Стохастические задачи максимизации робастной полезности

Диссертация подготовлена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета и затрагивает вопросы, связанные с задачей максимизации робастной полезности в финансовой математике.

Актуальность темы

Фундаментальной проблемой финансовой математики является описание оптимального способа инвестирования при заданных предпочтениях инвестора и бюджетных ограничениях. Концепция максимизации ожидаемой полезности восходит к 1950;м годам, в частности, работе [46], в которой были представлены теоретико-вероятностные обоснования портфельной теории Марковица, основанной на анализе ожидаемых средних значений и дисперсий случайных величин. Одной из предпосылок к сравнению именно средних ожидаемых доходов стали монографии [47] и [42], где поставленный набор аксиом привел к представлению полезности того или иного исхода? в виде математического ожидания Ер ?/(?)> по некоторой вероятностной мере Р от некоторой функции полезности U: = Ер ?/" (?).

Если предпочтения инвестора описываются возрастающей вогнутой функцией полезности U: R —> М U {—схэ} и случайность на рынке реализована через вероятностное пространство (f2, J^, Р), то стандартная задача максимизации ожидаемой полезности финального благосостояния может быть поставлена в виде sup Eptfg), (0.1) х) где множество <�Ж (х) состоит из всех терминальных капиталов ?, отвечающих допустимым (с точки зрения экономического агента) стратегиям с начальным капиталом х.

Наряду с задачей максимизации полезности терминального капитала в литературе рассматриваются и более общие постановки. Так, если в терминальный момент времени агент получает случайную прибыль В (например, от реализации опциона), то мы получим задачу максимизации полезности со случайным вкладом: sup I Ер U (? + B).

С этой задачей связано нахождение беспристрастной цены (indifference pricing) платежного обязательства (см., например, [19]).

Еще одна проблема максимизации полезности возникает в задачах с «потреблением», когда экономический агент извлекает прибыль (и потребляет) на протяжении всего временного горизонта, а не только в терминальный момент времени. Функции полезности U (t, ¦) могут варьироваться со временем. План потребления С в момент времени t G [О, Т] определяется случайной нормой потребления c (t) ^ 0, а общий объем потребления на промежутке [:t, t+dt] увеличивается на c (t)dt. Если за обозначить процесс капитала, отвечающий инвестиционной стратегии Р и плану потребления С, то его изменение dXc>p будет удовлетворять соотношению dX°'P = —c (t)dt+dVF{t), где dVp{t) есть изменение стоимости инвестиционного портфеля вследствие изменения цен торгуемых активов. Таким образом агент заинтересован в получении наибольшей интегральной полезности sup ЕР [ U (t, c (t))dt,.

C, P) es/(x) JO где максимизация происходит по множеству «я/(х) допустимых пар инвестиционных стратегий и планов потребления с начальным капиталом х. Одним из естественных ограничений на допустимые стратегии является неотрица.

С4 Р тельность капитала в заключительный момент времени: Хт' ^ 0.

Диссертация посвящена^ другому обобщению задачи (0.1) — максимизации функционала робастной: полезности. Оно ведет начало от работы [25], где был рассмотрен: ряд более мягких аксиом, что привело к измерению полезности (?) того или иногоисхода? в виде робастного функционала: = mfQ&?> EQU (?), где U — по-прежнему некоторая функция* полезности, а нижняя грань. infqg^. математических ожиданий Eq?/(?) берется по некоторому семейству ?2, «субъективных» вероятностныхмер. Такой подход может служитБ" описанию предпочтений не склонного к риску инвестора, который: в условиях неопределенности выбора вероятностной модели? длябудущего состояния рынка. рассматривает наихудший сценарий. *.

В соответствии с таким способом измерения благосостояниязадачамаксимизации робастной полезности выглядит как sup inf Eq?/(0- (0.2) еЛ'(х) Qe^.

Отметимтакже дальнейшее ослабление аксиоматическогоподхода в [32], приводящее к появлению функционала робастнойполезности* со «штрафной» функцией: sup: inf[EQC/(0+7(Q)]. елг (х).

