Аналитические и вычислительные модели некоторых управляемых процессов с неопределенностью

В диссертационной работе рассматриваются теоретические и вычислительные аспекты теории управляемых систем с неопределенностью. Такие системы возникают в разных задачах механики, физики, в математических моделях экономики, биологии и других областях науки. Потребность изучать управляемые системы с неопределенностью возникает в связи с тем что, при моделировании динамических систем некоторые ее параметры измеряются неточно или же вообще не учитываются. Источником неопределенности могут быть также воздействия на динамическую систему некоторых помех, у которых известна лишь область изменения.

В становлении теории управляемых процессов в условиях неопределенности важное место занимает теория позиционных дифференциальных игр, созданная Н. Н. Красовским и его сотрудниками (см., например [72 — 82, 215, 216] и библиографию в них). В теории позиционных дифференциальных игр концепция управления основывается на принципе обратной связи, где требуется построить позиционную стратегию, гарантирующую определенное качество управляемого процесса при любых заранее неизвестных воздействиях на систему, у которых известна лищь область изменения. К настоящему времени развиты различные методы получения оптимальных стратегий игроков, гарантирующих требуемое качество управляемого процесса. В частности, в рамках теории позиционных дифференциальных игр удалось формализовать многие прикладные задачи: задачу преследования одного объекта другимзадачу сближения — уклонения с целевым множествомзадачу удержания параметров управляемого процесса в заданных пределах и другие.

Одним из основных элементов конструкции теории позиционных дифференциальных игр является функция гарантированного результата, которая как правило является недифференцируемой функцией. В точках дифференцируемости эта функция удовлетворяет уравнению Беллмана — Айзекса. Функция гарантированного результата обладает свойствами и ии — стабильности, позволяющими определить оптимальную гарантированную стратегию. Свойство и — стабильности (г? — стабильности) означает слабую инвариантность надграфика (подграфика) функции относительно некоторого семейства дифференциальных включений. Эти свойства можно выразить в форме дифференциальных неравенств, в основе которых лежат производные по направлениям. Такие неравенства были введены в работах [140, 145] А. И. Субботиным для определения обобщенных (минимаксных) решений уравнения Беллмана — Айзекса. Они были, по — видимому, первыми среди различных по форме определений (включая определение вязкого решения) негладких решений уравнения Гамильтона — Якоби. В основе определения минимаксного решения лежит подход, в котором уравнение Гамильтона — Якоби заменяется парой дифференциальных неравенств. В дальнейшем теория минимаксных решений была распространена на исследование краевых задач для различных типов уравнений в частных производных первого порядка (см., например [141, 248] и библиографию в них).

Отметим, что в работе [198] М.Дж.Крэндаллом и П. Л. Лионсом было предложено определение вязких решений уравнения Гамильтона — Якоби. Определение вязкого решения по форме отличается от определения минимаксных решений. Однако, впоследствии в работах [147, 250] была доказана эквивалентность определения вязких и минимаксных решений. Доказательство эквивалентности этих определений опирается на возможность овыпукления контингентных конусов и производных по направлениям (см., [142, 207]), используемых в определениях минимаксных решений. Возможность овыпукления контингентных конусов в определениях минимаксных решений явилась источником исследований в негладком анализе (см., например [194, 228] и библиографию в них) по применению конструкций проксимальных градиентов.

Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка методами идемпотентного анализа исследовались в работах В. П. Масловаи его сотрудников (см., [99, 100] и библиографию в них).

Широкий круг задач математической теории управляемых процессов в условиях неопределенности был исследован А. Б. Куржанским и его сотрудниками в рамках теории гарантированного оценивания состояний системы по результатам наблюдений (см., например [32, 88, 90, 91, 220] и библиографию в них).

В диссертации рассматриваются динамические системы, математичеекая модель которых задается соотношением х G F (t, x), t G [0, в], х G Rn.

0.1) которое называется дифференциальным включением или дифференциальным уравнением с многозначной правой частью. Дифференциальное включение (0.1) можно рассматривать как обобщение управляемой системы где и — вектор управляющего воздействия. В таком случае F (t, х) = {/(?, х, и): и G P (t, ж)}, и задача об оптимальном управлении сводится к задаче об оптимальной траектории дифференциального включения (0.1).

Дифференциальные включения возникают также при исследовании задач, математические модели которых задаются дифференциальным уравнением в неявном виде

По видимому, дифференциальные включения впервые рассматривались в работах [229, 266] как дифференциальные уравнения с многозначной правой частью. Широкое развитие теория дифференциальных включений получила в начале 60-ых годов. В этот период в работах [14, 21, 164, 199, 222, 233, 261] были установлены важные результаты, относящиеся к качественной теории дифференциальных включений, в том числе теоремы существования решений задачи Коши, изучены разные топологические свойства множеств достижимости и интегральных воронок, зависимость пучка траекторий от параметров. Заметим, что в этот же период дифференциальные включения применялись для исследования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (см., [2, 10, 101, 164 — 166]).

