О выделении предельных семейств распределений из обобщенной модели Бирнбаума-Саундерса

Выделение специальных семейств распределений из более богатого класса вероятностных моделей является классической задачей математической статистики, представляющей большую практическую ценность. Примером тому служат известные результаты о выделении нормального типа из семейств распределений, задаваемых рядом Грамма-Шарлье, проверка гипотезы отсутствия последействия (экспоненциальное распределение) в рамках модели старения и износа (гамма-распределение) или модели слабого звена (распределение Вейбулла). Наконец, более сложная задача — выделение распределений гамма и Вейбулла из обобщенного гамма-распределения. Однако, существует очень мало таких моделей, которые, с одной стороны, достаточно богаты, чтобы содержать как частные случаи известные одно и двухпараметрические семейства, и, с другой стороны, не являются чистой абстракцией, то есть имеют конкретный физический смысл. Поэтому построение новых моделей, обладающих вышеперечисленными свойствами, представляет несомненный теоретический и практический интерес. Обычно, в условиях, когда разработанная модель не обладает достаточными статистиками, применяется теория Jle Кама для построения асимптотически локально наиболее мощных (инвариантных) критериев выделения подсемейств из более общего семейства. Однако, если выделяемое семейство лежит на границе параметрического пространства общего семейства, то применение теории Jle Кама становится весьма нетривиальным и требует разработки новых методов построения критериев, а зачастую, и изменение понятия асимптотической оптимальности. Результаты в этом направлении могут послужить дальнейшим толчком в развитии теории статистического вывода и, таким образом, являются актуальными в научном плане.

Основная цель диссертационной работы состоит в построении оптимальных критериев для выделения частных типов распределений (таких, как нормальное, обратное гауссовское, смещенное по долговечности обратное гауссовское, Бирнбаума-Саундерса) из общей вероятностной модели, происходящей от семейства распределений Бирнбаума-Саундерса. Разрабатываются новые методы асимптотического анализа мощностных характеристик критериев нормальности и планирования объема испытаний.

Наиболее важные результаты работы в кратком изложении выглядят следующим образом. Дано обоснование и предложено обобщение вероятностной модели (Jorgensen В., Seshadri V., Whitmore G.A., [37]), описывающей рост и развитие объектов под воздействием внешних факторов (рост организмов, развитие трещин при хаотических и циклических нагрузках, накопление усталости и т. п.) — исследованы ее свойства. Дана содержательная трактовка физических процессов, лежащих в ее основе. Решена задача построения оптимальных критериев для выделения частных распределений из общего семейства. Для выделения распределений обратного гауссовского и смещенного по долговечности (length biased) обратного гауссовского при мешающем масштабном параметре и фиксированном значении параметра формы построены асимптотические локально наиболее мощные критерии, основанные на статистике вклада. В случае неизвестных значений всех мешающих параметров предлагается использовать критерий отношения правдоподобия. Поскольку гипотеза касается значения параметра смеси, то предельное распределение тестовой статистики может отличаться от хи-квадрат, — доказывается, что для данной задачи это распределение сохраняется. Особый интерес представляет проверка нормальности, что соответствует неограниченному возрастанию параметра формы модели. При построении критерия и доказательстве его оптимальности имеет место полная аналогия с теорией Jle Кама асимптотически наиболее мощных критериев при локальных альтернативах, только вместо больших объемов выборки выступают большие значения параметра формы. Различаемые альтернативы являются близкими с точки зрения одинаковой скорости роста. Данный взгляд на проблему нов и неординарен, он расширяет понятие асимптотической оптимальности и позволяет строить оптимальные критерии там, где классическая теория оказывается бессильной. В качестве демонстрации разработанного приема проводится также проверка приближенной нормальности для пуассоновско-го и гамма распределений. Формулы для необходимых объемов выборок во всех перечисленных случаях имеют высокую точность, что подтверждается результатами статистического моделирования.

Рассмотрим теперь содержание диссертации более подробно.

