Теория вероятности и статистика

Указанное выше конечномерное пространство размерности пдля выборок объема п, является подпространством бесконечномерного пространства, соответствующим первым п координатам.

2.1. 2 Типы выборок

Выборки делятся на два типа:

вероятностные;

невероятностные.

1. Вероятностные выборки 1.1 Случайная выборка (простой случайный отбор) Такая выборка предполагает однородность генеральной совокупности, одинаковую вероятность доступности всех элементов, наличие полного списка всех элементов. При отборе элементов, как правило, используется таблица случайных чисел. 1.2 Механическая (систематическая) выборка

Разновидность случайной выборки, упорядоченная по какому-либо признаку (алфавитный порядок, номер телефона, дата рождения и т. д.). Первый элемент отбирается случайно, затем, с шагом ‘n' отбирается каждый ‘k'-ый элемент. Размер генеральной совокупности, при этом — N=n*k 1.3 Стратифицированная (районированная)Применяется в случае неоднородности генеральной совокупности. Генеральная совокупность разбивается на группы (страты). В каждой страте отбор осуществляется случайным или механическим образом. 1.4 Серийная (гнездовая или кластерная) выборка

При серийной выборке единицами отбора выступают не сами объекты, а группы (кластеры или гнёзда). Группы отбираются случайным образом. Объекты внутри групп обследуются сплошняком. 2. Невероятностные выборки Отбор в такой выборке осуществляется не по принципам случайности, а по субъективным критериям — доступности, типичности, равного представительства и т. д. 2.

1. Квотная выборка

Изначально выделяется некоторое количество групп объектов (например, мужчины в возрасте 20−30 лет, 31−45 лет и 46−60 лет; лица с доходом до 30 тысяч рублей, с доходом от 30 до 60 тысяч рублей и с доходом свыше 60 тысяч рублей) Для каждой группы задается количество объектов, которые должны быть обследованы. Количество объектов, которые должны попасть в каждую из групп, задается, чаще всего, либо пропорционально заранее известной доле группы в генеральной совокупности, либо одинаковым для каждой группы. Внутри групп объекты отбираются произвольно. Квотные выборки используются в маркетинговых исследованиях достаточно часто. 2.

2. Метод снежного кома

Выборка строится следующим образом. У каждого респондента, начиная с первого, просятся контакты его друзей, коллег, знакомых, которые подходили бы под условия отбора и могли бы принять участие в исследовании. Таким образом, за исключением первого шага, выборка формируется с участием самих объектов исследования. Метод часто применяется, когда необходимо найти и опросить труднодоступные группы респондентов (например, респондентов, имеющих высокий доход, респондентов, принадлежащих к одной профессиональной группе, респондентов, имеющих какие-либо схожие хобби/увлечения и т. д.) 2.3 Стихийная выборка

Опрашиваются наиболее доступные респонденты. Типичные примеры стихийных выборок — опросы в газетах/журналах, анкеты, отданные респондентам на самозаполнение, большинство интернет-опросов. Размер и состав стихийных выборок заранее не известен, и определяется только одним параметром — активностью респондентов. 2.4 Выборка типичных случаев

Отбираются единицы генеральной совокупности, обладающие средним (типичным) значением признака. При этом возникает проблема выбора признака и определения его типичного значения.

2.2 Вариационный ряд2.

2.1 Типы вариационных рядов

Прежде чем перейти к детальному анализу полученных в результате проведенного эксперимента статистических данных, обычно проводят их предварительную обработку. Иногда результаты такой обработки уже сами по себе дают ответы на многие вопросы. Но в большинстве случаев они служат исходным материалом для дальнейшего анализа. Одним из самых простых преобразований статистических данных является их упорядочивание по величине. Пусть (x1, …, хп)-выборка объема п из генеральной совокупности X. Ее можно упорядочить, расположив значения в неубывающем порядке:

где — наименьший, — наибольший из элементов выборки. Последовательность чиселудовлетворяющих условию, называют вариационным рядом выборки, или, для краткости, просто вариационным рлдом, число называют i-м членом вариационного ряда. Переход от случайной выборки Хп к ее вариационному ряду не приводит к потере информации, содержащейся в случайной выборке, поскольку их совместная функция распределения остается одной и той же. Однако функция распределения каждой случайной величины уже не совпадаетс функцией распределения F (х) генеральной совокупности X, хотя и может быть через нее выражена. Пример 11. В результате пяти повторных независимых наблюдений некоторой случайной величины X (например, X — давление в газовом баллоне, измеряемое в мегапаскалях) получены следующие ее значения: x1 = 10,4;x2 = 9,5;x3= 10,7; x4=9,3;x5=10,1.Для данной выборки объема п = 5 вариационный ряд имеет вид: x (1) = 9,3;x (2) = 9,5;x (3)= 10,1;x (4)=10,4;x (5)=10,7.Среди элементов выборких1, …, хп (а значит, и среди членов вариационного ряда х (1), …, х (п)) могут быть одинаковые. Так бывает, либо когда наблюдаемая случайная величина X- дискретная, либо когда X- непрерывная, но ее значения при измерениях округляют. Статистическим рядомдля выборки называют таблицу, которая в первой строке содержит значения z (1), …, z (п) (напомним, что z (1) < … < z (m)), а во второй — числа их повторений (табл.