Как правило при математическом моделировании управляемых процессов требуется учитывать различного рода сингулярности. Например, х = f (t, x, u), и G P (t, x),

0.2) g{t, x{t), i (t))<0, оптимальный результат как функция начального положения (функция Беллмана) может быть недифференцируемой, а границы множеств достижимости системы (0.1) или (0.2) не обладают свойствами гладкости. Поэтому в исследованиях математических моделей таких задач методы классического анализа дополняются конструкциями негладкого анализа, который опирается на такие понятия, как су б дифференциал, конус касательных или возможных направлений, производная многозначных отображений и т. д. (см., [25, 52, 53, 61, 93, 106, 111, 127, 135, 142, 178, 180, 184, 193, 194, 207, 255, 258]). Как известно, в классическом анализе график дифференцируемой функции аппроксимируется гиперплоскостью, в негладком анализе для аппроксимации используются конусы. Этот подход, по видимому, впервые был предложен в работе [184] и, дальше, в работах [229, 266] был применен для определения траекторий системы (0.1). Отметим, что обобщение принципа максимума Л. С. Понтрягина на системы вида (0.1), которое было получено Кларком, опирается на введенное им понятие касательного конуса (см.,[ 193 ]).

Понятие производной многозначного отображения базируется на понятии множества касательных направлений и, определяется как многозначное отображение, графиком которого являются касательный конус к графику исходного многозначного отображения. В зависимости от специфики задачи, в негладком анализе рассматриваются/различные типы касательных конусов, и производных многозначных отображений (см., например [127, 178, 207, 255 ]).

Начиная с работы [ 231 ], касательные конусы и производные многозначных отображений находят широкое применение в теории дифференциальных включений (см., например [26, 39 — 50, 61, 102, 108, 111, 113, 127, 130, 143, 177, 193, 200 — 212, 217 — 219, 223 — 225, 228, 236, 241]). Новый импульс развитию теории дифференциальных включений придала теория оптимального управления. Изучение управляемых процессов, математическая модель которых задается системой (0.1), начались в работах [4, 14, 21, 22, 132, 164 ], где были получены необходимые условия для оптимальности траекторий управляемой системы (0.1) в виде принципа максимума Л. С. Понтрягина. Эти исследования были продолжены в работах [ 103, 136, 150, 188, 194, 204, 257].

Большое место в исследовании динамических систем с неопределенностью занимает задача удержания траекторий на заданном замкнутом множестве W С [0, в] х Ка. Рассматриваются два типа задач удержания: задача слабого удержания траекторий и задача сильного удержания траекторий.

Для системы (0.1) задача слабого удержания траекторий состоит в том, что для начальной позиции (fo,^o)? W существует хотя бы одна траектория системы (0.1), удовлетворяющая включению x{t) Е W при всех t Е [¿-о, 0]. В задаче сильного удержания требуется, чтобы для начальной позиции (¿-о, xq) Е W все траектории, выходящие из начальной позиции (ifb^o) Е W, удовлетворяли включению (t, x (t)) Е W при всех te[t о, 0].

Задачи слабого и сильного удержания, исследовались многими авторами. Задача слабого удержания (ее синоним — задача существования выживающих траекторий) рассматривалась в работах [89, 91, 113, 177, 178, 208, 212, 217 — 219, 231, 235].

В работах [41, 46 — 48, 108, 141, 143, 179, 194, 206] изучены свойства слабой и сильной инвариантности замкнутого множества W С [0, в] х Rn относительно системы (0.1). В случае, когда множество W является слабо (сильно) инвариантным относительно системы (0.1), задача слабого (сильного) удержания траекторий системы (0.1) на множестве W разрешима для любой начальной позиции (¿-о, £о) ^ W.