Диссертация состоит из двух глав и семи параграфов. В первой главе вводится обобщенная вероятностная модель Бирнбаума-Саундерса и исследуются ее статистические свойства.

Первый параграф посвящен непосредственно построению модели и ее физическому обоснованию. Параметризация распределения Бирнбаума-Саундерса, отличная от предложенной авторами в (Birnbaum Z.W., Saunders S.C., [21]), позволила выявить интересные свойства данной модели, существенно расширяющие наши представления о специфике физических процессов, лежащих в ее основе. Анализ характеристической функции показал, что случайная величина, имеющая указанное распределение, представима в виде суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых имеет собственное распределение. Первая случайная величина с вероятностью ½ принимает значение 0, тогда как другая половина вероятностной массы распределена по временной оси в соответствии с хи-квадрат распределением с 1 степенью свободы. Вторая случайная величина имеет обратное гауссов-ское распределение. Другими словами, распределение Бирнбаума-Саундерса есть равновесная смесь обратного гауссовского распределения и его свертки с гамма-распределением, параметр формы которого равен ½. Данный результат можно выразить в терминах «смещенного по долговечности» распределения (length biased distribution): распределение Бирнбаума-Саундерса есть ни что иное, как равновесная смесь обратного гауссовского и смещенного по долговечности обратного гауссовского распределений.

Таким образом устанавливается, что при справедливости модели распределения Бирнбаума-Саундерса разрушению образцов могут предшествовать различные по своей физической природе процессы развития трещины. Может случиться так, что глубина разлома изначально будет расти, следуя только за локальными максимумами траектории винеровского процесса с линейным сносом (в этом случае долговечность объекта будет определяться обратным гауссовским распределением), или же на этот процесс, (возможно, предшествуя ему) аддитивно накладывается другой по физической природе процесс, удлиняющий долговечность на величину, имющую гамма-распределение, параметр формы которого меньше единицы (такие гамма-распределения обычно используются при статистическом анализе данных о долговечности изделий, отказ которых вызывается дефектами их изготовления, а не процессами старения и износа).

В связи с этим предлагается более общая модель развития усталостных трещин: хи-квадрат распределение с одной степенью свободы заменяется на гамма-распределение общего вида. Можно также сделать различными параметры масштаба у обратного гауссовского и гамма распределений, а также нарушить симметричность смеси, вводя весовой параметр р Е [0, 1].

В рамках этой модели мы полагаем, что ее гамма-составляющая отвечает за процессы, предшествующие развитию трещины и связанные с накоплением усталости, которая затем приводит к разрушению более твердого поверхностного слоя образца (поверхность часто подвергается специальной обработке — шлифовке, уплотнению и пр.) Тогда как р, в свою очередь, является параметром, характеризующим наличие в модели «хрупкой» составляющей (отражение того факта, что изделие может сломаться уже при первом в цикле нагружении).

К сожалению, введенное пятипараметрическое семейство оказывается слишком громоздким, поэтому дальнейшие исследования связаны с более простой моделью, ограниченной введением одного дополнительного весового параметра р 6 [0,1]. Полученное семейство мы назвали обобщенным распределением Бирбаума-Саундерса, или, более кратко GBS-распределепием (сокращенно от Generalized Birnbaum-Saunders). Ради справедливости стоит отметить, что первооткрывателями данного распределения нужно считать Jorgensen В., Seshdri V. и Whitemore G.A., в статье [37] которых это распределение вводится формально, без физических обоснований. Это же распределение изучалось с точки зрения оценки параметров в статье (Gupta R.C., Akman Н.О., [31]).

При р = 0 GBS-распределение вырождается в обратное гауссовское распределение, а при р = 1 — в смещенное по долговечности обратное гауссовское распределение. Дальнейшее изучение свойств полученного семейства показало, что случайная величина т, имеющая GBS-распределение, асимптотически (Л —> оо) нормальна со средним Ет = 9(Х + р) и дисперсией.

Dr = в2 (Л + р (3 — р)). Указанный факт определяет проблематику и направление дальнейших исследований диссертационной работы.

