Асимптотика вероятностей больших уклонений черновского типа для функционалов Мизеса и U-статистик

В современной теории вероятностей и математической статистике важную роль играют функционалы Мизеса, предложенные фон Мизесом в [51] и [/-статистики, введенные Хеффдингом в [42]. Особый интерес представляет фаЛщМШ в виде функционалов Мизеса и [/-статистик можно представить многие оценки и статистики, использующиеся в современной математической статистике. Количество работ, посвященных свойствам этих тесно связанных между собой объектов, постоянно растет. Помимо многочисленных журнальных публикаций свойствам [/-статистик посвящено уже несколько монографий, а именно работы Серфлинга [53], Ли [49], Ко-ролюка и Боровских [14] и Боровских [6].

Прежде всего введем необходимые обозначения. При этом в терминологии мы будем следовать монографии [14].

Пусть Х^ - независимые случайные величины со значениями в измеримом пространстве (Л, Л) и общим распределением Р. Для п > т определим [/-статистику ип = (с?)~1 Е ф (хг1,., хгт), (о.о.1).

1<�г'1 <.<{т<�п где Ф: Хт —" К — симметричная относительно любой перестановки то переменных функция.

Функционал Мизеса Уп определяется с помощью формулы п п к — п~т Е. Е цхг1,., х1т). (0.0.2).

1=1 гт=1.

Функция Ф называется ядром ¿-/-статистики или функционала Мизеса, натуральное число т — степенью ¿-/-статистики (или функционала Мизеса).

Пример 0.0.1. Выборочную дисперсию для выборки Х, со средним X, определяемую как.

1 Е№-*)2, п — 1 можно записать в виде ¿-/-статистики ип = (с1у1 Е Щх"х,).

1 <�г<3<�п 1 с ядром Ф (М) = -(§ - ?)2.

Пример 0.0.2. Рассмотрим среднюю разность Джини, предложенную в [40], см. также [12, стр. 74−75]. Эта статистика определяется как ип = Кг1 Е № - х3.

1 <�г<]<�п.

Поэтому средняя разность Джини является [/-статистикой с ядром =.

Пример 0.0.3. Для проверки симметрии одномерной выборки Х1Хп часто используется так называемая знаково-ранговая статистика Вилкоксона, которую можно записать в виде.

С^Г1? 1{м,>о}- (0−0.3).

1 <�Л<]<�п.

Таким образом, ядром этой статистики является функция.

0.0.4).

Пример 0,0.4. Более сложным примером ¿-/-статистики является хорошо известная статистика и2 Крамера — фон Мизеса — Смирнова.

Здесь Еп — эмпирическая функция распределения, построенная по случайным величинам имеющим равномерное распределение на [0,1]. Хорошо известно (см., например, [13]), что статистика ш2п имеет вид (0.0.2) при т = 2 и ядре + + (0.0.6).

Пример 0.0.5. Пример векторной II-статистики дает следующая статистика Хеффдинга [43].

Мерой зависимости для пары случайных величин X и У с совместной функцией распределения Р может служить величина.

Тогда соответствующая ¿-/-статистика есть ип = (с5п)~1 Е с двумерной выборкой Zj = = 1,., п, из совокупности с функцией распределения Е (х, у).

Ядро Ф этой статистики определяется формулой где 1{42<<�Х} - 1{<�з"1}5 = 3 =.

Можно проверить, что Е1/п = О (Р) (см., например, [43], [14]).

Пусть.

0(Р) = /./Ф (х1,., жто) Р (^1).Р (^то). При условии ¿-^Ф! < оо определим.

Фс (хъ., хс) = ЕФ (х1,., хс, Хс+1,., Хт), с = 1,., т. (0.0.7) Положим для с = 1, т.

Ф = Ф-в (р), Фс = Фс-е (Р).

Наконец, введем в рассмотрение функции д1(хг) = Ф^Х^,.

92(Х1,Х2) — Ф2(я1, х2) — д{х) — д (х2), з д$(х1,х2,хз) = ф$(х!, х2, хз)-^Ш&д-? г=1 1<�г<�У<3 т.

9т{%-} ••¦¦> %т) = Фт (х1,Х2,., Хт) ~ г=1 ¿-С ¦> жг2) ~~ • • • ~~ Л 9т-{%11 ¦> хгт-1)•.