Выбор методов исследования! задачш максимизации полезности зависит от структуры финансового рынка. В классических работах Р. Мертона [33, 34] и П. Самуэльсона [41] для: марковскихмоделей финансового рынка задача, максимизации полезности решалась с помощью методов динамического программирования. Применяемые методы позволили конструктивно описать решение, однако явный вид решения был возможен только в конкретных частных случаях. Альтернативой методам динамического программирования служат двойственные методы выпуклого анализа, не требующие практически никаких предположений о структуре модели. Суть этих методов заключается в решении сначала вспомогательной (двойственной) задачи, что позволяет охарактеризовать решение исходной задачи, а также найти ее цену. К недостаткам двойственных методов можно отнести то обстоятельство, что полученные с их помощью результаты о решении исходной задачи носят характер утверждений типа существования и единственности и, вообще говоря, не позволяют найти конкретное решение (которое, впрочем, не всегда можно получить и с помощью методов динамического программирования). Отметим, что в робастном случае (0.2) исходную задачу минимаксного типа на поиск седловой точки двойственный подход позволяет свести к (вообще говоря, более простой) задаче на минимизацию. Для марковских моделей рынка уже двойственная задача в некоторых работах решалась методами динамического программирования, что в дальнейшем помогло решить и исходную задачу.

В задачах стохастического управления впервые двойственные методы были применены Ж.-М. Висмутом в работе [20], а в задаче максимизации полезности — С. Плиска в работе [37]. Во многом на развитие двойственных методов повлияла работа Д. Крамкова и В. Шахермайера [30], где приводятся ссылки на предшествующую литературу.

При изучении задач (0.1) и (0.2) в качестве моделей финансового рынка зачастую рассматривают динамические модели, в которых дисконтированные цены базовых рисковых активов описываются случайным процессом 5 (при самых общих предположениях являющегося семимартингалом), инвестиционные стратегии — предсказуемыми Б-интегрируемыми процессами Я, а доходы инвестора Х±к моменту времени? при заданной стратегии Н представляются векторными стохастическими интегралами XI = Н • = $Нис13и. В качестве <�Ж (х) тогда берут множество Ж (х) := {х+Н-ЗтН 6 Ж{х)}, где Т — заключительный момент времени операций на финансовом рынке, а Ж (х) — множество допустимых стратегий, реализуемых при начальном капитале х. 1 <

С экономической точки зрения кредитная линия, открываемая инвестору, имеет конечные пределы, что привело к появлению классического ограничения о допустимости только таких инвестиционных стратегий Н, при которых. доходы Xf= Н 5г~бказывал11сь бы равномерно ограниченными снизу:. Xt ^ const для всех моментов времени t. В частности, это ограничение позволило! исключить мартингальные (удваивающие) стратегии, приводящие к появлению арбитража. ¦

Существующая литература по максимизации полезности в основном разделяется на два общих случая:. 1) функция полезности U конечна наполупрямой- (а, +ос), а б My и равна —оо на. (—сю, а) — 2} функцияполезности1 U конечна всюду на Ш. В первом случае в стандартной (0.1) и робастиой (0.2) постановках задачи максимизации полезности^ ограничение Xt ^ const, t Е [0, Т], никак не: — ограничивает выбор инвестиционных стратегий. Действительно, из всех капиталов к = ¦ х X? € Ж{х) итоговая полезность не обращается в —со только в тех случаях, когда х+Хт ^ а (соответственноР-п.и. или Qn.il. при всех Q € а при условии? отсутствия-арбитража (NA) условие Хт ^ с эквивалентно условию^ с, i Е [0, Т].

Благодаря этому обстоятельству в [30] (где был внесен наиболее существенный вклад в исследование задачи максимизациистандартной: полезности с функцией полезностиj конечной на полупрямой) авторы использовалиследующую, схему рассуждений, ©-начала все: основные результаты', былисформулированы, и доказаны для абстрактной модели, рынка] в которой заданнымпредполагалось толькомножество сЖ (х) терминальных капиталов,. после чего полученные^результаты переносились на случайдинамической се-мимартингальноймодели.,.

Из большого числа последующих публикаций, отметим также работы [14, 15, 16, 17, 18, 23, 28, 31, 43] по максимизации стандартной полезности и [3, 21, 24, 26, 27, 45] по максимизации робастной, полезности.

