Анализ модельного подхода теории расширений в скалярной задаче дифракции и системах нежестких кристаллов фуллеритов
![Диссертация: Анализ модельного подхода теории расширений в скалярной задаче дифракции и системах нежестких кристаллов фуллеритов](https://gugn.ru/work/3053424/cover.png)
В работе /г0(?, е) функция считается произвольной из пространства Сд0. Особенность выведенного уравнения заключается в том, что ядро интегрального оператора из уравнения (0.14) принадлежит пространству Шварца, а функция 1п (ё/к2 — имеет нули и особые точки. Обоснование представления (0.12) требует доказательства однозначной разрешимости уравнения (0.14). В работе само уравнение (0.14… Читать ещё >
Содержание
- ГЛАВА I. ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ НА ТОНКОМ НЕКОМПАКТНОМ ТЕЛЕ ВРАЩЕНИЯ. И
- 1. 1. Постановка задачи
- 1. 2. Задача А
- 1. 3. Задачи В и С, асимптотика решения
- ГЛАВА II. МОДЕЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
- II. 1. Постановка задачи, описание семейства модельных операторов
- II. 2. Построение модельного оператора задачи дифракции
- ГЛАВА III. ЛОКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ НЕЖЕСТКИХ КРИСТАЛЛОВ ФУЛЛЕРИТОВ С60, С
- III. 1. Физические системы с нежесткостью. Принципы построения перестановочно-инверсионных групп симметрии
- 111. 2. Перестановочно-инверсионные группы симметрии нежестких кристаллов
- 111. 3. Физически значимые неприводимые представления группы Vc и симметрия относительно перестановок тождественных ядер
- 111. 4. Перестановочно-инверсионная симметрия фуллерита С60 в высокотемпературной фазе
- 111. 5. Перестановочно-инверсионная симметрия фуллерита С70 в высокотемпературной фазе
- 111. 6. Перестановочно-инверсионная симметрия фуллерита С70 в промежуточной фазе
Анализ модельного подхода теории расширений в скалярной задаче дифракции и системах нежестких кристаллов фуллеритов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Термины: «модельный подход», «модельная задача» встречаются в различных разделах теоретической физики. Так, например, в теории дифракции^ в физике твердого тела получил широкое распространение модельный подход имеющий непосредственное отношение к методу потенциалов нулевого радиуса. Впервые потенциалы нулевого радиуса были введены Е. Ферми ([1],[2]), что позволило точно решить ряд физических задач.
Введение
потенциалов нулевого радиуса сводится к заданию «граничного условия» на волновую функцию Ф в точке: 1 а (г"м, ут г->о гЧ?(г, 9,<�р) дг) где г — расстояние от «центра потенциальной ямы» — точки, где находится потенциал нулевого радиуса, а — вещественный параметр. Активное применение и дальнейшая разработка метода начались с шестидесятых годов ([3]-[6]) и продолжаются в настоящее время [7|,[8]. Так, например, в работе [9] решена задача о возмущении оператора Лапласа, А сингулярным потенциалом вида Ja{z)5{l?^ -еМ3,геК, (0.2) к сосредоточенным на прямой М с функцией а{г) е Ь2 (К, (1 + 22)1сЬ). Там же было показано, что оператор Лапласа возмущенный сингулярным потенциалом вида (0.2) с функцией а (г) = 1 может быть задан описанием его области определения, в которую входят все те функции и из пространства Гильберта Ь2(Ш), которые удовлетворяют «граничному условию» и (р, <�р, г) + р (1п р + Н (г)) и (р, (р, г) -> 0, (0.3) ор Р^ О где р — расстояние до прямой Ж, Н (г) — некоторая абсолютно непрерывная веществен-нозначная функция. Задачи о введении потенциалов нулевого радиуса и сингулярных потенциалов вида (0.2) могут быть рассмотрены методами теории расширений симметрических операторов в пространстве Гильберта [10]. При этом «граничные уеловия» (0.1),(0.3) описывают область определения самосопряженных операторов с сингулярными потенциалами. Важным этапом при рассмотрении той или иной модельной