Нелокальные задачи для уравнений влагопереноса

За последние годы существенно повысился интерес к разработке новых математических моделей. Сегодня многие разделы теории дифференциальных уравнений в частных производных уже приобрели законченный вид. Дальнейшее развитие во многом зависит от постановки новых задач.

Проникновение математических методов в самые разнообразные, подчас неожиданные сферы человеческой деятельности, означает возможность пользоваться новыми, как правило, весьма плодотворными средствами исследования. Вместе с тем на практике оказывается, что одних лишь математических знаний далеко не достаточно для решения той или иной прикладной задачи — необходимо еще получить навыки в переводе исходной формулировки задачи на математический язык. Собственно в этом и состоит проблема овладения искусством математического моделирования.

Можно потратить много времени для нахождения классического решения для данной модели, которая не оправдана самой постановкой задачи. В результате наблюдения было замечено, что поиск классического решения в некоторых задачах математической физики ведет к дополнительным ограничениям, которые имеют громоздкий вид, поэтому имеет смысл обсуждать вопрос существования и единственности обобщенного решения. Кроме того, следует отметить, что приближенный ответ может оказаться более эффективным, чем точный. Это часто свидетельствует в пользу непосредственного численного приближенного решения.

Математическая модель представляет собой упрощение реальной ситуации. Ощутимое упрощение наступает тогда, когда несущественные особенности ситуации отбрасываются и исходная сложная задача сводится к идеализированной задаче, поддающейся математическому анализу. Именно при таком подходе в классической прикладной математике возникли блоки без трения, невесомые нерастяжимые нити, невязкие жидкости и многие другие понятия подобного рода. Эти понятия не существуют в реальной действительности. Они являются абстракциями, составной частью идеализации, предпринятой автором модели. И тем не менее их часто можно с успехом считать хорошим приближением к реальной ситуации.

Ситуации моделируют для разных целей. Главная из нихнеобходимость предсказывать новые результаты или новые свойства явления.

В предлагаемой работе рассматриваются некоторые математические модели процесса переноса влаги в капиллярнопористых средах.

Одним из первых, кто рассмотрел этот процесс с физической точки зрения, был Лыков A.B. С помощью методов термодинамики необратимых процессов им получено уравнение влагопереноса [20]. А именно, для описания переноса влаги u = u{%, t) в коллоидном капиллярно — пористом теле он воспользовался обобщенным решением переноса влаги dw du и = ~Dn—т, —, 0 dt где w = w (g, t) — влажность в точке? в момент времени t, Dкоэффициент диффузии, р — плотность, г0 — — - время релаксации. v dw du.

Учитывая закон сохранения массы влаги, то есть р— =—, было dt dg получено дифференциальное уравнение массопереноса в коллоидном капиллярно — пористом теле в виде: du п дги d du = D——-r0—. (1) dt д%2 dt 0 dt.

А.В.Лыков, принимая во внимание, что для ряда капиллярно-пористых тел скорость переноса о примерно равна скорости капиллярного движения, которая в свою очередь обратно пропорциональна пути движения ?, полагает.

2) о где а0 — коэффициент пропорциональности, зависящий от пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости.

Из (1) в соответствии с (2) получаем уравнение влагопереноса.

3) а0.

В 1980 году в своей работе [25] Нахушев А. М. предложил перейти в уравнении (3) к безразмерным независимым переменным к л№о.

В этих переменных уравнение (3) принимает следующий вид:

1 Риуу{х, у) лД их (х, у) = ——{—~)ихх (х, у). к) аок) аок).

Отсюда получаем уравнение влагопереноса:

4) где, а = ~ - безразмерная величина.

Впервые уравнение (4) было приведено А. В. Бицадзе [2] как пример уравнения, для которого при |а < 1 корректна по Адамару задача Коши с начальными данными на линии у = 0параболического вырождения, хотя и нарушено условие Геллерстедта. Уравнение (4) принято называть уравнением Лыкова-Бицадзе.

Для него изучены задачи Кощи [3], Гурса [14,15], Дарбу [27], Трикоми [17] и другие краевые задачи [5, 19, 30, 33].

В данной работе рассмотрены не краевые задачи для уравнения (4), а нелокальные: данными являются значения интегралов от искомой функции вдоль некоторых многообразий, принадлежащих области, в которой ищется решение, меньшей размерности. В предлагаемой работе такими многообразиями являются характеристики уравнений. Отметим, что с физической точки зрения корректность постановки таких задач оправдывается тем, что на практике, как правило, измеряются некоторые усредненные (интегральные) характеристики величин.

Впервые задачу с интегральным условием для уравнения теплопроводности.

Ч (5) поставил Cannon J.R. [38]. Задача состояла в отыскании температуры u{x, t) такой, что.

J и{х, t) dx = E (t), x (t) > 0, t > О, о и (х, 0) = 0>(х), х > 0, где E (t), x (t), q>{x) — заданные непрерывные функции в [0,оо), причем.

Xq.

