Распространение волн в слоистой среде с объемными возмущениями

Анализ распространения волн в пространственно неоднородной среде является ключевой теоретической проблемой в решении обширного круга практических задач.

При расчете тропосферных радиолиний нужно учитывать влияние на распространение радиоволн пространственной неоднородности электромагнитных свойств атмосферы, что связано с зависимостью среднего показателя преломления от высоты, наличием достаточно стабильных одиночных образований, гидрометеоров и турбулентных флук-туаций диэлектрической проницаемости [1−4]. Фокусировка звука под действием надлежащего профиля плотности и сжимаемости лежит в основе подводной океанической связи, осложненной мезомасштабными явлениями, которые приводят к пространственным искажениям скорости звука, внутренними волнами, связанными с флуктуациями плотности среды, наличием морских организмов [5−7]. Реальные возможности оптических волноводов, направленных ответвителей и других устройств интегральной оптики существенно ограничиваются несовершенством технологии их изготовления, что приводит к возникновению объемных дефектов [8−10] .

Возникающие в перечисленных выше областях — радиосвязи, гидроакустике, интегральной оптике — прямые краевые задачи теории волн имеют общую черту — речь идет о совместном учете детерминированных и пространственных вариаций свойств среды, где происходит распространение волны. Она характерна и для соответствующих обратных задач при противоположной постановке вопроса — об интерпретации экспериментальных данных дистанционного зондирования природных или искусственных сред. Такие задачи возникают в радиометеорологии [II, 121, океанографии [13,14], неразрушающем контроле и диагностике изделий из полимерных композиционных материалов [15−18], волоконнооптических линий [19], в геофизике [20,21].

В решении прямых и обратных задач теории волн существенную роль играет выбор математической модели строения среды. В перечисленных выше задачах основной моделью является пространственно-неоднородная среда, которая получается из некоторой регулярной плоскослоистой среды с материальными параметрами, зависящими от одной декартовой координаты, внесением в нее детерминированной или случайной, сплошной или дискретной (финитной) среды — возмущения. Такая модель, с одной стороны, достаточно хорошо отражает реальность, с другой — позволяет четко сформулировать теоретическую задачу.

Таким образом, необходимость исследования волн в слоистонеод-нородной среде с объемными возмущениями возникает во многих актуальных задачах.

Решение полной задачи о совместном влиянии всевозможных возмущений вряд ли возможно. Для перечисленных выше приложений, как правило, характерна ситуация, когда вклад возмущения каждого типа в формирование результирующего волнового поля проявляется в «чистом виде», безотносительно к наличию других возмущений. Следовательно, логично и целесообразно рассматривать задачи с возмущением одного, вполне определенного типа.

Отвлекаясь от специфики возмущений, связанной с их физическим происхождением, классифицируем соответствующие задачи по характеру среды — возмущения, которая может представлять собой (I) детерминированное возмущение, заполняющее (I.I) неограниченную в пространстве или (1.2) финитную область или же (2) случайные возмущения в виде (2.1) сплошной среды, непрерывным и случайным образом изменяющейся в пространстве или (2.2) совокупности дискретных возмущений со случайными параметрами.

Принципиальная особенность этих моделей, затрудняющая их рассмотрение, заключается в том, что соответствующая невозь^ущенная среда также является пространственно-неоднородной — плоскослоистой. Этим обусловлено разнообразие собственных волн такой среды — спектр их в общем случае является смешанным и содержит дискретную и непрерывную части. Нахождение их связано с решением обыкновенных дифуравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами, что далеко не всегда осуществимо аналитически. Однако волновые явления в слоистых средах таят в себе богатое физическое содержание и широкие возможности использования в радиофизике и радиотехнике. Это стимулировало постоянный интерес к этой области физики, так что к настоящему времени принципиальные вопросы теории волн в слоистых средах можно считать решенными. Обширное и систематическое изложение методов и обзор результатов по излучению и распространению волн в слоистых средах содержится в монографиях [22−24]. Следует отметить основополагающую роль работ [23,25−27], где установлена физическая эквивалентность представлений для поля в виде разложения по собственным функциям различных операторов, входящих в соответствующую краевую задачу. Надлежащие теоремы разложения по собственным функциям «поперечного оператора», возникающего в теории слоистых сред, сформулированы в [28], а математическая подоплека этой эквивалентности ясна из [29].

