Об оптимальных вложениях обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса

Хорошо известна фундаментальная роль, которую играют классические потенциалы Бесселя в теории функциональных пространств и в ее приложениях в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Определения и свойства Бесселевых потенциалов изложены в книге С. М. Никольского [1]. Большую роль играют Лиувиллевские классы Пр (Шп), построенные на основе классических ядер Бесселя-Макдональда. При целых показателях гладкости г пространство Лиувилля совпадают с пространствами Соболева, а при дробных показателях гладкости являются наиболее естественным продолжением классов.

Развитию теории этих пространств и их приложениям посвящены исследования многих выдающихся специалистов в области математического анализа и теории уравнений в частных производных в нашей стране и за рубежом. Отметим здесь работы таких исследователей как С. Л. Соболев, С. М. Никольский, О. В. Бесов, В. И. Буренков, Л. Д. Кудрявцев, П. И. Лизоркин, Ю. Г. Решетняк, П. Л. Ульянов, Л. Хермандер, И. Стейн, В. Г. Мазья [4], X. Брезис и многие другие. В работах этих исследователей для пространств классических потенциалов построена полная теория вложения.

В последние десятилетия эти исследования дополнены развитием теории пространств обобщенной гладкости. Отметим здесь работы В. И. Буренкова, А. В. Бухвалова, М. Л. Гольдмана, Г. А. Калябина, В. И. Коляды, Ю. В. Нетрусова, А. Гогатишвили, Х.-Г. Леопольда и др.

В данной работе строится обобщение классической теории потенциалов, рассматриваются более общие ядра и базовые пространства. Классические ядра отвечают операциям дробного интегрирования, а наше обобщение охватывает более общие функции оператора дифференцирования не обязательно степенного типа. Такие обобщения дают большую гибкость в описании дифференциальных свойств функции и позволяют получать содержательные результаты и теоремы вложения в тех ситуациях, когда классические потенциалы Рисса не дают результатов. Использование общих перестановочно инвариантных пространств в качестве базовых пространств расширяет классы дифференциальных уравнений, для которых применимы построения решений в виде потенциалов.

В работе изучаются пространства потенциалов на п— мерном евклидовом пространстве. Они построены на основе перестановочно инвариантных пространств.

ПИП) с помощью сверток с ядрами общего вида. В рассмотрение включены как пространства классических потенциалов Бесселя и Рисса, так и пространства обобщенных потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Исследованы интегральные свойства потенциалов. Для них установлены критерии вложений в ПИП и получены описания оптимальных ПИП для этих вложений.

В первой главе кратко даны основные понятия и известные результаты, используемые в данной работе.

Во второй главе изучается пространство потенциалов Н^(МП) на n-мерном евклидовом пространстве: где Е (Шп) — перестановочно инвариантное пространство (кратко: ПИП). Мы используем здесь аксиоматику, развитую в книге К. Беннетта и Р. Шарпли. Ядро свертки называется допустимым, если G Е Li (Rn) + Е'(Шп). Здесь E'(Rn) означает ассоциированное ПИП для ПИП E (Rn).

Пусть X (Rn), E (Rn) есть ПИП, Е'(Шп) — ассоциированное ПИП, а Ё{Ш+), Ё'{Ш+) — их представления Люксембурга, т. е. такие ПИП, что f \е=\ Г \ё, \9\е' = \9*\е> ¦

Убывающей перестановкой мы будем называть функцию /*, определенную на [О, оо] следующим образом: i) = inf{A: fJif (X) О, где A) = ц{х E Rn: |/(ж)| > A}, A > 0 — функция распределения.

Сферической перестановкой функции / называется: f*(p) = r (vnpn), где Vn— объем шара единичного радиуса в Rn.

Определим класс 3П (Я) монотонных функций для R Е (0, оо] следующим образом:

Функция Ф: (О, R) —" принадлежит классу если выполнены следующие условия:

1) Ф убывает и непрерывна на (О, Я);

2) существует постоянная с € такая что г Ф{р)рп-1йр ^ сФ{г)гп, Г е (О, Я). о.

Сформулируем условия первого типа на ядра:

Пусть Ф е Зп (оо) — Считаем, что <3 € б’оо (Ф), если р=хеШ+.

Считаем, что О е, если.