1<�г'1<�г'2<�т 1<�г'1<.<�гт-1<�ш.

Определенные таким образом функции называются каноническими.

Пусть г > 1 — первое целое число, для которого выполняются соотношения дг =. = 9г-х = 0, дг ф 0 (0.0.8) равенство понимается почти везде). Число г, удовлетворяющее (0.0.8), называется рангом ¿-/-статистики или функционала Мизе-са. Говорят также, что г является рангом ядра Ф. Если г = 1, то функционал Мизеса (или ядро Ф) называется невырожденным. При г > 2 функционал Мизеса (или ядро) называется вырожденным, а г — порядком вырожденности. При г = т говорят о полной вырожденности ядра. Для функционалов с наименьшим возможным порядком вырожденности г = 2 мы будем использовать термин слабая вырожденность.

Вернемся к примерам. Пусть в Примере 0.0.1 случайные величины равномерно распределены на [0,1]. Тогда.

Поэтому.

Поскольку не равна тождественно нулю, то ¿-/-статистика, отвечающая выборочной дисперсии, является невырожденной.

Аналогично в Примере 0.0.2 для равномерно распределенных на [0,1] случайных величин имеем:

Поэтому ф)=¡-01 Ф (*,*) л -1=- *+ откуда следует, что ¿-/-статистика, соответствующая средней разности Джини, также является невырожденной.

В Примере 0.0.3 для ядра (0.0.4) при симметричной относительно нуля непрерывной функции распределения ^ наблюдений ., Хп верно что показывает его невырожденность.

В Примере 0.0.4 мы встречаемся с вырожденным случаем. В самом деле, для статистики (0.0.5) справедливо.

Я1(з) =? Ф (М).

Здесь Ф определяется (0.0.6). Нетрудно проверить, что д = 0, в то время как тождественным нулем не является. Это означает, что рассматриваемое ядро вырождено, причем имеет порядок вырожденности 2.

Наконец, можно проверить, что при справедливости гипотезы независимости статистика Хеффдинга из Примера 0.0.5 также вырождена, причем ее ранг равен 4.

Заметим, что иногда вырожденность определяется по-другому. Например, в работе [33], см. также [5], ядро Ф называется г-вы-рожденным для распределения Р, если справедливо г = тах{1 > 0: Е (Ф (хь., жго)|&-) =0 п.н.}, (0.0.9) где — поле, порожденное величинами Фактически величина ранга согласно (0.0.9) отличается от величины ранга, определенной с помощью канонических функций, на 1, так что при выполнении (0.0.9) невырожденное ядро имеет г = 0, а максимальная вырожденность достигается при г = т — 1.

Диссертация посвящена вычислению грубой асимптотики вероятностей больших уклонений для Уп и IIп. Большие уклонения появляются очень часто в статистической механике, оптике и радиотехнике, в теории информации и теории обнаружения сигналов, в других приложениях (см., например, [38], [10], [35], [22], [8], [9], [21], [58], [32]). Особый интерес в больших уклонениях для математической статистики заключается в том, что именно на асимптотику вероятностей больших уклонений опирается вычисление асимптотической относительной эффективности (АОЭ) статистических оценок и критериев по Бахадуру, Ходжесу-Леману и Чернову. Именно благодаря запросам статистики и других приложений теория больших уклонений достигла в настоящее время значительных успехов и продолжает интенсивно развиваться.

Под большими уклонениями для II-статистик с нулевым средним мы подразумеваем события, а под вероятностями больших уклонений понимаем вероятности этих событий для произвольных положительных постоянных а. Аналогичные определения используются для У-статистик. Такие большие уклонения принято называть черновскими в отличие от крамеровских, когда, а = ап = о (1), п оо, и умеренных, когда, а — О, п —ь сю.

Нас будет интересовать в первую очередь так называемая грубая, или логарифмическая асимптотика вероятностей больших уклонений, то есть предел.

Для целей статистики этот предел нужно уметь вычислять явно хотя бы при малых а. Мы докажем его существование, непрерывность по, а в некоторой окрестности нуля, а также найдем первые члены разложения по степеням, а в этой окрестности. Такой информации вполне достаточно для вычисления локальной асимптотической эффективности по Бахадуру и Ходжесу-Леману ([21], [32], [53]). Как указывается в монографии [9, стр.23], «из грубых теорем и» > а},.