задачи является приведение модели в соответствие физическому содержанию задачи [11],[12],[13]. В случае потенциала нулевого радиуса, описывающего короткодействующее взаимодействие двух частиц при низких энергиях их относительного движения, неопределенным является параметр а, который по своему физическому содержанию определяет сечение упругого столкновения частиц [б]. В общем случае, физическая интерпретация «модельных параметров» следует из сравнения решений модельных задач с решениями реальных задач полученных прямыми методами. В некоторых случаях, как например в физике твердого тела, сужение множества параметров в модельных задачах может быть достигнуто использованием симметрийных соображений. Для функции Н (г) в работе [9] не дается физического толкования. Тем не менее, сама постановка задачи имеет отношение к скалярной теории дифракции на некомпактных препятствиях с осевой симметрией. К задачам скалярной теории дифракции приводят задачи о рассеянии акустической волны на «акустически абсолютно твердых» и «акустически абсолютно мягких» телах [14]. При этом, в случае «акустически абсолютно твердого» тела Б решение и (потенциал скорости) удовлетворяет граничному условию 0 для производной по внешней нормали к границе 5 и граничному условию $ 0 в случае «акустически абсолютно мягкого» тела [14]. Типичной для большого круга задач скалярной теории дифракции в трехмерном простанстве Е3 является следующая постановка задачи (стационарный по времени подход).
Пусть в пространстве К3 имеется компактная или некомпактная поверхность 5. Отыскивается решение к) (рассеянное ноле) удовлетворяющее во внешности поверхности 5 уравнению Гельмгольца.
0.4) и на поверхности $ одному из граничных условий.
1?(+ 0 (задача Дирихле),.
0.5) д щ (~а?')) |5= 0 (задача Неймана), 4.
0.6) ш+ $('И?) 4- |5= 0 (смешанная задача), (0.7) где функция к) = ехрг (к) определяет начальное возмущение.
Для однозначной разрешимости поставленных задач требуется, что бы функция к) удовлетворяла условию излучения.
— ¿-мф) = о, -> ОО. (0.8) в случае компактной поверхности Б или условию погашаемости в случае некомпактной поверхности 5. Такого рода задачи и в более общей постановке (обобщения и нестационарный по времени подход) всесторонне исследованы [18]-[20] и возможно выделить два основных подхода к их рассмотрению. Первый из них использует абстрактную теории рассеяния в духе теории Лакса-Филлипса [15] или теорию 5'-матрицы. В другом основное внимание уделяется построению решения. Выбор того или иного подхода тесно связан со спецификой рассматриваемой задачи.
Так в асимптотической теории дифракции (рассеяние в дальней зоне) выбор
1,1. Здесь приближения тесно связан с отношением между величинами к = к — волновой вектор падающей плоской волны, д, и Iмаксимальный поперечный и максимальный продольный размеры дифрагирующего тела. Построение асимптотики решения задачи дифракции возможно в тех случаях когда хотя бы для одного из параметров = Ы, е2 = к1, ?3 = ё/1 выполнено £г <�С 1 или 1 (?=1,2,3,). Последнее обстоятельство связано с тем, что в большинстве рассмотрений одним из основных подходов к задаче является представление решения в виде бесконечного ряда по степеням того или иного малого параметра (по степеням ?1 при £г 1 или 1 /е^ при ?, — 1) Довольно полный обзор работ связанных с задачами дифракции на односвязных трехмерных препятствиях при различных соотношениях между параметрами приведен в работе [16]. Среди упоминаемых работ имеется статья [17], которая хоть напрямую и не связана с теорий дифракции, но имеет непосредственное отношение к следующей постановке задачи.
Пусть поверхность Бе (56 С К3) в цилиндрической системе координат (г,(р, г) задана уравнением г = ?.?г,(г), -оо < г < оо, е > 0, (0.9) ад — 1) 6 с?(Ж), ад > 0.