С (р)^Ф (р), р=хе М+.

Для т € (0,Т) обозначим г) = Ф ((г/Уп)1/") еЛх (Т), /ф (<, г)=тшЫ?)^(г)}.

В предположении: Ф е Зп (оо) — /ф (4- •) € £'(К+)>? М+) — С € ¿-^(Ф), получаем что, ядра (7 являются допустимыми и потенциалы, построенные с помощью ядер этого типа Нд (Кп) назовем обобщенными потенциалами типа Рисса. Классические ядра Рисса получим при (7(х) = ра~п, р = х? а <Е (0, п).

Для них Ф (р) = ра’п е 3&bdquo-(оо), в € 5^(Ф) и ф (4- •) 6 Ё'(ж+) г" /" -1 е ?'(г, оо), при (< € М+).

Сформулируем условия второго типа на ядра С.

Для Я € определим.

Вя = {х? К+: х < Я} - С°к = СХвк, С1К = СХцпВн¦

Пусть Я е М+, Ф б 3П (Я) — X = Х (КП) есть ПИП. Считаем, что (7 € ФX), если р)-Ф (р), ре (О, Я) — С^ХГ).

Считаем, что (3 € 5д (Ф-Х), если.

С°(*) = Ф (р), р=|а-|е (0,Я) — ?

Тогда обобщенные потенциалы Бесселя строятся при помощи ядер

Е') — ! 0.

К" .

Ядра классических потенциалов Бесселя имеют вид:

С (х) = с (а, п) р~рКи (р), р=хе М+, а е (0,п], и = (п — а)/2, где Ки — функция Макдональда (функция Бесселя мнимого аргумента). Классические потенциалы Бесселя охватываются этой схемой при Ф (р) = ра~п и любом ПИП Е (Шп).

При исследовании вопроса о нахождении критерия вложения пространства потенциалов в перестановочно инвариантное пространство, ключевую роль играет оператор типа Харди, определенный на положительной полуоси. Использование убывающих перестановок потенциалов позволяет редуцировать проблему вложения потенциалов к задаче об ограниченности оператора Харди и использовать разработанную для операторов этого типа теорию.

Оператор типа Харди: Ё0 Х (0,Т), Те (0,оо] т.

9ЧтШ= / Ш, т) д{т)йт, деЁ0(0,Т) Jo.

Здесь при Те!+ через Е (0,Т) обозначим сужение Е (Ж+) на (О-^)1.

II 9 Ь (0,Т)=11 9° Ь («+) — д0№ = яШ<= (0,Т) — д£) = 0,0 ГЁ0(0,Т) = {д е Ё (0,Т): 0^д1 д (Ь + 0) = дЦ), *е (0,Т).} Сформулированы и доказаны следующие критерии вложения.

Теорема.

Для обобщенных потенциалов Рисса вложение Н^(КП) С Х (М") эквивалентно ограниченности оператора 91ф100. В частности, для? € К+, ф№.) е Ё'(ш+) & н|(кп) с ь^ш1) + ?оо (кп).

Теорема.

В случае обобщенных потенциалов Весселя, каждое из следующих двух условий необходимо, а их совокупность достаточна для вложения С Х (КП): а) оператор 9ЯФ) т ограничен, где Т = V.

Я/2)" .

Ь) справедливо вложение Е (Шп) П Ь^Ш71) С X (Rn).

Оболочкой локального роста пространства потенциалов называется функция:

A H (t) = sup {u*(i) :иЕ H|, \и\н% ^ l} .

Рассмотрение этой функции содержательно в том случае, когда пространство потенциалов не вложено в C (Rn).

Теорема.

Справедлива двусторонняя оценка.

Ая (*) = ||/Ф (*—)1Ь'(0,Т), t е (0,т).

Далее в этой главе для вложения С было получено описание оптимального ПИП (перестановочно инвариантная оболочка, минимальное ПИП, в которое вложено пространство потенциалов).

Теорема.

1. Если R = оо, то оптимальное ПИП Хо = Xo (Rn) в случае обобщенных потенциалов Рисса имеет эквивалентную норму.

У\х0{0,т) = sup [I f*9*dt: g е L0(0,T) — ||$ПФ, Г (.