Рг{*7п > а}.

0.0.10) ки (а) = Иш п 11п? т{ип > а}. о больших уклонениях можно вывести больше интересных грубых следствий, чем точных следствий из точных теорем" .

Прежде всего отметим, что в диссертации всегда подразумевается т > 2. Если га = 1, то [/-статистики совпадают с Т^-статистиками и являются фактически суммами случайных величин. Задача нахождения грубой асимптотики вероятностей больших уклонений чер-новского типа для них уже давно была решена в работах [32], [36]. Например, в [36] доказана следующая теорема, ставшая классическим результатом.

Теорема 0.0.1 Пусть {Xj} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения F и производящей функцией моментов ip, т. е. ip (t) = Eetx = j™ etx dF (x), -oo < t < oo.

Пусть.

Pr{Xi > u} > 0, -oo < и < oo, а un — числовая последовательность, такая, что ип —" и. Тогда.

Jim п" 1 InPriX, +. + Хп > пип} = -/(«), Jim n» 1 InРг{Хг +. + > пип} = -/(и), где f (u) непрерывна в некоторой окрестности нуля и определяется из равенства ехр[-/(и)] = inf{e~tuip (t): t > 0}.

Если предположить дополнительно, что cp (t) < oo в некоторой окрестности нуля, причем EXj = 0, а DXj = а2 > 0, то при и —> О = ?(1+ «(!))• 10.

В случае же т > 2 задача резко усложняется, так что до недавнего времени каких-либо общих результатов в этой области не было вообще.

Многие авторы вычисляли поведение вероятностей (0.0.10) для II-статистик в более узких зонах, в частности, зонах крамеровских и умеренных уклонений, когда, а = ап = о (п" /9), 0 < (3 < или, а — ап = О (у^^) • Большинство этих работ посвящено доказательству асимптотической эквивалентности вероятностей больших уклонений (0.0.10) [/-статистик с невырожденным ядром Ф и хвоста нормального распределения. При различных условиях регулярности это устанавливалось с различными показателями /3 в [4], [6], [17], [23], [27], [28], [45], [46], [48], [51], [55], [57]. Для стьюдентизиро-ванных [/-статистик некоторые результаты были получены в [56].

Что касается постоянных а, то есть черновских уклонений, то здесь известно немногое. В упоминавшихся уже работах Борисова [5], [33] устанавливаются верхние оценки для вероятностей больших уклонений функционалов Мизеса произвольной вырожденности. Арконес в [30] и независимо Эйхсельбахер и Леве в [39] сформулировали так называемый принцип больших уклонений для II-статистик и функционалов Мизеса. В частности, в [39] доказано, что IIи У-статистики имеют одинаковое поведение вероятностей больших уклонений при условии конечности производящей функции моментов для Х^. В работе [54] принцип больших уклонений распространен на некоторые связанные с этими статистиками эмпирические меры. Однако совершенно неясно, как из этих результатов получить искомую асимптотику, то есть функцию кц{а) или главные члены ее разложения в ряд при, а —> 0.

Для невырожденного случая попытка решения была предпринята в работе Дасгупты [37]. Свой результат Дасгупта формулирует для неодинаково распределенных случайных величин Х1,., Х". В случае одинаково распределенных случайных величин из его работы вытекает следующее утверждение.

Теорема 0.0.2. Пусть ф (81) = Е (Ф (ХЬ = 81) и б2 = ЕфХ1) > 0.

Предположим, что.

ЕФ (Х,., Хто) = 0, Еещ){1Ф2., Хт)}< ос ШеЕ нг^п-11пРг > п? о| < 00 для некоторого > 0.

Тогда для любой последовательности 7″ —> 0 при п —> со и для любого? > 0 верно.

К сожалению, в формулировке и доказательстве теоремы содержатся серьезные ошибки. Это тем более досадно, что теорема Дасгупты вошла в монографии [6] и [14] без изменений. Таким образом, вопрос для невырожденного случая оставался открытым.

Для вырожденного случая какие-либо общие результаты о больших уклонениях до последнего времени были вообще неизвестны.

