Вырождающиеся эллиптические уравнения и связанные с ними весовые пространства

Основным объектом изучения в работе являются вырождающиеся эллиптические уравнения и связанные с ними весовые пространства типа Соболева.

Имя Сергея Львовича Соболева (1908;1989) хорошо известно широкому кругу математиков как одного из создателей понятия обобщенных функций, глубоко изменившего облик современной математики. Связанные с его именем такие понятия, как обобщенное решение, обобщенная производная, теоремы вложения, пространства Wp стали общепринятыми. Теоремы вложения, сформулированные и доказанные C.JI. Соболевым еще в тридцатых годах прошлого столетия, оказались весьма полезным аппаратом функционального анализа и уравнений в частных производных.

В настоящее время классические разделы математики претерпевают значительные изменения под влиянием наплыва новых идей и методов, главным образом связанных с функциональным анализом. В первую очередь эти идеи коснулись теории дифференциальных уравнений: обыкновенных и в частных производных.

Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. В этих исследованиях в основном рассматривались вырождающиеся эллиптические системы уравнений первого порядка (см., например, работы A.B. Бицадзе, И. Н. Векуа, JI.C. Парасюк и т. д.). Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка, то к числу первых в этом направлении относится работа М. В. Келдыша (1951), где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий, которые заменяются условием ограниченности решений. Позже A.B. Бицадзе в своей работе указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.

Одним из представителей вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка является уравнение вида д2и ^ д2и ^ Jdu g (0 11) дх2 ду2 ду которое впервые было рассмотрено И. Л. Каролем. Им были построены фундаментальные решения этого уравнения при, а < 1. Позже P.C. Хайруллин в своей работе с помощью этих фундаментальных решений исследовал основные краевые задачи для уравнения (0.1.1) при тех же значениях а.

Отметим, что к вырождающимся эллиптическим уравнениям приводят прикладные задачи гидро — и газовой динамики, теории упругости, перенос нейтронов и другие процессы в физике и механике. Значительное количество примеров приведено в работе [20].

В данной работе дается определение одного класса весовых пространств C.JI. Соболева. Освещается вопрос о плотности множества финитных функций в данном весовом пространстве. Доказана теорема о плотности финитных функций в весовом пространстве Соболева в кубе = (0, а) п. Дается приложение этого весового пространства при изучении задачи Дирихле и задачи Е для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка.

Центральное место занимает исследование первой, третьей и смешанной краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на различных частях границы цилиндрической области. Доказывается однозначная обобщенная разрешимость этих краевых задач в весовых пространствах C.JI. Соболева, также устанавливается фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. Далее рассмотрена задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения.

В диссертации используются методы, позволяющие изучать уравнения неклассического типа второго порядка. К этим методам относятся: функциональный метод, модифицированный метод Вишика, теорема Рисса и три теоремы Фредгольма, теорема о сжимающих отображениях и вариационный метод.

Актуальность темы

исследования.

В работах М. А. Лаврентьева, М. В. Келдыша, И. Н. Векуа, С.А. Христиа-новича, С. А. Чаплыгина, Л. Г. Гудерлея и других была отмечена важность проблемы неклассических уравнений математической физики при решении задач, возникающих в трансзвуковой газовой динамике, в магпитогидроди-намических течениях с переходом через скорость звука и скорость Альфена, в течениях жидкости в открытом канале, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и во многих прикладных задачах механики. Поэтому краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений привлекают внимание многих авторов.

Интерес к изучению граничных задач для вырождающихся дифференциальных уравнений вновь заметно возрос после появления работ Г. Фикера и O.A. Олейник. Фундаментальные результаты в этом направлении, как известно, принадлежат М. В. Келдышу [29]. Полученные им результаты затем развивались и обобщались в работах O.A. Олейник [43], Н. Д. Введенской [6 и др.

Изучение обобщенных решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка началось с работ С. Г. Михлина [39] и М. И. Вишика [7]. Вслед за этим появился ряд работ, в которых методами, близкими к методу М. И. Вишика, изучались вырождающиеся уравнения второго и более высокого порядка.

Довольно много работ и монографий посвящено разрешимости краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, но не достаточно изучено влияние поведения весов на различных частях границы области. Поэтому отметим последние исследования.

В работах И. Е. Егорова и H.A. Тихонова [22] в области Q, ограниченной в Rn П (0 < хп < а) границей Г, часть Го которой лежит в гиперплоскости хп — 0, а остальная часть Ti — в полупространстве хп > 0, рассматривается эллиптическое уравнение.

