Принцип Дирихле для B-гармонического и B-полигармонического уравнений и для задачи о собственных значениях сингулярного дифференциального оператора

v В ряде работ академика C.JI. Соболева, выполненных 40-х годах 20-го века, заложены основы применения функционального анализа в задачах для дифференциальных уравнений в частных производных и в математической физике. Эти исследования (объединены в его книге «Некоторые применения функционального анализа в математической физике», вышедшей в 1950 г., а переработанные и дополненные вышли в 1988 г.) послужили отправным пунктом многочисленных исследований дифференциальных уравнений, функциональных пространств и привели к созданию современного функционального анализа, подходов и методов для его применения в теории уравнений в частных производных. Важнейшую роль в этих исследованиях играют теория обобщенных функций, теоремы вложения функциональных пространств и теоремы о следах функций. Дальнейшее развитие заложенной C.JI. Соболевым методики исследования задач теории дифференциальных уравнений связано с широким использованием операционного исчисления Фурье обобщенных функций, созданное JI. Шварцем в 50-х годах и теории функциональных пространств дробной глад-V кости (типа пространств Соболева-Слободецкого). Первые окончательные результаты по проблеме следов функций из пространств C.JI. Соболева были получены Н. Ароншайном [1] и независимо от него Б. М. Бабичем, JI.H. Слободецким [2, 45], Г. Фройдом и Д. Краликом [48]. JI.H. Слободецким построена полная теория анизотропных пространств с целыми и дробными показателями. Большой вклад в теорию вложения пространств внесли О. В. Бесов [4], В. И. Буренков, В. П. Ильин [11, 12], П. И. Лизоркин [25, 26], С. М. Никольский, C.B. Успенский и др.

Ясно, что идеи применения теорем вложения и теорем о следах для развития вариационных методов в задачах для сингулярных дифферен циальных уравнений позволят открыть новые подходы к исследованию их решений и являются в современном естествознании весьма актуальными. Исследованию сингулярных эллиптических уравнений с оператором Бесселя В = + -£г (7 > 0) посвящено много исследований как в нашей стране, так и за рубежом. Эти исследования вызывают большой интерес в связи с проблемой нахождения осесимметрического решения гармоничес-* кого уравнения. Теория таких уравнений, известная как обобщенная осе.

4 симметрическая теория потенциала, развита американским математиком.

А. Ванштейном и его школой. В частности А. Ванштейном в 1942 г. (в двумерном случае) построено фундаментальное решение уравнения, А в и = 0, Ав = А®-' + г§ г + ??" (т > 0) — М. Н. Олевским в 1949 г. получено фундаментальное решение в многомерном случае в терминах гипергеометрических функций, при условии, что индекс 7 ф 2,3,4, —.

Принцип Дирихле для уравнения А^и = 0 в полупространстве изучался П. И. Лизоркиным. Он же впервые построил функцию Грина для краевой задачи с оператором Бесселя, используя результаты А. Ванштейна и рассмотрел некоторые вариационные задачи. Среди исследователей сингулярных задач с оператором Бесселя такие известные математики как Я. И. Житомирский [10], Л. Д. Кудрявцев [22, 23], Б. М. Левитан [24], Л. Г. Михайлов, С. А. Терсенов.

Значительный вклад в исследование сингулярных дифференциальных уравнений внес И. А. Киприянов [17] -[20]. Им построены весовые аналоги анизотропных пространств Соболева-Слободецкого (1967 г.), при этом он показал, что в задачах с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя и оператором вида да смешанное преобразование Фурье-Бесселя является столь же мощным инструментом исследования, как и классическое преобразование Фурье в задачах с оператором Лапласа. Создана завершенная теория весовых функциональных пространств (в настоящее время эти пространства известны как пространства Киприянова), которые оказались замкнутыми относительно прямых и обратных теорем вложения на многообразиях меньшей размерности. С помощью этих пространств им и его учениками создана методика исследования сингулярных эллиптических уравнений. В этой методике впервые используется идея о выделении в сингулярном операторе одного или нескольких особых направлений, которая в дальнейшем была применена в ряде работ, как у нас в стране, так и за рубежом. Другой подход к построению весовых функциональных классов на основе операторов преобразования был предложен В. В. Катраховым [13], при этом весовой параметр может принимать не только действительные значения, но и комплексные. Эти исследования позволили перенести современную теорию дифференциальных уравнений на задачи для уравнений в частных производных с операторами Бесселя, действующим по одной или нескольким переменным.