В случае конечной на М функции полезности допустимость только ограниченных снизу процессов капиталов является существенным предположением. Более того, оно является-не вполне естественным, так как в классе стратегий с ограниченнымиснизу капиталами не приходится рассчитывать на существование оптимальной стратегии. Так, в [43] фактически решалась задача (0.1) со множеством Ж{х), которое получалось расширением множества {х + Н — StН • St > const для всех t € [О, Т]} с помощью некоторой процедуры замыкания. При определенных условиях доказывалось существование оптимального решения к задачи (0.1), 1 при этом случайная величина к, вообще говоря, уже не ограничена снизу, но представима в виде л к = х + Н — ST, где процесс {Н ¦ естественно, также может не быть ограниченным снизу. Отметим, что упомянутое расширение множества {х + Н • St: Н — St ^ const для всех t G [О, Т]} до Ж{х) не изменило ожидаемую полезность.

В [43] было также отмечено, что множество стратегий с ограниченными снизу капиталами и вовсе’может оказаться тривиальным. Например, такое возможно в семимартингальноймодели рынка, если процесс цены S не является локально ограниченным. В то же время задача' максимизации полезности может быть поставлена и иметь нетривиальное решение в более широком классе стратегий. А именно, такая задача максимизации стандартной полезности была рассмотрена С. Бьяджини и М. Фрителли в [15, 16, 17, 18], где в качестве допустимых они’рассматривали такие стратегии if, что Н • St ^ —cW для всех моментов времени t € [О, Т] и некоторого с > 0, где IV есть положительная случайная величина, удовлетворяющая некоторым условиям интегрируемости. Особенно стоит выделить работу [18], где было отмечено, что подобное расширение класса допустимых стратегий может привести к увеличению ожидаемой полезности.

В диссертации мы ставим целью расширить применимость двойственных методов в задаче максимизации робастной полезности. Исследуемая нами постановка носит абстрактный характер, т. е. мы имеем дело с задачей (0.2). Наши ограничения на множество оказываются более слабыми, чем в предшествующих работах. В частности, в стандартной задаче (0.1) от множества Jif (x) требуется только представимость в виде Ж (х) = х + Jif, где.

Ж — выпуклый конусі.

Другим объектом исследования является вопрос о дифференцируемости целевой функции и (-) в задаче максимизации робастной полезности (0.2). Выбор оптимального способа инвестирования позволяет при начальном капитале х получить итоговую полезность и{х) х. В этом смысле целевая функция и (-) позволяет оценивать возможности финансового рынка, и поэтому сама может рассматриваться как функция полезности. А для функций полезности условия гладкости во многих задачах являются необходимыми, что ставит соответствующие вопросы и в задачах максимизации полезности.

Цель исследования. Целью исследования являются:

1) постановка двойственной задачи к задаче максимизации робастной полезности при минимальных предположениях на множество капиталовустановление минимаксных соотношений между основной и двойственной задачами;

2) изучение вопроса дифференцируемости целевой функции в задаче максимизации робастной полезности.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) в задаче максимизации робастной полезности при минимальных предположениях на множество капиталов доказана минимаксная теорема и установлена двойственная характеризация целевой функции;

2) доказано, что в задаче максимизации робастной полезности целевая функция может быть не всюду дифференцируемой, если только функция полезности не является степенной, экспоненциальной или логарифмической;

3) установлены свойства сопряженных пространств для некоторого класса пространств Орлича по семейству мер.

Методы исследования. В работе применяются методы теории вероятностей и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в теории вероятностей, функциональном анализе, математической статистике, теории случайных процессов и различных областях ее применения, в частности, в задачах финансовой математики.

Апробация работы. Результаты, относящиеся к диссертации, излагались на следующих семинарах.

1. Большой семинар кафедры теории вероятностей (МГУ, механико-математический факультет) под руководством члена-корреспондента РАН профессора А. Н. Ширяева, Москва, 2010;

2. Семинар «Стохастический анализ: теория и приложения», проводимый в Математическом институте им. В. А. Стеклова под руководством члена-корреспондента РАН профессора А. Н. Ширяева и доктора физико-математических наук А. А. Гущина, Москва, 2009 и конференциях.

