Дипломы, курсовые, рефераты, контрольные...
Срочная помощь в учёбе

Использование символьных методов локализации решений для анализа полиномиальных систем

Диссертация: Использование символьных методов локализации решений для анализа полиномиальных систем
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Те же обстоятельства, что возбудили в последние десятилетия интерес к методу Эрмита, возродили и теорию исключения. Так, в работах, исследуются методы Диксона и Маколея, в книге развивается метод Кэли. Интерес к теории стимулировало еще и потребность выяснить истоки теории базисов Гребнера, создание которой в 70-е годы связано с именем Бухбергера,. Хотя предложенный последним алгоритм построения… Читать ещё >

Содержание

  • Список обозначений и сокращений
  • Глава 1. Локализация корней полиномов от одной переменной
    • 1. 1. Вычисление характеристик ганкелевой матрицы
    • 1. 2. Результант и субрезультанты
    • 1. 3. Ганкелевы матрицы в задаче о расположении корней
    • 1. 4. Отделение корней полинома в отсутствие его канонического представления
    • 1. 5. Метод Безу для случая одной переменной
    • 1. 6. Формула Маркова
  • Глава 2. Исключение переменных и отделение решений систем полиномиальных уравнений
    • 2. 1. Определение многомерного результанта
    • 2. 2. Отделение решений в случае двух переменных
    • 2. 3. Вычисление симметрических функций решений
    • 2. 4. Метод Эрмита для двух переменных
    • 2. 5. Результант трех полиномов от двух переменных
    • 2. 6. Метод Эрмита для трех и более переменных
    • 2. 7. Еще один способ вычисления многомерного результанта
    • 2. 8. Редуцируемость
    • 2. 9. Связь с методом Маколея
    • 2. 10. Связь с методом базисов Грёбнера
    • 2. 11. Отделение решений через предварительное преобразование системы
  • СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ Наряду с общепринятыми, в диссертации используются некоторые специфические обозначения
  • Р (А,., Ак) и У (А, Аг,, А*) — числа постоянств и перемен знаков для последовательности вещественных чисел А,., А&-- Е[А{ — целая часть числа
  • Значок 1 означает транспонирование
  • а (А), га+(А), Т1(А), Ак для вещественной симметричной матрицы, А обозначают соответственно сигнатуру, положительный и отрицательный индексы инерции, и к-й главный минор
  • gcd (/, Х>(/) — наибольший общий делитель, результант и дискриминант полиномов /(ж) и д (х) от одной переменной
    • 9. )1 — к-ый субрезультант и к-ый субдискриминант
      • 1. 2. )
  • Лх, 72-х, Хз{хэ) — результант, д-результант и элиминанта по ху для полиномов от нескольких переменных
    • 2. 1. )
  • 3,7−1 — якобиан и гессиан
  • тг {^(Х) = О, ., Д (Х) = 0 | д (Х) >0} — число различных вещественных нулей системы уравнений, удовлетворяющих условию д>

Выражение моном понимается как произведение некоторых степеней переменных с числовым коэффициентом равным 1- х у у означает, что при упорядочении некоторого множества мономов одинаковой степени первыми ставятся мономы с большей степенью х.

Использование символьных методов локализации решений для анализа полиномиальных систем (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Общую задачу локализации (отделения) вещественных решений сис темы полиномиальных уравнений можно сформулировать как задачу определения точного числа этих ре шений в области § С ж1, описываемой системой полиномиальных нера венств.

Здесь X = (xi,., xl) G cl, и все указанные полиномы имеют вещественные коэффициенты. Систему (2) будем часто рассматривать и при замене неравенств на строгие: > —> >.

Эта задача имеет долгую историю. Первоначально, проблема получения оценки числа вещественных корней полинома от одной переменной была поставлена, а для некоторых случаев и решена, в трудах великих математиков XVII—XVIII вв.еков: Ньютона, Декарта, Лагранжа, Эйлера, Фурье и Пуассона. Полное решение этой задачи — как и ее обобщений на случаи расположения корней полинома в той или иной области комплексной плоскости — было получено в первой половине XIX века в работах Коши, Штурма, Якоби, Эрмита, Сильвестра и Кэли. Построение Штурмом его знаменитого алгоритма, позволяющего отделить интервалы вещественной оси, содержащие каждый по одному корню рассматриваемого полинома, индуцировало попытки его обобщения на системы полиномиальных уравнений от нескольких переменных. Самыми удачными оказались подходы, предложенные выдающимся французским математиком Эрмитом. В 1852 г. он представил к публикации в журнале Comptes Rendus статью [118], которая, после рецензирования комиссией, состоявшей из Коши, Лиувилля и Штурма, была отклонена в ее полном варианте, и напечатана лишь в виде краткой заметки h (X) = 0,., fL (X) = О (п} := deg /у).