Подчеркнем, что возмущенные задачи из группы (I) являются детерминированными, тогда как задачи (2) — принципиально статистические и формулируются в терминах теории вероятностей [зо].

Слоистая среда со сплошным детерминированным возмущением является, пожалуй, одним из наиболее исследованных объектов, что связано с широким техническим применением таких структур в радиоэлектронной аппаратуре [31]. Это, прежде всего, диэлектрические антенны в форме открытых линий с медленным изменением параметров в направлении распространения волны [32−34], оптические волноводы с плавными изгибами [8−1 I], сочленения двух диэлектрических волноводов разного поперечного сечения Г35−37].

Точное аналитическое исследование полей в плавнонерегулярной в продольном направлении структуре удобно проводить методом поперечных сечений [23,38−39], который основан на разложении поля в каждом поперечном сечении регулярного волновода по собственным волнам некоторого эталонного волновода с параметрами, совпадающими в этом сечении с параметрами нерегулярного волновода. Подстановка этого разложения в исходные уравнения для поля доставляет систем дифференциальных уравнений для величин, характеризующих волны эталонного волновода (амплитуд, волновых чисел и т. д.), которые оказываются функциями продольной координаты. Основные применения этого метода связаны с плавными переходами в открытых линиях [23] и изогнутыми диэлектрическими волноводами [l0,40−42]. Этот же метод, в сущности, используется при рассмотрении резких нерегулярностей типа скачка сечения открытого волновода или, иначе говоря, сочленения двух волноводов [23,35,43−46], когда в результате сшивания на стыке полей в виде разложений по собственным волнам каждого из полубесконечных волноводов приходим к системе уравнений относительно коэффициентов этих разложений.

Получаемые системы уравнений являются бесконечными и для открытых структур содержат континуальную часть. Аналитическое решение их можно найти лишь приближенно, используя малость какого-либо параметра, описывающего те или иные характеристики возмущения (плавность перехода, величину скачка материальных параметров на стыке и т. п.). Это, в свою очередь, накладывает определенные ограничения на применимость конечных результатов, которые, впрочем, для упомянутых приложений всегда выполняются.

Случай плавных в масштабе длины волны нерегулярностей в среде весьма общего вида удается рассмотреть аналитически с помощью асимптотических методов: геометрической оптики [47], эталонных уравнений [48], канонического оператора Маслова [49]. Примечательной является возможность описания волн в тонкопленочных волноводах интегральной оптики на основе геометрооптических принципов [50−51].

Слоистая среда со сплошными случайными возалущениями изучена менее полно, хотя в этом направлении получены существенные результаты. Слоистый характер случайной среды в данном контексте означает, что ее материальные параметры представляют собой случайное поле, статистически неоднородное по вертикальному и однородное по горизонтальным направлениям. Сюда, в частности, относятся практически важные случаи, когда от вертикальной координаты зависят средние материальные параметры (случайные среды с регулярной рефракцией) или же когда случайные возмущения локализованы в ограниченном по вертикали слое.

В задачах о распространении волн в случайной среде нас, в конечном итоге, интересуют статистические моменты волнового поля, и прежде всего — среднее поле и функция взаимной когерентности. При теоретическом рассмотрении таких задач вплоть до недавнего времени в основном использовался подход, который в качестве промежуточного этапа включает отыскание случайного волнового поля для каждой реализации случайных возмущений методами, описанными выше. Окончательный результат получается при этом усреднением найденного решения случайной краевой задачи. Итоги анализа, основанного на таком подходе и реализованного в форме метода плавных возалущений Ры-това, подведены в ряде монографий [52−54]. Полученные здесь результаты ограничены, однако, условием малости относительных флук-туаций интенсивности волнового поля и, следовательно, пригодны для достаточно коротких дистанций распространения и не слишком сильных флуктуаций материальных параметров Г55]. Основные приме нения этого метода связаны с безграничным и однородным в среднем пространством. Другая реализация этого подхода в форме метода связанных волн [9, с.81−89], [56] использована в [57,58] для анализа распространения собственных волн в планарном волноводе с флуктуа-циями диэлектрической проницаемости. Соответствующие асимптотические разложения для случайных амплитуд связанных волн являются неравномерными по длине возмущенного участка волновода и не допускают предельного перехода к возглущенным участкам бесконечной длины. Это обстоятельство также связано с ограничениями на величину флук-туационного волнового поля по сравнению со средним. Между тем «наибольший практический и научный интерес привлекают задачи, в которых существенно проявляются эффекты многократного рассеяния волны на флуктуациях «[59, с.4], которые можно учесть, перейдя от уравнений для случайного волнового поля к уравнениям для его статистических моментов.

