Асимптотическое представление решений систем сингулярно возмущенных уравнений в частных производных в критическом случае

Асимптотические методы представляют собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Они позволяют получать приближенные аналитические представления решений весьма сложных линеных и нелинейных краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных.

Асимптотические методы широко применяются в механике, физике и других науках, оперирующих дифференциальными уравнениями. Большинство этих методов (например, метод Пуанкаре, метод усреднения, метод пограничного слоя) первоначально возникли именно при решении конкретных задач механики и физики, а затем уже были развиты и обобщены. Впоследствии многие методы получили строгое математическое обоснование. Однако до сих пор целый ряд методов малого параметра, особенно применительно к уравнениям в частных производных, нельзя считать строго обоснованными, и успех их применения часто бывает связан с глубоким и неформальным проникновением в суть задачи, с пониманием процессов, описываемых данными уравнениями.

В настоящее время асимптотические мотоды продолжают бурно развиваться, несмотря на бурное развитие численных методов, вызванное появлением быстродействующих вычислительных машин и комплексов, — численные и асимптотические методы не исключают, а взаимно дополнят друг друга. Аналитические методы служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и анализа особых точек, для построения опорных мтестовыхмрешений, а в ряде случаев являются также основой для разработки вычислительных методов.

В последние годы внимание ученых, занимающихся асимптотическими методами теории дифференциальных уравнений, привлекла так называемая проблема сингулярных возмущений, поставленная перед математиками интенсивным развитием самых разнообразных областей науки. Особое внимание заслуживают сингулярно возмущенные (с.в.) дифференциальные уравнения в частных производных с малыми параметрами при старших производных, которые часто возникают в разнообразных прикладных задачах и используются при описании математических моделей процессов диффузии, сорбции с учетом малой диффузии, фильтрации жидкостей в пористых средах, химической кинетики, хроматографии, теплои массопереноса, гидродинамики и многих других областях.

Теория сингулярных возмущений интенсивно развивается, начиная с основополагающих работ А. Н. Тихонова. К настоящему времени создан ряд методов построения асимптотических разложений решений различных с.в. задач. Это метод пограничных функций, развитый в работах А. Б. Васильевой, М. И. Вишика, Л. А. Люстерни-ка, В. Ф. Бутузоваметод регуляризации С. А. Ломова, методы усреднения, ВКБ, сращивания асмптотических разложений А. М. Ильина и другие. Также следует отметить немалые вклады в развитие теории асимптотических методов Н. Левинсона, Дж. Хединга, А. X. Найфэ.

Все вышеуказанные методы позволяют получить асиптотические разложения решений для весьма широких классов с.в. уравнений. Вместе с тем каждый из них не охватывает все многообразие задач, особенно для уравнений в частных производных в критическом случае. Нередко возникают такие с.в. задачи, к которым готовые методы не применимы или не позволяют получить эффективный результат. Поэтому разработка методов решений с.в. уравнений остается весьма актуальной проблемой.

Диссертация посвящена решению этой проблемы применительно к некоторому классу с.в. задач в критическом случае.

Как известно, один из основных требований в теореме Тихонова о существовании решения системы является условие существования изолированного корня z — (p (y, t) вырожденного уравнения F (z, у, t) = 0. Во многих прикладных задачах, приводящих к с.в. уравнениям, это условие нарушается: вырожденное уравнение имеет не изолированный корень, а целое семейство решенийзависящее от одного или нескольких параметров. Такой случай называется критическим.

Оказывается, при определенных весьма общих условиях асимптотика решения начальной задачи в критическом случае имеет такой же вид, как и для систем Тихоновского типа, в частности, в пределе при д 0 решение начальной задачи переходит в одно из решений вырожденного уравнения, однако алгоритм построения асимптотики претерпевает изменения.

Диссертация посвящена исследованию с.в. задач в критическом случае: где L — дифференциальный оператор в частных производных первого порядка, Авырожденная матрица, x, t С ft — {0 < t < Т, 0 < х < оо}, U (x, t) = {щ (х, ?)}, (г = 1, п) — вектор решений, 0 < е «1 — малый параметр. Как видно, вырожденная система уравнений имеет не изолированный корень, а целое семейство решений. Такой случай называется критическим.