В диссертации используется идея С. Л. Соболева исследования краевых задач Дирихле и Неймана вариационным методом, которая применяется к сингулярному дифференциальному уравнению на основе результатов И. А. Киприянова [17] по теоремам вложения и его идеи о выделении особых направлений.

Несмотря на довольно долгое исследование подобных уравнений разными учеными и школами подход, развитый С. Л. Соболевым при изучении задач Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа, так и не был реализован в задачах для сингулярных дифференциальных уравнений в ограниченной области, где роль оператора Лапласа играет оператор, А в¦ Здесь можно увидеть две причины. Соболевский подход для таких задач легко осуществляется (разумеется при подходящем выборе весовых функционалов) применением срезок для шаровых окрестностей с центром на сингулярной гиперплоскости хп — 0, но не может быть распространен на задачи в области граница которой, принадлежащая полупространству хп > 0 (обозначение Г+), удалена от сингулярной гиперплоскости на расстояние большее половины диаметра той части границы, которая принадлежит сингулярной гиперплоскости хп = О (обозначение Г°). Тем самым принцип Дирихле оказывался обоснованным лишь в полупространстве хп > 0. Вторая причина состоит в том, что методика применения киприяновских теорем вложения требует неизменности веса в применяемых при решении сингулярных задачах весовых интегральных формах, но это возможно, лишь при соответствующем поведении границы в окрестности гиперплоскости хп = 0.

Таким образом, в диссертационной работе ставится и решается одна из актуальных проблем теории сингулярных дифференциальных уравнений, имеющая широкое теоретическое и практическое значение для уравнений в частных производных и в задачах математической физики с элементами осевой или многоосевой симметрии.

Целью работы является обоснование принципа Дирихле и разработка вариационных методов решения задач Дирихле и Неймана для В-гармонического уравнения в ограниченной области специального вида, разработка вариационных методов решения основной задачи для В-полигармонического уравнения в ограниченной области специального вида, постановка и решение задачи о собственных значениях для оператора. Разработка вариационных методов построения собственных функций в ограниченной области.

В диссертации использованы методы теории функций, функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Первая глава носит вводный характер и содержит сведения из теории киприяновских пространств, необходимые в дальнейшем. Следует отметить, что эти пространства напоминают анизотропные пространства Сло-бодецкого, но есть принципиальная разница в содержании теорем вложения.

Рассмотрим область расположенную в части пространства.

Ядг = {(я', х"), х' = (хъ ., хп), х" = (хпя,. хх), х{ > 0, г = п+, прилегающую к гиперплоскостям Х{ = 0, г — п 1, N. Ее граница состоит из участка Г+, расположенной в части пространства К^, и участков Г-1, каждый из которых принадлежит одной из гиперплоскостей Х{ — О, г = п + Через Г+ обозначим замыкание Г+. Будем предполагать, что ограничена и что Г+ является бесконечно дифференцируемым многообразием размерности N — 1с краем, а сама область локально расположена по одну сторону от Г+. Обозначим через О" последовательное зеркальное отображение области Г2+ относительно гиперплоскостей XI = 0, г = п + 1, N. Предполагается, что граница области О = и представляет собой гладкое многообразие размерности N — 1 и область О, расположена локально по одну сторону от Г.

Рассмотрим участок границы, имеющий непустое пересечение с некоторыми из указанных выше гиперплоскостей Х{ = 0. Предположения относительно области и ее границы дают возможность введения локальных координат в покрытиях границы Г+, имеющих непустое пересечение с Г°, не меняющее этих весовых переменных. В этом случае весовые функциональные классы оказываются инвариантными относительно соответствующих преобразований координат.

Обобщением теорем И. А. Киприянова о следах весовых классов для случая нескольких весовых переменных являются следующие теоремы.

Теорема 1.3. Пусть и? Тогда существуют следы производных (к = 0,1,., тп — 1) по нормали на Г, принадлежащие (Г+). При этом дки уут-к-½{Г+ дик.

С\и.

Теорема 1.5. Пусть заданы функции у^ 6 Г+) Существует функция и Е И^^" 1″), такая, что у^ являются следами соответствующих производных по нормали и имеет место предельное соотношение.

Пш дки дь>к.