По видимому, первой работой, посвященной изучению свойства слабой инвариантности, следует считать работу [ 231 ]. В этой работе получен критерий слабой инвариантности множеств вида W = [0,0] х Y для систем обыкновенных дифференциальных уравнений х = f (x) (в отлчие от (0.1) /(х) является однозначной функцией). В работах [182, 187, 197, 242, 264, 265] также рассмотрен случай, когда правая часть системы (0.1) является однозначной. Критерий слабой инвариантности для системы (0.1) с многозначной липшицевой правой частью получен в работе [ 193 ]. В работе [179 ] приведено условие слабой инвариантности в случае, когда правая часть системы (0.1) непрерывна по совокупности аргументов. Критерии слабой инвариантности, полученные в работах [179, 193 ], сформулированы с помощью касательного конуса Кларка. Отметим, что эта тематика получила новый размах в начале 80- ых годов в связи с дальнейшим развитием теории дифференциальных включений и негладкого анализа (см., [8, 17, 24, 30, 42, 44, 53, 61, 65, 92, 106, 124, 129, 133, 136, 143, 147, 156, 166, 180, 194, 207, 210, 221, 255]). В работе [208 ] приведен критерий слабой инвариантности множеств, который имеет инфинитезимальную форму и связывает правую часть системы (0.1) с касательным конусом Булигана, который содержит касательный конус Кларка. В работе [178 ] этот результат сформулирован в терминах производных многозначного отображения. Свойство слабой инвариантности множеств в бесконечномерных пространствах рассмотрено в работах [30, 176, 190, 200, 212, 235, 236, 253, 254]. Слабая инвариантность для систем с последействием изучена в [224, 246].

В работе [207] на базе конструкций теории позиционных дифференциальных игр, получен критерий и — стабильности множеств относительно конфликтно — управляемых систем, в котором применяется локальное овыпукление производной многозначного отображения. Понятие и — стабильности множеств (см., [82]) близко к понятию слабой инвариантности множеств относительно дифференциального включения. Оно означает слабую инвариантность множества относительно некоторого семейства дифференциальных включений, которые определяются правой частью конфликтно — управляемой системы. В работе [46] аналогичные критерии получены для слабой и сильной инвариантности множеств относительно системы (0.1).

Сильно инвариантные множества относительно системы (0.1) рассмотрены в работах [39, 41, 46, 48, 108, 177, 178, 187, 193, 194].

Остановимся на кратком изложении содержания диссертационной работы, которая состоит из пяти глав.

В первой главе рассматриваются задачи слабого и сильного удержания траекторий системы (0.1) на заданном замкнутом множестве W С [0,6] х Rn и применение свойств слабой и сильной инвариантности в задачах управления.

В параграфе 1.1 рассматривается аппроксимация многозначных отображений. Формулируются определения верхних и нижних производных многозначного отображения (см.,[127,178, 207]), которые тесно связаны с понятиями верхних и нижних касательных конусов Булигана (см., [184, 255]). Изучаются некоторые свойства производных множеств, которые используются в дальнейшем.

В параграфе 1.2 изучается задача слабого удержания траекторий системы (0.1) на заданном замкнутом множестве W С [0,0] х Rn. Рассматривается критерий слабой инвариантности в инфинитезимальной форме [207], который связывает правую часть системы (0.1) с выпуклой оболочкой производной многозначного отображения t —>¦ W (t)1 где W{t) = {х Е Rn: (i, х) G W}. Этот результат является значительным обобщением критериев слабой инвариантности, приведенных в работах [177, 178, 194, 208]. В конце этого параграфа расмотрена слабая инвариантность множеств с кусочно — гладкой границей.

В параграфе 1.3 рассматривается задача сильного удержания траекторий системы (0.1) на заданном замкнутом множестве W С [0,0] х Rn. Свойство сильной инвариантности в случае W (t) и F (t, х) не зависящих от t, исследовались в работах [178, 193]. В работе [108] с помощью касательного конуса Кларка получено условие сильной инвариантности в случае, когда многозначное отображение (t, x) —> F (t, x) локально лип-шицево по (t, x), а многозначное отображение t —>¦ W (t) удовлетворяет некоторым требованиям (например t —" W (t) липшицево по t, функция r (?, х) = dist (х, W (t)) имеет производную по t для любого х? Rn. и т. д.). В этом параграфе рассмотрен случай, когда многозначное отображение (i, х) —> F{t, х) непрерывно по (t, х), локально липшицево по х, а множество W С [0,0] х Rn замкнуто (т.е. многозначное отображение t —W (t) полунепрерывно сверху). Получен критерий сильной инвариантности, который связывает правую часть системы (0.1) с выпуклой оболочкой производной многозначного отображения t —> Заметим, что производная многозначного отображения, фигурирующая в формулировке критерия для сильной инвариантности, определяется на основе верхнего касательного конуса Булигана к множеству W.

Далее свойство сильной инвариантности изучено в случае, когда правая часть системы (0.1) непрерывна, и в случае, когда правая часть системы (0.1) полунепрерывна сверху по (t, x). В обоих случаях сформулированы достаточные условия для сильной инвариантности замкнутого множества W относительно системы (0.1). Также исследована сильная инвариантность множеств с кусочно — гладкими границами.

Параграфы 1.4−1.8 посвящены применению полученных в параграфах 1.2 и 1.3 критериев слабой и сильной инвариантности в задачах управления.