3. Международная конференция «Современная стохастика: теория и применения II», Киев, «Украина, 2010;

4. Международная научная конференция студентов аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009», Москва, 2009;

5. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010», Москва, 2010;

6. Российско-японский симпозиум «Стохастический анализ сложных статистических моделей», Москва, 2007.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [5, б, 7, 8, 9, 35].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 93 страницах и состоит из списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы, включающего 48 наименований.

Содержание работы. Глава 1 посвящена исследованию некоторых вспомогательных вопросов, которые также имеют и самостоятельный интерес.

В разделе 1.1 определяются пространства Орлича, построенные по семейству мер. Дадим некоторые определения.

Функцией Юнга называется ненулевая неотрицательная четная выпуклая функция Ф: R —> U {+оо} с Ф (0) = 0.

Пусть задано измеримое пространство (П, и семейство £И вероятностных мер. Пространство Орлича Ьф (£), построенное по семейству мер и ассоциированное с функцией Юнга Ф, определяется как {? 6 L°(«0): sup < +оо для некоторого? > 0},.

Qe? где пространство L°(J2) состоит из классов эквивалентности случайных величин, совпадающих Q-п.н. при всех Q € Это пространство является банаховым (см. [40]) относительно нормы Люксембурга.

ЛГф (0 := sup = inf S. K > 0: sup ЕдФ f |Л < 1.

В разделах 1.2−1.5 свойства пространств Орлича по семейству мер ?1 и сопряженных к ним изучаются при следующих предположениях на множество J2.

• ?2 — выпуклое подмножество вероятностных мер на (П, ;

• (3 Р для всех <3 6 и некоторой вероятностной меры Р;

• найдется такая 6 ¿-И, что Оо ~ Р;

• семейство Р-равномерно интегрируемо и 2/*-(Р)-замкнуто ДЛЯ любой случайной величины Г], такой ЧТО 5ирде<0 Ед|?7{ < +оо .

В разделе 1.2 показано, что последнее свойство эквивалентно компактности в *-слабой топологии Ь1(£?)). В этом же разделе доказаны некоторые свойства пространств Орлича по семейству мер, характерные для стандартных пространств Орлича.

Условие компактности на множество Л2 не является интуитивно понятным, поэтому в разделе 1.3 дается описание широкого класса множеств, обладающих этим свойством.

Как и в случае любых банаховых решеток элементы ¡-л сопряженного пространства Ьф (£?)* допускают разложение на регулярные // 6 ЬФ (Л2)Г и сингулярные ?^ Е ЬФ (?2У составляющие. Сингулярные функционалы г е могут быть охарактеризованы как функционалы, принимающие нулевые значения на Ь°°(Р). Регулярным функционалам т? ЬФ{Л2)Г можно поставить в соответствие меру с/га, такую что для всех? € Ьф (<£2) будет иметь место соотношение т (£) = /п?с1т. Для сингулярного функционала г е ЬФ (?У с любой точностью е > 0 можно подобрать такое множества в € что Р (£) < е и = 0 при = 0.

Следуя подходу, предложенному в [2], в разделах 1.4 и 1.5 вводится понятие /-дивергенции функционалов на пространствах Орлича, построенных по семейству мер, и исследуются ее свойства. Полученные результаты существенно используются для доказательства результатов главы 2.

Перейдем к задаче максимизации робастной полезности, которая исследуется в главе 2.

Пусть и — конечная функция полезности экономического агента, действующего на финансовом рынке, т. е. V: М —> К вогнута и возрастает. Свяжем с ней функцию ЮнгаФ (ж). := — ?/(— |я|) + ?7(0).

Пусть также на измеримом пространстве (Г2, задано множество случайных величин Ж, которое мы будем интерпретировать как множество всех реализуемых на финансовом рынке доходов. Для начального капитала жбК в качестве допустимых предлагается рассматривать множество.

Ожидаемая робастная полезность при начальном капитале х тогда определяется соотношением.

Индивидуальные целевые функции по мерам? ?2 имеют вид щ (х) зирле^Ео Щх + к),.

В теореме 2.1 доказываются основные свойства целевой функции и:

1(1) Функция и (х), хеШ, принимает значения в 1и {+оо}, является возрастающей и вогнутой, а также и (х) ^ II {х) для всех х? 1.

