Дипломы, курсовые, рефераты, контрольные...
Срочная помощь в учёбе

О некоторых задачах многомерной теории приближений разных метрик

Диссертация: О некоторых задачах многомерной теории приближений разных метрик
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В первой главе диссертации, изучаются приближения периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами. Спектр приближающих полиномов содержится в множествах, порожденных поверхностями уровня функции Л (£). Именно, для и Л (£), подчиненных некоторым условиям регулярности, при 1 < р < д < оо получены оценки наилучших приближений функции (в Ьч) через ее смешанный модуль отрезке… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. О прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой
    • 1. 1. Вспомогательные утверждения
    • 1. 2. Об одномерной обратной теореме теории приближений в пространствах Лоренца
    • 1. 3. О многомерных прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой
    • 1. 4. О многомерных прямых теоремах теории приближений с заданной мажорантой в пространстве Бесова
  • Глава 2. Неравенства типа Бернштейна, Джексона — Никольского и некоторые теоремы вложения
    • 2. 1. Вспомогательные утверждения
    • 2. 2. Неравенства типа Бернштейна, Джексона-Никольского
    • 2. 3. Порядковые оценки производных, А — ядра Дирихле
    • 2. 4. О некоторых теоремах вложения Н и Е — классов
    • 2. 5. О необходимости условий для вложения Е — классов
  • Глава 3. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования на классах типа 5- классов Никольского, Бесова и Соболева
    • 3. 1. Оптимальные коэффициенты и равномерно распределенные сетки Коробова
  • Вспомогательные утверждения
    • 3. 2. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования на классах типа Б — классов Никольского, Бесова и Соболева
    • 3. 3. Об эквивалентных условиях равномерной распределенности сеток Коробова
  • Выводы

О некоторых задачах многомерной теории приближений разных метрик (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Пусть 7г5 = [—7Г, 7г]5-в-мерный куб, 1/(7т8) (1 < р < оо)-множество всех измеримых 27тпериодических по каждой из б переменных функций /(я) = /(жь • • •, ж3) таких, что =(2тг)" v.

J If (x)>dx.

00, 1 < р < оо, тг. vrai sup f (x) < 00, р — оо,.

Р Жб7Г. пусть также.

ЩМ = | / е L^iTs): j f{x)dxj = О (j = 1, e) 1 .

7 Г.

Для подмножества В евклидова пространства Л6 через В0 и обозначим множества, состоящие из всех элементов х = ., .т5) 6 В, каждая компонента которых неотрицательна и положительна соответственно. Через Zs, как обычно, обозначим целочисленную решетку Для п € положим п т + .+п8, 2~п = (2-«S ., 1~п°).

Для / G LP{irs) определен смешанный модуль гладкости порядка к G.

Z+ = Z± nk (f-t)p = nk (f-, tu., ts) p= sup ||Д^/(я-)||р (t e [0, l]s), hj.

Al, f (x) = f (x 1, ., xj + fy, — /Оь .

При s = 1 также обозначим.

Uk{f]t)p = Slk{ft)p.

Для данных чисел 1 < р < оо, 0 < Г <. < rs класс Никольского SHp1,-, r' состоит, по определению, из всех функций / 6 LP^s) таких, что для смешанного модуля гладкости порядка к > rs выполнено.

3=1.

Более тонкая классификация функций по гладкости в метрике 1^(7Г8) состоит в замене в этом определении функций tj3 на общие функции типа модуля гладкости Wj{t3).

И, наконец, наиболее естественный общий случай состоит в замене мажорантной функции в правой части (1) на функцию типа смешанного модуля гладкости Q (t) = 0(?i, ., io-) — непрерывной на [О, I]3 функции, являющейся функцией типа модуля гладкости порядка к по каждой из переменных при фиксированных остальных (здесь и в дальнейшем, выражение «при фиксированных остальных переменных «будет означать, что константа в соответствующем определении не зависит от этих переменных) — полученный при этом класс функций / € LP{tts) обозначим через SH^.

Если / € LP (7ts), то через обозначают наилучшее приближение (в Lp) функции / полиномами из T (G), где G — конечное множество точек Zs, а.

I n&G.

В нашей работе спектр G будет задан посредством непрерывной на [О, l]s функции A (t) = A (?i,., ts), неубывающей по каждой переменной при фиксированных остальных и такой, что Л (£) > 0 и Л (¿-) = 0 смотря s s по тому П tj > 0 или П tj = 0. В связи с этим определим следующие j=i 3=1 множества (Лг > 0):

Г (Л, N) = {neZs+: Л (2п) >, N) = Zs+ Г (Л, N), р{п) = {m = (ть ., ms) 6 Zs: 2п^г < т3 < 2п'} (п 6 Zs+), Q (A, N)= U Pin). ner (A, N).

Основными понятиями теории приближений являются понятия наилучшего приближения и модуля непрерывности (гладкости), отражающие соответственно конструктивные и структурные свойства функции.

В одномерном случае взаимоотношения между этими принципиально различными характеристиками функций впервые были установлены Д. Джексоном и С. Н. Бернштейном.

Именно, Д. Джексон [1] доказал, что 27тпериодическую функцию от одной переменной, имеющую непрерывную производную порядка г, можно приблизить тригонометрическими полиномами tn (x) так, что отклонение удовлетворяет неравенству.

II№ ~ Ш\о < С{т) KJ: п)С (n = 1,2, .)•.

С.Н.Бернштейном [2] было доказано, что если 2-кпериодическая непрерывная функция / такова, что при заданных числах г-целом неотрицательном и а, 0 < а < 1, для некоторого С > 0 и всякого п > щ > О существует тригонометрический полином Ьп{х) порядка п такой, что f (x) = tnQ (x) + р (х), где (р (х)~ непрерывная 27г-периодическая функция, имеющая непрерывную.

Чтобы получить аналогичный результат в случае, а = 1, необходимо, как это впервые заметил А. Зигмунд [3], перейти к модулю непрерывности (гладкости) 2-го порядка.

В дальнейшем, оценки наилучших приближений функции (в некоторой метрике) через ее модуль гладкости (в той или иной метрике) — прямые теоремы теории приближений или теоремы типа Джексона, и оценки модуля гладкости функции (в некоторой метрике) через ее наилучшие приближения (в той или иной метрике) тригонометрическими полиномамиобратные теоремы теории приближений или теоремы типа Бернштейна, были объектом исследований многих поколений математиков (см., напр.,[4 — 8] и имеющуюся в них библиографиюобзор некоторых результатов в рамках подхода П. Л. Ульянова и связанная с ней обширная библиография даны также в работе Н. Темиргалиева [9]).

Все эти исследования относились к случаю прямых и обратных теорем теории приближений в одной метрике. Известные случаи разных метрик (в определенном смысле) не были окончательными (см. 10], [5], [11]).

Классические неравенства Джексона и Бернштейна соответственно на случай разных метрик в определенном смысле неулучшаемым образом были перенесены М. А. Жайнибековой [12] (как комбинация неравенств П. Л. Ульянова и Д. Джексона) и автором [13]: если l<p<q<ooиfe 1Р{ 0,27г), то то производную ф (гх), при этом тп=п+1 и (к = 1,2,.).