В параграфе 1.4 исследуются свойства функции оптимального результата в задаче управления, в которой поведение управляемой системы описывается диференциальным включением (0.1). Исследованию этой функции посвящены работы [48, 150, 188, 194, 204, 257]. Полученные в этом параграфе дифференциальные неравенства, характеризующие функцию оптимального результата, усиливают соотношения, которые были получены в работах [204, 257] и близки к дифференциальным неравенствам, которые характеризуют функцию цены дифференциальной игры (см., [147]).

Параграф 1.5 посвящен исследованию интегральной воронки системы (0.1). Доказывается, что заданное замкнутое множество W С [0, в] х Rn является интегральной воронкой системы (0.1) тогда и только тогда, когда оно положительно сильно, отрицательно слабо инвариантно относительно системы (0.1). Исходя из этого утверждения, приводятся инфи-нитезимальные соотношения, характеризующую интегральную воронку системы (0.1).

В параграфе 1.6 рассматривается одна обратная задача теории дифференциальных включений. Для заданного замкнутого множества W С [0, в] х Rn требуется определить систему вида (0.1) так, чтобы интегральная воронка искомой системы, выпущенная в нулевой момент времени из начального множества W (0), совпадала с заданным множеством W. Подобные задачи изучались прежде в работах [11, 183].

При некоторых дополнительных условиях относительно множества W, определены системы вида (0.1), разрешающие рассматриваемую обратную задачу. В конструировании этих систем важное место занимают слабо и сильно инвариантные множества относительно дифференциального включения. Заметим, также, что в диссертационной работе искомые системы определяются конструктивным способом и правая часть этих систем удовлетворяют традиционным условиям, гарантирующим существование и продолжимость решений.

В параграфе 1.7 рассматривается существование периодических траекторий системы (0.1), удовлетворяющих фазовому ограничению x (t)? W (t), t > 0. Периодические решения в отсутствии фазовых ограничений рассмотрены в работах [58,126, 213, 225, 262 ]. Когда множество фазовых ограничений описывается гладкой функцией, условия существования периодический решений получены в работах [126, 166]. В работах [235, 239, 260] приведены условия существования периодических решений системы (0.1) в случае, когда множество W (t), описывающее фазовое ограничения не зависит от t.

Полученное в этом параграфе условие существования периодических решений, имеет инфинитезимальную форму и базируется на свойстве сильной инвариантности множества W относительно системы (0.1).

В параграфе 1.8 рассматриваются две задачи из теории дифференциальных игр. Первая задача — задача об устойчивости позиционных стратегий относительно неточных измерениий фазового состояния системы. В работе [54] исследована устойчивость гарантированного результата в задаче позиционного управления. Предполагается, что в процессе движения, позиционная стратегия реализуется на основе неточной информации о состоянии конфликтно — управляемой системы. Доказывается, что пучок движений системы, формирующийся при неточных измерениях фазового состояния совпадает множеством решений некоторого дифференциального включения, которое определяется по правой частьи конфликтно — управляемой системы. В параграфе 1.8 этот результат используется при обосновании достаточных условий устойчивости позиционных стратегий, разрешающих задачу (М, N) — сближения.

Вторая задача — задача об и — стабильности множества программного поглощения в линейной задаче (М, N) — сближения. В случае, когда сечения множества программного поглощения имеют непустую внутренность, установлен критерий стабильности множества программного поглощения. В отличие от известных ранее условий регулярности (см., например [153, 154]), для проверки полученного критерия требуется рассматривать лишь точки, лежащие на границе множества программного поглощения.

Во второй главе рассматриваются численные методы построения множеств достижимости управляемых систем. В теории дифференциальных включений большое количество работ посвящено исследованию эволюции множеств достижимости и методам их приближенного построения. В работах [65, 90, 120, 155, 219 ] приведены эволюционные уравнения множеств достижимости. Дифференциальные соотношения, характеризующие границу интегральной воронки получены в [24, 28, 40, 49, 205, 251]. В [31, 49, 68 ] дано описание интегральной воронки при помощи скалярной функции, которая при некоторых предположениях является решением уравнения Беллмана. Экспоненциальная формула для определения множеств достижимости приведена в работе [263].

В многочисленных исследованиях, относящихся к численным методам построения множеств достижимости системы (0.1), представлены различные подходы. Группа исследований, проведенных в [63, 114, 115, 173 -175, 220, 221 ], посвящена оценке множеств достижимости эллипсоидами или же наборами эллипсоидов. Оценки множеств достижимости системы (0.1) были получены в работах [109,110]. В работе [162 ] изучается вопрос о приближенном вычислении множеств достижимости в виде многогранников. Отметим также работу [96 ] по численным методам построения множеств достижимости линейных управляемых систем. Более поздние исследования, проведенные в работах [64, 66 ], посвящены приближен-нему вычислению множеств достижимости автономных дифференциальных включений.