Главные результаты настоящей диссертации состоят в следующем. Во-первых, исправляется и уточняется теорема Дасгупты: находится правильная асимптотика вероятностей больших уклонений для невырожденных функционалов Мизеса и II-статистик. Во — вторых, впервые находится асимптотика вероятностей больших уклонений для слабо вырожденных (имеющих ранг 2) функционалов Мизеса и ¿-/-статистик. Полученные результаты иллюстрируются многочисленными примерами.

Любые результаты о больших уклонениях для ¿-/-статистик и функционалов Мизеса доказываются при определенных предположениях о распределении случайных величин Х^ и ядре Ф. На протяжении всей работы мы будем предполагать, что в определении II-статистики и функционала Мизеса случайные величины Х^ имеют равномерное распределение на [0,1]. Условие равномерности оправдывается тем, что нас интересуют главным образом приложения к «свободным от распределения» статистикам, для которых закон распределения Х^ не имеет значения, если только он непрерывен. Кроме того, мы можем перейти от случайных величин У" !,!^— с непрерывной функцией распределения ^ к последовательности равномерно распределенных на [0,1] случайных величин Х, Х2,. полагая Х^ = ] = 1,2,.. Тогда ¿-/-статистика степени т с ядром Ф, построенная по перейдет в ¿-/-статистику степени т с ядром Фо, построенную по случайным величинам Х^^ причем ядра Ф и Фо связаны очевидной формулой:

Ф0(ХЬ., Хт) = Ф^оиР-1(?т)).

Для краткости обозначим / = [0,1]. Всюду в диссертации ^ означает^{-кратное} интегрирование по единичному кубу 1к.

Таким образом, ограничения на распределения случайных величин можно свести к ограничениям на ядро.

На протяжении всей работы мы накладываем жесткое условие ограниченности ядра, не требуя, однако его непрерывности или гладкости. С одной стороны, это диктуется методами доказательств и используется, в частности, в доказательстве непрерывности в подходящей топологии функционала Мизеса как функционала от эмпирической меры. С другой стороны, подавляющее большинство ядер [/-статистик и функционалов Мизеса, встречающихся в непараметрической статистике, является комбинацией индикаторных функций, и потому они удовлетворяют условию ограниченности. Многочисленные примеры таких ядер будут приведены ниже.

Как известно, теорема Санова и ее обобщения (см., например, [21], [32], [38]) сводят задачу поиска вероятностей больших уклонений (0.0.10) к задаче минимизации информации Кульбака-Лейблера К на некотором множестве функций распределения Qa. Но чтобы утверждение.

Jim ггЧпРг^" > а} = -K (iia) было справедливым, необходимо среди прочего доказать непрерывность функции, а ь" K (Qa). Именно это является наиболее сложной задачей при использовании различных обобщений теоремы Санова. В работе [47] удалось показать, что для функционалов Мизеса степени 2 справедливо соотношение lim а~1К{Па) =^. (0.0.11) где Ао является наименьшим характеристическим числом числом линейного интегрального оператора с ядром Ф ($,£). Несмотря на вычисление главной части, авторам [47] не удалось доказать непрерывность функции, а I—У K (Qa), а потому нельзя утверждать, что асимптотика (0.0.10) ведет себя так же, как найденная величина.

Все же для некоторых статистик, имеющих вид (0.0.2), асимптотику вероятностей больших уклонений вычислить удалось. Первый результат здесь принадлежит Могульскому, который в работе [18] решил эту задачу для классической статистики со2 Крамера — фон Мизеса — Смирнова (0.0.5). Задача минимизации информации Куль-бака — Лейблера является вариационной задачей на условный экстремум, так что экстремали можно найти из возникающего уравнения Эйлера — Лагранжа. В [18] это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит так: х" -ХхХехх' = 0, (0.0.12) причем оно рассматривается совместно с условиями я (0) =ж (1) = 0, j2(t)dt = 1.

Здесь Л — неопределенный множитель Лагранжа, а е — числовой параметр. Могульский показал, что решение такой задачи можно найти в классе функций оо = ?

71=0 где.

ОО. n{t) = ]С ak' sin felfi, к=1 причем ряд сходится абсолютно и равномерно при достаточно малых? > 0. Это позволило установить, что.