1^ 1 Mfr -)q «Zk nft m + 1)('t+?» 2) ?"(/), m=0 oo n = 1, 2,.).

3)? т^ЕЦП т—п+1.

Окончательность сформулированных выше в (2) и (3) прямых и обратных теорем теории приближений в рамках подхода П. Л. Ульянова [14] следующим образом выражается в терминах теорем вложений (1 < р < д < оо) :

Щ с Eq (X) оо m=n+l 0(An).

4) и.

Ер (А) С оо.

771=0 m=n+l U.

5) где.

ЦА) = {/(*) е Щщ): = 0(Хп) (п оо)}, где, А = {Ап} положительная, убывающая к нулю последовательность.

Заметим, что полученный М. А. Жайнибековой [12] критерий (4) позже обобщен на случай производных H.A. Ильясовым [15], аналогичный (5) результат, но в несколько иной постановке независимо от нас получен им же в [16].

Первая, основная, задача данного исследования состоит в получении неусиляемых прямых и обратных теорем теории приближений в случае функции многих переменных — ей посвящен первый раздел диссертации.

Тем самым, речь идет о распространении неравенств (2) и (3) на многомерный случай.

Общеизвестно, что исследование задач, связанных с приближением функций s (<9 > 2) переменных, продвинуто не так далеко, как в одномерном случае. В первую очередь этот факт имеет место для задач экстремального характера, таких, как нахождение точных оценок приближения на классах функций, отыскание точных значении поперечников и квазипоперечников в банаховых пространствах, нахождение оптимальных кубатур и т. д. Поэтому в многомерном случае возникло много новых трудных задач в зависимости от выбора приближающего агрегата и разностных характеристик изменения функции.

В качестве иллюстрации к сказанному приведем один результат по тригонометрической системе (см. ниже теорему 1.3.1) sup EQ{AjN){f)q /еяя".

N = 1,2,.). (6).

Обсудим данное соотношение. Пусть дано нормированное пространство У числовых функций, определенных на измеримом множестве 1 В С Яь и пусть ^ С У. Для пмерного подпространства Мп пространства У, последовательно положим.

E (f]Mn)r= mf \f-g\Y, демп.

E (FMn)Y = sup E{fMn)Y, (7) f&F dn (FDn)y = inf E (F Mn) Y, (8) где {Mn} есть множество всех возможных n-мерных подпространств Y, a Dn С {Мп}. В случае Dn = {Мп} - величина (8) есть поперечник по Колмогорову, если же множество Dn составлено из подпространств, натянутых на всевозможные п тригонометрических функций e27r (m (I).:c)j >>м е2тг (т<"), х) тригонометрический поперечник.

Изучению различных видов поперечников посвящена обширная литература. Вместе с тем, изучение величин вида (7), как это, в частности, следует из (6), является самостоятельной задачей, отвечающей на ряд содержательных вопросов, и потому естественной и перспективной задачей.

Действительно, в двусторонней оценке (6) содержится большая информация.

Во-первых, здесь содержится точная количественная информация об аппроксимативных возможностях полиномов с достаточно произвольным Лспектром относительно функций данного класса.

Именно, каждая функция Л определяет класс конечных подмножеств Zs: набор спектров, конкретизация которых в виде Q (A, N) осуществляется посредством параметра N. Тогда для данного класса F — SHР обобщенного класса Никольского с ограниченной смешанной разностью в (7) получен точный порядок наихудшей (и тогда остальные не хуже) из наилучших приближений функций этого класса тригонометрическими полиномами со спектром из Л") в метрике Ьд, тем самым, определены аппроксимативные возможности агрегатов приближения данного типа в данной метрике данного класса функций.

Также отметим, что соотношение (6) имеет один и тот же вид для всех размерностей в, влияние которых проявляется опосредованно через кратность ряда и количество переменных в определяющих спектр и класс функциях Л и П.

Во-вторых, она позволяет при заданном числе точек спектра вычислить геометрию Лспектра с наилучшими аппроксимативными возможностями и, одновременно, вычислить точный порядок оптимальной Л-аппроксимации. Для этого достаточно по заданной функции П выделить спектр «больших слагаемых «ряда в правой части (6):

2||га, 1(?-1)^(2-п) > е > о}, (9) поскольку если из данной суммы неотрицательных чисел нужно удалить заданное число слагаемых таким образом, чтобы оставшаяся часть имела наименьшее значение, то, разумеется, надо убрать самые большие по значению.

Для иллюстрации остановимся на конкретизации (6) в модельном случае: (г>°)' ^ = (Л = 1,2,.). (10).

Тогда, согласно (9), имеем е — 2~к, к = 1,2,.

Ее = Ак = {пег% 2″ п" 1(р-1)2−9ГЧп111 > 2~к > о} =.

Желательно, чтобы Лспектр был достаточно широким, для обеспечения теоретико-множественного равенства Ак = Г (Л, 2к). Легко видеть, что это равенство выполнено в случае в.

Ах (¿-1, ?2, .Л) = ТМ = ^ - - + 1 > 0,.

7=1 р при этом соответствующий экстремальный спектр есть.

3(АЪ 2к) = {тегз: 2п*~х < т5 < 2'Ч (у = 1, в), ступенчатый гиперболический крсст с числом точек М, М х Возникающая при этом погрешность имеет порядок.

7 м = Е{БНгр] д (Ль 2к))Ьч{пз).

Е ^? 1 в пересчете на число гармоник, 1.

ИЬ>| к «.

2 «АГГ.

1 м к 9.

МЫМ).

-(г.

1+1) р ' ч>

1пМ) что в свою очередь соответствует порядку ортопоперечника, вычисленного В. Н. Темляковым [17].

Таким образом, в соответствующих известных случаях оптимальные порядки А-аппроксимации совпадают с известными результатами о тригонометрических и иных поперечниках, имеющих длительную историю развития.

В-третьих, получен ответ на вопрос «Как хорошо частичные суммы тригонометрического ряда Фурье с наперед заданным Аспектром приближают функцию / € БНр по сравнению с максимально возможным?11.

В-четвертых, соотношение (6) представляет собой иеулучшаемую прямую теорему теории приближений разных метрик.

И, наконец, в — пятых, соотношение (6) в качестве многомерного случая с точными порядковыми соотношениями естественным образом вписывается в общую задачу (4), также имеющую респектабельную историю возникновения и развития. Впервые в 1937 г. в одномерном случае Фавар [18] и Ахиезер-Крейн [19] получают точные равенства' вир Еп (Лс = вир т£ еИ^(ОД) /еВДОд) ж) — | ^ + а^совкх + Ькзгпкх п к= 1.

1 4 ~ (1)Л (г-1) Е.

7ГГ 7 Г ^ (2к +1У+1: /г=0.

С[0,2тг].

П) а С. М. Никольский [20] в 1946 г. — асимптотическое равенство вир

-/Ы1<|®-и|,-1<�я, 0<1 п.

2 п.

7 Г где Еп (/)с есть наилучшее приближение функции /(не обязательно периодической) при помощи алгебраических многочленов степени п — 1 на.