В параграфе 2.1 приведен способ построения множеств достижимости системы (0.1), функционирующей на конечном отрезке времени [to, в]. Предлагаемый здесь метод приближенного вычисления множеств достижимости, основан на введении некоторого конечного разбиения отрезка [¿-о, #] с шагом, А и подмене фазового пространства Rn некоторой е — решеткой. На базе этой аппроксимационной схемы получена оценка точности приближенного вычисления множеств достижимости, зависящая от? и А. Из этой оценки следует, что если е имеет порядок малости относительно, А больший, чем первый, то при, А 0 приближенно построенные множества сходятся к множеству достижимости системы (0.1). Приведенный в этом параграфе метод аппроксимации множеств достжимости близок к методам из работ [19, 27, 104, 163], которые основаны на введении в пространстве позиций (t, x) прямоугольной решетки и аппроксимации множеств достижимости множествами, состоящими из узлов решетки.

В параграфе 2.2 на основе предложенной аппроксимационной схемы проведено вычисление множеств достижимости некоторых нелинейных управляемых систем в пространстве R2. В том числе построены множества достижимости системы, описывающей движение плоского маятника в вязкой среде и множества достижимости системы, которая описывает эволюцию биологического сообщества, состоящего из двух видов, хишни-ка и жертвы.

В параграфе 2.3 рассматривается приближенное конструирование множеств достижимости управляемых систем с квадратичными интегральными ограничениями. Такие системы часто встречаются в задачах управления летательными аппаратами. Отметим, что управляемые системы с интегральными ограничениями на ресурсы управления, рассматривались в работах [11, 138, 139, 157, 159, 161, 171].

Предполагается, что управляемая система нелинейна относительно фазовой переменной, линейна по переменной, описывающей управляющее воздействие.

Аппроксимация множеств достижимости управляемой системы осуществляется в несколько этапов. Вводится класс управлений IIн, который представляет собой совокупность управлений, удовлетворяющих интегральному ограничению и еще геометрическому ограничению вида || и (Ь) || < Н. Показано, что при достаточно большом выборе числа Н, множество достижимости системы с смешанными ограничениями достаточно хорошо аппроксимирует множества достижимости системы с интегральными ограничениями. Далее класс {/# сузим до некоторого класса кусочно — постоянных управлений ?/#- класс ?/# заменяем с классом IIн кусочно — постоянных управлений, нормы значений которых лежат в определенной равномерной сеткекласс IIн сужаем до конечного класса ?/#, управлений, у которых не только нормы значений, но и сами значения в локальном смысле располагаются равномерно. Класс управлений IIн порождает конечное число траекторий системы. На последнем этапе траектории системы заменяются подходящими ломаными Эйлера. Получена оценка точности хаусдорфова расстояния между множеством достижимости и приближенно построенным множеством.

В параграфе 2.4 дан алгоритм для вычисления множеств достижимости управляемых систем с интегральными квадратичными ограничениями. Этот алгоритм разработан на основе исследований, проведенных в предыдущем параграфе. Вычислены множества достижимости в пространстве В2 нелинейных систем.

В третьей главе рассматриваются левосторонние решения (ЛР) уравнения Гамильтона — Якоби, т. е. дифференциального уравнения с частными производными первого порядка + {(<,= («,*)€ МХЯ-, (0.3) удовлетворяюшие начальному условию с (0,ж) = сг (х) при всех х? К1. (0.4)

Напомним, что в теории мимнимаксных решений (см., например [140, 141, 248] решение должно удовлетворять терминальному условию с (6,х) — а (х), т. е. условию на правом конце промежутка времени. При этом свойства, определяющие минимаксные решения, являются правосторонними, т. е. здесь используются правосторонние варианты слабой инвариантности, производные по направлению, правосторонние относительно времени, и т. д. Понятно, что решение задачи Коиш с начальным условием на левом конце, определенное на основе левосторонних вариантов слабой инвариантности отличается от обычного минимаксного решения простой заменой времени на противоположное.

Отличительной особенностью ЛР, рассматриваемых в третьей главе, является то что начальное условие задано на левом конце, а основные свойства, которым должны удовлетворять ЛР должны быть правосторонними.

Отметим, что в диссертационной работе ЛР изучаются в случае, когда гамильтониан уравнения (0.4) (?, х, в) —х, в) вогнут по импульсному переменному, т. е. по переменному 5, при любых фиксированных (¿-, ж)? [0,6>] х Я" .

В параграфе 3.1 вводится понятие ЛР и приводится пример, иллюстрирующий возникновение ЛР. ЛР рассматриваются в классе полунепрерывных снизу функций и определяются с помощью конструкций негладкого анализа, которые применяются для определения минимаксных решений (см., например [141]).