— уМ о, где Г^ - поверхность, параллельная Г+ и отстоящая от нее на расстояние к. При этом т—1 к=0.

Следующие две теоремы о следах на сингулярных гиперплоскостях XI = 0, г = п + 1,., ТУ, поэтому имеет смысл их формулировать в соответствующей части пространства.

Теорема 1.7. Пусть /(х) Е М^/у^лг) и целое неотрицательное число г удовлетворяет неравенству ц = 1 — у1 — > 0. Тогда существует след функции (Вх1)г/ на гиперплоскости Х{ = 0 (г = п + 1,., ЛГ) и принадлежит пространству И^Д-йд^), V = (?1,., ¿-г+1,., 1^), 7/ = (Тп+1,—мТг-ьТг+ь-, 7лт), при этом.

Нш 0.

Теорема 1.8. При выполнении условий теоремы 1.7 существует функция Е^2,7 (-^N-1) такая что.

Вх{у/ - ^хт).

При этом справедливо равенство {Вх^У?{х)Х1=о = ^гх" ').

Вторая глава посвящена созданию вариационных подходов к исследованию в ограниченной области решений задачи Дирихле для уравнения п Л ^ 92 °2 У д.

Дв и = О, Дв = о-2 + /ГТ + 7Г~' X где 7 — фиксированное положительное число.

На область накладывается дополнительное условие: область полностью расположена в цилиндре, направляющей которого служит граница области Г° Е Яп-1, а образующая параллельна оси Ожп.

Задача Дирихле состоит в отыскании такой В-гармонической функции из то есть нахождении в ограниченной области функции, четной по переменной хп, дважды непрерывно дифференцируемой, удовлетворяющей внутри области уравнению Д^п = 0, которая на участке Г+ границы области принимает значение </?, при этом <р Е 1²)72(Г+). Введем следующий функционал 2 = /?© -г*. а+ г1.

Обозначим через — множество функций у из пространства Киприянова принимающих на Г+ значения ср. Обратная теорема о следах показывает, что И^-^} ~ не пустое множество, и функция V? Е <7(Г+). Для каждой гЕ выполняется неравенство.

0 < Ф7(г>) < оо. Существует точная нижняя граница значений Ф7(и):

I= т£ ?>0,.

Из множества Wln{.

й) = d. Последовательность {г>&-}, как обычно, называется к—>оо минимизирующей.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Минимизирующая последовательность {г^} сходится в И/21)7(^+), предельная функция принадлежит W^j^} и дает функционалу Ф7(г>) наименьшее значение среди всех таких функций.

Теорема 2.2. Функция vq, дающая минимум Ф7(г>) в {?1*), есть решение сингулярной задачи Дирихле, то есть bv0 = О, (1) о|г+ = ^ е (2).

Теорема 2.3. Решение сингулярной задачи Дирихле (1)-(2) единственно.

Теорема 2.4. Если граничное условие в задаче (1)-(2) <р 6 И/2172(Г+) — то задача Дирихле разрешима вариационным методом в W^i^" 1″).

В параграфе 2.5 рассматривается задача Дирихле для уравнения с оператором i—пЛ-1 ]=1 J 1 где тi — фиксированные положительные числа, образующие мультииндекс.

7 длиной ?7| = 7n+i +. + 7N.

Дополнительное условие на область в данном случае будет следующим: предполагается, что каждый цилиндр (в R^) с основанием на х- = О, i = п + 1, N с направляющей {xi = 0} П Г+ П Г°, г = п + 1, N и с образующей, параллельной оси Oxi содержит область Q+.

Через Wcj-a{ip} обозначим множество функций v G W2)7(^+), принимающих на Г+ значения (р 6 И²(Г+).

Для каждой функции v 6 W^iv3} функционал удовлетворяет условию 0 < Ф7(г>) < ооследовательно, существует точная нижняя граница значений функционала d= inf ФТМ, d>0.

Из множества W^^y} можно выделить последовательность {г>&-}, для которой lim Ф7(г^) = d. к-> оо.

Доказаны теоремы:

Теорема 2.5. Минимизирующая последовательность {г^} сходится в И/21)7(^+), предельная функция принадлежит W^^ip} и дает функционалу Ф" (3) наименьшее значение среди всех таких функций.

Теорема 2.6.Функция vq, дающая минимум Ф7(г>) (3) в ИЛ21)7(^+), есть решение сингулярной задачи Дирихле, то есть.