В дальнейшем, точные одномерные результаты по задаче (6) получены другими математиками, главным образом в научной школе II. П Корнейчука (см. 21] и имеющуюся в ней библиографию). Как правило, точные и асимптотические равенства типа (11) и (12) получают в одномерном случае, а в многомерном, за редким исключением типа гильбертовых пространств — порядковые. Соотношение (6) относится к последнему.

Тем самым, задача (7) имеет самостоятельное значение и свою историю, не всегда сводящуюся к задаче (8). Более того, поперечники по Колмогорову не всегда совпадают с тригонометрическими и тому подобными поперечниками (например, это следует из результатов Б. С. Кашина [22] по вычислению поперечников одномерных классов Соболева).

В цели настоящей диссертации не входит исследование поперечников (8), вместе с тем не исключено, что во всех случаях функций, а не только в степенном случае (10), выбор (9) «больших слагаемых» в (6) дает значение соответствующего тригонометрического поперечника и искомого экстремального спектра.

Следует также отметить, что теория приближений составляет обширную область исследований, значение которой возрастает в связи с развитием компьютерных технологий. Разнообразие исследований определяется выбором агрегата аппроксимации и топологии, в терминах которой оценивается уклонение или, что-то же самое, погрешность приближения. Так наряду с классическими агрегатами приближения — по тригонометрической системе (см., напр.,[23−27]), по системе Хаара (см., напр.,[28]), по системе Уолша (см., напр.,[29−30]), в последнее время активно развивается теория всплесков (см., напр.,[31]) и теория аппроксимаций Паде (см., напр.,[32−34]), смотри также [35−38] и имеющуюся в них библиографию.

В первой главе диссертации, изучаются приближения периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами. Спектр приближающих полиномов содержится в множествах, порожденных поверхностями уровня функции Л (£). Именно, для и Л (£), подчиненных некоторым условиям регулярности, при 1 < р < д < оо получены оценки наилучших приближений функции (в Ьч) через ее смешанный модуль отрезке [—1,1]. гладкости (в V) — прямые теоремы теории приближений или теоремы типа Джексона разных метрик, и оценка смешанного модуля гладкости функции (в Ь'1) через ее наилучшие приближения (в 1Р) тригонометрическими полиномами — обратные теоремы теории приближений или теоремы типа Бернштейна разных метрик.

Приведем основные результаты главы 1, чему предпошлем некоторые необходимые определения.

По С. Н. Бернштейну (см., напр.,[39]), функция (р (Ь) называется почти возрастающей (почти убывающей) на [0,1], если существует постоянная С > 0 такая, что <�р (Ь) < 2) ( (?1) > С (р{Ь2)) для всех 0 < Ь < ?2 < 1.

Нам также потребуются некоторые ограничения на мажорантные функции (заметим, что разные типы таких ограничений представлены в [40]).

Функция одного переменного (р (т) > 0 удовлетворяет условию (¿->а) б1″)) при, а > 0, если <�р (т)/та почти возрастает (почти убывает) на (0,1].

Так же вводится условие (5) на </?(т) как выполнение условия (?") для некоторого а, 0<а<1, ив этом смысле (?) = У (5а).

0"*<1.

Будем говорить, что Г2(£) = 0(^1, удовлетворяет условиям (ва) и (5а) при, а = (скх, ск8), если соответственно при каждом ] — 1,5 функция Г2(£) удовлетворяет условиям (5^) и (б1^) по переменной ^ при фиксированных остальных.

Также всюду ниже мы будем пользоваться обозначениями <С, А и, А х В. При положительных, А и В запись «С, А будет означать В < .)•.

А, где С (ск, /?,.) некоторые положительные постоянные, зависящие лишь от указанных в скобках параметров, а запись, А х В означает, А <С В «С А. Вообще говоря, всюду ниже параметры ск,/?,. однозначно определяются по смыслу утверждений, поэтому, в целях сокращения записей, их указывать не будем.

Справедливы следующие теоремы. теорема 1.3.1. Пусть 1 < р < д < оо, к— целое положительное число и Л (£) — непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [0,1]в в функция такая, что Л (£) > 0 и Л (£) = 0 смотря по тому Д ^ > 0 или 1 я.

Y[tJ = 0. И пусть г2(£) — функция типа смешанного модуля гладкости порядка к, удовлетворяющая условиям (5,а) и (Бр) при некоторых, а = (СК1, ., 0! в), 0 < а* < 1 и /3 = (/?!,., ДО 0 < Рг < к (г = 1, соответственно. Тогда для того, чтобы имело место вложение.

Ь2(тг5), (13) необходимо и достаточно, чтобы.

2″ п" 1(р~1)п9(2~т1) < оо, (14) п&г! причем, при выполнении неравенства (13) справедливо соотношение (ЛГ > О, константа в (15) зависят лишь от р, д, О, Л) вир

65Я" 1.

15) пеТЦА, Ы).

Теорема 1.3.3.Пусть 1 < я < р < оо, р > 2, к— целое положительное число и Л (£) — непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [0,1]в функция такая, что Л (£) > 0 и Л (£) = 0 смотря по тому в 5.

Л ?$ > 0 или Пз ~ ОИ пусть ^(?) — функция типа смешанного.

3=1 3=1 модуля гладкости порядка к, удовлетворяющая условиям (Ба) п (5/?) при некоторых, а = (щ, а$), 0 < с^ < 1 и /? = (/?ь .,{Зв), 0 < < к (I = 1, б) соответственно. Тогда {И > 0) вир пег-1-(л, лг).

Сравним теоремы 1.3.1 и 1.3.3 с аналогичными результатами из работ [41] и [42] Н. Н. Пустовойтова. в.

Во-первых, в частном случае Л (£) = П А? оценки сверху в (15) совпа.

3=1 дают с утверждением теоремы 3 из [41], носящими характер достаточного условия. Во-вторых, в работе [42] изучается только случай Л (£) = 0(?), т. е. случай, когда спектр приближающих полиномов жестко связан с заданной мажорантой П (£), в то время как в нашем случае Л (£) и Г2(£) независимы. Как показывает сравнение нашей теоремы 1.3.3 с теоремой 1 из [42], это обстоятельство существенным образом отражается на самом виде окончательного результата. В-третьих, теорема 1.3.1 применима при менее стеснительных ограничениях на П (£) нежели теорема 2 из [42]. Именно, в [42] при дополнительном условии принадлежности ?7(?) множеству и (¿-и.

— 4<а<1 р я получено соотношение (1<�р<�д<�оо) 1 аир *)(/)* ~ —.

6 БНр iV.

Г2,ЛГ)Г^ (0,АГ).

В теореме 1.3.1 условие (16) расширено до естественных границ и носит окончательный, в применяемых терминах, характер (см. об этом [43]). Так, функция т = п *)" ' О" й- >1 о =. *)) ?=1 4 у не принадлежит множеству (16), и потому соотношение (17) не применимо.

1 1 силу теоремы 1.3.1 получаем содержательный результат.

Вместе с тем, для выполнено условие (За) при, а = А — 1, так что в.

3 1 зир^ Ея{п, м)(/)д х ^ Д —щ. е5ЯР 7X6^(^1,^)^=1 ^.

Теперь сформулируем некоторые следствия из теоремы 1.3.1 и 1.3.3.

Положим в ад) = ГК >0 У =*))> (18).

3=1 в.