2. Если R 6 R+, mo оптимальное ПИП Хо = Хо (Мп) в случае обобщенных потенциалов Бесселя имеет эквивалентную норму.

11/11×0(«+) = 11/11хо (0,Т) + ll/lb (K+) •.

В процессе доказательства задача нахождения оптимальных ПИП будет сведена к задаче о построении оптимального ПИП для вложения конуса убывающих перестановок. Одним из важных методов исследования в данной работе является использование конусов убывающих перестановок для потенциалов, построение и эквивалентное описание данных конусов.

Глава третья посвящена доказательству результатов, представленных во второй главе.

В четвертой главе рассматриваются пространства потенциалов, построенные с помощью свертки ядер G G Li (Rn) с функциями из банахова инвариантного пространства Е (Шп).

Дадим определение пространства функций с ограниченным спектром:

— M^R71) = {д 6 Е{Rn): supp Fg С [-и, и]п}, где Fg— преобразование Фурье функции д.

Одним из шагов при получении необходимого условия вложения рассматриваемого в этой главе пространства потенциалов в перестановочно инвариантное пространство является следующая теорема.

Теорема. Если G (x) € Li (Rn) и J G{x)dx ф 0, тогда: шп.

3 и > 0, такое что: MU¡-E{К") С Hg (Rn).

С использованием известного результата, полученного М. З. Берколайко и В. И. Овчинниковым [13] было доказано следующее необходимое условие вложения:

Теорема.

Пусть X (Rn), Е (Шп) — перестановочно инвариантные пространства, тогда для вложения пространства потенциалов H^(Rn) в ПИП X (Rn) необходимо чтобы:

Loo (Rn) П £(1Г) cI (Rn).

При наложении достаточно жестких условий на ядра G, а именно, рассматривая ядра G, такие что G G L П Е'. было найдено явное описание оптимального ПИП по вложению.

Предложение.

Xo (Mn) = Ьоо (Мп) П Е (М.п) является оптимальным ПИП для вложения: Hg (Rn) С Х{Шп), при G g Li (Rn) П Е'{Rn).

Отметим, однако, что эти предположения о ядрах слишком жесткие. Даже ядра классических потенциалов Бесселя и Рисса не всегда удовлетворяют подобным условиям, поэтому основное внимание в диссертации уделено рассмотрению ситуации, когда это жесткое требование не выполняется.

Главная цель пятой главы состоит в получении конструктивных критериев вложения в ПИП и явных описаний оптимальных ПИП для вложений потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Основу для этого дают общие результаты, представленные в главе 2, в которой проблема вложения потенциалов была редуцирована к описанию действия комбинированных операторов типа Харди на полуоси R+ = (0, оо). В ней так же были приведены следствия этих результатов, относящиеся к случаю Е = Ьр и используемые в дальнейшем теоремы А, В, С. Отметим, однако, что получение из них эффективных критериев и явных описаний требует еще в некоторых случаях значительных усилий. В качестве базового перестановочно инвариантного пространства Е{Rn) мы рассматриваем пространство Lp (Rn), 1 < р < оо. В этом случае, мы имеем дело с обобщенными потенциалами типа Бесселя и типа Рисса. Для них справедливы общие результаты, полученные во второй главе, но здесь удалось получить соответствующие критерии в эффективной форме.

В случае, когда р = 1 этот вопрос решается достаточно просто. Для потенциалов типа Рисса оптимальным ПИП оказывается обобщенное пространство Марцинке-вича M?,(Rn) с весовой функцией </?, определенной по ядру G следующим образом ^(т) = Ф ((r/Vn)1/") eUT), Ы1, т)=тш{<�рЦ),<�р (т)}.

Для потенциалов типа Бесселя оптимальным будет пересечение M^(Rn) П Li (R"), здесь M?,(R71) — пространство Марцинкевича с нормой ll/lk" = ИЛ1м^(к+) = suP [/**(?M?)-1] v t> о.

Имеет место следующая теорема.

Теорема.

1). Для потенциалов типа Бесселя и типа Рисса при р = 1 критерии вложений в.

ПИП имеют вид здесь Т = оо для потенциалов Риеса, Т = УП (Д/2)П для потенциалов типа Бесселя).