1) gi (X)>0,., gK (X)>0.

2).

— 6.

115] (полный же вариант был опубликован лишь в 1905 г., уже после смерти Эрмита). В парадигме того исторического периода развития алгебры ученых интересовали чисто алгебраические (в современной терминологии — символьные или аналитические) алгоритмы решения уравнений и систем уравнений, т. е. такие, которые позволяли решать поставленные задачи за конечное число элементарных алгебраических операций над коэффициентами полиномов. Именно в рамках такой парадигмы и решалась Эрмитом задача определения числа вещественных решений системы (1), лежащих внутри произвольного паралеллепипеда aj < xj (j = 1,. В 1856 г. итальянский математик Бриоски.

89], основываясь на заметке Эрмита, обобщил одну из его идей на задачу поиска числа вещественных решений системы (1), удовлетворяющих произвольному полиномиальному неравенству д (Х) > 0. Оба ученых ограничивались случаями L = 2 и (частично) L = 3. В последующем, метод развивался некоторыми учеными [101],[119], и, особенно, Кроне-кером, в связи с его работой над теорией характеристик [72], [144].

В ХХ-м веке метод Эрмита был прочно забыт вплоть до конца 90-х годов С 1989 г. ситуация меняется: появляются работы [56], [58], [79], [111], [149], [152], [160] с историческими обзорами, развитиями метода и его приложениями к конкретным задачам. Возобновление интереса к методу объясняется потребностью в абсолютной достоверности результатов, получаемых в ходе вычислений. Известный пример Уилкинсона [50] (см. § 1.4.1) показал, что даже для случая одной переменной корни полинома достаточно чувствительны к возмущениям его коэффициентов, и игнорирование этого обстоятельства при использовании метода Ньютона приводит к неверному заключению о числе вещественных корней.

Проблема достоверности информации, получаемой в ходе вычисле.

Citation Index не зарегистрировано ни одной ссылки на отмеченные работы.

— 7ний, была важным, но не единственным стимулом к «возврату к классике». Другим же явилась необходимость в оценке влияния на решения параметров, входящих в систему. Даже если численные методы и могут решать задачу при некоторой специализации параметров, то они малоприменимы, если надо провести исследование при динамике этих параметров. Здесь аналитическое представление решения, или преобразование задачи к эквивалентной, но более простого вида, может оказаться незаменимым.

Известная трудоемкость символьных алгоритмов потребовала достаточного развития вычислительной техники, но после того как это произошло, область науки, известная как «компьютерная алгебра» стала бурно развиваться. Эта область располагается на стыке математики и информатикиинтерес к ней научного сообщества выражается в быстро растущем числе публикаций, среди которых укажем только некоторые обзорные монографии [3], [14], [27], [31], [97], [98] и тематические выпуски журнала «Программирование» [39]. Компьютерная алгебра имеет дело, в основном, с точными числами и алгебраическими выражениями в их символьном представлении. В таких ее системах общего назначения как REDUCE, MACSYMA, MATHEMATICA, MAPLE, AXIOM, MuPAD алгоритмический базис составляют операции над полиномами и рациональными функциями, поэтому исследования в этой области включают в себя создание, развитие и анализ эффективности методов факторизации, вычисления наибольших общих делителей, отделения (локализации) вещественных корней полиномов, преобразования систем алгебраических уравнений к наиболее простому виду. Поскольку идеологии решения задач двух алгебр — классической и компьютерной — совпали, интерес современных исследователей к разработке научного наследия XIX века значительно возрос.

Настоящая работа также является отражением этой тенденции. Це.

— 8 ли исследования: 1) разработка конструктивных алгоритмов исключения переменных и локализации решений системы (1), и, в частности, построение многомерной системы полиномов Штурма- 2) применение этих алгоритмов к некоторым конкретным задачам. В качестве рабочего аппарата используется такой раздел классической алгебры как теория исключения. Дело в том, что, как правило, возможно преобразование системы (1) к эквивалентной ей (т.е. имеющей тот же набор решений) системе вида xi — $i (xL) = 0,. ., xl-i — = 0, XL{xL) = 0. (3).

Здесь <3>i,., Ф^-! — рациональные функции, a Xi — полином от х^. В случае существования представления (3), решение системы (1) сводится к решению единственного уравнения от одной переменной: Xl (xl) = 0. В классической алгебре были разработаны несколько подходов для нахождения представления (3) (и условий его существования). Практически все они основаны на понятии результанта, т. е. некоторой полиномиальной функции коэффициентов fi (X),., Jl{X), д (Х).