В диссертации рассматриваются задачи, для которых rang Л = п — 1.

Подобные задачи были решены для двумерного случая, но методы решения не могут быть распространены на n-мерный случай в силу возникновения серьезных осложнений. Поэтому был разработан новый алгоритм решения задачи, который имеет обратную силу, т. е. применим и для двумерного случая, причем существенно облегчает вывод уравнений для некоторых членов асимптотики.

Основной целью настоящей работы является следующее. dz «,, dy. «ii— = f (z, vA-? = /(*> ул0.

C/(x, 0) = U°(x), U{0,t) = $°(t).

1) (2).

Построение асимптотического представления (АП) решения слабонелинейной системы д.у. типа «реакция-диффузия», обоснование полученного алгоритма (для системы из двух уравнений).

Формальное построение АП решения начально-краевой задачи для с.в. системы д.у. в частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с п неизвестными и постоянными коэффициентами вне малой окрестости начала координат.

Формальное построение АП решения начально-краевой задачи для с.в. системы д.у. в частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с п неизвестными и переменными коэффициентами вне малой окрестости начала координат.

Обобщение алгоритма формального построения АП решения на начально-краевую задачу системы с.в. д.у. типа «реакция-диффузия-перенос».

Обоснование сформулированных алгоритмов.

Оценка АП решений по невязке.

Результаты исследований имеют как теоретическую, так и практическую ценность. Разработанные в работе алгоритмы АП решений начально-краевых задач для с.в. систем д.у. могут быть реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ и использованы на практике. Данные алгоритмы особенно полезны при изучении математических моделей процессов фильтрации жидкости в пористых средах при учете малой диффузии, что часто встречается в задачах экологии, биофизики, хроматографии и других науках.

Диссертация состоит из четырех глав, введения, заключения, списка литературы и приложения.

Во введении дается обзор существующих математических методов АП решения с.в. задач с внутренним переходным слоем. Обосновывается актуальность разработки новых и модификации существующих математических методов и алгоритмов исследования и построения АП решений с.в. задач с внутреними переходными слоями. Приводится краткое содержание диссертации по главам.

Первая глава диссертации посвящена изучению и построению АП решения слабонелинейной системы д.у. типа «реакция-диффузия». Окончательный вид асимптотики различен при различных значениях малого параметра ц{е), в первой главе рассматриваются случаи ц{е) — е4 и /х (е) = е2.

Во второй главе рассматривается АП решения с.в. начально-краевой задачи для системы д.у. в частных производных первого порядка со слабой нелинейностью в критическом случае, которая имеет вид: где x, t С Г2 = {0 < t < Т, 0 < х < сю}, U (x, t) = {щ (х, Ь)}, (г = 1, п) — вектор решений, 0 < е << 1 — малый параметр.

Предполагается, что матрица D — diag \dn\^ - диагональная, ёц > О, А = Цо^Ц" -вырожденная (rang Л = п-1), F (U) — {fi (U), i — 1, п} - вектор-функция, определенная для всех щ < оо, (г = 1, п). Считается, что элементы матриц Л, D — постоянны и вещественны. e2{Ut + DUx) = AU + ?F{U), U (x, 0) = U°(x), 1/(0,4) = Ф0(*)>

За).

ЗЬ).

Для построения асимптотики на функции налагаются определенные условия.

В третьей главе рассматривается построение формального асимптотического представления решения начально-краевой задачи для с.в. системы д.у. первого порядка в частных производных с малой нелинейностью в случае зависимости элементов матриц A, D от пространственной переменной х.

В четвертой главе рассматривается АП решения начально-краевой задачи для слабо-нелинейной системы с.в. д.у. типа «реакция-диффузия-перенос»: где х, t С П = {0 < t < Т, 0 < х < оо}, U (x, t) — {-Uj (:r, i)}, (г = 1, п) — вектор решений, 0 < е << 1 — малый параметр.