На примерах показывается, что в рамках предположений, гарантирующих существование, единственность и непрерывность минимаксных решений, ЛР могут не существовать, либо могут оказаться не единственными. Это показывает, что JIP качественно отличаются от минимаксных решений.

В параграфе 3.2 исследуются свойства JTP. Доказана, что замкнутая нижняя огибающая J1P задачи (0.4) (0.5) также является JIP этой же задачи. Сформулировано достаточное условие существования JIP и дано его описание в терминах производных по направлениям.

Параграф 3.3 посвящен построению систем множеств, аппроксимирующих множества уровня JIP. Предлагаемый метод построения аппроксимирующей системы, является попятной процедурой. Такая процедура применялась в работах [3, 152, 160, 161] при построении стабильных мостов в задаче сближения. Доказана сходимость аппроксимирующей системы множеств к множеству уровня ЛР.

Глава 4 посвящена исследованию задач удержания движений управляемых систем с помехой, математическая модель которых задана в виде х е F (t, x, u), t е [0,0], xeRn, и е р. (0.5)

К системам вида (0.5) могут быть приведены, например, управляемые системы, описываемые системой дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями (см., [2, 10, 66]).

Управляемые системы вида (0.5) исследовались в работах [67, 95, 118, 123 — 125, 232]. Свойствам можества достижимости и пучков траекторий системы (0.5) посвящены работы [95, 123 -125]. Управляемость системы (0.5) рассмотрена в работах [23 ]. Необходимые условия для оптимальности траекторий рассмотрены в работе [67, 118].

В параграфе 4.1 изучены некоторые свойства системы (0.5), которые используются в следующих параграфах.

В параграфе 4.2 рассматриваются способы управления и модели движений системы (0.5). Управление системой (0.5) осуществляется по принципу обратной связи. В качестве управляющих функций используются позиционные стратегии, широко применяемые в теории позиционных дифференциальных игр (см., например [82, 149, 215, 216]). Предлагаются два способа управления системой (0.5). Первый — это в реализовавшейся позиции шаг приращения времени при назначении управляющего воздействия, не зависит от Второй — это в реализовавщейся позиции шаг приращения времени при назначении управляющего воздействия, зависит от (?*,?*). Приводится определение движений системы (0.5) для обоих способов управления.

В параграфе 4.3 рассматривается задача слабого удержания движений системы (0.5) на заданном замкнутом множестве ТУ С [0,0] х Яп. Вводится понятие позиционно слабой инвариантности множества ТУ относительно системы (0.5). Суть позиционно слабой инвариантности множества ТУ С [0,0] X Вп относительно системы (0.5) заключается в том, что для любой начальной позиции, принадлежащей множеству ТУ, можно определить стратегию управления так, что движение управляемой системы (0.5), порожденное этой стратегией, оставалось на этом же множестве ТУ вплоть до заранее заданного момента времени 0. Понятие позиционно слабой инвариантности близко к понятию и — стабильного моста из теории позиционных дифференциальных игр и является в некотором смысле обобщением понятий слабой и сильной инвариантности множеств (см., например [46, 82, 194, 215 ]).

Приведены достаточные условия для позиционно слабой инвариантности множества ТУ С [0,0] х Яп относительно системы (0.5). Эти условия выражены в инфинитезимальной форме и связывают правую часть системы (0ю5) с производным множеством многозначного отображения I —> На базе этих достаточных условий, установлена процедура определения стратегии, удерживающей движения системы (0.5) на зада-ном множестве.

Рассмотрена позиционно слабая инвариантность множеств вида ТУ = {(?,#) Е [0,0] х Яп: с (£, х) < 0}. Приведены достаточные условия, позволяющие оценить сверху функцию гарантированного результата в задаче управления с терминальной платой, когда динамика управляемой системы задается в виде (0.5).

В параграфе 4.4 рассматривается задача (М, А7″) — сближения для управляемой системы (0.6), и, в частности, для управляемых систем, описываемых дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями. Постановка задачи (М, N) — сближения формулируется согласно подходу, предложенному в теории позиционных дифференциальных игр (см., [82, 148, 215, 216]). Важным элементом при определении стратегии, разрешающую задачу (М, N) — сближения, является позиционно слабо инвариантное множество? С [0,0] х Д71, удовлетворяющее соотношениям IV С N ж С М. Приведена процедура, определяющая аппроксимирующую систему множеств позиционно слабо инвариантного множества в задаче (М, А7″) — сближения для системы (0.5).