Е (0) = Jnp (x)dx. В работе показано, что если общая тепловая энергия Е о некоторой части проводника тепла задана как функция времени, начальная температура известна, а в случае конечного проводника поведение температуры на одном из концов задано, то существует единственное распределение температуры в проводнике, которое и определяет заданную общую энергию в заданной части проводника.

Позже в статье [34] Самарский A.A. поставил задачу для уравнения теплопроводности (5) с условиями вида: 1 и (х, 0) = и0(х), 0.

Самарский A.A. отмечает, что подобные нестандартные задачи возникают и при математическом моделировании некоторых процессов, происходящих в физике плазмы [4].

Нелокальное условие (6) принято называть условием Самарского. В работе [34] задача поставлена, но вопросы о существовании, единственности и устойчивости решения остались открытыми.

Интегральное условие возникает не только при изучении процессов, происходящих в плазме [23], но и при исследовании процессов, связанных с распространением тепла [38,13], при моделировании некоторых технологических процессов [19], в задачах биологии [29,26]. Например, Нахушев A.M. в области Q = {(x, t):

Это уравнение достаточно хорошо описывает динамику замкнутой популяции особей, когда на ее поведение фактически не влияет взаимодействие между особями различного возраста. При такой интерпретации функция и = u (x, t) означает численность особей возраста х е [0, /] в популяции в момент времени t е [0, Т].

Для уравнения (7) была поставлена и изучена задача, которая является моделью для широкого класса различных популяционных задач. А именно, задача состоит в следующем: найти регулярное всюду в области О, за исключением, быть может, характеристики х = t, решение уравнения (7), непрерывное в О. и удовлетворяющее условиям: i.

1) и (0,0 = f к (х, t) u (x, t) dx, (0.

2) и (х, 0) = т (х),(0<�х</), где т (х) — начальное распределение популяции по возрастам, которое непрерывно на [0,/|.

При численной реализации на ЭВМ этой задачи Нахушев A.M. предлагает перейти к частному варианту следующего условия:

11(0,0 = Za,(t>(xnt) + g)0(t),(0^t 0 то есть заменить конечной суммой интеграл, входящии в уравнение рождаемости.

Задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения изучена Пулькиной J1.C. в работах [7,21,32].

Еще одной моделью процесса влагопереноса в капиллярно-пористом теле, например, в почвенном грунте [36], является уравнение третьего порядка:

Auxxy+Buxx+Cu^,+aux+buy+cu = f (x, y). (8).

Исследованием краевых задач для уравнения (8) занимались Шхануков.

М.Х. [37, 16], Канчукоев В.3. 16], Нахушев А. М. 24, 26, 28], Водахова В.А.

6] и другие.

Многие задачи, связанные с динамикой почвенной влаги и грунтовой воды, редуцируются к локальным и нелокальным краевым задачам для различных частных случаев уравнения (8). Например, если, А ^ const > 0, В = const>0,b = -, a = c = 0 и переменную у считать временной, то из (8) получается уравнение Адлера [24]: и =-—{Dux + Аи) = —П (х, у), (9) дх дх где, А и Вдостаточно гладкие положительные функции, П (х, у) — поток почвенной влаги в точке х в момент времени у > 0.

Нахушевым A.M. для уравнения (9) рассматривалась следующая задача: определить распространение влаги и (х, у) в почвенном слое 0 <х<1 для всех времен у е [0, Т], если известны:

1) П (0,у) = f (y), 0<�у<�Тпоток влаги на поверхности почвы, то есть испарение;

2) и (0,у) = у/(у), 0 <�у<�Траспределение влаги на поверхности почвы или же и (?, уЩ = т (у), 0<�у<�Т (10) ду I.

— скорость расхода влаги в слое 0 < х < х0,0 <х0</.

Исследование задачи в такой постановке не приводится, а изучается задача, где интегральное условие (10) заменяется на конечную сумму вида:

В связи с тем, что задача с интегральными условиями возникает при моделировании многих различных физических процессов, но исследования проводились для случая конечных сумм, заменяющих интегральные условия, возник интерес к обоснованию корректности постановки задач с интегральными условиями. В предлагаемой работе задачи с интегральными условиями исследуются для уравнения влагопереноса.

В первой главе настоящей работы в области В = {(х, у):0<�х</, 0<�у<�Т} рассматривается уравнение влагопереноса третьего порядка где Адействительная постоянная, а (х, у), Ъ (х, у), с (х, у), /(х, у)-заданные, достаточно гладкие функции.

Для него изучена следующая задачу: определить распределение влаги и (х, у) в почвенном слое 0 <х<1 для всех времен 0 < у <Т, если известно: 1) глубинный ход влажности в начальный момент времени д «.

Е^ООМУ ,>>) = т (у). ихху+А ихх+(а (х, у) и) х+Ь (х, у) иу+с (х, у) и=Дх, у),.

И) м (х, 0) = г (х), х е [0,/];

2) «поток» влаги на глубине х = 1 их{1,у) = Ну), уФ, Т\.

3) скорость расхода влаги в слое х0 <�х<1,х0 > 0.

Я '.

12).