1.1). Число показывающее, сколько раз встречался элемент в выборке, называют частотой, а отношение ni/п-относительной частотойэтого значения. Статистические данные, представленные в виде статистического ряда, называют группированными. Исходные данные группируют обычно при больших объемах выборки (свыше 50), причем не только в виде статистического ряда, но и следующим образом: отрезок, содержащий все выборочные значения, разбивают на тпромежутков Ji, как правило одинаковой длины D. При этом считают, что каждый промежуток содержит свой левый конец, но лишь последний промежуток содержит и свой правый конец. При таком соглашении каждая точка отрезка Jсодержится в одном и только в одном промежутке Ji. Далее, для каждого промежутка подсчитывают число пk элементов выборки, попавших в него (при этомп= n1+… + nm), а результаты представляют в виде табл. 1.2, которую называют интервальным статистическим рядом. Иногда в верхней строке табл. 1.2 указывают не интервал, а его середину, а в нижней строке вместо частоты пk записывают относительную частоту nk/п.Число промежутков т, на которые разбивают отрезок J, выбирают в зависимости от объема выборки п.

Для ориентировочной оценки величины m можно пользоваться следующей формулой:

которая дает нижнюю оценку величины m и наиболее точна при больших значениях п. Например, при п = 100 она дает m6, а при п = 1000 — т9. Пример 12. В течение суток измеряют напряжение X тока в электросети в вольтах. В результате опыта получена выборка объема п = 30:107;108;110;109;110;111;109;110;111;107;108;109;110;108;107;110;109;111;111;110;109;112;113;110;106;110;109;110;108;112.Построим статистический ряд этой выборки. Наименьшее значение в выборке x (1)= 106, наибольшее — x (8) = 113. Подсчитываем частоту пk, каждого из восьми различных значений в выборке и строим табл. 1.

3.2.

2.2 Геометрическое представление

Для наглядного представления выборки применяют гистограмму и полигон частот. Полигоном частот называется ломаная с вершинами в точках, а полигоном относительных частот — ломаная с вершинами в точках 2.3 Эмпирическая функция распределения2.

3.1 Построение функции, ее график

Определение. Эмпирической функцией распределения называют скалярную функцию Fn (х), которая определена для любого следующим образом:

где п- объем выборки. Функция Fn (x)обладает всеми свойствамифункциираспределения. Приэтомона кусочно постояннаиизменяетсяскачками в каждой точке х (i)(х (i) — i-й член вариационного ряда).Если все выборочные значенияразличны, то функцию Fn (x) можно записать в следующем виде:

т.е. в каждой точке х (i) функция Fn (x)имеет скачок величиной 1/п.График функции Fn (x)изображен на Рис. 3.Рис. 3.

2.3. 2 Определение эмпирического среднего

Выборочную характеристикуназывают выборочным начальным моментом k-го порядка. В частности, выборочный начальный момент первого порядка называют выборочным средним.

2.3. 3 Определение эмпирической дисперсии

Выборочную характеристикуназывают выборочным центральным моментом k-го порядка. В частности, выборочный центральный момент 2-го порядка называют выборочной дисперсией.

2.3. 4 Определение коэффициента корреляции

Корреляция — это один из основных терминов теории вероятности, показывающий меру зависимости между двумя и более случайными величинами. Данная зависимость выражается через коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1. Чем выше значение коэффициента корреляции, тем больше зависимость между величинами. Корреляция бывает положительной и отрицательно

Коэффициент корреляции — это мера выражения тенденции роста одной переменной при увеличении другой. Его значения всегда находятся внутри диапазона -1; +1. Чем ближе значение переменной к -1 или 1, тем значительнее коррелируют между собой исследуемые величины. При К=0 можно говорить о полном отсутствии корреляции между наблюдаемыми величинами. Если К=-1 или К=1, то говорят уже о функциональной зависимости величин. Коэффициент корреляции или парный коэффициент корреляции в теории вероятностей и статистике — это мера линейной зависимости двух случайных величин. Его можно определить по следующей формуле, где — среднеквадратичное отклонение факторного признака; - среднеквадратичное отклонение результативного признака.

Список литературы

Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1997

Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. — М.: Высшая школа, 1979

Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969

Свешников А. А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функции. — М.: Наука, 1970

Айвазян С.А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. — М.: Финансы и статистика, 1983. — 471 с. ББК22.172, All. Вентцель Е. С. Теория вероятностей: Учеб.

для вузов. — 7-е изд. стер. — М.: Высш. шк., 2001.- 575 с.: ил. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Физматгиз, 1961

Горяйнов В.Т., Журавлев А. Г., Тихонов В. И. Примеры и задачи по статистической радиотехнике / Под общ.

ред. В. И. Тихонова. — М.: Советское радио, 1970

Гурский Е. И. Теория вероятностей с элементами математической статистики: Учеб.

пособие для втузов. — М.: Высшая школа, 1971

Колемаев В.А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Под ред. В. А. Колемаева. — М.: ИНФРА-М, 2001.

— 302 с. — (Серия «Высшее образование»).Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов.

— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. — 543 с.