1(11) Либо и{х) = +оо для всех х € М, либо и (х) 6 М для всех жбЕ.

1(Ш) Для любого начального капитала х? М выполнены минимаксные соотношения:

Перейдем к описанию двойственной задачи. Зададим множество ^ := ]> е Ьф (£)*: /¿-(1П) = 1 и < 0 для любой? €.

Пусть V — двойственная к II функция, т. е. У{у) := зирж€ 1й[?/(а-) — ху], у Е Ж. В случае & = 0 положими (О) := У (0) и у (у) := +оо при у > 0. Если же & ф 0, положим двойственную целевую функцию v равной.

Жх := {к Є Ж: ІІГЇ Е0ЇІ(х — к") > -сю}. и (х) := вир іігї Е (?и (х + к). и (х) = тіп^о (а:

Ж — 1/+(Р)) П, а также множество разделяющих функционалов.

0.3) где ц = {іг 4- ца есть разложение функционала ¡-л на регулярную цг и сингулярную ¡-Iе составляющие.

Определим также для всех с} Є л2 функции у<�з (у) := у (у) в случае = 0 и в случае ф 0.

Основные свойства двойственной функции V перечислены в теореме 2.2:

2(1) Функция у (у), 2/ ^ 0 принимает значения в Ми {-Нею}, является выпуклой и полунепрерывной снизу, а также у (у) ^ У{у) для всех у ^ 0.

2(11) Нижняя грань в (0.3) и (0.4) достигается.

2(ш) Для любого у ^ О.

Решение двойственной задачи позволяет найти решение основной задачи, поскольку целевые функции и и у являются двойственными друг другу. Более того, между основной и двойственной задачами выполнены следующие соотношения:

3(i) Если dorn у = 0, то и (х) — +оо для любого ж Gl. Если dorn v ф 0, то и (х) Gl для любого.

3(п) Между функциями и и у выполнены двойственные связи:

0.4) v (y) =™ъу0(у). и (х) = min[i>(y) + ху], х Є R, у> о.

0.5) и у (у) = вири (х) -ху], у > 0.

3(Ш) Для любой С)? ?2 двойственные связи выполнены между функциями щ и uQ (x) = nnn[vQ (2/) + ху], X Є Е, у> о и vQ (y) = sup[i/Q (2/) — xy], y^Q. x€R.

3(iv) Зафиксируем x? M. Если минимум в (0.5) достигается на у, а минил мум в (0.3) при у — у — на паре (Д, Q)? & х ?2, то и{х) = Uq (x) = sup EqU (x + к). (0.6) Л.

Обратно, если для некоторой Q е выполнено (0.6), то найдутся такие у > 0 и? Е &, что минимум в (0.5) достигается на у, а минимум в (0.3) при у = у — на паре (/?, Q).

Глава 3 имеет дело со следующей моделью финансового рынка:

• Функция полезности U: R —" К U {—сю} возрастает, вогнута, полунепрерывна сверху, не тождественно равна —оо и не является линейной. Совокупность int dorn U внутренних точек области конечности U обозначим (а, +ос), где a€lU {—оо} .

• Пространство элементарных событий Г2 дискретно и состоит из четырех исходов: Q := {(^1,1²,^3,^4} ¦ Сигма-алгебра сР :=.

Вероятностные меры и случайные величины тогда можно отождествить с четырехмерными векторами.

• Зафиксируем произвольные 7*1,7*2 Е (0,1) и зададим процессы (дисконтированных) цен двух рисковых активов (5£)t=од для? = 1,2 соотношениями Sq := 6q := 1,.

Sl:={ 2-n, 1-n, 1, 1), S!:=(1, 1, 2-r2> l-r2).

Множество допустимых доходов определим стандартным образом как X := {AiOS? — S}) + A2(S? — 5g): Аь Л2 € Ж} .

• Зафиксируем произвольные q¦)q2 6 (0,1), две вероятностные меры зададим равенствами.

Ох (Яъ 1−91, 0, 0), 02:=(0, 0, д2, 1 —) и положим множество субъективных мер ?1 равным выпуклой оболочке и 02: ?-.= {01 $ 001 + (1 — 0)0 < /3 < 1}.