В 0 4-t дхJ дх xidxi.

3—1 J i=n+1 (v е </72(Г+).

В параграфах 2.6 и 2.7 в ограниченной области рассматривается краевая задача вида: 0, (4) we w&trade-~k~½(г+), к = о, 1, — 1. (5) дки дрк г+.

Уравнение (4), где т — натуральное число, большее единицы, будем называть полигармоническим. il.

Решением основной краевой задачи для В-полигармонического уравнения является В-полигармоническая функция из WJ^Q4″), то есть функция, четная по переменной хп, 2 т раз непрерывно дифференцируемая, удовлетворяющая внутри области уравнению Agit = 0, которая на участке границы Г+ удовлетворяет (5).

Пусть •••" </?mi в указанном в теоремах о следах смысле. Обратная теорема о следах показывает, что множество Wglylipo, Vu ¦¦¦i (Pm-i} не пусто и каждая срк? W™~k~lt2{T+), к = 0,1,., т — 1.

Введем в рассмотрение следующий функционал i ^ т (дти 2.

Фт M-j L а1. а^1ап{дх?.дх^д&) ^ (3}.

П+ Е<*г=™.

Для каждой v G М^Дуо, 4>ъ ?>m-i} выполняется неравенство О < Ф7(и) < оо. Точную нижнюю грань функционала Ф7(г-) обозначим d = inf Ф-уЫ vew^{.

Из множества W^, y-f^o? Ц>т-1} можно выделить минимизирующую последовательность {vk}, так что lim Ф7(г>А-) = d. k-*oo.

В диссертации доказаны следующие утверждения.

Теорема 2.7. Минимизирующая последовательность {vf~} сходится в предельная функция принадлежит Wg^fao,) (3') наименьшее значение среди всех таких функций. Предельная функция единственна.

Теорема 2.8. Функция и, дающая минимум функционалу Ф7(г>) (З1) в W™ {ipo, (/?!,., (рт-1} имеет непрерывные производные любого порядка внутри и удовлетворяет уравнению А^и = 0. Теорема 2.9. Если (рк е уут-к- ½(г+) = т—1) — то основная краевая задача для В — полигармонического уравнения, А ¡-¡-и = 0 разрешима в И7^,^" 1″) вариационным методом.

В третьей главе исследуется задача Неймана. Для функций и (х)? рассмотрим функционал.

З^и) = Ф7(и) + 2(р, и)7, где.

П+ г1 а (р, м)7 — некоторый линейный непрерывный функционал в И^^" 1″), ортогональный единице.

Справедливы следующие утверждения. Теорема 3.1. Если (р, 1)7 = 0- то </7(гг) ограничен снизу. Теорема 3.2. Существует и € И/21)7(^+) такая, что </7(гг) = —с?. Более того, для любой? ? И7^ справедливо равенство.

Ф7(м, 0 + (Р"07 = °.

Обозначим через ½, 7(Г+) множество функций и — и{х), определенных на части границы Г+, квадратично суммируемых на Г+ с весом Пусть линейный функционал в Ь2Л (Т+). Функционал (?г+,^г+)7 является линейным непрерывным функционалом в И^^4″).

Содержание следующей теоремы составляет основной результат этой главы.

Теорема 3.3. Если (£г+> 1)7 = 0- то существует функция и Е И/21)7(^+) такая, что:

1) и{х) имеет в непрерывные производные любого порядка и удовлетворяет уравнению д д2и ^ д2и ^ 7 ди ф.

Ъ—X.

2) пусть — произвольная возрастающая последовательность областей, имеющих достаточно гладкую границу содержащихся в и стремящихся к Тогда ди г: где V — внешняя нормаль к? €^2,7 ~~ произвольная функция.

Таким образом, задачей Неймана для рассматриваемого сингулярного уравнения является задача об отыскании функции, о которой идет речь в этой теореме.

Получен также следующий результат, хорошо известный для обычных решений задачи Неймана для уравнения Лапласа.

Теорема ЗА. Решение задачи Неймана определяется с точностью до постоянного слагаемого.

В главе 4 исследуется задача о собственных значениях сингулярного дифференциального оператора тЗ дх1 дх1 дхп.

Постановка задачи: найти все значения Л при которых уравнение.

