Соответствие между множествами. 
Отображения. 
Классификация множест. 
Мощность множества

Для конечных множеств справедливо утверждение, которое называется основной теоремой о конечных множествах.

Теорема. Любое конечное множество не эквивалентно никакому его собственному подмножеству, кроме самого себя.

Следствие. Всякое непустое конечное множество эквивалентно одному и только одному отрезку натурального ряда чисел .

Счётными являются множество Z целых чисел и Q рациональных чисел. Множество R действительных чисел несчётно.

Приведем некоторые свойства счетных множеств.

Теорема (свойства счетных множеств).

1. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

2. Сумма любого конечного или счетного множества счетных множеств есть счетное множества.

3. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Всякое бесконечное множество, равносильное множеству действительных чисел, называется множеством мощности континуума (от лат. continuum — непрерывный).

Примерами несчетных множеств. Могут служить

1. Множество точек любого отрезка [a, b] или интервала (a, b).

2. Множество точек на прямой.

3. Множество точек плоскости, пространства.

4. Множество иррациональных чисел.

1. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974. — 480 с.

3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс.

— М.: Физматгиз, 1960.

4. Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. — М. :

Наука, 1973. — 350 с. 9

5. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. -

М.: Наука, 1972. — 496 с.

6. Очан Ю. С. Сборник задач и теорем по теории функций вещественной переменной. — М.: Просвещение, 1965

Отображения

Во множество

«инъекция»

Соответствие. при котором каждому элементу множества, А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу В соответствует не более одного прообраза из А, называется отображением множества, А во множество В На множество

«сюръекция»

Соответствие. при котором каждому элементу множества, А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу множества В можно указать хотя бы один элемент множества А, называется отображением множества, А на множество В

Рис. 1.

2. Классификация отображений по мощности