Такой подход, реализованный в форме статистической теории возмущений [54], не ограничен требованием малости случайных возмущений среды и пригоден для исследования сильных искажений волнового поля по сравнению с полем в невоз! яущенной среде. При этом по отношению к статистически среднему полю случайная среда описывается эквивалентными (эффективными) параметрами, построение которых является главным в постановке задачи для среднего поля. Основные результаты здесь таковы. Теория многократного рассеяния для акустического волнового поля, развитая в [54] для статистически однородной среды с флуктуациями показателя преломления, перенесена в [60−62] на более общую ситуацию статистически неоднородной среды с флуктуациями показателя преломления и плотности. Схема замены полевых переменных, представляющая собой видоизменение метода многократного рассеяния применительно к векторным задачам электродинамики, предложена в [63]. С ее помощью в [64−66] построен оператор эквивалентной диэлектрической проницаемости и исследовано среднее электромагнитное поле в статистически однородной среде с сильными флуктуациями диэлектрической проницаемости. Модификация этой схемы применительно к статистически неоднородной — слоистонеоднородной — случайной среде, связанная с иным по сравнению с [63] способом регуляризации функций Грина уравнений Максвелла для елоистой среды, предложена в [67]. Здесь же построен оператор эквивалентной диэлектрической проницаемости такой среды, что позволило изучить искажение собственных волн в нерегулярных волноводах интегральной оптики [68−70] и распространение электромагнитных волн в турбулентной слоистонеоднородной атмосфере [71−72].

Отметим в заключение, что в более частной ситуации, когда распространение волны в сплошной случайной среде описывается Марковским случайным процессом, уравнения для моментов поля можно получить методом [73].

Приведем краткий обзор литературы по распространению волн в слоистой среде, возмущенной дискретным образом. Невозможность разделения переменных в соответствующей краевой задаче сразу во всей рассматриваемой области пространства существенно затрудняет теоретический анализ даже в простейшем случае кусочно-однородной нерегулярной среды.

В классе детерминированных задач к настоящему времени в строгой постановке известны только численные решения для дифракции электромагнитной волны на сфероиде в неограниченном однородном пространстве [74], на шаре в кусочно-однородной регулярной среде с одной границей раздела [75] и на цилиндре в однородном планарном волноводе t76]. В этих работах одиночное включение канонической формы рассматривается как равноправная составная часть нерегулярной среды: для каждой из областей с границами, совпадающими с координатной поверхностью ортогональной системы координат, решение ищется в виде разложения по собственным функциям, а коэффициенты этого разложения находятся из граничных условий для поля на границах раздела среды. Необходимость решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений для коэффициентов делает этот путь решения задачи достаточно трудоемким и ненаглядным. Исключение составляет работа [7б], где соответствующая задача сфор^лулиро-вана в духе теории возмущений: включение рассматривается как источник возмущающего — рассеянного — поля, которое совместно с первичным полем дает полное поле в нерегулярной среде. Такой подход в форме метода объемных интегральных уравнений оказался весьма плодотворным в смежном круге задач о рассеянии волн на телах в безграничной однородной среде или в полом волноводе. Впервые он был реализован практически применительно к задачам макроскопической электродинамики в основополагающих работах [77−79]. Дальнейшее его развитие связано с задачами акустики идеальной жидкости [80], физики плазмы [81], электродинамики плоскослоистой среды [82−84]. Интегральное уравнение теории волн, включая в себя все краевые условия, и в весьма компактной форме представляет всю физику задачи и оказывается удобнее, чем дифференциальное уравнение" [85-, с.828]. Интегральная формулировка составляет также мощную основу для разнообразных численных методов С86].