Нт п-11пРг{^ >?} = - —e+Y,.

3=3 причем ряд в правой части сходится при достаточно малых? > 0.

Однако метод Могульского настолько существенно использует конкретный вид статистики что рассуждения [18] не удается перенести даже на общий случай взвешенной статистики, предложенной в [29]: ul, q = /0 (Fn{u) ~ ufq{u) du, 15 где неотрицательная весовая функция д удовлетворяет условию.

Поэтому для подобных статистик потребовались совершенно иные средства.

Задача для взвешенных статистик была решена в [19], [20]. Метод, предложенный там, оказался очень мощным. Суть его заключается в том, что возникающее уравнение Эйлера — Лагранжа, естественно, более сложное, чем (0.0.12), вместе с краевыми или нормировочными условиями рассматривается как неявный аналитический оператор, действующий в подходящем банаховом пространстве. Можно ожидать, что решения такого уравнения также разлагаются в ряд по целым или дробным степеням малого параметра е. Проблему при доказательстве этого разложения представляет тот факт, что у получающихся операторов производная по Фреше при? = 0 может быть необратимой. Поэтому утверждать априори, что решения будут аналитичными по нельзя. Для устранения этого препятствия используется теория ветвления решения нелинейных уравнений Ляпунова — Шмидта [7]. Изучение так называемого уравнения разветвления Ляпунова — Шмидта совместно с условиями нормировки позволяет построить решения уравнения Эйлера — Лагранжа в виде рядов по степеням малого параметра. При этом сходимость построенных решений в некоторой окрестности нуля следует из общих теорем [7]. Для получения искомой асимптотики достаточно подставить найденные решения в минимизируемый функционал.

В [1], [2] этот метод был с успехом применен для изучения больших уклонений интегральной статистики типа Ватсона для проверки симметрии.

Оказалось, что указанный метод применим и для изучения произвольных невырожденных и слабо вырожденных ¿-/-статистик (0.0.1) и функционалов Мизеса (0.0.2) с ограниченным ядром.

Главным результатом диссертации является доказательство следующих двух теорем.

Теорема 2.1.1. Пусть ядро Ф функционала Мизеса является ограниченной функцией на [0,1]т,.

ЕФ = 0, и Ф имеет ранг 1, то есть о2 = Еф2(Х) > 0, где ф (81) = Е (ФХг = 8г).

Тогда для любой вещественной последовательности {7п} такой, что 7п 0, верно соотношение оо.

Нт п~11п Рг{К > а + 7п} = Е Щи3, где ряд справа с числовыми коэффициентами Ь^ сходится при достаточно малых, а > 0, причем 1.

Ы =.

2 т%2.

Если ядро Ф вырождено и имеет ранг 2, то положим.

Ф*(5−1, 5−2) = } Ф (51, ., 8т) если 1П > 2, Ф (в1,52), если т = 2.

Теорема 3.1.1. Пусть случайные величины Химеют равномерное распределение на [0,1], а ядро Ф функционала Мизеса (0.0.2) удовлетворяет следующим условиям:

Ф является ограниченной функцией на [0,1]т,.

ЕФ = 0- и Ф имеет ранг 2. Пусть щ — наименьшее из чисел удовлетворяющих условию f1 x (s 1) = V J Ф*(8и32)х (82)(182, является простым характеристическим числом линейного интегрального оператора с ядром Ф% действующего из Ь2{0,1] в Ь2{0,1]. Тогда оо lim п~11пРг{Уп > а] = J2 bjaj/ n-> OO l «— J ^ J 5.

3=2 где ряд справа с числовыми коэффициентами bj сходится при достаточно малых а, причем h щ.

Ь2 =.

Аналогичные утверждения справедливы для ¿-/-статистик.

Эти теоремы являются первым общим результатом в интересующей нас области и охватывают большое число непараметрических статистик. Таким образом, мы существенно расширяем класс II-статистик и функционалов Мизеса, для которых оказывается возможным выписать явно грубую асимптотику вероятностей больших уклонений, хотя и при малых, а > 0. Эта асимптотика открывает путь к вычислению локальной асимптотической эффективности статистических критериев, основанных на этих статистиках. Подобные вычисления не входят в нашу задачу.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. В диссертации принята тройная нумерация формул, указывающая.