А1^)-П? (Ъ-> О С7 = 1, .,*)). (19) 1.

Как известно (впервые это для классов ТУ установил К. И. Бабенко [44]), что в вопросах приближения функций из классов ]? я Н приближение тригонометрическими полиномами, гармоники которых лежат в гиперболических крестах, играет такую же роль, как приближение тригонометрическими полиномами в классической теории приближений.

Выяснилось также, что, как и в одномерном случае (впервые это было обнаружено Р. С. Исмагиловым [45], а затем полностью изучено В.С.Каши-ным [22]), в многомерном случае для некоторых соотношений параметров приближения полиномами с гармониками из гиперболических крестов не дают порядок поперечника (колмогоровского). Это обстоятельство побудили многих математиков, либо изучить способ построения приближающего полинома со спектром, дающего приближения, близкое значению поперечника, либо рассмотреть другие поперечники.

В частности, В. Н. Темляков [46] для класса F С ввел понятие ортопоперечника: м d^F,!/) = inf sup f (x) — 52(/, щ) иг (х) {"*}& feF где inf берется по ортопормированным системам ограниченных функций. Им же была установлена следующая [17] (см. также [47]).

Теорема А. Пусть 1 < q, p < оо, г = Т =. = rv < ru+i < ••• < r8, г > > я) Ф (1,1), (оо, оо). Тогда имеет место соотношение d^SHLL*)^ M~logMf'-1)'.

Р 41ilogM).

— 1)-ф (р, д) ф (р, q) = <

1 < р < q < оо, р = 1,1 < q < оо- 1? 1 < р < оо, q = оо;

1 < Я < Р < оо, р > 2, q < ооh l<2. и оптимальными (в смысле порядка) подпространствами являются: в случае 1 < д < ^ < оо Т (Оп) (г = Ту = г) и = 1, 2,., и), г < г) < Ту {з = ь> + 1,., в)), в остальных случаях Т{0Гп)..

Здесь и в дальнейшем.

Если по заданному М число п подобрать из соотношения то из теоремы, А получим оценки dif (SH-, Lq) х 2 ~пгп~, 1<�д<�р<�оо, р>2, dhiSH^ Lq) х г^Н+Йп^, 1 < р < q < оо..

С другой стороны из теорем 1.3.1 и 1.3.3 соответственно получаем Следствие 1.3.2. Пусть 1 < р < q < оо, г > ^ — 1 = 71 =. = Ъ < Ъ+i < — ^ 7s (1 < у < s), rj = rjj (j = 1,., s). Тогда sup EQl{f)q^ (n = 1,2,.). feSH-.

Следствие 1.3.4. Пусть 1 < q < p < 00, p > 2, 1 = 7! =. —.

7"/ < 7f+i < - <75, 1 = A = - = < Pu+i <. < (38 0- < v < s), rj = (j = 1,., s), Pj < у {j = v + 1, s). Тогда i—i sup x 2-^n- (n = 1,2,.)..

Результаты приведенных в следствиях 1.3.2 и 1.3.4 в части получения двусторонних, совпадающих с точностью до констант, оценок погрешности приближения полиномами с экстремальными спектрами, реализующими порядки ортопоперечников, лишь косвенно подтверждают правильность полученных выводов данной работы, совпадая с ними..

Как следует из следствия 1.3.4, чтобы оценка в теореме 1.3.3 была минимальной для класса SHp, в качестве спектра приближающего полинома вместо «своих» гиперболических крестов (г = 7*7), лучше брать расширенные («не свои») гиперболические кресты QР (/? = (1, .1,Д,+1, .,$,), причем 1 < (3j < jj {j = u + 1, ., 5). Впервые этот эффект отметил С. А. Теляковский [48], а для ортопоперечников этот эффект был обнаружен В. Н. Темляковым [17]..

Таким образом, наши результаты (Теоремы 1.3.1 и 1.3.3) подтверждают известные факты, что естественным аппаратом для приближения функций из SHp° являются полиномы с гармониками из гиперболических крестов..

Пусть LUk (t) -заданная одномерная функция типа модуля гладкости порядка к, удовлетворяющая условиям (Sa) (0 < а < 1) и (Sp) при некотором 0 < (3 < к. Зададим смешанный модуль гладкости порядка к следующего специального вида: n2(t)=uk (П^. (20).

Легко видеть, что для такого ^(i) выполняются все свойства смешанного модуля гладкости порядка к..

Следствие 1.3.6. Пусть 1 < р < q < 00, 7 = 71 =. = 7^ > jv+i > • •• > 7s > 0) кцелое положительное число, ujkif) — одномерная функция типа модуля гладкости порядка к, удовлетворяющая условиям (Sa) и (Sp) при некоторых ^ — ^ < о- < 1 и 0 < ?3 < к. Тогда sup EQiAlj2n)(f)q ж (п = 1,2,.). feSHp2.

Следствие 1.3.6 при 7 $ = 1 (г = 1, s) ранее было доказано Н. Н. Пустовойтовым [43]..

Следствие 1.3.8. Пусть 1 < q < р < 00, р > 2, 7 = 71 =. = 7″ > 7, у+1 >. > 7S > 0 и ujk{t) удовлетворяет условиям следствия 1.3.6..

Тогда.

SUpEQ (Ab2″)(/)g х (п = 1,2,.). f<=SHp2.

Также отметим следующую теорему..

Теорема 1.3.4. Пусть параметры р и q удовлетворяют одному из следующих условий:.

1) 1 < q < р < оо, р > 2-.

2) 1 < q < р < 2-.

Пусть, далее, г > 0, к— целое положительное число и A (i) — функция типа смешанного модуля гладкости порядка к, удовлетворяющая условиям (Sa) и (Sp) при некоторых, а = (ai, ., a. s), 0 < щ < 1 и (3 = Ps), 0 < Д- < k (г = l,., s), соответственно. Положим t) = Лr (t). Тогда (N > 0).

1 s=l sup EQ (AjN){f)q ж —-(log2N) и., feSH? r где po — min (p, 2)..

Эта теорема при г — 1 была доказана Н. Н. Пустовойтовым [42]..

Теперь приведем многомерный аналог неравенства Бернштейна — обратную многомерную теорему теории приближений разных метрик..

Справедлива.

Теорема 1.3.6. Пусть 1 < р < q < оо, 1 = Т < < • • ¦ < rs, cokфункция типа модуля гладкости порядка к и {Ап}- последовательность положительных чисел, п j. 0 (п t оо). Пусть функция Л (t) удовлетворяет условию (ST) на (0, l]s при г = (ti, ., ts), л (1) = 1 и a (?i, ., ts)/ti невозрастает на (0,1] при всех фиксированных (?2, ts). Тогда для того чтобы имело место вложение.

ЕрДХ) С SH^ необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие где.

2fcll" lli lli.

1=0 оо 2<(Н)А,.

HMU +1 о (fti №).

ЕрЛ (Х) = {f (x) 6 Lg (Trs): ?Q (A, 2″)(/)p = 0(К) (п —> оо)}..

В четвертом параграфе главы 1 изучены некоторые свойства пространств типа Sпространств Бесова со смешанным модулем гладкости порядка к..