В этом же параграфе вычисляются семиинварианты любого порядка предлагаемой общей модели и, в частности, GBS-распределения.

Во втором параграфе проводится асимптотический анализ функции правдоподобия случайной выборки GBS-распределения и функция правдоподобия максимального инварианта. При п —> оо параметр формы р заменяется на близкие к нулю либо к единице значения, выявляя тем самым асимптотические локально-достаточные по Ле Каму статистики. В результате показывается, что функция правдоподобия максимального инварианта при больших п, а также и А, асимптотически зависит от выборочных данных только стических приложениях распределения Бирнбаума-Саундерса U-статистика (см. Pavur R.J., Edgeman R.L., Scott R.S. [43], где распределение этой статистики изучается в рамках обратного гауссовского распределения).

В § 3 находятся асимптотики распределения статистики Т при п оо и, А —> оо. Устанавливается, что при соответствующих нормировках статистика Т в первом случае асимптотически нормальна, а во втором случае имеет асимптотическое распределение хи-квадрат с п — 1 степенью свободы. Приводятся числовые иллюстрации точности этих аппроксимаций.

Вторая глава посвящена решению статистических задач обобщенной вероятностной модели Бирнбаума-Саундерса.

Небольшой первый параграф посвящен оценке параметров GBS-распределения — теме, стоящей в стороне от основной проблематики диссертации. Исследуются некоторые свойства уравнения максимального правдоподобия и вычисляются оценки максимального правдоподобия для реальных данных, через значения статистики известная в статиприведенных в статье (Birnbaum Z.W., Saunders S.C., [22]). Устанавливается, что во всех трех случаях максимум функции правдоподобия достигается при значениях параметра смеси р, равных единице, так что цитированные авторами данные иллюстрируют не распределение Бирнбаума-Саундерса, а смещенное по долговечности обратное гауссовское распределение.

Оставшиеся три параграфа содержат основные статистические результаты диссертации.

В § 2 строятся статистические критерии выделения обратного гауссовского и его смещенного по долговечности аналога из семейства GBS-pac-пределений. При известном Л находятся асимптотические п —> оо локально равномерно наиболее мощные инвариантные критерии, основанные на асимптотической нормальности статистики Т. В случае неизвестного значения всех мешающих параметров (в и Л) предлагается использовать критерий отношения правдоподобия. Устанавливается, что предельное п —> оо распределение статистики этого критерия есть хи-квадрат распределение с одной степенью свободы.

В § 3 предлагается новый подход к построению асимтотически наиболее мощных критериев, специально предназначенный для типов распределений с областью притяжения нормального закона, когда один из параметров распределения стремится к бесконечности. Статистическая проблема состоит в проверки гипотезы о возможности замены исходного распределения нормальным, то есть проверки гипотезы о том, что параметр, отвечающий за асимптотическую нормальность, имеет достаточно большое значение. Развивается теория параметрической асимптотической наибольшей мощности критериев, параллельная теории Jle Кама с заменой п на А. В этом параграфе строятся асимптотически (А —> оо) равномерно наиболее мощные критерии выделения нормального типа из семейств GBSи гамма-распределений. Естественно, такие критерии можно построить и для других семейств распределений, обладающих областью притяжения нормального закона.

В § 4 строятся асимптотики объема выборки, необходимого для различения гипотез Л > До и Л < Ai (< Ао) о значении параметра формы гамма и GBS-распределений с заданными ограничениями на ошибки первого и второго родаасимптотический анализ проводит при, А —> оо, Ai/Ao = const. Полученные асимптотические формулы обладают тем свойством, что при больших гипотетических значениях параметра, А они оценивают необходимый объем выборки с точностью до одного наблюдения. Приводятся числовые иллюстрации точности этих формул, подтверждающие справедливость теоретического результата даже при умеренных значениях Ао.

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты диссертационной работы.

1. Приводится физическое обоснование вероятностной модели обобщенного распределения Бирнбаума-Саундерса и намечаются дальнейшие пути ее обобщениявычисляются характеристики этого распределения и проводится асимптотический анализ функции правдоподобия максимального инварианта.