В частном, но практически важном и физически содержательном случае больших длин волн по сравнению с размерами включения возможно применение метода Релея. В рамках этого метода решение может быть представлено в виде ряда по степеням отношения характерного размера тела к длине волны в регулярной среде. Коэффициенты этого разложения, являющиеся функциями пространственных координат, подчиняются бесконечной цепочке зацепляющихся уравнений, обрыв которой в определенном звене доставляет некоторое приближенное выражение для поля. Для случая, когда включение погружено в однородную среду — безграничную или ограниченную абсолютно отражающей поверхностью (закрытый волновод или резонатор), аналитическая теория низкочастотного приближения построена в [77−79, 87] (см. по этоцу поводу также [88].). Ее можно вывести как из дифференциальной [88−91], так и интегральной [77,87] формулировки соответствующей краевой задачи, причем последний способ в силу физической прозрачности и лаконичности построений, как видно на примере упомянутых работ, представляется предпочтительным.

Однако низкочастотная теория рассеяния на включении, погруженном в плоскослоистую среду, вплоть до недавнего времени отсутствовала, когда этот пробел в некоторой степени был восполнен работами [83,92].

Для дискретных случайных сред строгие результаты, относящиеся к формулировке эквивалентной краевой задачи для среднего поля, отсутствуют [93, с.145]. Естественной является идея об определении свойств среды, содержащей статистический ансамбль включений, по индивидуальным рассеивающим свойствам одиночного включения. Классический пример такого подхода — исследования Релея, который использовал приближение однократного рассеяния для ансамбля идентичных частицанализ результатов, полученных в этом направлении, дан в [94]. Приближение однократного рассеяния описывает слабые искажения первичного поля. Для реальных ситуаций более характерным является сильное воздействие включений на волновой процесс из-за явлений многократного рассеяния [95−97]. Соответствующий метод был развит в [98-IOlJ, где, однако, исследован случай, когда невозмущенная среда, заполняющая пространство между рассеивателя-ми, является однородной. Отчасти это связано с отсутствием точных решений задачи дифракции на включении в пространственно неоднородной — слоистой — среде. Полученные нами асимптотические решения для «мягкого» рассеивателя, слабо искажающего воздейст вующее на него поле, и рассеивателя, малого по сравнению с длиной волны, позволили построить и исследовать краевую задачу для статистически среднего поля в слоистой среде с ансамблем таких рассеивателей в акустическом Сб11 и электродинамическом [68,69,72, 84,102,103] вариантах.

Таким образом, основные исследования распространения волн в слоистой среде с объемными возмущениями относятся к сплошным, детерминированным или случайным, возмущениям*.

Цель данной работы — исследование закономерностей волновых процессов (акустического и электромагнитного) в слоистой среде с дискретными объемными возмущениями. Рассеяние волн на одиночном детерминированном включении рассмотрено методом объемных интегральных уравнений в низкочастотном приближении, а распространение волн в слоистой среде, содержащей статистический ансамбль идентичных рассеивателей — путем построения эквивалентной краевой задачи для среднего поля с учетом явления многократного рассеяния. Следовательно, настоящую работу можно рассматривать как некоторое обобщение известных ранее результатов в следующем направлении: низкочастотная теория рассеяния на детерминированных проницаемых телах и метод переходного оператора для случайных рассеивателей, развитые применительно к однородной регулярной среде, перенесены на более общую ситуацию слоистой среды, окружающей включения.

В силу единства используемой схемы решение скалярных и векторных (электродинамических) задач производится параллельно. Сообразно логике исследования, рассмотрение дифракции волн на одиночном детерминированном включении предшествует и служит основой для анализа свойств статистического ансамбля таких включений. Очевидна также целесообразность сведения в начальную главу вопросов, образующих рассчетно-математическую основу диссертации в целом. Соответственно этоь^у диссертация состоит из трех глав, за ключения, четырех приложений и списка литературы.