Ави + и = 0, (6) при условиях на части границы Г+ ди д^.

— Нг+ = 0, (7) г+ где V — внешняя нормаль, и при выполнении условия четности на другой части границы Г°, имеет ненулевое решение.

Выполнение граничных условий понимается в следующем смысле: рассмотрим последовательность областей лежащих внутри Q+ и прилегающих к гиперплоскости хп = 0, стремящуюся к Q+. Пусть границы области {Г/+} непрерывно дифференцируемы. Если, кроме того, считать h предельным значением на Г+ некоторой функции, заданной в то условие (7) принимает вид / (I" Ни) ^ = г'+.

В пространстве W21j7(^+), где 7 — фиксированное положительное число рассмотрим следующие функционалы: i=1 Г+ (' = J М2®-«^' п+ Ы1 U+.

Лемма 4.1. Имеют место следующие неравенства:

Ф" < CiF" + С2#", F7(v) < 01Я7(«) + С2Ф7(«).

Лемма 4.1 позволяет решить вопрос о существовании inf Fy (v) = Ai при H7(v) = 1 и о существование последовательности {и*}, такой что.

Vk е WiJQ+), Щ (ук) = 1, lim = Ль ' К-400.

Существование первой собственной функции доказывается в следующей теореме.

Теорема 4.1. Существует функция щ € И^^*) такая, что.

Щ (щ) = 1, F7(wi) = Ль.

Функция щ имеет непрерывные производные любого порядка в четные по переменной хп, и удовлетворяет уравнению АвЩ + Аг^ = 0.

Для исследования вопроса о возможности нахождения последующих собственных чисел и собственных значений предполагается, что уже найдены т — 1 функций щ,., ит-1 и значений Ах,., Аш1, такие что для любой функции? ? И/21,7(^+).

— = 0, = 1, = 0, ъфз.

Совокупность функций V, удовлетворяющих условиям Н7(у, щ) = 0 (г = 1,2, ., т — 1) обозначим ., ит-х). Это множество представляет собой замкнутое линейное многообразие. Существование следующей собственной функции утверждается в следующей теореме.

Теорема 4.2. Существует функция ит? ^2,7(^1″ ¦•¦>ит-1)) такая, что.

Ну^ищ) = 1, I? у (ит) = Ат, — АтН7(ит, ?) = 0 для произвольной? ? И^^х, •••> ит-) — Кроме того, ит имеет в непрерывные производные любого порядка и удовлетворяет уравнению, А вит + Л тит = 0.

Теорема 4.3. Существует неубывающая бесконечная последовательность чисел {Ат} и последовательность соответствующих им сколько угодно раз непрерывно дифференцируемых в функций {ит} таких, что.

Авит + А тит = 0, Ну и^ —.

Каждая ит удовлетворяет граничному условию (7).

Теорема 4.4. Для последовательности собственных значений {Ато} справедливо.

Теорема 4.5. Система собственных функций {г4т} оператора, А в в области замкнута в весовом пространстве то есть для всякой (р? Ь2/у (П+) справедливо равенство.

Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертации получены следующие новые результаты:

1. Разработан вариационный метод решения задачи Дирихле и Неймана для В-гармонического уравнения в ограниченной области специального вида.

2. Разработан вариационный метод решения основной краевой задачи для В-полигармонического уравнения в ограниченной области специального вида.

3. Найдена конструкция функционалов, минимизирующие последовательности которых сходятся к решениям задачи на собственные значения для сингулярного дифференциального оператора Дд. Доказано существование первого и последующих собственных функций и доказана теорема о замкнутости соответствующей бесконечной последовательности собственных функций.

Нш Хт = +оо. гп-> оо.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференции «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, 2000 г.), на весенних математических школах «Понтрягинские чтения — X» (1999г.), «Понтрягинские чтения — XI» (2000г.), «Понтрягинские чтения — XIII» (2002г.), на Воронежской зимней математической школе (2004 г.), ежегодных научных конференциях Воронежского госуниверситета (2001г., 2002 г., 2004 г.), семинарах кафедры дифференциальных уравнений.