2. Строятся оптимальные критерии выделения специальных подсемейств этой модели: Бирнбаума-Саундерса, обратного гауссовского, смещенного обратного гауссовского и нормального распределений.

3. Для ряда распределений с областью притяжения нормального закона предлагается новый подход к определению асимптотически наибольшей мощности критерия, приводящий к высокоточным асимптотическим формулам для необходимого объема выборки. и.

1. Богданофф Дж., Козин Ф. Вероятностные модели накопления повреждений. — М.-Мир, 1989.

2. Боровков А. А., Могульский А. А. Большие уклонения и проверка статистических гипотез.// Труды института матем. СО РАН. 1993. — 19. -С. 1−222. 2002. — С. 141.

3. Вальд А. Последовательный анализ. М.- ФизматГИЗ, 1960.

4. Володин И. Н. О числе наблюдений, необходимых для различения двух близких гипотез // Теория вероят. и ее применен.- 1967. XII, № 3.-С.575−581.

5. Володин И. Н. Оптимальный объем выборки в процедурах статистического вывода // Известия ВУЗов. 1978. — № 12. — С. 33−45.

6. Володин И. Н., Новиков Ан.А. Асимптотика необходимого объема выборки при гарантийном различении параметрических гипотез // Исследования по прикл. и пром. математике. 1999. — 21. — С. 3−41.

7. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.- ФизматГИЗ, 1962.

8. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.- ГИФМЛ, 1961.

9. Королюк B.C., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике, 2-ое изд.- М.: Наука, 1988.

10. Крамер Г. Математические методы статистики. МГИИЛ, 1948.И. Крапивин В. Ф. Таблицы распределений Вальда. М.- Наука, 1965.

11. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.- Наука, 1979.

12. Никулин М. С. Критерий хи-квадрат для непрерывных распределений с параметрами сдвига и масштаба // Теория вероят. и ее применен.-1973 18, № 3. С. 583−592.

13. Руссас Дж. Контигуальность вероятностных мер. М.- Мир, 1975.

14. Федорюк М. В. Метод перевала. М.- Наука, 1977.

15. Хмаладзе Э. В. Оценка необходимого числа наблюдений для различения простых сближающихся гипотез.// Теория вероят. и ее применен. 1975. — 20. — С. 115−125.

16. Ahmad I.A. Jacknife estimation for a family of life distribution. // J.Statist.Comput. and Simul. 1988. — 29. — P. 211−223.

17. Bain L.J., Engelhardt M. A two moment chi-square approximations for the statistic. // JASA. 1979. — 70. — P. 948−950.

18. Birnbaum Z.W., Rieck J.R., Nedelman J.R. A log linear model for the Birnbaum-Saunders distribution. // Technometrics. 1991. — 33, № 1. -P. 51−60.

19. Birnbaum Z.W., Saunders S.C. A statistical model for life-length of material. // J.Amer.Statist.Ass. 1956. — 53. — P. 151−160.

20. Birnbaum Z.W., Saunders S.C. A new family of life distribution. // J.Appl.Probab. 1962. — 6. — P. 319−327.

21. Birnbaum Z.W., Saunders S.C. Estimation for a family of life distribution with application to fatigue. // J.App.Probab. 1969. — 6, № 2 — P. 328−337.

22. Chang Dong Shang, Tang Loon Ching. Percentile bounds and tolerance limits for the Birnbaum-Saunders distribution. // Commun.Statist. Theory and Meth. — 1994. — 23, № 10 — P. 2853−2863.

23. Chibisov D.M. Asymptotic expansions and deficiences of tests.// Proc. Internat. Congress Math., Aug. 16−24, 1983, Warzawa. PWN-Polish Scientific Publishers, Warzawa, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford. 1984. — 2, — P. 1063−1079.

24. Chhikara R.S., Folks J.L. Optimum test procedures for the mean of first passage time distribution in Browian motion with positive drift (Invers Gaussian distribution). // Technometrics. 1976. — 18. — P. 189−193.

