Курсовая Теория вероятности и мат. 
статистика

Если дисперсия неизвестна:

.

Для уровня значимости 0,95 и выборки размера 30 критическое значение равно 2,045, оно больше расчетного, тогда гипотезу о равенстве 0 среднего отвергаем.

Если дисперсия неизвестна:

.

Для уровня значимости 0,95 и выборки критическое значение равно 1,96, оно больше расчетного, тогда гипотезу о равенстве 0 среднего также отвергаем.

Задание 2

По выборкам Xi, Yi выполните следующие вычисления:

а) найдите выборочную зу {k=0};

г) в пунктах (б), (в) найдите и сравните коэффициенты R2;

д) в пунктах (б), (в) протестируйте близость эмпирического распределения остатков моделей к нормальному;

е) каково ожидаемое значение с.в. Y, если известно значение с.в. X? Каков доверительный интервал для Y в этом случае? Постройте график этих зависимостей для выборочных значений Xi и сравните с выборочными значениями Yi.

№ п/п 1 -6,02 -40,97 2 -4,08 -27,78 3 -1,76 -11,98 4 -9,95 -67,72 5 0 0 6 0,71 4,83 7 15,11 102,85 8 -1,09 -7,42 9 4,34 29,54 10 -14,46 -98,43 11 0,2 1,36 12 -6,15 -41,87 13 23,84 162,27 14 9,62 65,48 15 0,17 1,16 16 37,77 257,1 17 32,99 224,56 18 42,85 291,67 19 6,82 46,42 20 -5,55 -37,78 21 1,78 12,11 22 -5,82 -39,61 23 8 54,46 24 12,05 82,02 25 13,91 94,68 26 -19,53 -132,9 27 0,33 2,25 28 -21,91 -149,1 29 -2,31 -15,72 30 -0,05 -0,35

Решение:

а) найдите выборочную ковариацию и выборочный коэффициент корреляции:

.

Составим расчетную таблицу:

№ п/п 1 -6,02 -40,97 36,2404 1678,54 246,639 2 -4,08 -27,78 16,6464 771,728 113,342 3 -1,76 -11,98 3,0976 143,52 21,0848 4 -9,95 -67,72 99,0025 4586 673,814 5 0 0 0 0 0 6 0,71 4,83 0,5041 23,3289 3,4293 7 15,11 102,85 228,312 10 578,1 1554,06 8 -1,09 -7,42 1,1881 55,0564 8,0878 9 4,34 29,54 18,8356 872,612 128,204 10 -14,46 -98,43 209,092 9688,46 1423,3 11 0,2 1,36 0,04 1,8496 0,272 12 -6,15 -41,87 37,8225 1753,1 257,501 13 23,84 162,27 568,346 26 331,6 3868,52 14 9,62 65,48 92,5444 4287,63 629,918 15 0,17 1,16 0,0289 1,3456 0,1972 16 37,77 257,1 1426,57 66 100,4 9710,67 17 32,99 224,56 1088,34 50 427,2 7408,23 18 42,85 291,67 1836,12 85 071,4 12 498,1 19 6,82 46,42 46,5124 2154,82 316,584 20 -5,55 -37,78 30,8025 1427,33 209,679 21 1,78 12,11 3,1684 146,652 21,5558 22 -5,82 -39,61 33,8724 1568,95 230,53 23 8 54,46 64 2965,89 435,68 24 12,05 82,02 145,203 6727,28 988,341 25 13,91 94,68 193,488 8964,3 1317 26 -19,53 -132,9 381,421 17 662,4 2595,54 27 0,33 2,25 0,1089 5,0625 0,7425 28 -21,91 -149,1 480,048 22 230,8 3266,78 29 -2,31 -15,72 5,3361 247,118 36,3132 30 -0,05 -0,35 0,0025 0,1225 0,0175

Сумма 111,81 761,13 7046,7 326 473 47 964,1 Среднее 3,727 25,371 234,89 10 882,4 1598,8

б) методом наименьших квадратов оцените параметры модели X=aY+b, протестируйте гипотезу {a=0}:

Применяя средство MS Excel Анализ данных, получим:

Коэффи-циенты Стандартная ошибка t-статис-тика P-Значе-ние Нижние 95% Верхние 95% Х-пересечение 0,0030 0,0019 1,5694 0,1278 -0,0009 0,0068

Переменная У 6,8066 0,0001 55 317,0864 0,0000 6,8063 6,8068

Видим, что доверительный интервал для свободное члена содержит и положительные, и отрицательные значения. Тогда он не значим.

в) методом наименьших квадратов оцените параметры модели Y=kX+d, протестируйте гипотезу {k=0};

Применяя средство MS Excel Анализ данных, получим:

Коэффи-циенты Стандартная ошибка t-статис-тика P-Значе-ние Нижние 95% Верхние 95% У-пересечение -0,0004 0,0003 -1,5692 0,1278 -0,0010 0,0001

Переменная Х 0,1469 0,0000 55 317,0864 0,0000 0,1469 0,1469

Видим, что доверительный интервал для свободное члена содержит и положительные, и отрицательные значения. Тогда он не значим.

г) в пунктах (б), (в) найдите и сравните коэффициенты R2;

В обоих случаях коэффициент детерминации равен 1

д) в пунктах (б), (в) протестируйте близость эмпирического распределения остатков моделей к нормальному:

По полигонам частот можно предположить наличие нормального распределения для остатков.

е) каково ожидаемое значение с.в. Y, если известно значение с.в. X? Каков доверительный интервал для Y в этом случае? Постройте график этих зависимостей для выборочных значений Xi и сравните с выборочными значениями Yi.

Если известно Х, то .