Через БВ^ (1 <�д<�оо, 0.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Jackson D. Ueber die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funck-tionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung. Diss. Guttingen, 1911.
  2. C.H. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени //Собр. соч. М., 1952. Т.1. 581 с.
  3. Zigmund А. Smooth functions //Duke Math., 1945, № 12, P.47−76.
  4. C.M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.
  5. А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.
  6. В.А. Многомерная теорема Джексона // Матем. заметки, 1976, Т.20,№ 3, С.439−444.
  7. М.И. О многомерных теоремах Джексона // Сиб.матем.журнал, 1981, Т.22, № 2, С.74−83.
  8. В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной. //Труды МИАН СССР, 1986, Т.178, С.3−112.
  9. Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье //Вестник Евразийского университета, 1997, № 3, С.90−144.
  10. Конюшков А. А. Наилучшие приближения тригонометрическими полипомами и коэффициенты Фурье // Матем. сборник, 1958, Т.44(86), С.53−84.
  11. М.Ф. Наилучшие приближения и модуль гладкости функций, заданных на всей вещественной оси // Изв.вузов. Математика, 1961., № 6, С.108−120.
  12. М.А. О соотношениях между модулями непрерывности и наилучшими приближениями в разных метриках и некоторые многомерные теоремы вложения: Автореф.. канд. физ-мат.наук: 01.01.01. Алматы: ИММД985. 14 с.
  13. М.Б. О некоторых соотношениях между модулями гладкости и наилучшими приближениями тригонометрическими полиномами в разных метриках //Автореф.. канд.физ.-мат.наук: 01.01.01. Алматы.: ИММД988. 12 с.
  14. П.Л. Вложение некоторых классов функций //Изв. АН СССР. Сер.матем., 1968, Т.32, № 3, С.649−686.
  15. Н.А. К прямой теореме теории приближений периодических функций в разных метриках //Труды МИ РАН, 1997, Т.219,С.356−377.
  16. Н.А. Обратная теорема теории приближений в разных метриках //Матем. заметки, 1991, Т.50, № 6, С.57−65.
  17. В.Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью //Труды МИАН СССР, 1989, Т.189, С.138−168.
  18. Faward J. Sur l’approximation des fonctions periodiques par les polynomes trigonometriques //C.r.Acad.Sci., 1936, V.203, P.1122−1124.
  19. Н.И., Крейн M.Г. О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых периодических функций //Докл.АН СССР, 1937, Т.15.№ 3,С.107−112
  20. С.М. О наилучшем приближении многочленами функций, удовлетворяющих условию Липшица //Изв. АН. СССР, Сер.матем., 1946, Т.10, № 4, С.295−322.
  21. Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.:Наука, 1976. 320 с.
  22. B.C. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций //Изв. АН СССР, Сер.матем., 1977, Т.41, № 2, С.334−351.
  23. В.А. Теоремы вложения для функций одного переменного // Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1971, С. 203−262.
  24. М.Ф. Аппроксимация и свойства периодических функций. Днепропетровск: Полиграфист, 2000. 320 с.
  25. Э.А., Кротов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах 1^, 0 < р < 1 //Матем. сборник, 1975, Т.98, № 3, С.395−415.
  26. В.И. Прямые и обратные теоремы теории приближения в метрике Ьр для 0 < р < 1 // Матем. заметки, 1975, Т.18, № 5, С. 641−658.
  27. В.И. О приближении функций в пространствах Ьр // Матем. заметки, 1994, Т.56, № 2, С.15−40.
  28. .М. Ряды по системе Хаара //Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1970, С.109−146.
  29. Л.А., Рубинштейн А. И. Ряды по системе Уолша и их обобщения // Математический анализ.1970. Итоги науки. Серия математика. Изд-во ВИНИТИ, 1971, С. 147−202.
  30. А.И. О модулях непрерывности и наилучших приближениях в Ьр функций, представимых лакуиарными рядами Уолша // Известия вузов. Математика, 1983, № 5, С.61−68.
  31. И.Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2005. 616 с.
  32. Е.М., Сорокин В. Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность. М.: Наука, 1988. 256 с.
  33. В.И. О гипотезе Бейкера-Гаммеля-Уиллса в теории аппроксимаций Паде //Матем. сборник, 2002, Т.193, № 6, С.25−38.
  34. В.И. Аналог теоремы Фабри для обобщенных аппроксимаций Паде //Матем. сборник, 2009, Т.200, № 7, С.39−106.
  35. В.И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1964. 440 с.
  36. .И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения. М.-.Наука, 1987. 344 с.
  37. В.И., Чертова Д. В., Лю Юнпин. Точное неравен:<^=гзсво Джексона в пространстве Ь2 на отрезке —1,1] со степенным ве<�зом // Труды ИММ, 2008, Т. 145, № 3, С.112−126.
  38. А.И. О модулях непрерывности функций, определен i^Lbix на нульмерной группе // Матем. заметки, 1978, Т.23, № 3, С.379—S88.
  39. Н.К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения: и дифференциальные свойства двух сопряженных функций /
  40. ММО, 1956, Т.5, С. 483 522.
  41. П.Л. О модулях непрерывности и коэффициентах Фту^—ЕЗ-Ьс //Вестник МГУ. Сер.матем., мех., 1995, № 1, С.37−52.
  42. H.H. Многомерная теорема Джексона в простраыкг^гтве Ьр //Матем. заметки, 1992, Т.52, № 1, С. 105−113.
  43. H.H. Приближение многомерных функций с мажорантой смешанных модулей непрерывности //Матем. 1999, Т.65, № 1, С.107−117.
  44. H.H. Представление и приближение периодиче<^^^Есих функций многих переменных с заданным смешанным модз^--—нем непрерывности //Anal.Math., 1994, V.20, Р.35−48.
  45. К.И. О приближении периодических функций мн:<�г^>гихпеременных тригонометрическими многочленами //ДАН С СCZJP, 1965, Т. 132, № 2. С.247−250.
  46. P.C. Поперечники множеств в линейных нормировать-е тргых пространствах и приближение функций тригонометричесг<�с—lschvih многочленами //УМН, 1974, Т.29, № 3. С. 161−178.
  47. В.Н. Поперечники некоторых классов фуш&с. Ендий нескольких переменных//ДАН СССР, 1982, Т.267. С.314−317.
  48. Э.М. Поперечники по Колмогорову классов периодичо-с^ш&сих функций многих переменных и в пространстве Lq / У-^Сзв. АН. Сер.матем., 1985, Т.49. С.916−934.
  49. С.А. Некоторые оценки для тригонометрии:егч^^сгсих рядов с квазивыпуклыми коэффициентами //Матем. сборник, ИЗГ—"Ö-64, Т.63(105), С.426−444.
  50. О.В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975, 480 с.
  51. С.М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гельдера //Сиб.матем.журнал, 1963, № 6, С. 1342−1364.
  52. Н.С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными производными //Вестннк МГУ. Серия.матем., мех., 1963, № 4, С.7−16.
  53. Т.И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. Алматы: Наука, 1976, 224 с.