В заключении сформулированы основные полученные результаты и основные выводы.

Некоторые громоздкие вычисления представлены в приложении.

L{U) = e2(Ut + D (x)Ux) — e4C (x)Uxx — A (x)U — eF{x, U) = 0, U{0,t) = (p (t), U{x, 0) = U°(x).

4a) (4b).

Обзор литературы.

С.в. дифференциальные уравнения, содержащие малые параметры при старших производных, являются интресным объектом для исследования как с чисто математической, так и с прикладной точек зрения. В прикладных областях уравнения возникают также в задачах теплопроводности, диффузии [3], сорбции [3], химической кинетики, биофизики [4], гидродинамики, акустики, взаимодействия излучения с веществом и других.

Математическая теория с.в. интенсивно развивается с основополагающих работ А. Н. Тихонова. В настоящее время существуют мощные методы построения асимптотических разложений (а.р.) решений с.в. уравнений, такие, как метод погранфунк-ций, развитый в работах М. И. Вишика, JI. А. Люстерника, А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова и их учеников [22]-[25], метод регуляризации С. А. Ломова [27]. метод усреднения [29], метод ВКБ и операторный метод В. П. Маслова [31]-[33], метод согласования а. р., получивший в монографии А. М. Ильина законченную математическую форму [28] и другие. Вместе с тем ни один из методов не исчерпывает всего многообразия с.в. задач.

Поскольку в диссертации рассматриваются только уравнения в частных производных в критическом случае, а также с внутренним переходным слоем, то приведем обзор литературы, наиболее близкой к предмету исследования, не претендуя, впрочем, на исчерпывающую полноту.

Одной из первых математически строгих работ, посвященных критическому случаю, является работа А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова [2]. Рассмотрим систему уравнений с малой нелинейностью:

Где х и / - m-мерные вектор-функции, A (t) — (т х т)-матрица, ц > О — малый параметр, A (t) и f (x, t, n) предполагаются достаточно гладкими.

При некоторых наложенных на матрицу A (t) условиях, решение задачи (5)-(6) строится в виде суммы регулярного и пограничного рядов: A (t)x + ц/(х, t, /i), 0 < t < T, at х{0,ц) = х°.

5).

6).

00 x (t, /л) = x (t, fi) + Пх (т, ц) = + П^(т)), X.

Общее решение этого уравнения в силу наложенных на A{t) условий можно записать в виде х0 = e (t)a (t), где e (t) — (т х &-)-матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы A (t), a (t) — А—мерная вектор-функция, элементами которой являются произвольные скалярные функции. Для П0х (г) получается задача а (0)П0х, т > О, аг к.

П0х (0) = х°- ж0(0) = х° - ]ГаД0)е<(0). i=i.

Общее решение с учетом наложенных условий и требования стремления к нулю всех П-функций при т —" оо, имеет вид: m.

П0х = CjWj® exp (Aj (0)r). i=k+.

Подставляя это выражение в начальные условия (6), получаем систему к m t=l i=k+1 однозначно определяющую начальные значения для неизвестных пока функций а^О) (полностью эти функции определяются на следующем шаге при рассмотрении уравнения ДЛЯ Х (t)).

Таким образом, функция Поя (т) полностью определена, причем в силу наложенных условий она имеет экспоненциальную оценку.

П0ж (г)|| < сехр (кт), а для неизвестных функций ai (t), входящих в выражение для х0, найдены начальные значения.

Функции следующего приближения строятся аналогично.

Этот метод широко используется при рассмотрении задач в критическом случае (см., например [5]).

Необходимо отдельно остановиться на методе согласования а.р. [4]. Приведем пример построения а.р. с помощью метода согласования [4]:

Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения:

Г ?2AU-a (x)y)Uy = f (x, y), х, ре (1 = (0,1)х (0,1), 1 Usa =0.