71 я / я п я = +?*(*)?+<**)" = /(*). (0−1.2) i, j=1 1 ^ / г=1 1 где dij (x) = a>ji (x) — непрерывные функции в Cl. Предполагается, что в уравнении (0.1.2) коэффициенты ац, bi непрерывно дифференцируемы в Я? = П (хп > S), где 5 — любое положительное число, а функция с (х) непрерывна в Qo. Считается выполненным условие п.

X аи{хШз > 0 Vz е U П (жп > 0) V? 6 Rn и |?|2 > 0. i, j = 1.

Также выполняются неравенства.

Фп)£ <С2 Е афШэ, Z G Rn, i, j = 1 cVO х) < С2(р (хп), где ip (t) — непрерывная положительная функция при 0 < t < а, </?(0) = 0.

При таких предположениях эллиптическое уравнение (0.1.2) вырождается на Гц. Рассматриваются первая и третья краевые задачи для данного уравнения с произвольным вырождением. Доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений краевых задач, и изучены спектральные свойства оператора первой краевой задачи, которые обобщают известные результаты для вырождения степенного характера [22].

В работе [24] И. Е. Егоров в области О, рассматривает уравнение (0.1.2), где 1р (&euro-) удовлетворяет условию.

Изучается краевая задача Е для данного эллиптического уравнения, и доказывается единственность ее обобщенного решения.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений и найти приложение в теории краевых задач для уравнений смешанного типа, возникающих при решении многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и т. д.). Особо значительную роль такие уравнения играют в газовой динамике.

Историография вопроса.

Исследования по плотности финитных функций в весовых пространствах с достаточно произвольным весом ведут свое начало из работ Е.Т. Поульсе-на, применившего для доказательства теоремы о плотности финитных функций методы функционального анализа. Затем вопросы о плотности финитных функций рассматриваются в работах Л. Д. Кудрявцева, О. В. Бесова, В. Р. Портнова, Л. Н. Домышевой, Г. Н. Яковлева, П. И. Лизоркина, С. М. Никольского, А. Куфнера, М. О. Отелбаева и др.

Рассмотрим обзор последних (в 80−90 г. г. прошлого столетия) исследований по плотности финитных функций.

В работе О. В. Бесова [1] исследуется три случая плотности финитных функций в весовом пространстве С. Л. Соболева. а 0.

В первом случае рассматривается пространство? р)а© функций и с нормой? ЬП"и\р^ = Е |/ И^аи{х)Р ¿-.х 1. (0.1.3) а<1 а<1 ;

Также рассматриваются вопросы существования граничных значений (следов) производных функций из Wp) j{G) на 8G и возможность сколь угодно точной аппроксимации функций из Wp) a{G) функциями с компактным носителем в G. При этом изучается возможность конструктивного построения аппроксимирующих функций с помощью срезающих функций, т. е. используется метод аппроксимации, не зависящий от индивидуальной функции. Далее устанавливаются две теоремы о пространстве функций, заданных в области с негладкой (липшицевой) границей, обладающих производными по всем переменным до порядка I и конечной нормой (0.1.3).

Во втором случае устанавливаются некоторые вспомогательные утверждения для одномерного случая.

В третьем случае устанавливаются для липшицевого многообразия некоторые свойства геометрического характера.

К.Х. Бойматов [3] в своей работе о плотности финитных функций в весоо вых пространствах изучает вопрос о характеризации функций и (х) Е для гладких областей. Для этого рассматриваются пространства <7,6), функций и (х) (х Е fi), имеющих обобщенные по C.JI. Соболеву производные Dau, |а| < m, с нормами соответственно л i /р

Г j a{x)Dau{x)pdx +j a (x)5-rnp{x)u (x)pdx i, (0.1.4) a =m.

П П.

1/р а (аОЯ (|а|т)р (я)|ЯМ*)1Р^.

0.1.5) а|<�тп.

Основные результаты относятся к случаю произвольного открытого множества С ЯпРассматриваются теоремы о плотности множества Со°(Г2) в <7,6)и множества Со°(П) в а, д). Доказательство этих теорем сводится к проверке эквивалентности норм (0.1.4),(0.1.5).

В работе Л. Н. Домышевой [21] для функций из весовых полунормированных пространств строятся последовательности финитных бесконечно дифференцируемых функций, сходящихся по полунорме к данным функциям, и указываются скорости сходимости этих последовательностей. Также доказывается теорема о существовании такой бесконечно дифференцируемой по переменной хп, финитной относительно гиперплоскости К" 1″ 1 при Л — 25.