Параграф 4.5 посвящен к исследованию конфликтно — управляемой системы вида х е ^(г, х, и, у),? е [о, в], х е К1, иеР, V е Я. (о.б)

Рассмотрена задача сближения — уклонения для системы (0.6). Установлена процедура, определяющая стратегию игрока и, разрешающую задачу (М, ЛГ) — сближения, а также стратегию игрока V, разрешающую задачу (М, — уклонения. Отметим, что при исследовании задачи сближения — уклонения для системы (0.6) используются конструкции из теории дифференциальных игр и результаты параграфов 4.1 — 4.4. Дальше рассмотрены верхняя цена и нижняя цена дифференциальной игры для системы (0.6) с терминальной платой. Получены дифференциальные неравенства, характеризующие верхнюю и нижнюю цены игры. Эти неравенства являются аналогами дифференциальных неравенств, которые характеризуют и иг? — стабильность функции цены дифференциальной игры (см., например [140, 145, 148]) и минимаксные решения уравнения Гамильтона — Якоби (см., например [141, 144, 248]).

В пятой главе рассматриваются задачи слабого и сильного удержания траекторий обобщенных динамических систем (о.д.с.), эволюция которых задается непосредственно множеством достижимости. Понятие о.д.с. было сформулировано в работах [13, 57, 243] в рамках аксиоматического подхода к исследованию эволюционных систем. Оно определяется как многозначное отображение

Г (-): [0,0] х [0,0] хД" ^ 2лп, (0.7) удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Символ ¿-о? ^ > ¿-(Ь означает множества достижимости системы в момент времени? из начальной позиции О.д.с. (0.7) изучалась также в работе [12].

Основная часть пятой главы посвящена задачам слабого и сильного удержания траекторий о.д.с. (0.7) на заданном замкнутом множестве С [0, в] х Яп. В работе [243] были введены понятия слабой и сильной инвариантности замкнутого множества? С [0, в] х Яп относительно о.д.с. (0.7). Если множество Ж слабо (сильно) инвариантно относительно о.д.с. (0.7), задача слабого (сильного) удержания траекторий о.д.с. (0.7) на этом же множестве разрешима при любых (?о>яо) Е И^. В данной диссертационной работе свойства слабой и сильной инвариантности замкнутого множества У/ С [0, в] хЯ11 относительно о.д.с. (0.7) исследуются с применением инфинитезимальных конструкций негладкого анализа.

В параграфе 5.1 приведено ранее известное (см., [13, 243]) определение траекторий о.д.с. (0.7). Дается определение производной о.д.с. (0.7), основанное на понятии производной многозначного отображения, и рассматриваются некоторые свойства этой производной. Дальше исследуется слабая инвариантность замкнутого множества С [0,0] х Яп относительно о.д.с. (0.7). Формулируются необходимые, а также близкие к ним достаточные условия слабой инвариантности замкнутого множества С [0,6] х Яп относительно о.д.с. (0.7). Эти условия выражены в ин-финитезимальной форме и требуют непустоты пересечения производной системы и производной многозначного отображения? —"¦ Ил (£).

В параграфе 5.2 рассматривается задача сильного удержания траекторий о.д.с. (0.7) на заданном замкнутом множестве ]? С [0,0] х Кп. Другими словами, рассматривается сильная инварантность множества? относительно о.д.с. (0.7). Получены необходимые, а также достаточные условия для сильной инвариантности множества Ш относительно о.д.с. (0.7), связывающие производные о.д.с. (0.7) и многогозначного отображения? —>

В этом же параграфе изучена задача сушествования дифференциального включения, интегральная воронка которого совпадает с графиком многозначного отображения t —>• ¿-о, ^о) — Исследована функция оптимального результата в задаче управления с терминальной платой, где управляемая система задается в виде (0.7).

В параграфе 5.3 рассматривается о.д.с. с помехой, задаваемая как многозначное отображение [0,0] х [0,6"] х Я" х Р —> 2й". (0.8)

Символ ¿-о, ^о?и)-, ^ > ?0? означает множества достижимости системы в момент времени t из начальной позиции ПРИ воздействии на систему на отрезке [¿-о, постоянного управления и? Р. В качестве управляющих функций для системы (0.8) выбираются позиционные стратегии. Сформулировано определение движения системы (0.8), порожденного позиционной стратегией.

В параграфе 5.4 рассмотрена задача слабого удержания движений системы (0.8) на заданном замкнутом множестве Ш С [0,0] х Нп. Введено понятие позиционно слабой инварантности множества Ж относительно о.д.с. (0.8). Приведены достаточные условия для позиционно слабой инварантности множества? относительно о.д.с. (0.8). На основе этих условий установлена стратегия управления, которая удерживает движения о.д.с. (0.8) на множестве И7 вплоть до заданного момента времени 0.

Рассмотрена позиционно слабая инварантность множеств вида И7 = € [0,0 х Е1: ф, х) < 0}.