Сначала строится внешнее разложение U = Е ?2ки2к{х, у), пригодное в квадрате к=о без сторон х — 0, х = 1, у — 1. Все U2k есть решения задач dJJ а{х, у)-^- = fk (x, y), Uk{x, 0) = 0, /о = ~1{х, у), fk = -AU2k-2, к> 1.

В окрестности верхней стороны квадрата Q, к внешнему разложению добавляются обыкновенные погранфункции, которые строятся стандартно.

Для ликвидации невязок в граничных условиях на сторонах х = 0 и х = 1 строятся ряды внутренних разложений. РАстягивая переменную (= х/е, стандартным способом (ст.сп.) получаем задачи для определения членов внутреннего разложения к-О.

Lvо = 0, Lvk = + Е к > 1, (7).

Vn (0, У) = — «2*(0, у), V2k+i{0, у) = О, vk{с, 0) = 0, оо где Z = ^ - a0(y)jф, j/) = Е i=0.

Члены ряда Uj определены однозначно ввиду того, что правые части уравнений (7) имеют особенности, нарастающие с увеличением номера к.

Каждое слагаемое г>* определено с точностью до линейной комбинации Е Cj f^t+i Г (С j у 2 где 2/i = f (a0(s)) lds, Г ((, у) = ехр (-$-)/у/у. о у.

Для устанения этой неоднозначности строится еще одно внутреннее разложение с помощью переменных? = е2х, т) = е2у :

W = '?e2kw2k ((, r]). к=0.

Ряд W должен формально удовлетворять уравнению и краевому условию в окрестности точки (0,0). Ст.сп. получаем задачи для определения w2k.

LlWo = 0, L, w2k = tpACrif-^, к > 1,? > 0, V > 0, (8) w2k (ti, 0) = 0, w2k (0,r}) = -? j^^gr^M, i=i.

00 где Lx = Дс&bdquo- - а (0,0)|-, = Е ^РзЫ.

3=0.

Решения задач (8) также неоднозначны, поскольку краевые условия и правые части уравнений неограничены на бесконечности. Vj и Wj определяются однозначно из условия, что в некоторой промежуточной зоне разложение «плавно» переходит в V (подробнее см. в [4]). После этого строится единое разложение и доказывается теорема об оценке остаточного члена.

С помощью метода согласования построено много асимптотик решений бисингу-лярных задач ([5]-[8] и др.).

Кроме того, заслуживают отдельного внимания задачи с внутренним слоем типа ступеньки, изучению которых в последнее время уделено много работ различных авторов ([9]-[21]).

Заключение

.

В заключение кратко подведем итоги.

Подобные задачи были решены для двумерного случая, но методы решения не могут быть распространены на n-мерный случай в силу возникновения серьезных осложнений. Поэтому был разработан новый алгоритм решения задачи, который применим и для двумерного случая, причем существенно облегчает вывод уравнений для некоторых членов асимптотики.

Построено АП решения слабонелинейной системы д.у. типа «реакция-диффузия», обоснование полученного алгоритма (для системы из двух уравнений).

Формально построено АП решения начально-краевой задачи для с.в. системы д.у. в частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с п неизвестными и постоянными коэффициентами вне малой окрестости начала координат.

Формально построено АП решения начально-краевой задачи для с.в. системы д.у. в частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с п неизвестными и переменными коэффициентами вне малой окрестости начала координат.

Обобщен алгоритм формального построения АП решения на начально-краевую задачу системы с.в. д.у. типа «реакция-диффузия-перенос».

Сформулированные алгоритмы обоснованы.

Результаты исследований имеют как теоретическую, так и практическую ценность.

Разработанные в работе алгоритмы АП решений начально-краевых задач для с.в. систем д.у. могут быть реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ и использованы на практике. Данные алгоритмы особенно полезны при изучении математических моделей процессов фильтрации жидкости в пористых средах при учете малой диффузии, что часто встречается в задачах экологии, биофизики, хроматографии и других науках.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Обнинского государственного технического университета атомной энергетики Андрею Владимировичу Нестерову за научное руководство, многочисленные плодотворные дискуссии на всех этапах работы, постоянное внимание и поддержку.