  54. О.В., Джабраилов А. Д. Интерполяционные теоремы для некоторых пространств дифференцируемых функций //Труды МИАН СССР, 1969, Т.105, С.15−20:
  55. П.И., Никольский С. М. Классификация дифференцируемых функций на основе пространств с доминирующей смешанной производной //Труды МИАН СССР, 1965, Т.77, С.143−167.
  56. Я.С. Приближение тригонометрическими полиномами функций многих переменных//Труды науч. об-ния преподавателей физ.-мат.фак.пед.ин-тов Дальнего Востока, Хабаровск, 1962, Т. 1 (Математика), С. 28.
  57. М.К. Изучение некоторых классов функций при помощи приближения «углом»//Труды МИАН СССР, 1972, Т.117, С.256−291.
  58. М.К. Вложение классов функций с доминирующим модулем гладкости //Труды МИАН СССР, 1974, Т. 131, С. 199−210.
  59. М.К. Теоремы вложения в смешанной метрике //Труды МИАН СССР, 1980, Т. 156, С.143−156.
  60. Динь Зунг. Приближение функций многих переменных на торс тригонометрическими полиномами //Матем. сборник, 1986, Т. 131, № 2, С.251 271.
  61. Л.Д., Никольский С. М. Пространства дифференцируемых функций многих переменных и теоремывложения //ИНТ. Современные проблемы Фундаментальные направления, 1988, Т.26, С.5−158.математики.
  62. Sun Yongsheng, Wang Heping. Reprezentation and approximation of multivariate periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness //Труды МИ РАН, 1997, T.219, C.356−377.
  63. А.С. Приближение классов Бесова периодических функций многих переменных в пространстве Lq // Украинский матем. журнал, 1991, Т.43, № 10, С. 1398−1408.
  64. С.А. Найкраиц наближення, колмогоровсью та тригонометричш поперечники класав перюдичних функцш багатьох змшних // Украинский матем. журнал, 2004, Т.56., № 11, С.1557−1567.
  65. Aganin A.I., Potapov М.К. On imbedding of function classes Hi? uqi into classes Еф2т (A) //Acta Math. Hungar, 1995, T.68, № 3, C.197−22o!
  66. Nady B. Sur une classe generalc de procedes dc sommation pour les series de Fourier //Hung.Acta Math., 1948, V. l, № 3, P.14−62.
  67. Weyl H. Bemerkungen zum Begriff der Differentialquotienten gebrochener Ordnung //Vierteljahschrift d. Naturforscher' Gesellschaft in Zurich', 1917, V.62, P.296−302.
  68. А. Тригонометрические ряды. M.: Мир, 1965, T. l, 537 с.
  69. А.И. Классификация и приближение периодических функций. Киев: Наукова думка, 1987, 268 с.
  70. С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Труды МИАН СССР, 1951, Т.38, С.244−278.
  71. Jackson D. Certain problem of closest approximation // Bull.Amer.Math.Soc., 1933, V.39, P.889−906.
  72. Э.С. Две экстремальные задачи-для тригонометрических полиномов с заданным числом гармоник //Матем. заметки, 1991, Т.49, № 1, С. 12−18.
  73. Nessel R.J., Wilmes G. Nicolskii type inequalities for trigonometric poli-nomials and entire functions //J. Austral.Math.Soc., 1978, Ser. A, V.25, P.7−18.
  74. В.А. Неравенства для тригонометрических полиномов с лакунами в пространствах Ьр //Исследования по теории функций многих переменных. Ярославль, 1990, С. 128−133.
  75. Е.С. О влиянии геометрических свойств спектра многочлена на неравенства разных метрик С.М.Никольского // Сиб.матем.журнал, 1998, Т.39, № 5, С.1157−1163.
  76. К.И. О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами //ДАН СССР, 1960, Т.132, № 5, С.982−985.
  77. Я.С. Конструктивная характеристика классов функций с доминирующей смешанной производной //Труды МИАН СССР, 1974, Т.131, С.25−32.
  78. Н.С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp //ДАН СССР, 1973, Т.208, № 5, С.1282−1285.
  79. С.А. Об оценках производных тригонометрических полиномов многих переменных //Сиб.матем.журнал, 1963, Т.4, № 6, С.1404−1411.
  80. В.Н. Приближение периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной //ДАН СССР, 1979, Т.248, № 3, С.527−530.
  81. В.Н. О приближении периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной //ДАН СССР, 1980, Т.253, № 3, С.544−548.
  82. К.И. Аппроксимативные свойства суммируемых функций на множествах полной меры //Матем. сборник, 1977, Т.103(145), № 4, С.584−594.
  83. А.А., Юдин В. А. Дискретные теоремы вложения и константы Лебега //Матем. заметки, 1977, Т.22, № 3, С.381−394.
  84. Э.М. Приближение некоторых классов периодических функций нескольких переменных суммами Фурье в метрике Lp //Успехи матем. наук, 1977, T. XXXII, вып. 4, С.251−252.
  85. Э.М. Приближение суммами Фурье классов функций с несколькими ограниченными производными //Матем.заметки, 1978, Т.22, № 2, С.197−212.
  86. Э.М. Порядковые оценки производных периодического многомерного а- ядра Дирихле в смешанной норме //Матем. сборник, 1982, Т. 117(159), № 1, С.32−43.
  87. В.И. Теорема вложения и неравенства разных метрик для наилучших приближений //Матем. сборник, 1977, Т. 102, Ш 2, С. 195 215.
  88. П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках //Матем.сборник, 1970, Т.81(123), № 1, С.104−131.
  89. Н. О вложении некоторых классов функций //Матем.заметки, 1976, Т.20, № 6, С.835−841.
  90. С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.:Наука, 1974, 808 с.
  91. С.М. Квадратурные формулы. М.:Наука, 1988, 254 с.
  92. Hlawka Е., Firneis F., Zinterliof Р. Zahlentheoretische Methoden in der numerischen Mathematik. Wien-Munhen-01denbourg, 1981.
  93. Hua Loo Keng, Wang Yuan. Application of Number Theory of Numerical Analysis. Berlin, Heidelberg: New York: Springer Yerlag, 1981.
  94. Н.М.Коробов. Теоретико- числовые методы в приближенном анализе. М.: МЦНМО, 2004, 288 с.
  95. Н.М.Коробов. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // Докл. АН СССР., 1957, Т.115, № 6, С.1062−1065.
  96. С.М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел //Матем. заметки, 1989, Т.46, № 2, С. 34 41.
  97. Н. Применение теории дивизоров к численному интегрированию периодических функций многих переменных //Матем.сборник, 1990, Т.181, № 4, С.490−505.
  98. Н. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования и восстановления функций многих переменных. Автореф.. докт.физ.-мат.наук: 01.01.01. М.: МИАН', 1991. 18 с.
  99. С.М. О квадратурных формулах //Изв.РАН. Сер.матем., 1994, Т.58, № 4, С.189 194.
  100. С.М. О построении квадратурных формул //Изв.РАН. Сер.матем., 1995, Т.59, № 4, С.3−8.
  101. Н. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования, связанных с теорией дивизоров в круговых полях //Матем. заметки, 1997, Т.61, № 2, С. 297 301.
  102. В.А. О правильном порядке погрешности оптимальных кубатурных формул в пространствах с доминирующей смешанной производной и квадратических отклонениях сеток //Владивосток, Препринт. ВЦ ДВНЦ АН СССР, 1985, № 23, 31 с.