В работе И. Е. Егорова [23] исследуется обобщение результатов теоремы вложения и компактности для пространства со степенным характером вырождения метрики, которая определяется неотрицательно определенной квадратичной формой. С этой целью рассматривается случай произвольного вырождения метрики на границе области.

В работе Л. Д. Кудрявцева [30] рассматривается вопрос о построении для функции /, определенной на числовой полупрямой и принадлежащей функции /- € Ьгр^п), что Ц (х) = 0 на и — Я- < яГпГП +1/- где /*- функция, определенная равенством некоторому весовому полунормированному пространству, сходящейся к ней последовательности бесконечно дифференцируемых финитных функций. В этой работе применяются прямые конструктивные методы приближения фиксированной функции финитными. Здесь имеет место теорема о том, что lim о и (х)[ 1 — фкЫ)], Lrp^{Rn) 0, из этой теоремы следует теорема о плотности множества бесконечно диффео ренцируемых функций в пространстве LrpiTnj (p.

Этот подход к исследованию краевых задач для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе, впервые продемонстрированный в работе Л. Д. Кудрявцева, получил дальнейшее развитие в работах С. М. Никольского, П. И. Лизоркина, C.B. Успенского, О. В. Бесова, X. Трибеля и других [1], [3].

Среди работ последних лет, посвященных изучению уравнений эллиптического типа второго порядка, необходимо отметить следующие: А. Kufner [31], M.И. Вишик и В. В. Грушин [8], С. А. Терсенов [50], В. П. Глушко [19], A.A. Вашарин и П. И. Лизоркин [5], М. В. Келдыш [29], В. А. Брюханов [4], В. В. Катрахов [28], И. Е. Егоров [25], H.A. Тихонов [51].

Вопрос о разрешимости краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений был рассмотрен в работах [52], [25], [34], [32]. В этих работах для исследования краевых задач были использованы: метод априорных оценок, теоремы о неподвижных точках, геометрические методы, метод продолжения по параметру.

Краткое содержание диссертации. Первая глава носит вспомогательный характер.

В этой главе дается определение одного класса весовых пространств С. Л. Соболева. Приведены теоремы вложения и компактности весовых пространств, ранее доказанные И. Е. Егоровым. Доказана теорема о плотности финитных функций в весовом пространстве Соболева в кубе ft = (0, а) п. Дается приложение этого весового пространства при изучении задачи Дирихле и задачи Е для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка.

Основной вопрос, который мы исследуем во второй главе — это однозначная обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения lu=§ i (^§?0 +? h- (^ю+(°-L6) 1,3 = 1 1 с (х, t) u = f (x, t), (х, t) G Q, где функция.

0 -непрерывная функция при 0 < t < а, ^(0) = 0- ац — вещественные измеримые в Г2 С Rn функции (i, j = l,., п), удовлетворяющие условию симметричности: ац — afc с (х, t) непрерывна в ft, и а (х, t) непрерывна в ft П {t > (5} для /5 > 0. Предполагается, что выполнено неравенство.

С1Р21?|2 < Oi&tj < с2р2 |?|2, aeRn, где peC (Q), |Vp| € р (х)> 0 Vx е ft, р > 1.

Также доказана теорема о существовании и единственности обобщенного решения первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения.

Lu=it +? ш ^x)uj+? bi (x)s+ (ол-7) du.

—a (x, t) — + c (x, t) u = f (x, t), (x, t) eQ, где функции.

0, i/j (t) > 0 — непрерывные функции при t > 0, (0) = -0(0) — 0- а^ - вещественные измеримые в Г2 С ВТ1 функции (г, j = 1,., п), удовлетворяющие условию симметричности: ац = а.

Предполагается, что выполнены неравенства рыеп < С2 Е С <Е Д", с2(р (хп) < апп (х) < С2(р (хп).

Для доказательства существования обобщенных решений используется модифицированный метод Вишика, а для доказательства единственности обобщенного решения используются методы из функционального анализа.

В третьей главе изучается третья краевая задача для эллиптического уравнения (0.1.7). Доказывается существование и единственность ее обобщенного решения. Также доказана обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения (0.1.6).

В конце данной главы исследована задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения.

Ьи = Ъь (^§?0 + ?^ ^ и'+ ((и'8).

1 1. ди где функции </?(?), ?/>(?) удовлетворяют условиям: > > 0 — непрерывные функции при t > 0, ср (0) = ф (0) = 0- Чи = (их ,., иХп), а^- вещественные измеримые в функции (г, у = 1, ., п), удовлетворяющие условию симметричности: аг-у (ж, гг, = и, 7м) для У и € Со°(Г2).

