным объектом изучения этой работы являются распределения решетчатых случайных величин. Напомним, что случайная величина называется решетчатой, если она принимает только значения вида a hk, где, а и /г О фиксированные, к 0, ±1, ±2, Так как простым сжатием и сдвигом оси координат любая решетчатая случайная величина может быть переведена в целочисленную, то в дальнейшем рассматривается только этот частный случай решетчатых величин. При этом подразумевается, что любой результат может быть применен к общему случаю достаточно использовать обратное преобразование оси координат. Пусть F{x) функция распределения целочисленной случайной величины, f{t) соответствующая ей характеристическая функция. Очевидно, что f{t) является 2л" -периодичной непрерывной функцией. Разложение fit) в тригонометрический ряд имеет вид /(0= к=-<�х.А ик Х В правой части равенства стоят линейные комбинации функций е которые являются характеристическими функциями распределений, сосредоточенных в одной точке. Обозначим фунщию распределения с единичным скачком в точке к Е{х). Тогда из разложения характеристической функции в тригонометрический ряд по экспонентам следует хорошо известное представление распределения в виде смеси вырожденных распределений: itk Fix) Y, PkE,{x). Это самое простое и естественное «асимптотическое разложение» для целочисленных распределений. Как ни странно, разложение в свертку пуассоновских зарядов может быть получено аналогично. Пусть fif) не обращается в нуль. Это позволяет нам рассматривать только главную ветвь ее логарифма 1п/(/). Если f{t) не имеет витков вокруг нуля на отрезке [-ж, 7г], то hif (t) также является 2—периодичной непрерывной функцией. Посмотрим, что получится, если разложить ее в тригонометрический ряд по экспонентам. Приведенную ниже цепочку рассуждений следует воспринимать лишь как демонстрацию основной идеи полученных в работе результатов, мы не будем указывать условия, необходимые для корректности следующих ниже равенств и переходов. Разумеется, при доказательстве теорем этот недостаток будет устранен. Итак, 1 где Ге" «* In f{t)dt, вообще говоря, комплексные числа. Из равенства 2-. f{t) следует, что действительные числа. Тогда т ехр{1п/(0} ехр{ к=-со 00 Я, е» }, /(0) 1 ехр{Х-Л}, А=-со fit) ехр{ Х Я, е" } ехр{ Л,(е" -1)} ft ехр{4(«Л=-00 t=-00 Л=-СО Заметим, что в правой части стоят функции, похожие на характеристические функции пуассоновских распределений, но в нашем случае величины Я не обязательно являются положительными. Определение. При кО пуассоновским зарядом с действительным показателем Я и параметром растяжения к, к целое, будем называть У! заряд, имеющий в точке kl, О, вес, равный е При к 0 пуассоновский заряд будем считать совпадающим с вырожденным распределением EQ{X). Функцию распределения пуассоновского заряда (знакопеременной меры, меры со знаком) обозначим i.,* Так как ехр{А<-(е* -1)} является характеристической функцией заряда Р) /(х), то, как следствие разложения логарифма характеристической функции в тригонометрический ряд Фурье по экспонентам, получается разложение А=-оо Заметим, что если характеристическая функция f{t) имеет ненулевое число L витков вокруг нуля, то мы можем рассмотреть распределение Е₁ F{x), характеристическая функция которого равна f{t)e и не имеет витков вокруг нуля на отрезке [-к, ж]. Arg{f{ж)e-) — Arg{f{-K)e) (Argifi)) тгЬ) (Argifi-)) L) Arg{f{7t)) Argifi-ж)) 2nL 0. Тогда E. L*F{x)= и, следовательно, Jt=-oo Y{*Px"ki) А=-оо где Xk=— e{nf{t)-itL)dt. Заметим, что для корректности всех указанных переходов достаточно условия, состоящего в том, что/(f) не обращается в нуль и распределение имеет первый момент. Введенные пуассоновские заряды являются простейшими Я* обобщениями пуассоновского распределения P (jc)= —е Мы просто отказались от условия X О и ввели растяжение оси ординат в к раз (при отрицательном к это означает композицию растяжения и отражения). Ниже приведены графики, показываюпще распределение веса пуассоновского заряда при положительном и отрицательном показателе распределения. График 1. Величины скачков АР,* при Д 1, 0 0 -1 1(2k з|к 4k 5k 6k 7k -2 -3 График 2. Величины скачков APjx) при Л -1 Отметим, что при к и положительном показателе X пуассоновский заряд является обычным пуассоновским распределением. Такие заряды сохраняют многие свойства пуассоновского распределения. Так, например, Р азложение в свертку пуассоновских зарядов аналогично представлению распределения целочисленной величины в виде смеси вырожденных распределений. Продемонстрируем аналогию с классическими разложениями для случайных величин. В 1883 и 1913/1914 годах Дж. Грам и К. Шарлье в своих работах [8] и [9] рассмотрели логарифм характеристической функции биномиального распределения с параметрами пир. Разложив nf (t) в ряд по степеням t, они получили разложение, которое теперь называют разложением ГрамаШарлье типа, А для плотности распределения: .w=<�р\-рукк/л к=0 „п-к 0<�х<�п, 1, х>п. функцию распределения биномиального закона. Известно, что оценку точности сходимости в классической теореме Пуассона можно получить при помощи метода каплинга (coupling). Пусть Л пр, тогда к= к= При этом функция распределения Бернулли Bp{x) имеет лишь два ненулевых скачка в точках О и 1 и приближается пуассоновским законом Р с точностью 0{р). В итоге получаем Var (5"-Pj) 0(„p). К. А. Боровков предложил рассмотреть свертку двухточечного распределения Вр{х) с пуассоновским распределением на четных числах Р j О При этом получается распределение, имеющее ненулевые скачки во всех неотрицательных целых точках действительной оси. При надлежащем выборе параметров оно может быть приближено пуассоновским законом Р уже с точностью 0{р). Тогда Var (5, Р&bdquo-, Р&bdquoУаг (П Ч5, д Р-, J П *Л nVB, Р, -Р) 0(пр) при А= р/{-р), 2 р 1п (1 Так получается приближение с лучшей точностью, однако вместо В в оценке фигурирует свертка В*Р"2(). Чтобы избавиться от „лишнего“ пуассоновского распределения, свернем распределения в левой части последней цепочки равенств с зарядом Var (5,“ Р Р д Var (5 Р&bdquo-, Р Р&bdquoР_,) Var (B“ Р&bdquo-, Р) Var Р_&bdquo-, 0(„У)(1 0(пр)). Полученная в итоге точность лучше точности аппроксимации обьиным пуассоновским законом, а пуассоновский заряд использовался для того, чтобы „обнулить“ сдвиг исходного распределения на пуассоновс1сую случайную величину. 11 Заметим, что последний шаг в рассуждениях, приведенных выше, несколько проще, чем использованный самим К. А. Боровковым. Многие авторы (см. ссылки в [3], [5] и [21]) в качестве дальнейшего развития результатов Ю. Круописа рассматривали сложный пуассоновский заряд вида? o (x) V 00 1 (jc) — В работе показано, что, по-видимому, заряд вида еУ—G*{x), где Д 0 G{x) функция распределения некоторого заряда, является не обобщением разложений в свертку пуассоновских зарядов, а лишь изменением порядка суммирования. В своей работе [23] Ш. Якшявичус рассмотрел целочисленные распределения на положительной полуоси, удовлетворяющие условию AF (A:)<(—?:)*AF (0). Взяв производящую функцию распределения (p{z) AF (A:)z*, он, обозначив производные главной ветви ее логарифма в нуле (7 =—r-ln (z)|_Q, получил разложение /(г) ГТехр{—(е“ * -1)}. Этот dz ji к свой результат он поместил как следствие одной из последних теорем. В итоге, работа осталась незамеченной именно теми математиками, которым была бы, наверное, наиболее интересна. На самом деле, есть несомненное родство между используемым нами методом и изучением производных логарифма производящей функции, которым занимался Ш. Якшявичус. Заметим, что при наложенных им условиях на распределение F{x) имеет место равенство Я, f In/(0 —cfe» «* ln („)“ cf z» * I n z llog (z)U=. 00 Итак, Ш. Якшявичус получил разложение J[*WОчевидно, что к= для распределений, полученных из начального сдвигом на целое число 00 получается разложение F (x) (-E *P][*/)(x). По-видимому, работа Ш. Якшявичуса является единственной на данный момент, в которой для частного случая AF (A:)<(—5)*AF (0), получено исследуемое в нашей работе разложение. Также отметим, что определенные выше величины Д являются коэффициентами ряда Лорана логарифма производящей функции 12 naxF (x)-(, E,*YPj, Xx)< keA 4sM) M неравенство для расстояния полной вариации кЫ.