Hx (fi (X)i.JL (X)ig (X))1 (4) обращение которой в нуль необходимо и достаточно для существования общего нуля этих полиномов. Исторически первым был подход Безу-Пуассона [84], [147], его конструктивное развитие также является одной из целей настоящей работы. Состояние теории на начало ХХ-го века дано в обзорах Нетто — в энциклопедии [100] и в его книге [144]. Несколько позже Маколеем [139], [140] в рамках детерминантного подхода был развит метод Кэли [93]- еще один подход, изложенный в книге Перрона [150] имеет скорее теоретическую ценность. С 30-х годов нашего века теорию постигла та же участь забвения, что и метод Эрмита. По меткому замечанию автора исторического обзора [112], теория исключения была практически исключена из современных учебников алгебры.

— 9 и алгебраической геометрии. Отечественная же библиография по этому разделу состоит из единственного источника — перевода учебника Серре [46], изданного в прошлом веке 2.

Те же обстоятельства, что возбудили в последние десятилетия интерес к методу Эрмита, возродили и теорию исключения. Так, в работах [127], [128] исследуются методы Диксона [99] и Маколея, в книге [104] развивается метод Кэли. Интерес к теории стимулировало еще и потребность выяснить истоки теории базисов Гребнера [135], создание которой в 70-е годы связано с именем Бухбергера [31], [91]. Хотя предложенный последним алгоритм построения базисов Гребнера и был универсальным, но оказался своего рода «черным ящиком» — когда для конкретной системы (1) практически невозможно было оценить априори время, необходимое для ее приведения к виду (3). Вычислительным аспектам, а также модификациям и приложениям метода посвящены работы [80], [105], [106] (см. также обзор [31]).

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 157 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Подводя итог проделанной работе, перечислим основные положения и выводы, вытекающие из существа рассмотренных проблем.

1. В развитие метода Эрмита отделения решений систем полиномиальных уравнений, разработана схема рекурсивного построения многомерного результанта и вычисления симметрических функций от этих решений Найдены условия, обеспечивающие реализуемость этих алгоритмов.

2. Дано конструктивное развитие метода Безу построения многомерного результанта, на его основе создана схема исключения переменныхпроанализированы связи с известными методами исключения (в том числе методом базисов Гребнера).

3. Произведено исследование влияния параметров для построенных алгоритмов и показаны преимущества от их использования в тех задачах локализации, в которых каноническое (коэффициентное) представление полинома неизвестно (локализация собственных чисел мат рицы, оценка чувствительности корней полинома к возмущению его коэффициентов).

4. Предложен новый метод решения задачи многомерной полиномиальной оптимизации, заключающийся в сведении ее к задаче локализации корней полинома от одной переменной.

5. Разработана техника построения аналитических критериев знакоопределенности полинома, а также совместности системы полиномиальных неравенствдля последней задачи предложен также метод локализации множества ее решений.

6. Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и векторных полей в критическом по Ляпунову случае полного вырожде.

— 257 ния матрицы линейного приближения установлена аналитичность (по коэффициентам систем) критериев (не)устойчивости, предложенных Г. В. Каменковым и неразрешимость задачи установления асимптотической устойчивости с помощью полиномиальных функций Ляпунова.

7. В обобщение критерия Рауса-Гурвица устойчивости полинома создан алгоритм проверки наличия всех корней полинома в произвольной алгебраической области комплексной плоскости.

8. Предложена техника вычисления индекса Кронекера-Пуанкаре для полиномиальных векторных полей и алгебраических многообразий.

Из анализа проведенных теоретических исследований вытекают следующие практические рекомендации.

1. Конечной целью алгоритма отделения полиномиальной системы следует считать построение ганкелевой (блочно-ганкелевой) матрицы. При этом в случае исследования зависимости структуры множества решений от параметров, не следует находить каноническое представление определителя как полинома по этим параметрампроще разбить параметрическое пространство «сеткой», получаемой вычислением определителя при частных значениях этих параметров — тем более, что этот процесс легко распараллелить.

2. Искомую блочно-ганкелевую матрицу в одномерном и двумерном случаях следует строить непосредственно через симметрические функции решений системы. Но уже в случае трех переменных имеет смысл найти предварительно матрицу Безу, т.к. ее элементы вычисляются по более простому алгоритму. Затем известной комбинацией миноров этой матрицы (см. § 2.7) можно получить миноры блочно-ганкелевой.

— 258.