Основные результаты работы опубликованы в работах [21], [28], [29], [36]-[44]. В совместной работе [21] И. А. Киприянову принадлежит идея и формулировка некоторых результатов, доказательства же принадлежат автору работы. Работы [28]-[29] (посвящены обобщениям результатов диссертации, касающихся задач для В-гармонических функций) выполнены совместно с Л. Н. Ляховым, которому принадлежит идея этого обобщения, доказательства соответствующих теорем получены лично автором.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в конкретных задачах математической физики с осевой симметрией. Методы вариационного исследования могут быть использованы для уравнений, содержащих по одному или нескольким направлениям оператор Бесселя, в частности для уравнения Пуассона, и в методе Фурье разделения переменных в задачах математической физики со сферической или осесимметрической симметриями.

1. Ароншайн Н. (Aronsajn N.) Boundary values of functions with finite Dirichlet integral / N. Aronsajn // Univ. of Kansas. — 1955. — Techn. Report № 14. — P.77 — 94.

2. Бабич B.M. Об ограниченности интеграла Дирихле / B.M. Бабич, Л. Н. Слободецкий // Докл. АН СССР. 1956. — Т. 106, № 4. — С. 604−607.

3. Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения / О. В. Бесов // Тр. МИАН СССР. 1961. — Т.60. — С. 42−81.

4. Бесов О. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. М.: Наука — Физ-матлит, 1996. — 480 с.

5. Богачев Б. М. О свойствах функций из весового пространства на дифференцируемом многообразии / Б. М. Богачев, И. А. Киприянов // Тр. МИАН СССР. 1988. — Т. 156. — С. 110−120.

6. Буренков В. И. Теоремы вложения и продолжения для классов дифференцируемых функций многих переменных, заданных во всем пространстве / В. И. Буренков // Итоги науки. Математический анализ, 1965 г.- М.: ВИНИТИ АН СССР. 1966. — С.71−155.

7. Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М. И. Вишик // Матем.сб. 1954. — Т. 35(77), вып. 3. — С. 513−568.

8. Гильберт Д. Методы математической физики / Р. Курант. Д. Гильберт. М.-Л.: ГИТТЛ, 1933. — Т.1. — 532 с.

9. Глушко В. Г. Неравенства для норм производных в пространствах Lp с весом / В. Г. Глушко, С. Г. Крейн // Сиб.мат.журнал. 1960. — Т. 1, т. — С. 343−382.

10. Ильин В. П. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследованию сходимости вариационных процессов / В. П. Ильин // Тр. МИАН СССР. 1959. — Т. 53. — С. 128−144.

11. Катрахов В. В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений / В. В. Катрахов // Матем. сб. 1980. — Т. 112, вып. 3. — С. 354−379.

12. Катрахов В. В. Об одной сингулярной краевой задаче для уравнения Пуассона / В. В. Катрахов // Матем. сб. 1991. — Т. 182, вып. 6. — С. 849−876.

13. Кащенко H.A. Об операторе осреднения, связанном с обобщенным сдвигом / H.A. Кащенко, И. А. Киприянов // Докл. АН СССР. 1974. Т. 218, т. С. 21−23.

14. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М. В. Келдыш // Докл. АН СССР.- 1951. Т. 77, т. — С. 181−183.

15. Киприянов И. А. Преобразование Фурье Бесселя и теоремы вложения для весовых пространств / И. А. Киприянов // Тр. МИАН СССР. -1967. — Т. 89. — С. 130−213.

16. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И. А. Киприянов. М.: Наука, 1997. — 199 с.

17. Киприянов И. А. Фундаментальные решения В эллиптических уравнений / И. А. Киприянов, В. И. Кононенко // Дифференц. ур-ния. -1967. — Т. 3, № 1. — С. 114- 129.

18. Киприянов И. А. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных / И. А. Киприянов, В. И. Кононенко // Дифференц. ур-ния. 1969. — Т. 5, № 8. — С. 1470−1483.

19. Киприянов И. А. Об одном вариационном методе в сингулярных задачах / И. А. Киприянов, Н. В. Рогова // Вестн. факультета ПММ. -Воронеж, гос. ун-т. 2000. — С. 109−118.

20. Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений / Л. Д. Кудрявцев // Тр. МИАН СССР. 1959. — Т. 55. — С. 1−181.

21. Кудрявцев Л. Д. Теоремы вложения для весовых пространств и их приложения к решению задачи Дирихле / Л. Д. Кудрявцев // Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. Баку: АН АзССР, 1965. — С. 493−501.

22. Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б. М. Левитан // УМН. 1951. — Т. 6, вып. 2(42). — с.102−143.