Исследована функция гарантированного результата в задаче управления с терминальной платой, когда динамика управляемой системы задается как о.д.с. вида (0.8).

Формулы, теоремы, утверждения имеют в работе тройную нумерацию (кроме настоящего введения, где принята двойная нумерация) — глава, параграф, номер внутри параграфа.

Результаты диссертации докладывались на 5-ой и 7-ой Всесоюзных конференциях по управлению в механических системах (Казань, 1985; Свердловск, 1990), 2-ой Всесоюзной конференции по функциональнодифференциальным уравнениям и их приложениям (Челябинск, 1987), мини — семестре по дифференциальным включениям и их приложениям в Международном математическом центре им. С. Банаха (Варшава, 1989), 11-ом Всемирном конгрессе Международной Федерации по Автоматическими Управлению (Таллинн, 1990), Всесоюзной конференции по негладкому анализу и его приложениям в экономических системах (Баку, 1991), семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН, кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Основной материал диссертации опубликован в работах [34 — 50, 206, 207]. Из работ [45 — 50, 207], выполненных совместно А. И. Субботиным и В. Н. Ушаковым, в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору диссертации.

Автор выражает глубокую признательность академику РАН А. И. Субботину и профессору В. Н. Ушакову за ценные советы и постоянное внимание к работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена аналитическим и вычислительным аспектам управляемых систем с неопределенностью, математическая модель которых задается дифференциальными включениями. При этом получены следующие основные результаты:

1. Получены критерии для задач слабого и сильного удержания на заданном замкнутом множестве траекторий управляемой системы с неопределенностью, задаваемой дифференциальным включением. Другими словами, получены критерии слабой и сильной инвариантности замкнутых множеств относительно дифференциального включения в терминах производных многозначного отображения. Особенность этих критериев состоит в том, что в их формулировке присутствуют выпуклые оболочки производных многозначных отображений.

2. С применением этих критериев исследованы некоторые задачи управления.

— сформулированы необходимые и достаточные условия для функции оптимального результата в задаче управления, в которой динамика задается дифференциальным включением;

— даны дифференциальные соотношения, характеризующие интегральную воронку дифференциального включения;

— рассмотрена одна обратная задача теории дифференциальных включений: для заданного множества определено дифференциальное включение, интегральная воронка которого совпадает с заданным множеством;

— доказаны теоремы существования периодических решений дифференциального включения с фазовым ограничением, зависящим от времени;

— приведено достаточное условие для устойчивости (относительно неточных измерений фазового состояния) позиционной стратегии, разрешающей задачу сближения для конфликтно управляемых систем;

— найден критерий стабильности множества программного поглощения в линейной задаче сближения.

3. Разработаны алгоритм и вычислительная процедура приближенного построения множеств достижимости дифференциального включения. Дано теоретическое обоснование алгоритма приближенного построения множеств достижимости и получена оценка точности. Вычислены множества достижимости конкретно заданных систем на плоскости.

4. Дана аппроксимационная схема для построения множеств достижимости управляемых систем с квадратичными интегральными ограничениями на управления. Доказана сходимость аппроксимирующей системы множеств к множеству достижимости и найдена оценка точности приближенных вычислений множеств достижимости. Приведено описание алгоритма для приближенного вычисления множеств достижимости. Проведено вычисление множеств достижимости некоторых конкретных систем на плоскости.

5. Введено понятие левостороннего решения уравнения ГамильтонаЯкоби и на примерах показано его качественное отличие от минимаксного решения. Приведено достаточное условие существования левостороннего решения и изучены некоторые его свойства. Дано описание левосторонних решений в терминах производных по направлениям. Предложена аппроксимационная схема для построения множеств уровня левосторонних решений.

6. Изучена задача удержания траекторий управляемых систем при наличии помех, задаваемых дифференциальным включением с управляющим вектором. Введено понятие позиционно слабо инвариантного множества относительно таких управляемых систем. Получены достаточные условия для позиционно слабой инвариантности. На основе этих условий установлена процедура определения стратегий, удерживающих движения системы на позиционно слабо инвариантном множестве. Приведены процедуры определения стратегий, разрешающих задачу сближения и уклонения для конфликтно управляемых систем, математическая модель которых задается дифференциальным включением. Также получены дифференциальные неравенства, характеризующие верхнюю и нижнюю цены дифференциальной игры.

7. Получены критерии для задач слабого и сильного удержания траекторий обощенных динамических систем на заданном замкнутом множестве. Найдены достаточные условия для удержания траекторий обобщенных динамических систем с помехой на заданном замкнутом множестве и определены стратегии, удерживающие движения системы на позиционно слабо инвариантном множестве.