Здесь Со°(К) — пространство основных функций. Ищется рассеянное ноле к) удовлетворяющее во внешней относительно поверхности области Ое уравнеию (0.4), граничному условию (0.5) и условию погашаемости. Кроме того, исследуется поведение решения к) в пределе при е —> 0, когда поверхность Бе стягивается к оси О/ декартовой системы координат. Имея решение оо егкзг^2сп со" п{ч> - <�р0)н?гу/к* - Щ), (0.10) п=о.
Ь0 = еу/к*-к1 сп = иЬ0)/Н^(Ь0). задачи дифракции плоской волны к) на прямом круговом цилиндре радиуса е, решение задачи (0.4)-(0.5) ищется в виде оо ие{1?) =епип (!?, Е) (0.11).
71=0.
Для функции шо выбирается представление ^НрЦгу/Р^ёЫЬФ*'**, *2 е [0, оо) (0.12) я.
Функция шо удовлетворяет условию излучения по переменной г и уравнению (0.4) во всем пространстве К3 за исключением множества точек оси Ог. Как показано в [17] остается выбором плотности //о (£, е) из (0.12) удовлетворить «парциальному» граничному условию е*3* (Мгу/к*-Щ) — |5е= 0 (0.13).
В работе [17] данное требование (где только функция заменена на произвольную функцию ф из пространства С?°(К)) приводит для определения плотности ио (?, е) к уравнению.
1п (е^/^ё) + /"(? — с'ы&^н' = (о-14) к где 1пе = 1пг + 1п2 + ^(1) + тгг/2, а (£) = к € С,.
В работе [17] /г0(?, е) функция считается произвольной из пространства Сд0. Особенность выведенного уравнения заключается в том, что ядро интегрального оператора из уравнения (0.14) принадлежит пространству Шварца, а функция 1п (ё/к2 — имеет нули и особые точки. Обоснование представления (0.12) требует доказательства однозначной разрешимости уравнения (0.14). В работе [17] само уравнение (0.14) рассматривается в пространстве С ([—М, Л/]) функций нспрерывнб1х на замкнутом промежутке [—N. Ж] который не содержит нулей функции 1п (' с /к2 —. Таким образом рассматривается уравнение вида N.
— IV которое однозначно разрешимо в пространстве С ([—/V, Щ).
В первой главе диссертации решается задача аналогичная задаче (0.4),(0.5),(0.9) с тем отличием, что функция может быть произвольной из пространства Шварца 5(М). Так же как и в работе [17] основное внимание уделяется главному члену разложения (0.11), т. е. функции а>0 для которой используется представление (0.12). Неизвестная плотность ищется в виде ряда оо т=0.
Для вычисления функций е) выводится система зацепляющихся уравнений вида.
1п (еу/к* - е2) + - ^Кт^е)^ = (0.16) к с правой частью е) содержащей все функции //" ,", / (?, е) с т' < т. Доказывается существование и единственность решения уравнений (0.16) цепочки и обосновывается представление (0.12) для функции о/о (?, е)>- А именно, показано, что уравнение вида (0.16) для любого возможно рассмотреть в гильбертовом простанстве.
2(К3), в котором доказывается его однозначная разрешимостьполучены условия на функции Р (г) позволяющие при вычислении функции о/0(£,£) с точностью до величины порядка е использовать в (0.12) вместо плотности г/0(?, в) ее приближенное выражение /^о^, е). Особенностью задачи рассмотренной в первой главе диссертации является исследование поведения решения задачи дифракции в нулевом канале при стягивании дифрагирующей поверхности в прямую. Именно такая предельная форма препятствия делает задачу по своей постановке близкой к задаче возмущения самосопряженного оператора Гельмгольца, А + к2 сингулярным потенциалом вида (0.2). В связи с указанной аналогией, представляется оправданной попытка построения такого модельного самосопряженного оператора решение задачи рассеяния им (х, е) для которого близко к решению о-о (?, е) реальной задачи дифракции в нулевом канале.