2). Оптимальное ПИП Хо (Мп) для вложения в случае потенциалов типа Рисса совпадает с Му (1я), а в случае потенциалов типа Бесселя оно совпадает с пересечением П? Х (МП) с нормой.

Н/1к = ||/1к, + ||/|к.

При рассмотрении случай, когда 1 < р < оо получение явных описаний оптимальных ПИП для вложения уже требует применения нетривиальных результатов, связанных с принципом двойственности в общих весовых пространствах Лоренца. Установлено, что оптимальные ПИП представляют собой весовые пространства Лоренца, в которых весовые функции вычисляются по функции (р. Весовые пространства Лоренца Ад (о-) и Тя (ш), где ш > О — измеримая функция (вес), 1 < д < оо определяются следующим образом;

Н/Нл^И = ||/*Нк (к+) — ||/||г,(ш) = I |/**Н1 ?,(«+)•.

Теорема.

Пусть 1<�р<�оои (рЕ 3Х (Т) П Ь е (0,Т) — <р & ?у (0,Т). Тогда, оптимальное ПИП для вложения Н^ (К&trade-) С Х (М") имеет эквивалентную норму:

Н/11хо (К+) = 11/1к (Уг):= / Гтт{1).

Й, где.

Уоо (ь) = ф)1/-1[ I </йт), а при Тб1+ ут (г) = ЖУ-Ч I </<1т)~ I € (О, Т/2]- Ут (*) = Уг (Т/2), i > Т/2.

Сформулирован и доказан следующий критерий вложения пространств потенциалов типа Рисса и типа Бесселя в весовые пространства Лоренца Г9(о-) и Ад (ш).

Теорема.

Пусть 1 < р < д < со или 1 < д < р < оофункция удовлетворяет условиям условиям, указанным в предыдущей теореме. Тогда имеют место эквивалентности: иЦЖ1) С Л" ^ Н^ИГ) С Г" ^ ЕИ (Т) + ?п{Т) < оо где: при Те (0, оо], г = рд/(р — (?) Е &bdquo-(Т)= зир

6(0, Т/2), т/ 2 г 4 Г о г.

1/я / Г, 1/У и^т) (/ (1т) о г р < .

1/г.

Р > ч.

ЕР9(оо) = О, а при Т е К4.

РИ (Г) = зир

4>Т/2 иЧт) Г1/р р<�я;

Рря (Т) = оо г 4 Т/2 О г N 1/г ?

Р > 9.

В шестой главе представлено подробное обоснование результатов, полученных в пятой главе. В них важную роль играют результаты теории весовых пространств Лоренца и оценки норм комбинированных операторов типа Харди на конусах монотонных функций. Стоит отметить, что еще одним важным методом исследования в данной работе является сведение задачи о вложении к оценкам норм операторов указанного типа на положительной полуоси.

Основные результаты диссертации были опубликованы в [28, 32, 33, 34]. Кроме того, нами были рассмотрены некоторые свойства операторов в пространствах типа Морри [29, 30, 31]. Но эти результаты остались за рамками диссертации, поскольку они стоят несколько в стороне от основного направления работы и поэтому не были включены в диссертацию. о.

1. С. Bennett and R. Sharpley. 1. terpolation of OperatorsPure and Applied Mathematics 129. Academic Press, Boston, MA, 1988.

2. С. M. Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

3. И. М. Стейн. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

4. В. Г. Мазъя. Пространства Соболева. Изд-во ЛГУ, 1985.

5. R. О' Neil. Convolution operators and spaces. Duke Math. J. V.30 (1963), 129−142.

6. M. Л. Гольдман. Перестановочно инвариантные оболочки обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса. Доклады РАН. Т. 423, № 1 (2008), 151−155.

7. М. Л. Гольдман. Интегральные свойства обобщенных бесселевых потенциалов. Доклады РАН. Т. 414, № 2 (2007), 159−164.

8. М. Л. Гольдман. Конус перестановок для обобщенных бесселевых потенциалов. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. Т. 260 (2008), 144−156.

9. Ю. В. Нетрусов. Теоремы вложения в пространствах ЛизоркинаТрибеля. Записки научных семин. ЛОМИ. Т. 159 (1987), 103−112.

10. Ю. В. Нетрусов. Теоремы вложения пространств Бесова в идеальные пространства. Записки научных семин. ЛОМИ. Т. 159 (1987), 69−82.