3. При построении матрицы Безу не стоит предварительно проверять условия выполнимости процедуры редукции из § 2.8: во-первых, они проявляются непосредственно в ходе алгоритма, а, во-вторых, будут выполненными «с вероятностью 1». В критическом же случае (внешним признаком которого может служить, например, разреженность старших форм [67]), стоит использовать предварительное построение базиса Гребнера для линейного упорядочения мономов по полной степени.

4. При решении задачи поиска максимума в области, описываемой системой полиномиальных неравенств, не следует проводить предварительного исследования ни системы условий на совместность, ни самой целевой функции на наличие максимума на бесконечности. Предложенный в § 3.3 алгоритм позволит проверить второе из этих условий автоматически — в ходе проверки условий применимости метода Эрмита (§§ 2.4, 2.6) или условий редуцируемости из § 2.8. Непустота допустимого множества выяснится в ходе нахождения условного экстремума целевой функции на потенциальных граничных многообразиях этого множества. Проверка условия достижимости максимума в нескольких стационарных точках должна также производиться лишь тогда, когда за достаточное число подстановок не удается отделить критические значения.

— 259.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Айзенберг J1.A., Болотов В. А., Цих А. К. К решению систем нелинейных алгебраических уравнений с помощью многомерного логарифмического вычета. О разрешимости в радикалах.// Доклады АН СССР. 1980. Т. 252. № 1. С.11−14
  2. Л. А., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск. Наука. 1979.
  3. А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М., Мир, 1994, 543 с.
  4. A.B., Сиразетдинов Т. К. Условия знакоопределенности четных форм и устойчивости в целом нелинейных систем.// Прикл. мат. мех. 1984. Т.48, № 3, С.339−347
  5. В.И. Индекс особой точки векторного поля, неравенства Петровского-Олейник и смешанные структуры Ходжа.// Функц. анализ и его приложения. 1978, Т.12, № 1, С.3−18
  6. В.И., Олейник O.A. Топология действительных алгебраических многообразий.// Вестн.МГУ. Сер.1, 1979, № 6, С.7−17
  7. Е.А. Функции Ляпунова. М., Наука, 1970, 240 с.
  8. Е.Г., Андропов В. Г. Разрешимость и устойчивость задач полиномиального программирования. М., МГУ, 1993, 272 с.
  9. И.С., Жидков Н. П. Методы вычислений.Т.2. ГИФМЛ, 1960, 620 с.
  10. Ф.С. Индекс стационарной точки векторного поля на плоскости.// Функц. анализ и его приложения. 1979, Т.13, № 2, С. 23−30- 260
  11. Д. Условная минимизация и метод множителей Лагран-жа. М. Радио и связь. 1987, 400 с.
  12. Н.М. Оценки топологического индекса. //В сб. Геометрия и теория особенностей в нелинейных уравнениях. Воронеж. ВГУ. 1987. С.9−23
  13. М. Введение в высшую алгебру. М.-Л., ГТТИ, 1933, 291 с.
  14. В.И., Кытманов А. М., Лазман М. З. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов. Новосибирск. Наука, 1991, 233 с.
  15. Ван-дер Варден Б. Л. Современная алгебра.Т.2. ОГИЗ, ГИТТЛ, 1947, 260 с.
  16. В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.Наука.1984. 320 с.
  17. А.Н. Критерий знакоопределенности форм высшего порядка.// Прикладная матем. и механика. 1974, Т.38, № 3, С.571−574
  18. H.H., Григорьев Д. Ю. Решение систем полиномиальных неравенств над вещественными полями в субэкспоненциальное время. // В кн. Теория сложности вычислений.III. Зап.научн.семин. ЛОМИ. 1988, Т.174, С.3−36
  19. Ф.Р. Теория матриц. М. Наука, 1966, 576 с.
  20. Р. Прикладная теория катастроф. М. Мир, 1984. Т.1 — 350 е., Т.2 — 285 с.
  21. Е.А. Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических функций от нескольких переменных.// Успехи мат.наук. Т.16, № 1, С. 91−118−261
  22. Е.А. О знакоопределенности однородного полинома при ограничениях в виде однородых полиномиальных уравнений и неравенств.// Депон. в ВИНИТИ № 3786-В90 Деп.09.07.90,"Вестник ЛГУ, сер. 1″ 27 с.
  23. Д.Ю. Разложение многочленов над конечным полем и решение систем алгебраических уравнений. //В кн. Теория сложности вычислений. Зап.научн.семин. ЛОМИ. 1984, Т.137. С.20−79