1. Аббакумов В. Л. Большие уклонения и асимптотическая эффективность критерия типа Ватсона для проверки симметрии // Вестник ЛГУ, 1986. N4, С.98−100.

2. Аббакумов В. Л. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев симметрии. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Л. 1987.

3. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

4. Алешкявичене А. К. Вероятности больших уклонений для U-статистик и функционалов Мизеса // Теория вероятностей и ее применения, 1990. 35. N1. С.1−14.

5. Борисов И. С. Аппроксимация распределений статистик Мизеса с многомерными ядрами // Сиб. мат. журн., 1991. Т.32. N4. С.20−35.

6. Боровских Ю. В. Вероятности больших уклонений для VE-статистик // Укр. Мат. Ж., 1994. Т.46. N12. С.1611−1620.

7. Вайнберг М. М., Треногин В. И. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

8. Вентцель А. Д. Предельные теоремы о больших уклонениях для марковских случайных процессов. М.: Наука, 1986.

9. Веитцель А. Д., Фрейдлин М. И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

10. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

11. Забрейко П. П. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

12. Кендалл М. Д., Стюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966.

13. Королюк B.C., Боровских Ю. В. Асимптотический анализ распределений статистик. Киев: Наукова думка, 1984.

14. Королюк B.C., Боровских Ю. В. Теория U-статистик. Киев: Наукова думка, 1989.

15. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутиц-кий Я.Б., Стеценко В. Я. Приближенные решения операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

16. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967.

17. Малевич Т. Л., Абдалимов Б. А. Вероятности больших уклонений для U-статистик // Теория вероятностей и ее применения, 1979. Т.22. N1. С.215−220.

18. Могульский А. А. Замечания о больших уклонениях статистики и2 // Теория вероятностей и ее применения, 1977. Т.22. N1. С.170−175.

19. Никитин Я. Ю. Большие уклонения и асимптотическая эффективность статистик интегрального типа. I // Проблемы теории вероятностных распределений. IV. Записки научных семинаров ЛОМИ, 1979. Т.85. С.175−187.

20. Никитин Я. Ю. Большие уклонения и асимптотическая эффективность статистик интегрального типа. II // Проблемы теории вероятностных распределений. V. Записки научных семинаров ЛОМИ, 1980. Т.97. С.151−175.

21. Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. М.: Наука, 1995.

22. Саулюс Л. И., Статулявичус В. А. Предельные теоремы о больших уклонениях. Вильнюс, Мокслас, 1989.

23. Сластников А. Д. Предельные теоремы для вероятностей умеренных уклонений // Теория вероятностей и ее применения, 1978. Т.23. N2. С.340−357.

24. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1993.

25. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению. М.: Наука, 1974.

26. Ahmad I.A. A nonparametric test for the monotonicity of a failure rate statistics // Commun. in Stat., 1975. V.4. N10. P.967−74.

27. Aleskeviciene A. Large deviations for U-statistics // Liet. Matem. Rink. 1992. 32. P.7−19.

28. Aleskeviciene A., Borovskikh J. On probabilities of large deviations for JJH-statistics // Liet. Matem. J., 1995. 35. N2. P.112−120.

29. Anderson T.W., Darling D. A. Asymptotic theory of certain «goodness-of-fit» criteria based on stochastic processes // Ann.Math.Statist., 1952. Vol.23. N2. P.193−212.

30. Arcones M.A. Large deviations for U-statistics // J.Multivar. Anal., 1992. Vol.42. N2. P.299−301.

31. Baxter J.R., Jain N.C. A comparison principle for large deviations // Proceedings of the Amer. Math. Soc., 1988. Vol.103. N4. P.1235−1240.

32. Bahadur R.R. Some limit theorems in statistics. SIAM: Philadelphia, 1971.

33. Borisov I.S. Exponential inequalities for the distributions of von Mises and U-statistics // Prob. theory and math, statistics. Vilnius, 1990. Vol.1. P.166−178.

34. Borovskikh Yu.V. U-statistics in Banach spaces. VSP. Utrecht, 1996.

35. Bucklew J. Large Deviations Techniques in Decision, Simulation and Estimation. Wiley, New York, 1990.

36. Chernoff H. A measure of asymptotic efficiency for tests of a hypothesis based on sums of observations j/ Ann.Math.Stat., 1952. Vol.23. N4. P.493−507.