Эта задача поставлена Нахушевым A.M. [24]. В работе Водаховой В. А. [6] приводится постановка этой задачи, но изучена несколько иная, в которой интегральное условие (12) заменяется на конечную сумму: п.

У) = Zaj {у)и{х3., у) + ¿-О),.

5=1 где aJ (y), S (y)~ заданные функции, хузаданные точки, причем О < х1 < х2 <. < хп < I.

Вопрос о существовании и единственности решения поставленной задачи рассматривается, когда коэффициенты и правая часть уравнения (11) — непрерывные функции, причем удается найти не классическое решение, а обобщенное, которое имеет конкретное представление. В настоящей же работе исследован вопрос об однозначной обобщенной разрешимости данной задачи в некотором функциональном пространстве H2(D), когда правая часть уравнения (11) принадлежит пространству HD). Кроме того, в § 3 первой главы задача Гурса для уравнения Аллера, которое является частным случаем уравнения (11).

Во второй главе рассматриваются четыре математические модели динамики влагопереноса в капиллярно — пористом теле. А именно, изучена нелокальная задача для неоднородного уравнения влагопереноса (4), имеющего в характеристических координатах / / = x-y, 77 = x + Y вид.

LU = (tj- + щ + Uv= /(?, 7), (13) в области D = {(?, 77): 0 <? < 7/ < 1} с интегральными условиями:

1 7} u (^, Tj) dTj = (р (£), ?u (?, T])dZ = Win) О.

Функции q>{^\f/{r]f{^, ri) заданы и удовлетворяют условию согласования.

1 1 | у/{т])(1г1, а также <р (1) = ^/(0) = 0 и <р (0) = у/{ 1). о о.

Решен вопрос об обобщенной разрешимости этой задачи в некотором функциональном пространстве Ь2 (О) при условии, что /(?,/7)еЬ2ф <�р (?)еЬг (ОД), у/(л)е (ОД) и Н ^ 3, и предложен алгоритм нахождения приближенного решения с использованием метода Галеркина.

При а~0 данная задача исследована Пулькиной Л. С. в работе [32]. В § 2 второй главы также изучается задача с интегральными условиями для неоднородного уравнения влагопереноса, но область В в характеристических координатах? и г} представляет собой квадрат. А именно, = £Г и, где.

При этом в характеристических координатах? и 77 уравнение влагопереноса имеет вид:

1и = /, где Lu =.

Lu, в D.

5 J ~ + г (4,г?), BD+.

L+u, в D a Lu = (? — т])и^ + + ^ и, а-1 а +1.

— и, н ь.

4 1 4 а +1 а -1.

— и, — ь.

4 f 4.

L+u = (т] - +—Щ + •.

Основными результатами этой части второй главы являются теорема единственности и теорема существования обобщенного решения поставленной задачи.

Кроме того, во второй главе настоящей работы рассматриваются еще две задачи: задача 1 и задача 2. В каждой из этих задач одно из условий является интегральным.

Задача 1. Найти в области D — {(?, 77): 0 < ц < % < 1} функцию и (?, т]) е C (D)f]C2(D), удовлетворяющую уравнению и и условиям:

-«77.

Иш и (£, 77) = т (4), = о где — заданные непрерывные функции и <р{§-) = 0.

Задача 2. Найти в области 73 = {(?, 77): 0 < 77 <? < 1} функцию С (1>)р)С2(1>), удовлетворяющую уравнению (14) и условиям: где т (?), у/(т]) — заданные непрерывные функции и ^(1) = 0.

Найдены условия на функции г (?), у/(г}) и на коэффициент а (а < 1), при которых существует классическое решение, и найдено представление этого решения для каждой задачи.

Работа над диссертацией выполнялась на кафедре уравнений математической физики Самарского государственного университета.

Результаты диссертации опубликованы в работах [8−12].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Математические модели процесса влагопереноса изучаются многими авторами в силу их прикладной важности. В зависимости от свойств среды и других особенностей протекающего процесса модели уточняются. Настоящая работа посвящена исследованию таких моделей влагопереноа, где дополнительные данные, все или частично, не могут быть получены в результате непосредственных измерений. В этом случае в качестве дополнительных условий задаются некоторые средние величины и условия записываются в виде интегралов вдоль характеристик. Предложенные к рассмотрению математические модели процесса влагопереноса описываются либо уравнением третьего порядка, либо вырождающимся уравнением второго порядка. Для уравнения второго порядка существует классическое решение поставленной задачи, если |а|<1, где аэто отношение коэффициента пропорциональности, зависящего от пористости тела, его капиллярных свойств и вязкости жидкости, к коэффициенту диффузии. При доказательстве же существования и единственности обобщенного решения оказалось достаточным выполнения более слабого ограничения на коэффициент а, то есть |а| < 3. Это означает, что решение может быть получено и для сильно пористой среды, что ведет к потере гладкости решения.

В работе доказана корректность поставленных задач и разработан метод отыскания приближенного решения. При численной реализации на ЭВМ задач такого рода предложенный метод может оказаться весьма полезным.