23. Лизоркин П. И. Граничные свойства функций из «весовых» классов / П. И. Лизоркин // Докл. АН СССР. I960, — Т. 132, № 3. — С. 514−517.

24. Лизоркин П. И. Принцип Дирихле для уравнений Бельтрами в полупространстве / П. И. Лизоркин // Докл. АН СССР. 1960. Т. 134, № 4. — С. 761−764.

25. Ляхов Л. Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом / Л. Н. Ляхов. Воронеж: ВГТА, 1997. — 144 с.

26. Ляхов Л. Н. Обобщение одной теоремы о следах функций из весового пространства Киприянова /Л.Н. Ляхов, Н. В. Рогова // Воронежская зимняя математическая школа: тез. докл. Воронеж, 2004. С. 95−96.

27. Ляхов Л. Н. Задача о минимуме функционала с несколькими весовыми переменными /Л.Н. Ляхов, Н. В. Рогова // Современные проблемы механики и прикладной математики: сб. трудов международной школы-семинара. Воронеж, 2004. — Ч. 1, т. 2. — С. 420−423.

28. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала / С. Г. Михлин. Гостехиздат, 1952. — 216 с.

29. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных / С. Г. Михлин. Высшая школа, 1997. — 431 с.

30. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. ГИТТЛ, 1957. — 476 с.

31. Михлин С. Г. О применимости вариационного метода к некоторым вырождающимся эллиптическим уравнениям / С. Г. Михлин // Докл. АН СССР. 1953. — Т. 91,№ 4. — С. 723−726.

32. Никольский С. М. Свойства некоторых классов функций многих переменных на дифференцируемых многообразиях / С. М. Никольский // Матем. сб. 1953. — Т. 33(75), вып. 2. — С. 261−326.

33. Никольский С. М. О теоремах вложения, продолжения и приближения дифференцируемых функций многих переменных /С.М. Никольский // УМН. 1961. — Т. 16, вып. 5(101). — С. 63−114.

34. Рогова Н. В. Об одной сингулярной задаче Дирихле / Н. В. Рогова // Понтрягинские чтения X: тез. докл. — Воронеж, 1999. — С. 207.

35. Рогова Н. В. Задача Дирихле с оператором ВХпг / Н. В. Рогова — Воронежский гос. ун-т. Воронеж, 1999. — 19 с. — Деп. в ВИНИТИ 24.11.99, № 3488-В99.

36. Рогова Н. В. Задача Дирихле с оператором ВХп /Н.В. Рогова — Воронежский гос. ун-т. Воронеж, 1999. — 16 с. — Деп. в ВИНИТИ 24.11.99, ДО3487-В99.

37. Рогова Н. В. О собственных функциях и собственных значениях оле-ратора А. в / Н. В. Рогова // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках: тез. докл. Воронеж, 2000. — С. 186.

38. Рогова Н. В. Задача о собственных значениях олератора Двх г / Н. В. Рогова // Сборник работ студентов и аспирантов математического факультета ВГУ. Воронеж, 2000. С. 48−53.

39. Рогова Н. В. Задача Неймана для уравнения с оператором Бесселя // Понтрягинские чтения XI: тез. докл. — Воронеж, 2000. С. 124.

40. Рогова Н. В. Решение задачи Неймана для В-эллиптического уравнения второго порядка /Н.В. Рогова // Труды молодых ученых. Воронеж, 2001. — Вып. 1. — С. 20−24.

41. Рогова H.B. О сингулярной задаче Дирихле для уравнения с переменными коэффициентами / Н. В. Рогова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. Воронеж, 2001. — С. 224.

42. Рогова Н. В. Вариационный метод для сингулярных эллиптических уравнений второго порядка /Н.В. Рогова // Понтрягинские чтенияXIII: сб. материалов. Воронеж, 2002. — С. 134−135.

43. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев.- М.: Наука — Гл. ред. физ.- мат. лит., 1988. 336 с.

44. Успенский C.B. О теоремах вложения для весовых классов / C.B. Успенский // Тр. МИАН СССР. 1961. — Т. 60. — С. 282−303.

45. Фройд (Freud G.) Uber die Anwendbarkeit des Dirichletschen Prinzips fur den Kreis / G. Freud, D. Kralik // Acta Math. Yung. 1956. — V. 7, № 3,4. — P.411−418.