Будем говорить, что функция II является степенной, логарифмической или экспоненциальной, если с точностью до константы, сдвига и умножения на положительную константу ч, -оо. х < 0,, ч I — Ыа, х < О,.

11{х) = { а < 1, а 0 и Щх) = < а>1, и{х) = -е-х, .г- € К или щх) = / -<�"¦ - < °> I In х, х ^ О соответственно.

Тогда в рассматриваемой постановке следующие условия эквивалентны:

1. Для любой рассматриваемой модели рынка целевая функция и (х) в случае конечности дифференцируема на (а, +оо) и при, а > —оо удовлетворяет условию Инада на левом конце: НшаЦа (х) = +оо.

2. Функция полезности U{x) имеет степенной, экспоненциальный или логарифмический вид.

А именно, если функция U{x) имеет один из указанных видов, то для любых параметров г25 <7ъ € (0,1) целевая функция и{х) в случае конечности будет дифференцируемой на (а, +оо) и при, а > — оо удовлетворять условию Инада на левом конце. Если же функция U (х) имеет иной вид, то всегда можно подобрать такие Г, Г2, <?ъ (?2? (0,1), что целевая функция и (х) будет либо недифференцируемой по крайней мере в одной точке, либо не будет выполнено условие Инада на левом конце, а > —сю.

Благодарность. Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук Александра Александровича Гущина, которому автор выражает искреннюю благодарность за помощь в выборе направления исследования и постоянную поддержку.

1. Вулих Б. 3.

Введение

в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961.

2. Гущин А. А. О расширении понятия /-дивергенции // Теория вероятн. и ее примен., 2007, т. 52, в. 3, с. 468−489.

3. Гущин А. А. Двойственная характеризация цены в задаче максимизации робастной полезности // Теория вероятн. и ее примен., 2010, т. 55, в. 4, с. 680−704.

4. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматлит, 1958.

5. Морозов И. С. Расширение класса допустимых стратегий в задаче максимизации робастной полезности с конечной на R функцией полезности // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2010, т. 17, в. 5, с. 617−634.

6. Морозов И. С. О характеристическом свойстве степенных, экспоненциальных и логарифмических функций полезности // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2011, т. 18, в. 2, с. 309.

7. Морозов И. С. Дифференцируемость целевой функции в задаче максимизации робастной полезности // Теория вероятн. и ее примсн., 2011, т. 56, в. 2, с. 374−384.

8. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969.

9. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

10. Aliprantis С. D., Border Kim С. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker’s Guide. Springer, 2006.

11. Attouch H., Brezis H. Duality for the sum of convex functions in general Banach spaces 11 Aspects of Math, and its Appl., J. A. Barroso ed., Amsterdam: North-Holland, 1986, p. 125−133.

12. Bellini F., Frittelli M. On the Existence of Minimax Martingale Measures // Math. Finance, 2002, Vol. 12, № 1, p. 1−21.

13. Biagini S. An Orlicz spaces duality for utility maximization in incomplete markets // Seminar on Stochastic Analysis, Random Fields and Applications V, Progress Probab., Birkhauser, Basel, Vol. 59, Part 2, p. 445−455.

14. Biagini S., Frittelli M. Utility maximization in incomplete markets for unbounded processes // Finance Stoch., 2005, Vol. 9, № 4, p. 493−517.

15. Biagini S., Frittelli M. The supermartingale property of the optimal portfolio process for general semimartingales // Finance Stoch., 2007, Vol. 11, № 2, p. 253−266.

16. Biagini S., Frittelli M. A unified framework for utility maximization problems: an Orlicz space approach // Ann. Appl. Probab., 2008, Vol. 18, № 3, p. 929−966.

17. Biagini S., Frittelli M., Grasselli M. Indifference price with general semimartingales // Math. Finance, 2011, Vol. 21, № 3, p. 423−446.

18. Bismut J.-M. Conjugate convex functions in optimal stochastic control //J. Math. Anal. Appl., 1973, Vol. 44, № 2, p. 384−404.

19. Burgert C., Ruschendorf L. Optimal consumption strategies under model uncertainty // Stat. Decisions, 2005, Vol. 23, № 1, p. 1−14.

20. Csiszar I. Eine informationstheoretische Ungleichung und ihre Anwendung auf den Beweis der Ergodizitat von Markoffschen Ketten // Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl, 1963, Vol. 8, p. 85−108.