  103. В.Н. Об одном приеме получения сеток снизу погрешностей квадратурных формул //Матем.сборник, 1990, Т.181, № 10, С.1403−1413.
  104. Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов //Вестник МГУ. Серия.матем., мех., 1959, № 4., С.3−18.
  105. К.К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций //Докл.АН СССР, 1976, Т.231, № 4, С.818−821.
  106. Н.С. Оценки снизу асимптотических характеристик функций с доминирующей смешанной производной //Матем. заметки., 1972, Т.12, № 6, С.655−664.
  107. В.В. Об оптимальных формулах для классов функций с ограниченной смешанной разностью //Матем. заметки., 1990, Т.49, № 1, С. 149−151.
  108. В.В. Кубатурные формулы для классов Бесова // Изв. РАН. Сер.матем., 1997, Т.61, № 2, С.27−52.
  109. H. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования и восстановления функций многих переменных. Дисс.. докт.физ.-мат.наук: 01.01.01. М.: МИАН, 1991, 199'с.
  110. Н., Баилов Б. А., Жубанышева А. Ж. Об общем алгоритме численного интегрирования периодических функций многих переменных //Докл. РАН, 2007, Т.416, № 2, С. 169−173.
  111. Е.А. Приближенные интегрирование и восстановление функций из анизотропных классов и восстановление решений уравнения Пуассона. Дисс. канд.физ.-мат.наук: 01.01.01. Алматы: ИТПМ, 1999, 82 с.
  112. K.F. Ограничения для регулярности. Сборник «Математика: границы и перспективы». М: ФАЗИС, 2005, С.375−394.
  113. Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985.
  114. Roth R.F. On irregularities of distribution // Mathematika, 1954, V. l, № 2., P.73−79.
  115. H.M. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963. 224 с.
  116. Н., Кудайбергенов С. С., Шоманова A.A. Применение тензорных произведений функционалов в задачах численного интегрирования // Изв. РАН, сер.матем., 2009, Т.73, № 2, С.183−224.
  117. C.B. Вопросы, связанные с вложением в некоторые классы измеримых функций. Дисс.. канд.физ.-мат.наук: 01.01.01. М.: МГУ, 1982.
  118. С.Г., Петунии Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978, 400 с.
  119. Л.А. О вложении некоторых классов измеримых функций из пространств Лоренца. Дисс.. канд.физ.-мат.наук: 01.01.01 М.: МГУ, 1986.
  120. П.Л. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье //Матем.сборник, 1967, Т.72(114), № 2, С.193−224.
  121. В.М. О приближений периодических функций //Труды Тбилисского математического института, 1968, Т.34, О-51−81.
  122. В.М. Об оценке наилучших приближений и модулей гладкости в различных лебеговских пространствах периодических функций с преобразованным рядом Фурье //Сообщение АН ГССР, 1964, Т.35, № 1, С.3−8.
  123. M.JI. Теоремы вложения для анизотропных пространств Никольского-Бесова с модулями непрерывности общего вида //Труды МИАН СССР, 1984, Т.170, С.86−104.
  124. М.Ф. О вложении Ь^ классов функций //Изв. вузов. Математика, 1974, № 10, С.61−74.
  125. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. 366 с.
  126. P.M. Вокруг аппроксимационной теоремы К.Вейерштрасса //Препринт.Донецк, 2005, 154 с.
  127. H.H. Ортопоперечники некоторых классов периодических функций двух переменных с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности //Изв. РАН. Сер.матем., 2000, Т.64, № 1, С.123−144.
  128. B.C. Приближение функций в пространствах LP и С на торе //Матем.сборник, 1962, Т.58(100), № 3, С.397−414.
  129. Никольская Н. С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp
  130. Сиб.матем.журнал, 1974, Т.15, № 2, С.395−412.
  131. Bergstrom V. Einige Bemerkungen zur. Theorie der diophantischen Approximationen //Eysiogr.Salsk. Land. Forh., 1936, V.66, № 13, P. l-19.
  132. Van der Corput J.G. Verteilungs funktionell-VIII //Proc.Akad. Amsterdam, 1935, V.38, № 8, P.813−821- V.10.P.1058−1066.
  133. И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.:Наука, 1969. 288 с.
  134. Hlawka Е. Zur angenflherten Berechnung mehrfacher Integrale // Monatsh. Math, 1962, B.66, Z.140−151.
  135. С. M. Избранные труды: Математика. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Ваумана, 2006.
  136. А.Ж., Темиргалиев Н., Темиргалиева Ж. Н. Применение теории дивизоров к построению таблиц оптимальных коэффициентов квадратурных формул // ЖВМ и МФ, 2009, Т.49, № 1, С.14−25.
  137. Н.С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.:Наука, 1987. 598 с.
  138. К.И. Основы численного анализа. М.:Наука, 1986. 743 с.
  139. С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.:Наука, 1975.
  140. С.А. Интерполяционные и квадратурные формулы на классах W s и Es // Докл. АН СССР, 1960, Т.131, № 5, С.1028−1031.
  141. B.C. О таблицах и интерполяции функций из некоторого класса //Докл. АН СССРД960, Т.131, № 5, С. 1025−1027.
  142. З.И., Шафаревич.И. Г. Теория чисел. М.: Наука, 1985, 503 с.
  143. Э. Лекции по теории алгебраических чисел. Москва-Ленинград: Гос. изд-во техн.-теор.литер., 1940. 260 с.
  144. А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1966, 384 с.
  145. Г. Алгебраическая теория чисел. М.: ИЛ, 1947. 226 с.
  146. Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т.2. М., 1985, 399 с.
  147. Beck J., Chen W.W. Irregularities of distributions. Cambridge Tracts in Mathematics, 89, Cambridge University Press, 1987.
  148. Chazelle B. The discrepancy method: randomness and complexity. Cambridge Univ. Press, 2002.
  149. Ciesielski Z. On Levy’s Brownian motion with several-dimensional time //Lect. Notes Math., 472, Springer, 1975, P. 29−56.
  150. Dobkin D.P., Mitchell D.P. Random-edge discrepancy of suppersampling patterns // Graphics Interface, 93, York, Ontario, 1993, P. 62−69.
  151. Drmota M., Tichy R.F. Sequences, discrepancies and applications. Lect. Notes Math., 1651, Springer-Verlag, Berlin, 1997.
  152. Matousek J. Geometric discrepancy, Algorithms and Combinatorics, 18, Springer-Verlag, 1999.
  153. Plaskota L. Noisy information and computational complexity. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996.
  154. Tezuka S. Uniform random numbers: theory and practice. Kluwer Academic Publishers, Boston, 1995.
  155. Г. В., Возняковский Г. Обзор сложности в средней ситуации для линейных многомерный проблем // Известия вузов. Математика, 2009, № 4, С. 3−19.
  156. И.Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // ЖВМ и МФ, 1963, № 3, С.370−376.
  157. М.Б. О некоторых соотношениях между модулем непрерывности в LP я наилучшим приближением в С //Изв. АН КазССР. Сер. физико математическая, 1986, № 3, С.41−46.