  24. Д.Ю., Чистов А. Л. Быстрое разложение многочленов на неприводимые и решение систем алгебраических уравнений.// Доклады АН СССР. 1984, Т.275, № 6, С.1302−1306
  25. Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М. Наука, 1979, 299 с.
  26. .П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М. Наука, 1966, 664 с.
  27. Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М. Мир, 1991, 350 с.
  28. В.И. Устойчивость движения. М. Высшая школа, 1984, 232 с.
  29. И.С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. М. Наука, 1974, 263 с.
  30. Г. В. Избранные труды. Т.2. М.Наука.1972, 214 с.
  31. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. Под ред. Бухбергер Б., Коллинз Дж., Лоос Р. М."Мир", 1986, 392 с.
  32. М.А., Перов А. И., Поволоцкий А. И., Забрейко П. П. Векторные поля на плоскости. М.Физматгиз. 1963, 248 с.262
  33. H.H. Об устойчивости по первому приближению.// Прикладная матем. и механика. 1955, Т. 19, № 5, С. 516−530
  34. М., Неймарк М. Метод симметрических и эрмитовых форм в теории отделения корней алгебраических уравнений.-Харьков, ГТ-ТИ, 1936, 39 с.
  35. A.M. Общая задача об устойчивости движения.М.-Л., ГИТТЛ, 1950, 471 с.
  36. И.Г. Теория устойчивости движения. М. Наука, 1966, 530 с.
  37. М.А. О знакоопределенности аналитических функций.// В сб. «Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем». Новосибирск. Наука, 1987, С. 256−261
  38. М.А. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела вокруг неподвижной точки в задаче Бруна.// Прикладная матем. и механика. 1994, Т.58, № 5,С. 161−165
  39. Программирование. 1992, № 5- 1994, № 1- 1997, № 3
  40. Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.Мир.1980, 680 с.
  41. М.М. Устойчивые многочлены. М. Наука, 1981, 176 с.
  42. А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л., ГИТТЛ, 1947, 392 с.
  43. E.H., Юсупов P.M. Чувствительность систем управления. М. Наука, 1981, 464 с.
  44. Л. Об устойчивости равновесия в критических случаях.// Механика. 1969. Т. 117. № 5, С.3−28- 263
  45. H.B. О вычислении индекса Пуанкаре векторных полей с однородными компонентами.// Вестник Ярославского университета. № 12. 1975. С. 103−124
  46. И.А. Курс высшей алгебры. М.-СПб., Вольф, Б.г., 573 с.
  47. А.К. Основы высшей алгебры.- М.-Л.ОНТИ, 1937, 475 с.
  48. А. Теория линейного и целочисленного программирования. М.Мир. 1991
  49. H.H. О вычислении индекса Пуанкаре.// Изв.вузов. Математика. 1984. № 9. С.47−50
  50. Д.Х. Алгебраическая проблема собственных значений.970. М.Наука. 564 с.
  51. А.Ю. Использование однородных форм в качестве функций Ляпунова.// Депон. в ВИНИТИ М2942-В87 Деп.24.04.87, «Вестник ЛГУ, сер.мат.» 13 с.
  52. А.Ю., Шуляк С. Г. Критерий асимптотической устойчивости системы двух дифференциальных уравнений с однородными правыми частями.// Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. № 6. С.1009−1014
  53. А.Ю. Однородные полиномы:знакоопределенность и использование в качестве функций Ляпунова.// Тезисы 5-й всесоюзной Четаевской конференции по теории устойчивости, 1987, Казань, С.98
  54. А.Ю. Критерий положительной определенности однородных форм.// Вестник ЛГУ, сер.1. 1988. № 1. С.110−112- 264
  55. А.Ю. Необходимые и достаточные условия положительной определенноти однородных форм.// В сб. «Вопросы механики и процессов управления», Л.ЛГУ. 1989. № 11. С.87−90
  56. А.Ю., Шуляк С. Г. Метод Эрмита отделения решений систем алгебраических уравнений и его применения.// Депон. в ВИНИТИ № 6319-В89 Деп.18.10.89,"Вестник ЛГУ, сер. 1″ — 42 с.
  57. А.Ю. К вопросу существования полиномиальной функции Ляпунова.// Дифференц. у равнения. 1989. Т.25. № 11. С.2010−2013
  58. А.Ю. Вычисление индекса Кронекера-Пуанкаре алгебраических кривых относительно алгебраических полей на плоскости.// Дифференц.уравнения. 1991. Т.27. № 12. С.2181−2183
  59. А.Ю., Черкасов Т. М. Локализация решений систем алгебраических уравнений и неравенств. Метод Эрмита.// Доклады АН России. 1996. Т.347, № 4, С. 451−453