Первая глава посвящена исследованию функций Грина краевых задач акустики и электродинамики в плоскослоистой среде. Функции Грина уравнений Максвелла построены в § I.I, а уравнений Эйлерав § 1.2. Показано, что эти величины есть обобщенные функции [104, 105] и предложены удобные представления для этих функций через скалярные потенциалы, удовлетворяющие известным уравнениям математической физики. С помощью известной идеологии в § 1.3 на этой основе выведены интегральные соотношения для задач акустики и электродинамики о рассеянии волн на проницаемых телах в слоистой среде и определены характеристики рассеянного поля (распределение мощности по собственным волнам, диаграмма рассеяния) в такой среде.

Во второй главе эти результаты применяются к задаче о рассеянии волн на одиночном детерминированном включении, погруженном в слоистую среду. В интегральной формулировке решение краевой задачи рассеяния сводится к нахождению внутреннего поля включения, а поле в окружающей его среде находится по прямым квадратурным формулам. В § 2.1 найдено внутреннее электромагнитное поле для «мягкого» рассеивателя с материальными параметрами, близкими к параметрам окружающей среды, и для малого однородного рассеивателя эллипсоидальной формы в кусочно-однородной среде. Сделан вывод о существенном влиянии неоднородности окружающей среды на формирование внутреннего поля малого рассеивателя, когда масштаб этой неоднородности не превосходит длины волны. § 2.2 посвящен исследованию рассеянного электромагнитного поля в ближней и дальней зонах малого включения. Рассмотрением охвачен случай, когда размеры включения малы по сравнению с длиной волны в окружающей среде, но соизмеримы с длиной волны в материале рассеивателя. Для некоторых характерных ситуаций обнаружена сильная зависимость рассеянного поля от параметров включения. Низкочастотное приближение для соответствущей акустической задачи получено в § 2.3.

В третьей главе проведено исследование статистически среднего электромагнитного поля в слоистой среде, содержащей ансамбль идентичных включений со случайным расположением и ориентацией. В § 3.1 методом переходного оператора найдена эквивалентная диэлектрическая проницаемость случайной среды для некоррелированных рассеивателей и слабых концентраций последних и построена общая схема приближенного решения краевой задачи для среднего поля в нелокальной среде. Далее, в § 3.2, с помощью замены полевых переменных рассмотрен случай коррелированных рассеивателей, когда среду" возмущенную дискретным образом, правомерно описывать в рамках представлений, развитых для сплошной случайной среды. Полученные результаты использованы в § 3.3 для определения деполяризации, затухания, сдвига фазовой скорости и искажения цространст-венного распределения волн среднего поля в дискретной случайной среде, а также для решения задачи о собственных волнах, «захваченных» слоем дискретных возмущений.

Заключение

содержит итоговые результаты научных исследований распространения волн в слоистой среде с объемными возмущениями, полученные автором, а также рекомендации относительно перспектив дальнейших исследований.

В приложении I приведены аналитические выражения для величин, определяющих внутреннее поле малого эллипсоида в частных реализациях кусочно-однородной среды, в приложении 2 содержатся некоторые соотношения для задачи о рассеянии волн на эллипсоиде в однородном полупространстве, в приложении 3 — выражения для собственных векторных волн слоистой среды, а в приложение- 4 вынесены результаты численных исследований — 29 рис.

В результате проведенного рассмотрения получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. Результаты аналитического исследования функций Грина краевых задач теории волн для слоистой среды, включающие формулы регуляризации в области источника с помощью бесконечно малого исключаемого объема произвольной формы, представления функций Грина через скалярные потенциалы и разложения по собственным волнам слоистой среды.