11. M. Л. Гольдман, Ф. Энрикес. Описание перестановочно инвариантной оболочки анизотропного пространства Кальдерона. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. Т. 248 (2005), 89−100.

12. М. 3. Берколайко, В. И. Овчинников. Неравенства для целых функций экспоненциального типа в нормах симметричных пространств. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 161 (1983), 3−17.

13. D. Adams. A shapr inequality of J. Moser for higher order derivatives. Ann Math., II Ser. 128 (1988), no. 2, 385−398.

14. О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. Интегральное представление функций и теоремы вложения. Наука, Москва, (1996).

15. Н. Brezis and W. Wainger. A note on limiting cases of Sobolev embeddings and convolution inequalities. Commun. Partial Differ. Equations 5 (1980), 773−789.

16. Ю. А. Брудный, В. К. Шалашов. Липшицевы функциональные пространтсва. Вопросы метрики в теории функций и отображений. Наукова Думка, Киев, (1973), 3−60.

17. V. I. Burenkov. Sobolev spaces on domains. Teubner-Texte zur Mathematik, vol. 137, Teubner, Stattgard, Leipzig (1998).

18. A. Caetano and S. Moura. Local growth envelopes of spaces of generalized smoothness: the subcritical case. Math. Nachr. 273 (2004), 43−57.

19. A. Caetano and S. Moura. Local growth envelopes of spaces of generalized smoothness: the subcritical case, Math. Inequal. Appl. 7 (2004), no. 4, 573−606.

20. M. Carro, J. Raposo and J. Soria. Recent developments in the theory of Lorentz spaces weighted inequalities. Memoirs of the American Mathematical Society (to appear) (ArXiv preprint math. CA/10 010, 2000).

21. A. Cianchi. A sharp embedding theorem for Orlicz-Sobolev spaces, Indiana Univ. Math. J. 45 (1996), no. 1, 39−65.

22. A. Cianchi, L. Pick. Sobolev embeddings into BMO, VMO, and Loo, Ark. Mat. 36 (1998), no. 2, 317−340.

23. M. Cwikel, E. Pustylnik. Sobolev type embeddings in the limiting case, J. Fourier Anal. Appl. 4 (1998), no. 4−5, 433−446.

24. A. Gogatishvili, L. Pick Discretization and abti-discretization of rearrangement-invariant norms. Publ. Mat., Bare. 47 (2003), no. 2, 311−358.

25. M. Л. Гольдман О вложении конструктивных и структцрных пространств Липшица в симметрические пространства. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 173 (1987), 93−118.

26. М. Л. Гольдман Вложения различных метрик в ространства Кальдерона. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 181 (1989), 75−101.

27. G. A. Kalyabin A characterization of spaces of Besov-Lizorkin-Triebel type with the help of generalized differences, Proc. Steklov Inst. Math. 181 (1989), 103−125.

28. G. A. Kalyabin and P. I. Lizorkin Spaces of functions of generalized smoothness, Math. Nachr. 133 (1987), 7−32.

29. Гольдман М. Л., Гусельникова O.M. Оптимальные вложения потенциалов типа Весселя и типа Рисса. Часть 1. Вестник РУДН, серия математика, информатика, физика, № 3, 2011, с.4−16.

30. Goldman M.L., Guselnikova O.M. Local Morrey type spaces on the base of RIS and BFS. Intern Workshop «Operators in Morrey type spaces and Applications OMTSA 2011, May 20−27, 2011, Kirsehir, Turkey, Book of Abstracts, 20.

31. Goldman M.L., Guselnikova O.M. Morrey type spaces on the base of RIS and BFS. 8-th International Conference on Function Spaces, Differental Operators and Nonlinear Analysis, Tabarz, Thur, Germany, September 18−24, 2011, Book of Abstracts, 19.

32. Голъдман M.JI., Гусельникова O.M. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Часть 2. Вестник РУДН, серия математика, информатика, физика, (принято в печать).

33. Гусельникова О. М. Необходимое условие вложения пространство потенциалов в перестановочно инвариантное пространство. Вестник Тамбовского университета. Серия: Ест. и техн. науки, т. 16, вып. 3, 2011, с. 738−741.