  60. А.Ю., Черкасов Т. М. К задаче полиномиальной оптимизации.// Доклады АН России. 1998. Т. 361. № 2. С.168−170
  61. Д.К. Лекции по алгебре. -М.Наука, 1984, 416 с.
  62. Д.К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М. ГИФМЛ, 1960, 656 с.
  63. Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 1970, М. Мир, 720 с.
  64. Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. М. ИЛ. 1948, 456 с.
  65. Г. Лекции по теории чисел. М. ИЛ. 1953, 528 с.- 265
  66. А.Г. Индекс полиномиального векторного поля. // Функц. анализ и его приложения. 1979, Т.13, № 1, С.49−58
  67. А.Г. Малочлены. М.Факториал. 1996.
  68. В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. М. ИЛ. 1954, Т.1, 461 с.
  69. Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. 1989, М. Мир, 655 с.
  70. Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых. 1936, М.-Л., ОНТИ, 592 с.
  71. В.А. О знакоопределенности произвольных форм четного порядка. // Доклады АН БССР, 1966, Т. 10, № 11, С. 821−823
  72. Н.Г. Характеристики Кронекера. //В кн. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. 1962, М., АН СССР, С. 273−322
  73. А.Л. Алгоритм полиномиальной сложности для разложения многочленов и нахождение компонент многообразия в субэкспоненциальное время. // Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1984, Т.137, С.124−188
  74. Ackermann J., Muench R. Robustness analysis in a plant parameter plane. // Automatic Control. Proc. of the 10th Triential World Congress of IFAC, 1988, 8: 205−209
  75. Bank В., Heintz J., Krick T., Mandel R., Solerno P. Computability and complexity of polynomial optimization problems.// Modern Methods of Optimization. (Krabs W., Zowe J. eds.) Springer. 1992. P. 1−23
  76. Barnett S. Greatest common divisor of two polynomials.// Linear Algebra Appl, 1970, 3:7−9
  77. Barnett S. Polynomials and Linear Control Systems. 1983. New-York, Dekker
  78. Becker E., Wormann T. On the trace formula for quadratic forms.// Contemp. Math. 1994. 155:271−291
  79. Becker T., Weispfenning V. Grobner Bases A Computational Approach to Commutative Algebra. 1993. New-York, Springer
  80. Ben-Or M., Kozen D., Reif J. The complexity of elementary algebra and geometry.// J. of Сотр. and Sys. Sciences 1986. 32:251−264
  81. Berenstein C.A., Struppa D.C. Small degree solutions for the polynomial Bezout equation.// Linear Algebra Appl. 1988. 98: 41−56
  82. Berenstein C.A., Yger A. Analytic Bezout identities.// Advances in Applied Mathematics 1989. 10(l):51−74
  83. Bezout E. Theorie generale des Equations Algebriques. 1779. Paris, P.-D. Pierres
  84. Bikker P. On Bezout’s method for computing the resultant. 1995. RISCLinz Report Series No. 95−36.
  85. Bikker P., Uteshev A.Yu. Elimination a la Bezout. // Extended abstracts of the Int. Conf. Computer Algebra in Scientific Computing. St.-Petersburg, 1998. C.20−21
  86. Bini D., Pan V. Polynomial and Matrix Computations. V. 1, 1994. Birkhauser, Boston
  87. Brill A. Vorlesungen uber ebene algebraischen Kurven und algebraische Funktionen. 1925. Braunschweig.
  88. Brioschi F. Sur les series qui donnent le nombre de racines reelles des equations algebriques a une ou a plusieurs inconnues. //In Opere Mathematiche. Milano, Ulrico Hoepli, 1909. V. 5, P. 127−143,
  89. Bose N.K. Applied Multidimensional Systems Theory. 1982. Van Nostrand Reinhold,
  90. Buchberger B. Grobner bases: an algorithmic method in polynomial ideal theory.// Multidimensional Systems Theory (Bose N.K. ed.). 1985. P. 184−232, Dordrecht, Reidel
  91. Byrnes C.I. On a theorem of Hermite and Hurwitz.// Linear Algebra Appl. 1983. 50: 61−101
  92. Cayley A. On the theory of elimination.// Collected Mathematical Papers. 1889. V. 1. P.370−374
  93. Coleman C. Asymptotic stability in 3-space.// Ann. Math. Studies, Contrib. Nonl. Oscillations. 1960. 45:257−268
  94. Collins G.E. The calculation of multivariate polynomial resultants.// J. of the ACM. 1971. 18(4):515−532.
  95. Collins G.E. Quantifier elimination for real closed fields by cylindrical algebraic decomposition.// Led. Notes Comput. Sei. 1975,33:134−183