2. Аналитическое решение задачи о низкочастотном рассеянии электромагнитного и звукового полей на малом однородном эллипсоиде произвольной ориентации в кусочно-однородной среде, а именно — выражения для внутреннего поля включения, рассеянного поля в ближней и дальней зонах — и закономерности этого рассеяния: существенное воздействие неоднородности окружающей среды на формирование внутреннего поля включения, когда характерный масштаб этой неоднородности не превосходит длины волнысильная зависимость величины рассеянного поля от глубины залегания включения в слое, толщина которого сравнима с длиной волнырезонансное возрастание сечений рассеяния сферического включения с большой диэлектрической проницаемостью при резонансных значениях частоты, материальных параметров или размера включения.

3. Формулировка эквивалентной краевой задачи для статистически среднего поля на основе найденных выражений для эквивалентных параметров слоистой среды, возмущенной статистическим ансамблем идентичных рассеивателей со случайным местоположением и ориентацией, которые учитывают эффекты многократного рассеяния.

4. Результаты аналитического исследования искажения собственных волн (затухания, сдвига фазовой скорости, деполяризации, изменения пространственного распределения) в слоистонеоднородной среде с дискретными возмущениями и возникновения новых собственных волн в слое дискретных рассеивателей при наличии и в отсутствие корреляции между ними.

Диссертация представляет собой изложение и обобщение опубликованных работ [61,62,68−72,83,84,92,102,ЮЗ]. Основные результаты её обсуждались на научном семинаре кафедры теоретической радиофизики ХГУ, Всесоюзном научно-техническом совещании «Измерительные устройства на диэлектрических волноводах оптического диапазона» (Могилев, 24−26 мая 1983 г.), Всесоюзной научно-технической конференции «Проектирование и применение радиоэлектронных устройств на диэлектрических волноводах и резонаторах» (Оаратов, 27−29 сентября 1983 г.) и на Всесоюзной научно-технической конференции «Метрологическое обеспечение измерений больших длин» (Харьков, 23−25 ноября 1983 г.).

Диссертация изложена на 209 страницах машинописного текста, из них основной текст — 150 е., 4 приложения на 48 е., в том числе 29 рисунков на 42 с.

Список литературы

на II с. содержит 121 наименование работ советских и зарубежных авторов, на которые сделаны ссылки в тексте диссертации.

В диссертации принята сквозная нумерация формул в пределах каждого параграфа. При ссылке на формулы другого параграфа указывается номер параграфа и формулы: (2.1.10) — формула (10) из § 2.1.

Основные результаты, полученные в данной главе, таковы:

1. Сформулирована краевая задача для статистически среднего электромагнитного поля и построен оператор эквивалентной диэлектрической проницаемости для слоистой среды, в которую погружен статистический ансамбль идентичных рассеивателей со случайными местоположением и ориентацией. Рассмотрением охвачены случаи малых или «мягких» рассеивателей в отсутствие корреляции между ними и малых коррелированных рассеивателей.

2. Установлена аналитическая связь между вкладами в формирование эквивалентных параметров среды за счет рассеяния в волны дискретного спектра и волны излучения.

Эти результаты представляют собой основу математического аппарата для теории распространения волн в слоистой случайной среде с дискретными возмущениями.

3. Показано, что по отношению к среднему полю случайная среда является пространственно диспергирующей. Пространственная дисперсия исчезает для частного случая возмущений, характерные размеры которых много меньше длины волныпотери энергии среднего поля при этом также отсутствуют. В остальных рассмотренных случаях происходит ослабление среднего поля за счет некогерентного рассеяния во флуктуационную компоненту.

4. Решена задача о собственных волнах среднего поля в елоистонеоднородной среде с дискретными возмущениями и исследовано искажение собственных волн по сравнению с полем в регулярной среде. Показано, что это искажение сводится к появлению затухания и дополнительного набега фазы, а также к деполяризации и изменению пространственного распределения поля. Под действием случайных возмущений могут возникать дополнительные собственные волны, отсутствующие в регулярной среде.

5. Получены аналитические выражения для затухания и сдвига фазовой скорости в планарном волноводе интегральной оптики с объемными дефектами в форме случайных включений и коэффициентов трансформации среднего поля при падении плоской волны на слой дискретной случайной среды.

Эти результаты могут найти применение в интегральной оптике и задачах дистанционного зондирования.