Такого рода рассмотрение, проведенное во второй главе диссертации ставит своей задачей исследование применимости методов теории самосопряженных расширений в соответствующих задачах дифракции. Важным элементом проводимого рассмотрения является построение всего семейства модельных операторов, соответствующих возмущению оператора Гельмгольца. В своей основной постановке такая задача не нова и наряду с результатами работы [9] имеются исчерпывающие исследования (см. например [21]). Однако имеющиеся описания расширений являются специфическими и не допускают прямого использования для целей проводимого рассмотрения.
В данном случае, описание семейства модельных операторов основано на описании нейтральных подпространств «граничной формы», 1, определенной на некотором подмножестве гильбертова пространства [22]. Полученные результаты соответствуют имеющимся раннее [23],[24], но дают более богатое семейство модельных операторов.
Последнее оказывается решающим обстоятельством и позволяет фиксировать параметры модели приводя ее в соответствие с реальной задчей дифракции. Полученный самосопряженный модельный оператор допускает дальнейшее исследование методами спектральной теории линейных самосопряженных операторов. В том числе, устанавливается существование и полнота оператора рассеяния. В качестве критерия близости решений модельной и реальной задач используется величина д = и м к, е) — к, е).
Н1(КЗ) ' где Я-х (М3) = Ь2 + для которой получена оценка.
Использование модельного подхода теории расширений в физике твердого тела имеет свои специфические черты. Как правило, в модельном подходе основное внимание уделяется описанию в одночастичном приближении электронов проводимости. При этом ядерная подсистема заменяется решеткой, в узлах которой размещаются идентичные потенциалы нулевого радиуса. Но даже в такой постановке отбор физически значимого модельного оператора представляет сложную задачу. При ее решении зачастую используется пространственная симметрия физической системы [25],[26]. Последнее требует знания пространственных групп моделируемых физических систем и их неприводимых представлений. В последнее время [27],[28] построена модель в которой ядерная подсистема описывается в терминах квазичастиц — фоно-нов — функций на конфигурационном пространстве колективных переменных ядерной подсистемы. Такая модель с небольшими изменениями может быть использована при рассмотрении молекулярных кристаллов с нежесткими движениями — вращением составляющих их молекул [29]. Важную роль при построении физически 'значимого модельного оператора здесь играет симметрийный анализ таких систем.
Яркими представителями класса молекулярных систем с нежесткими движениями являются фуллериты Сбо и CVo — кристаллы на основе фуллеренов CV>o и CVoмолекул, содержащих п (п = 60,70), атомов углерода.
Фуллериты С’бо и С70 представляют собой полупроводники с шириной запрещенной зоны 1,5 — 1,95 эВ и благодаря своим электрическим, оптическим и механическим свойствам имеют значительные перспективы использования [30]. Фуллериты, допированные щелочными металлами (М3Сп) обладают сверхпроводящими свойствами с температурой перехода в сверхпроводящее состояние ~ 33К.
В третьей главе диссертации основное внимание уделяется симметрийному анализу фуллеритов Сбо и С70 с учетом возможного вращения составляющих их молекул. При этом используется группа Vc [29] перестановочно-инверсионной симметрии в рамках которой естественным образом учитываются вращения отдельных молекул.
Как следует из приведенного выше краткого содержания работы, основной ее целью является использование модельного подхода теории расширений в задачах дифракции и физике твердого тела, а также отбор физически значимых модельных операторов соответствующих задач.