37. Dasgupta R. On large deviation probabilities of U-statistics in non-i.i.d. case // Sankhya. 1984. Vol. A46. N1. P.11Q-116.

38. Dembo A., ZeitouniO. Large Deviations Techniques and Applications. Jones and Bartlett Publishers. Boston, 1993.

39. Eichelsbacher P., Lowe M. A Large Deviation Principle for m-variate von Mises-Statistics and U-Statistics // J.Theoret. Prob., 1995. Vol.8. N4. P.807−823.

40. Gini C. Variabtlita e Mutabilita, contributo alio studio delle distribu-zioni e relazioni statistiche // Studi Economico-Giuridici di Cagliari, anno III, parte II, Cuppini, Bologna, 1912.

41. Groeneboom P., Oosterhoff J., Ruymgaart F.H. Large deviation theorems for empirical probability measures // Ann. Prob., 1979. Vol.7. N4. P.553−586.

42. Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distribution // Ann.Math.Statist., 1948. Vol.19, N3. P.293−325.

43. Hoeffding W. A non-parametric test of independence // Ann. Math. Statist., 1948. Vol.19, N4. P.546−557.

44. Hollander M, Proschan F. Testing whether new is better than used H Ann. Math. Stat., 1972. 43. P. 1136−46.

45. Inglot T., LedwinaT. Asymptotic behavior of some bilinear Junctionals of the empirical process // Math. Methods of Stat., 1993. 2. N4. P.316−336.

46. Inglot T., Ledwina T., Kallenberg W. Cramer type large deviations for some U-statistics // Teor. Veroyatn. Prim., 1993. 38. N4. 858−868.

47. Jeurnink G., Kallenberg W. Limiting values of large deviation probabilities of quadratic statistics j j J. of Multiv. Anal., 1990. 35. 168−185.

48. Keener R., Robinson J., Weber N. Tail probability approximation for U-statistics // Stat, and Probab. Lett., 1998. 37. P.59−65.

49. Lee A.J. U-statistics. Marcel Dekker. New York. 1990.

50. Maesono Y. Competitors of the Wilcoxon signed rank test // Ann. Inst. Stat. Math., 1987, V.39. N2. P.363−375.

51. Mises R. von. On the asymptotic distribution of differential statistical functions // Ann. Math. Stat., 1947. Vol.18. N2. P.309−348.

52. Rubin П., Sethuraman J. Probabilities of moderate deviations // Sankhya. 1965. V. A27. P.325−346.

53. SerflingR. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. Wiley, New York. 1980.

54. Serfling R., Wang W. Large deviation results for Uand V-statistics, -empiricals, andprocesses. Preprint of the University of Texas at Dallas, 1997.

55. Vandemaele M. On large deviation probabilities for U-statistics // Теория вероятностей и ее применения, 1982. Т.27. N3. 573−574.

56. Vandemaele М., Veraverbeke N. Cramer type large deviations for studentized U-statistics // Metrica. 1985. 32. N3−4. P.165−180.

57. Wang Qiying. Probabilities of large deviations for U-statistics //J. Nanjing Univ., 1996. 13. N2. 169−172.

58. Varadhan S.R.S. Large Deviations and Applications. SIAM: Philadelphia, 1984. Работы автора по теме диссертации.

59. Поникаров Е. В. О больших уклонениях вырожденных функционалов Мизеса // Записки научных семинаров ПОМИ. 1996. Т.228. С.256−261.

60. Поникаров Е. В. Асимптотика вероятностей больших уклонений черновского типа для слабо вырожденных функционалов Мизеса // Деп. в ВИНИТИ. N2488B97 от 25.07.97, 20 с.

61. Поникаров Е. В., Никитин Я. Ю. О больших уклонениях вырожденных функционалов Мизеса. Тезисы Ферганской конференции по теории вероятностей и математической статистике, посвященной 75-летию академика С. Х. Сираждинова. Ташкент, 1995. С.87−88.

62. Ponikarov Е., Nikitin Ya. On large deviations of degenerate bivariate von Mises functional. Abstracts of 4th World Congress of the Bernoulli Society. Vienna. August 26−31, 1996. P.351.