1. Barbour A. D. Topics in Poisson approximation..

2. Barbour A. D., Cekanavicius V. Total variation asymptotics for sums of independent integer random variables. Annals of Probability, 2002, v. 30, p. 509−545..

3. Barbour A. D., Chryssaphinou O. Compound Poisson approximation: a user’s guide. Annals of Applied Probability, 2001, v. 11, p. 964−1002..

4. Barbour A. D., Hall P. On the rate of Poisson convergence. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1984, v. 95, pp. 473−480..

5. Cekanavicius V. Doctor dissertation. Vilnius, Vilnius University, 1997..

6. Cekanavicius V., Kruopis J. Signed Poisson approximation: a possible alternative to normal and Poisson laws. Bernoulli, 2000, v. 6(4), p. 591−606..

7. Charlier С. V. L. Arkiv. Mat. Astr. Fys. 1913/1914, Bd 9, № 25, S. 1−17..

8. Gram J. P. J. reine und angew. Math. 1883, Bd 94, S. 41−73..

9. Le Cam L. Remargues sur le theoreme limit central dans les espaces localement convexes. In: Les Probabilities sur les Structures Algebriques. C.N.R.S., Paris, 1970, pp. 233−249..

10. Боровков А. А. Теория вероятностей. Едиториал УРСС, Москва, 2003..

11. Боровков К. А. Точность аппроксимации и асимптотические разложения для распределений некоторых случайных процессов. Диссертация на соискание ученой степени д. ф.-м. н. Москва, РАН, Математический институт им. В. А. Стеклова, 1993..

12. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Ленинград, ГОНТИ НКТП СССР, 1939..

13. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том 1. Москва, Мир, 1965..

14. Круопис Ю. Аппроксимации распределений сумм решетчатых случайных величин. Литовский математический сборник, 1986, т. 26, № 3, с. 455 467, № 4, с. 692−704..

15. Круопис Ю. Точность аппроксимации обобщенного биномиального распределения свертками пуассоновских мер. Литовский математический сборник, 1986, т. 26, № 1, с. 53−69..

16. Михайлов В. Г. Явные оценки в предельных теоремах для сумм случайных индикаторов. Обозрение прикладной и промышленной математики, 1994, т. 1, № 4, 580−617..

17. Прохоров Ю. В. Асимптотическое поведение биномиального распределения. Успехи математических наук, 1953, т. 8, № 3, 135−142..

18. Шоргин С. Я. Аппроксимация обобщенного биномиального распределения. Теория вероятностей и ее применения, 1977, т. 22, № 4, с. 867−871..

19. Якшявичус Ш. О некотором способе разложения вероятностей решетчатых случайных величин. Теория вероятностей и ее применения, 1997, т. 42, № 2, с. 294−307..

20. Ивченко Г. И. О сравнении биномиального и пуассоновского законов. Теория вероятностей и ее применения, 1974, т. 19, № 3, с. 612−615.Работы автора по теме диссертации:.

21. Карымов Д. Н. О разложениях решетчатых распределений в свертки пуассоновских зарядов. Теория вероятностей и ее применения, 2004, т. 49, №. 3, с. 589−596..

22. Карымов Д. Н. О точности аппроксимации в предельной теореме Пуассона. Дискретная математика, 2004, т. 16, №. 2, с. 148−159..

23. Карымов Д. Н. Несколько замечаний о точности аппроксимации в теореме Пуассона. Материалы VIII Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения», Москва, МГУ, 2004, с. 197−200..

24. Карымов Д. Н. Об асимптотическом разложении в теореме Пуассона. Тезисы VI Международной Петрозаводской конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» в журнале Обозрение прикладной и промышленной математики, 2004, т. 11, № 2, с. 238..