Предположено, что выполнены неравенства угаг эир а^{х, (р, 1Ч^р)р~2{х) < +оо, vraisup x€ q.

Oij (:X, C/9, Vy?) — Vfl) n cVW < ann (x,.

< C2y (xn) о 5 Е где М — положительное число, не зависящее от , 6, х,.

С помощью теоремы о сжимающих отображениях и вариационного метода доказывается существование единственного обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения (0.1.8).

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре профессора И. Е. Егорова «Дифференциальные уравнения с частными производными» (НИИ математики при ЯГУ, г. -Якутск), на семинаре профессора А.И. Кожанова" Неклассические уравнения математической физики" (ИМ СО РАН, г. Новосибирск), а также доложены на различных конференциях: Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка» (2004, 2005, 2006) — Лаврен-тьевские чтения молодых ученых и специалистов Республики Саха (Якутия) (2002, 2005) — IV и V Международные конференции по математическому моделированию (2004, 2007) — Республиканская научно — практическая конференция «Информационные технологии в науке, образовании и экономике» (2003) — Всероссийская конференция «Космо-и геофизические явления и их математические модели» (2002). Работа поддержана грантом № 8425 Ведомственной научной программы Федерального агентства по образованию «Развитие научного потенциала высшей школы» на 2005 год и грантом 2006;РИ-19.0/001/711 научной программы «Проведение научных исследований молодыми учеными» Федерального агентства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ.

1. Бесов O.B. О плотности финитных функций в весовом пространстве С. Л. Соболева // Труды МИАН СССР, 1983. С.29−43.

2. Бойматов К. Х. О некоторых весовых пространствах // Функциональный анализ и его применения в механике и теории вероятностей. М.: Изд-во МГУ, 1984. С. 119−120 .

3. Бойматов К. X. Обобщенная задача Дирихле, связанная с коэрцитивной билинейной формой // Доклады РАН, 1993. Т. 330, № 3. С. 285−290.

4. Брюханов В. А. О краевой задаче для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений // Применение методов теории функций и функц. анализа к задачам мат. физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та мат, 1978. С. 20−22.

5. Вашарин A.A., Лизоркин П. И. Некоторые краевые задачи для эллиптических уравнений с сильным вырождением на границе. ДАН СССР, 1961. Т. 137, № 5. С.1015−1019.

6. Введенская Н. Д. Об одной краевой задаче для уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области. ДАН СССР, 1953. Т. XCI, Ш. С. 711−714.

7. Вишик М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Мат. Сборник, 1954. Т.35, № 3. С. 513−568.

8. Вишик М. И., Грушин В. В. Об одном классе вырождающихся эллиптических уравнений высших порядков // Мат. Сборник, 1969. Т.79, № 1. С.3−36.

9. Вихрева O.A. О весовом пространстве Соболева в кубе = (0,)п// Сборник трудов аспирантов ЯГУ им. М. К. Аммосова / Под ред. В. Ю. Фридовского и др. Якутск: Изд-во Якутского университета, 2004. С. 29−34.

10. Вихрева O.A. Краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения // Сборник трудов II Республиканской научно-практической конференции «Информационные технологии в науке, образовании и экономике». Якутск: ЯГУ, 2003. С. 113−118.

11. Вихрева O.A. Обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения // Тезисы докладов V Международной конференции по математическому моделированию. Якутск, 2007. С. 16−17.

12. Вихрева O.A. Об одной краевой задаче для вырождающегося эллиптического уравнения // Математические заметки ЯГУ, 2006. Т. 13, выпуск 1. С. 58−67.

13. Вихрева O.A., Егоров И. Е. Обобщенная разрешимость первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения // Сборник статей IX Лаврентьевских чтений, посвященных Международному году физики. Т.1. Якутск, 2005. С. 34−41.

14. Вихрева O.A. О смешанной краевой задаче для вырождающегося эллиптического уравнения // Тезисы докладов IV Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка». Якутск, 2006. С. 36−37.

15. Вихрева O.A. Об обобщенной разрешимости первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения // Тезисы докладов IV Международной конференции по математическому моделированию. Якутск, 2004. С.11−13.

16. Вихрева O.A. Обобщенная и фредгольмова разрешимость смешанной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения // Вестник СамГУ, 2007. Т. 56, № 6. С. 194−202.

17. Вихрева O.A. Задача Дирихле для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения // Математические заметки ЯГУ, 2008. Т. 15, выпуск 1. С. 39−44.