25. Chhikara R.S., Folks J.L. The Invers Gaussian distribution: theory, methodology and applications. Marsel Pekker, New-York, 1989.

26. Cnaan A. Survival models with two phases and length biased sampling. // Commun. Statist. 1985. — 14, №. — P. 861−886.

27. Desmond A. Stochastic models of failure in random environments. // Canadian J. of Statist. 1985. — 13. — P. 171−183.

28. Desmond A. On the relationship between two fatigue-life models. // IEEE Trans, in Reliability. 1986. — 35. — P.167−169.

29. Engelhard M., Bain L.J., Wright F.T. Inferences for the parameters of Birn-baum-Saunders fatigue life distribution based on maximum likelyhood estimation. // Technometrics. 1981. — 23, № 3 — P. 251−256.

30. Gupta R.C., Akman H.O. On the reliability studies of a weighted inverse Gaussian model.// J. Statist. Plann. Inference. 1995. — 48, № 1. — P. 69−83.

31. Gupta R.C., Akman O. Statistical inference based on the length-biased data for the inverse Gaussian distribution// Statistics. 1998. — 31, № 4. — P. 325 332.

32. Hodges J.L., Lehmann E.L. Deficiency.// Ann. Math. Statist. 1970. — 41. — P. 783−801.

33. Hironori Takeuchi On the likelihood ratio test for a single model against the mixture of two known densities // Commun. Stat. Theory meth., 2001. -P. 931−942.

34. Johnson N.L., Kotz S., Balakrishnan N. Continuous univariate distribution. John Wilew к Sons. New York, 1994, 1& 2.

35. Jorgensen B. Statistical propertios of the generalised invers Gaussian distribution. Springer-Verlag, New-York, 1982.

36. Jorgensen В., Seshadri V., Whitmore G. A. On the mixture of the inverse Gaussian distribution with its complimentary reciprocal// Scand. J. Statist.- 1991.-18, № 1. P. 77−79.

37. Lemdani M., Pous Odile. Likelihood ratio tests in mixture models. // C.R. Acad. Sci. Paris. 1996. -322, № 1. — P. 399−404.

38. Linhart H. Approximate confidence limits for the coefficient of variation of gamma distribution. // Biometrics. 1965. — 21. — P. 733−738.

39. Oluyede B.O. On inequalities and selection of experiments for length biased distributions.// Probab. Eng. and Inf. Sci.-1999. 13, № 2- P. 169−185.

40. Pandey B.N., Malik N.J., Dubey P.K. Bayesian shrinkage estimators for a measure of dispersion of an inverse Gaussian distribution.// Commun. Statist. Theory and Meth.- 1995. 24, № 9. P. 2261−2270.

41. Parzen E. On models for the probability of fatigue failure of a structure. // Time Series Analysis Papers, Holden day, San Francisco, 1967, P. 532−548.

42. Pavur R.J., Edgeman R.L., Scott R.S. Quadratic statistics for the goodness-of-fit test of thr invers Gaussian distribution. // IEEE Transaction on Reliability. 1992. — R41. — P. 118−123.

43. Rieck J.R. Parameter estimation for the Birnbaum-Saunders distribution based on symmetrically censored samples. // Commun.Statist. Theory and Meth. — 1995. — 24, № 7. — P. 1721−1736.

44. Singpurwalla N.D. Survival in dinamic environment. // Statistical Science. 1995. — 10, № 1 — P. 86−103.

45. Tweedie M.C.K. Statistical propeties of the invers Gaussian distribution. // Ann.Math.Statist. 1957. — 28. — P. 362−377.

46. Vu H.T.V., Zhou S. Generalization of likelihood ratio tests under nonstandard conditions // Ann. Statist. 1997. — 25, № 2. — P. 897−916.

47. Wang Bingxing, Wang Lingling. Estimation for the Birnbaum-Saunders fatigue life distribution. // Huadong shifan daxue xuebao. Ziran kexue ban=J. East China Norm. Univ. Nai. Sci 1996 — № 4 — P. 10−15.