21. Delbaen F., Grandits P., Rheinlander T., Samperi D., Schweizer M., Stricker, C. Exponential hedging and entropic penalties // Math. Finance, 2002, Vol. 12, № 2, p. 99−123.

22. Follmer H., Gundel A. Robust projections in the class of martingale measures // Illinois J. Math., 2006, Vol. 50, № 2, p. 439−472.

23. Gilboa I., Schmeidler D. Maxmin expected utility with nonunique prior // J. Math. Econom., 1989, Vol. 18, K°-2, p. 141−153.

24. Gundel A. Robust utility maximization for complete and incomplete market models /1 Finance Stoch., 2005, Vol. 9, № 2, p. 151−176.

25. Gushchin A. On robust utility maximization // International Conference «Modern Stochastics: Theory and Application», Kyiv, Ukraine, 2006, p. 134 135.

26. Kabanov Y. M., Strieker C. On the optimal portfolio for the exponential utility maximization: remarks to the six-author paper // Math. Finance, 2002, Vol. 12, № 2, p. 125−134.

27. Kozek A. Convex integral functionals on Orlicz spaces // Ann. Soc. Math. Polonae Ser. 1. Comm. Math. XXI, 1979, p. 109−135.

28. Kramkov D., Schachermayer W. The asymptotic elasticity of utility functions and optimal investment in incomplete markets // Ann. Appl. Prob., 1999, Vol. 9, №, p. 904−950.

29. Kramkov D., Schachermayer W. Necessary and sufficient conditions in the problem of optimal investment in incomplete markets // Ann. Appl. Prob., 2003, Vol. 13, m, p. 1504−1516.

30. Maccheroni F., Marinacci M. Ambiguity aversion, robustness, and thenvariational representation of preferences // Econometrica, 2006, Vol. 74, № 6, p. 1447−1498.

31. Merton R. C. Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous-time case // Rev. Econom. and Statist., 1969, Vol. 51, № 3, p. 247−257.

32. Merton R. C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model // J. Econom. Theory, 1971, Vol. 3, № 4, p. 373−413.

33. Morozov I. S. On an extension of the class of admissible trading strategies in the robust utility maximization problem // Abstracts of International Conference «Modern Stochastics: Theory and Applications II», Kyiv, Ukraine, 2010, p. 58.

34. Pitcher T. S. A more general property than domination for sets of probability measures // Pacific J. Math., 1965, Vol. 15, № 2, p. 597−611.

35. Pliska S. R. A stochastic calculus model of continuous trading: optimal portfolios // Math. Oper. Res., 1986, Vol. 11, № 2, p. 370−382.

36. Rao M. M., Ren Z. D. Theory of Orlicz Spaces. N. Y.: Marcel Dekker, 1991.

37. Rockafellar R. T. Integrals which are convex functionals, II // Pacific J. Math., 1971, Vol. 39, № 2, p. 439−469.

38. Rosenberg R. Orlicz spaces based on families of measures // Studia Math., 1970, Vol. 35, p. 15−49.

39. Samuelson P. A. Lifetime portfolio selection by dynamic stochastic programming // Rev. Econom. and Statist., 1969, Vol. 51, № 3, p. 239−246.

40. Savage L. The foundations of statistics. N. Y.: Wiley, 1954.

41. Schachermayer W. Optimal investment in incomplete markets when wealth may become negative // Ann. Appl. Probab., 2001, Vol. 11, № 3, p. 694−734.

42. Schied A. Optimal investments for riskand ambiguity-averse preferences: a duality approach // Finance Stoch., 2007, Vol. 11, № 1, p. 107−129.

43. Schied A., Wu C.-T. Duality theory for optimal investments under model uncertainty // Stat. Decisions, 2005, Vol. 23, № 3, p. 199−217.

44. Tobin J. Liquidity preference as behavior towards risk // Rev. Econ. Stud., 1958, Vol. 25, p. 68−85.

45. Von Neumann J.- Morgenstern O. Theory of games and economic behavior. Princeton University Press, 1944.

46. Zalinescu C. Convex analysis in general vector spaces. Singapore: World Scientific Publishing, 2002.