  96. Computer Algebra in Industry. Problem Solving in Practice. (Cohen A.M. ed.) 1993. Chichester, Wiley- 268
  97. Cox D., Little J., O’Shea D. Ideals, Varieties and Algorithms. 1993. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer
  98. Dixon A.L. The eliminant of three quantics in two independent variables.// Proc. London Math. Society. 1908. 6:468−478
  99. Faugere J.C., Gianni P., Lazard D., Mora T. Efficient computation of zero-dimensional Grobner bases by change of ordering.// J. Symbolic Computation. 1993. V. 16. P. 329−344
  100. Fuller A.T. Aperiodicity determinants expressed in terms of roots.// Int.J. Control. 1988. V.47 № 6. P.1571−1593
  101. Gelfand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky A.V. Discriminants, resultants and multidimensional determinants. 1994. Boston, Birkhauser
  102. Gerdt V.P., Blinkov Yu.A. Involutive bases of polynomial ideals. // Mathematics and Computers in Simulation. 1998. 45(4): 519−542
  103. Gerdt V.P., Blinkov Yu.A. Minimal involutive bases.// Mathematics and Computers in Simulation. 1998. 45(4): 543−560
  104. Gianni P., Trager B., Zacharias G. Grobner bases and primary decomposition of polynomial ideals.// J. Symbolic Computation. 1988. 6:149−167
  105. Gonzalez-Vega L., Lombardi H., Recio T., Roy M.-F. Specialisation de la suite de Sturm et sous-resultants.// Inform. Theor. et Applic. 1990. 24(6):561—588
  106. Gonzalez-Vega L. Determinantal formulae for the solution set of zero-dimensional ideals.// J. Pure Appl. Algebra. 1991. 76:57−80
  107. Gonzalez-Vega L., Pardo L.M. The computation of the radical for a zero dimensional ideal in a polynomial ring through the determination of the trace for its quotient algebra.//Preprint of the University of Cantabria. 1992. P. l-12
  108. Gonzalez-Vega L. An elementary proof of Barnett’s theorem about the greatest common divisor of several univariate polynomials.// Linear Algebra Appl 1996. 247: 185−202
  109. Gray J. Algebraic geometry between Noether and Noether — a forgotten chapter in the history of algebraic geometry.// Revue d’Histoire des Mathematiques. 1997. 3:1−48
  110. Gutman S. Root Clustering in Parameter Space. 1990. Berlin, Springer
  111. Henrici P. Applied and Computational Complex Analysis. Vol. 1. 1974. N.-Y., Wiley
  112. Hermite Ch. Sur l’extension du theoreme de M. Sturm a un systeme d’equations simultannees.// Oeuvres 1905.1:280−283, Paris, Gauthier-Villars
  113. Hermite Ch. Remarques sur le theoreme de M.Sturm.// Oeuvres. 1905. 1:284−287, Paris, Gauthier-Villars
  114. Hermite Ch. Sur le nombre des racines d’une equation algebrique comprises entre des limites donnees.// Oeuvres. 1905. 1:397−414, Paris, Gauthier-Villars- 270
  115. Hermite Ch. Sur l’extension du theoreme de M. Sturm a un systeme d’equations simultannees.// Oeuvres. 1912. 3: 1−34, Paris, Gauthier-Villars
  116. Hess E. Uber die Darstellung der einformigen symmetrischen Functionen der Simultanwurzeln zweier algebraischer Gleichungen.// Z. Math. u. Phys. 1870. 15:325−360
  117. Hilbert D. Uber die vollen Invariantensysteme.// Math. Annalen. 1893. 42:313−373
  118. Hsu C.S., Gutallu R.S. Index evaluation for dynamical systems and its application to locating all the zeros of a vector function.// J. Applied Mechanics. 1983. 50(4 a):858−862
  119. Jacobi C.G.J. Theoremata nova algebraica circa systema duarum aequationum inter duas variabiles propositarum.// Gesammelte Werke. 1884. 3:287−294, Berlin, Reimer
  120. Jacobi C.G.J. De relationibus, quae locum haber debeunt inter puncta intersectionis duarum curvarum vel trium superficierum algebraicarum dati ordinis, simul cum enodatione paradoxi algebraici.// Gesammelte Werke. 1884. 3:331−354, Berlin, Reimer
  121. Jacobson N. Lectures in Abstract Algebra. 1964. V. 3, Van Nostrand, NY
  122. Kalinina E.A., Uteshev, A.Yu. Determination of the number of roots of a polynomial lying in a given algebraic domain.// Linear Algebra Appl. 1993. 185:61−81
  123. Kalkbrenner M. On the stability of Grobner basis under specializations.// J. Symbolic Computation. 1997. 24: 51−58