18. Глушко В. П. Оценки в Li и разрешимость общих граничных задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка. Труды Московского мат. Общества, 1970. Т.23. С. 113−178.

19. Глушко В. П. Теорема разрешимости краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка // Труды семинара C.JI. Соболева, 1978. № 2. С. 49−68.

20. Гринберг В., Ван дер Ми С.В.М., Цвайцель П. Ф. (Greenberg W., Van der Мее С.V.M., Zweifeel P.F.) Generalized kinetic equations//Integral equation. Operator Theory. 1984. -V.7, N 1. — P. 60−95.

21. Домышева Jl.H. О плотности финитных функций в весовом пространстве С. Л. Соболева // Труды МИАН СССР, 1983. С. 106−111.

22. Егоров И. Е., Тихонов H.A. О краевых задачах для вырождающегося эллиптического уравнения // Математические заметки ЯГУ, 2002. Т.9, выпуск 1. С. 33−43.

23. Егоров И. Е. Теоремы вложения и компактности для одного класса весовых пространств // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1993. С. 161−168.

24. Егоров И. Е. Весовые теоремы вложения и их применения // Математический анализ и дифференциальные уравнения. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1992. С. 114−117.

25. Егоров И. Е. Весовые пространства Соболевского типа и вырождающиеся эллиптические уравнения // Casopis pro pestovani matematiky. 1984, гос. 109. P. 74−85.

26. Искохов С. А. О гладкости решений обобщенной задачи Дирихле и задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами // Доклады РАН, 1995. Т. 342, т. С. 20−22.

27. Искохов С. А. Вариационная задача Дирихле для вырождающейся на границе эллиптической системы дифференциальных операторов // Доклады АН СССР, 1992. Т. 322, № 1. С. 33−37.

28. Катрахов В. В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Мат. сб, 1980. Т.112, № 3. С. 354−379.

29. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнения эллиптического типа на границе области//ДАН СССР, 1957. Т. 77, № 2. С. 181−183.

30. Кудрявцев Л. Д. О плотности финитных функций в весовом пространстве С. Л. Соболева // Труды МИАН СССР, 1980. С. 121−129.

31. Kufner A. Weighted Sobolev Spaces. Leipzig, 1980. 152 P.

32. Красносельский M.A., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

33. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

34. Ларькин H.A., Новиков В. А., Яненко H.H. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983.

35. Лизоркин П. И. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Труды МИАН, 1985. Т. 172. С. 235−251.

36. Матвеева И. И. О первой краевой задаче для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, № 7. С. 1267−1281.

37. Мирошин Н. В. Обобщенная задача Дирихле для одного класса эллиптических дифференциальных операторов, вырождающихся на границе области // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, № 6. С. 1099−1111.

38. Мирошин Н. В. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического оператора // Дифференц. уравнения, 1988. Т. 24, № 3. С. 455−464.

39. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

40. Михлин С. Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения // Вестник ЛГУ, серия «Матем., мех. и астр.», 1954. Вып. 8.

41. Мынбаев К. Т., Отелбаев М. О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. М.: Наука, 1988.

42. Никольский С. М. Вариационные проблемы для уравнений эллиптического типа с вырождением на границе // Труды МИАН, 1979. Т. 150. С. 212−238.

43. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области//ДАН СССР, 1952. Т. LXXXVII, № 6. С. 885−888.

44. Пятков С. Г. Об одном операторно-дифференциальном уравнении // Краевые задачи для нелинейных уравнений: Сб. научных трудов ИМ СО АН СССР. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1982.

45. Рисс Ф., Секефальви Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир. 1979. 589 с.

46. Рыбалов Ю. В. О краевой задаче в полупространстве с граничными условиями на бесконечности // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 12. С. 2193−2204.

47. Рыбалов Ю. В. Краевые задачи в полупространстве с граничными условиями в точке // Дифференц. уравнения, 1983. Т. 19, № 5. С. 834−845.

48. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М: Наука, 1966.

49. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической" физике. М.: Наука, 1988.

50. Терсенов С. А. К теории уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области // Сибирск. мат. журнал, 1965. Т. 6, № 5. С.1120−1144.

51. Тихонов H.A. Об обобщенной разрешимости третьей краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения // Математические заметки ЯГУ, 1999. Т.6, выпуск 1. С. 54−59.

52. Чуешев A.B. Об одном нелинейном уравнении смешанного типа нечетного порядка // Вестник Новое, ун-та, серия «Математика. Механика. Информатика», 2001. Т.1. Выпуск 1.