  158. М.Б. О вложении некоторых классов функций. Каз. гос. Ун-т. Алматы, ДЕП. в КАЗНИИНТИ, 12.01.87, 20 е., № 1519 Ка87.
  159. М.Б. Об одной теореме вложения //Дифференциальные уравнения, гармонический анализ и их приложения. МГУ, 1987, С.106−107.
  160. М.Б. О вложении некоторых классов функций //Изв. АН КазССГ. Сер. физико математическая, 1988, № 1, С.45−47.
  161. М.Б. О некоторых теоремах вложения //Изв. Вузов. Математика, 1988, № 9, С.83−85.
  162. М.Б. Об одной обратной теореме разных метрик для преобразованных рядов Фурье //Теория функций, уравнения математической физики и их приложения. Алматы, 1988, С.47−50.
  163. М.Б. О некоторых соотношениях между модулями гладкости и наилучшими приближениями тригонометрическими полиномами в разных метриках //Дисс.. канд.физ.-мат.наук: 01.01.01. Алматы: ИММ, 1988. 118 с.
  164. М.Б. Об обратных теоремах теории приближений. Тез.докл. Всес. конф. Баку, 1989, 117 с.
  165. М.Б. Об обратной теореме теории приближений в симметричных пространствах // Изв. АН КазССР. Сер. физико -математическая, 1989, № 5, С.46−50.
  166. М.Б. О вложении ЕР(Х) С Щк //Изв. Вузов. Математика, 1990, № 7, С.61−65.
  167. М.Б. О вложении вВ^д С Е^(ВГ) // Тезисы докладов конф., посвященной 70-летию Аманова Т. И. «Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики». Алматы, 1993 г. С.141−142.
  168. М.Б. Об обратных теоремах теории приближений. Тез.докл. региональной научно-методической конф. «Проблемы математики и информатики и их преподавания». Акмола, 1998, 41 с.
  169. М.Б. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования для классов функций с заданной мажорантой смешанных модулей гладкости. Тез.докл. II межд. науч. конф. Актобе, 1999, 95 с.
  170. М.Б. Об обратной теореме теории приближений в пространствах Лоренца. Тез.докл. II межд. науч. конф. Актобе, 1999, 125 с.
  171. М.Б. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования на классах Н^. Тез.докл. II межд. науч. конф. Актобе, 1999, 127 с.
  172. М.Б. О прямых и обратных теоремах теории приближений. Тез.докл. II межд. науч. конф. Актобе, 1999, 126 с.
  173. А.У. Кныкова, М. Б. Сихов, С. С. Кудайбергенов. Оценка сверху погрешности квадратурных формул на классах У/3. Тез.докл. II межд. науч. конф. Актобе, 1999, 121 с.
  174. М.Б., Кныкова А. У., Абетаева К. А. Обратная теорема конструктивной теории функций в пространствах Ьрл //Труды Международного симпозиума посвященной 100-летию К. И. Сатпаева. Алматы, 1999, Часть III, С.89−92.
  175. М.Б. Многомерная теорема Джексона в случае разных метрик. Тез.докл. конф. «Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы «Казахстан в третьем тысячелетии». Алматы, 2000, С. 99−101.
  176. М.Б. Неравенства типа Бернштейна, Джексона-Никольского и некоторые теоремы вложения //Доклады HAH РК, 2000, № 5, С.14−19.
  177. М.Б. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функции с доминирующей смешанной разностью //Вестник КазГУ. Серия математика, механика, информатика, 2001, № 1(24), С.28−34.
  178. М.Б. Многомерная теорема Джексона в случае разных метрик // Труды меж д. коиф. «Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы «Казахстан в третьем тысячелетии». Алматы, 2001, С.115−118.
  179. М.Б. О необходимых условиях вложения Еф^(Х) в Н^кр // Изв. МОИ РК, HAH РК. Сер. физико математическая, 2001, Jf° 1, С.66−72.
  180. М.Б. Об оценке наилучших приближений и модулей гладкости (Д а) производных функции //Вестник МО и НАН РК, 2000, № 5, С. 73- 77 .
  181. М.Б. О неравенствах Джексона-Никольского // Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика, 2002, № 2(30), С.9−17.
  182. М.Б., Дюсебаева О. Д. О прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой // //Изв. МОН РК, IIAH РК. Сер. физико математическая, 2002, № 1. С.51−58.
  183. М.Б. Прямые и обратные теоремы теории приближений в разных функциональных метриках. Тез.докл.межд.науч.конф. «Современные проблемы математики». Астана, 2002, 115 с.
  184. М.Б. Обобщенное D- дифференцирование и неравенства типа Бернштейна -Никольского. Тез.докл.межд.науч.конф. «Современные проблемы математики». Астана, 2002, 118 с.
  185. М.Б. Неравенства типа Бернштейна, Джексона Никольского и их приложения //Изв. Вузов. Математика, 2002, № 8, С.57−64.
  186. М.Б. О вложении пространств Бесова со смешанным модулем гладкости //Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика, 2002, № 5(33), С.4−11.
  187. Сихов M Б. Приближение функций многих переменных с заданной мажорантой в пространстве Бесова //Математический журнал, 2002, Т.2, № 2, С.95−100.
  188. М.Б. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования для классов Бесова //Математический журнал, 2002, Т.2, № 3, С.82−88.
  189. М.Б. Об оценках (D, a) производных многомерного -ядра Дирихле //Математический журнал, 2002, Т.2, № 4, С.74−78.
  190. М.Б. Порядковые оценки (D, а) производных ядер Дирихле в 1/-тг, -тг]5) // Тез. III межд. науч. конф. Актобе, 2003, С. 120−121.
  191. М.Б. Об оценках норм производных ядра Дирихле с гармониками //Известия HAH PK. Сер. физико-математическая, 2003, m 1, С.57−62.
  192. М.Б. Численное интегрирование функций из анизотропного класса //Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика, 2003, № 1(33), С.4−9.
  193. М.Б. О прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой //Analysis Mathematica, 2004, V.30, № 2, С. 137 146.
  194. М.Б. О некоторых задачах многомерной теории приближений разных метрик // Тез. докл. 10-й Межвузовской конф. по математике и механике. Алматы, 2004, 238 с.
  195. К.А. Алматы, 2005, 175 с.
  196. М.Б. Неравенства типа Бернштейна, Джексона Никольского и оценки норм производных ядер Дирихле //Матем. заметки, 2006, Т.80, вып. 1, С.95−104.
  197. М.Б., Темиргалиев Н. Об аппроксимативных возможностях полиномов по ортогональным системам с произвольным спектром //Материалы межд. конф. «Теория функций и вычислительные методы». Астана, 2007,5−9 июня. С. 190−192.
  198. М.Б. О вложении и аппроксимативных свойствах классов функций с доминирующей смешанной разностью // Изв. Вузов. Математика. 2009, № 8, С.83−86.
  199. М.Б., Темиргалиев Н. Об аппроксимативных возможностях полиномов по ортогональным системам с произвольным спектром // Материалы 3-конгресса математиков тюркоязычных стран, Алматы, 30 июнь-4 июль, 2009, С. 140.
  200. М.Б., Темиргалиев Н. Об алгоритме построения равномерно распределенных сеток Коробова //Матем. заметки, 2010, Т.87, № 6, С.948−950.
Заполнить форму текущей работой

Заказал и сдал!