  124. Kapur D., Lakshman Y.N. Elimination methods: an introduction.// Symbolic and Numerical Computation for Artificial Intelligence, (B. Donald et. al. eds.) 1992. Academic Press.
  125. Kapur D., Saxena T. Comparison of various multivariate resultant formulations.// Proceedings ISSAC'95. Montreal, Canada, 1995. P. 187−194
  126. Katsura S., Fukuda W., Inawashiro S., Fujiki N.M., Gebauer R. Distribution of effective field in the Ising spin glass of the ± J model at T = 0.// Cell Biophysics. 1987. 11: 309−319.
  127. Kearfott B. An efficient degree-computation method for a generalized method of bisection.// Numerische Mathematik. 1979. 32: 109−127
  128. Kobayashi H., Fujise T., Furukawa A. Solving systems of algebraic equations by a general elimination method.// J. Symbolic Computation. 1988. 5: 303−320
  129. Kronecker L. Uber einige Interpolationsformeln fur ganze Functionen mehrer Variabein.// Werke. 1895. 1:135−141, Leipzig, Teubner
  130. Kronecker L. Zur Theorie der Elimination einer Variabein aus zwei algebraischen Gleichungen.// Werke. 1897. 2:113−192, Leipzig, Teubner
  131. Lazard D. Resolution des systemes d’equations algebriques.// Theor. Comput. Sei. 1981. 15:77−110
  132. Lazard D. Grobner bases, Gaussian elimination and resolution of systems of algebraic equations.// Lecture Notes in Computer Science, Springer. 1983. 162:146−156
  133. Lazard D. Solving zero-dimensional algebraic systems.// J. Symbolic Computation, 1992. 13:117−131- 272
  134. Pedersen P., Roy M.-F., Szpirglas A. Counting real zeros in the multivariate case. // Progress Math. 1993. 109: 203−223
  135. Perron O. Algebra. 1932. Vol.1. Berlin-Leipzig, de Gruyter
  136. Petrowsky I. On the topology of real plane algebraic curves.// Ann.Math. 1938. 39(l):189−209
  137. Saito T. An extension of Sturm’s theorem to two dimensions.// Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sei. 1997. 73(1): 18−19
  138. Scheja G., Storch U. Lehrbuch der Algebra. 1988. Teil 2. Stuttgart, Teubner
  139. Schlafli L. Uber die Resultante eines Systemes mehrerer algebraischer Gleichungen.// Gesammelte Math. Abhandlungen 1953. 2:9−112, Basel, Birkhauser
  140. Schur I. Vorlesungen uber Invariantentheorie. 1968. Berlin, Springer
  141. Stickelberger L. Uber eine neue Eigenschaft der Diskriminante algebraishcer Zahlkorper.// Verband, der I internat. Math. Kongresse. 1897. Zurich. 1898. 182−193. Leipzig, Teubner
  142. Stickelberger L. Verzeichnis der Schriften von Ludwig Stickelberger. // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung. 1937. 47(5−8): 79−86
  143. Uteshev A.Yu., Shulyak S.G. Conditions for sign-definiteness of homogeneous forms and Possibility of using polynomials as Lyapunov Functions.// Abstracts of the Second Colloquium on Differential Equations, Plovdiv, Bulgaria. 1991. P. 298
  144. Uteshev A.Yu., Shulyak S.G. Determination of Kronecker-Poincare index of algebraic curve relative to algebraic field on the plane.//- 274
  145. Abstracts of the Second Colloquium on Differential Equations, Plovdiv, Bulgaria. 1991. P. 299
  146. Uteshev A.Yu., Shulyak S.G. Hermite’s method of separation of solutions of systems of algebraic equations and its applications.// Linear Algebra and its Applications. 1992. 177:49−88
  147. Uteshev A.Yu. On the existence of a polynomial Lyapunov function. // Proceedings of the Int. Conf. on Differential Equations, Equadiff'91, Barcelona 1991, (C.Perello, C. Simo, J. Sola-Morales, eds.), 1993. Vol.2 :943−946 Singapore, World Scientific
  148. Uteshev A.Yu., Cherkasov T.M. The search for the maximum of a polynomial.// J. Symbolic Computation. 1998. 25: 587−618
  149. Uteshev A.Yu., Cherkasov T.M. Symbolic algorithms for polynomial optimization problems.// Abstracts of the Int. Conf. Dedicated to the 90th Anniversary of L.S.Pontryagin. Optimal Control. Москва 1998. P. 197−198
  150. Weber H. Lehrbuch der Algebra. 1898, Bd.I. Braunschweig, Vieweg
Заполнить форму текущей работой

Заказал и сдал!