Результаты работы докладывались на втором международном семинаре «Фулле-рены и атомные кластеры» в г. Санкт-Петербурге в 1997 г., на международной конференции им. М. Г. Крейна «Теория операторов и их применения» в г. Одессе в 1997 г., на ХХХ-ой научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава ИТМО в г. Санкт-Петербурге в 1999 г., на семинаре лаборатории математической физики Санкт-Петербургского отделения математического институра им. В. А. Стеклова. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31]-[35].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
1. В работе проведено обоснование асимптотического подхода при построении решения шо)£ скалярной задачи дифракции: а) Доказана однозначная разрешимость основного интегрального уравнения задачи в гильбертовом пространстве квадратично суммируемых функций L2(M). б) Установлена унитарность «парциального» оператора рассеяния. Показано, что выбранный асимптотический ряд для представления решения сходится. Определена зависимость главного члена разложения в асимптотический ряд парциальной амплитуды рассеяния о-0(к, У, е) от малого параметра е.
2. В рамках модельного подхода описан класс «нелокальных расширений» — семейство самосопряженных операторов. Полученно согласование реальной и модельной задач, что дает теоретико-операторное обоснование полученным в реальной задаче приближенным выражениям.
3. Для последовательного проведения модельного подхода при исследовании в приближении Гайтлера-Лондона возбужденных состояний фуллерйтов Сбо, Сто произведено: а) построение перестановочно-инверсионной группы симетрии и неприводимых представлений ее локальной подгруппы для кристалла фуллерита Cgо в высокотемпературной фазе (Т > 249А') — б) построение перестановочно-инверсионных групп симметрии и неприводимых представлений их локальных подгрупп для кристалла фуллерита С^о в промежуточной фазе (270 < Т < 340К) и высокотемпературной фазе (Т > 340А").
4. В рамках групп обобщенной симметриии сформулированы правила отбора для спектров комбинационного рассеяния нежестких кристаллов фуллеритов Сбо, C'7(t.
Список литературы
- Fermi Е. Sopra lo spontamento per pressione delle rigne elevate delle serie spettrali.// Nuovo Cim., 1934, v. 11, p. 157−166.
- Ferrai E. Sul moto dei neutroni nelle sostanze idrogenate.// Ric. Sei., 1936, v. 7, p. 13−52.
- Березин Ф.А., Фаддеев Л. Д. Замечание об операторе Шредингера с сингулярным потенциалом. // Докл. АНСССР, 1961, Т. 137, № 5, С. 1011−1014.
- Березин Ф.А. О модели Ли. // Матем. сб. 1963. Т. 60. С. 425−446.
- Базь А.И., Зельдович Я. Б., Переломов А,.М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука. 1971. 544с.
- Демков Ю.Н., Островский В. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса is атомной физике. Л.: изд-во ЛГУ. 1975. 240с.
- Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир. 1991. 568 с.
- Шондип Ю.Г. Квантовомеханические модели в RTI, связанные с расширениями оператора энергии в пространстве Понтрягина. // ТМФ. 1988. Т. 74. № 3. С. 331 344.
- Благовещенский A.C., Лаврентьев К. К. Трехмерный оператор Лапласа с граничным условием на оси. // Вестник ЛГУ 1977. № 1 С. 9−15.
- Ахиезер Н.И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.:Наука. 1966. 544 с.
- Зимнев М.М., Попов И. Ю. Выбор параметров модели щелей нулевой ширины. // Ж. вычисл. матем. и мат. физики. 1987. Т.27. № 3. С. 466−470.
- Попов И.Ю. Обоснование модели щелей нулевой ширины для задачи Неймана.// Докл. АНСССР. 1990. Т. 313. № 4. С. 806−811.
- Попов И.Ю. Обоснование модели щелей нулевой ширины для задачи Дирихле. // Сиб. матем. ж. 1989.Т.30. № 3. С. 103−108.
- Хенл X. Мауэ А. Вестпфаль К. Теория дифракции. М.:Мир 1964 286с.
- Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния. М. Изд-во Мир 1971 312с.
- Федорюк М.В. Рассеяние плоской волны на цилиндрической поверхности с длинным возмущением. // Изв. АНСССР. Сер. матем. 1985. Т.45. № 1 С. 160−193.
- Федорюк М.В. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа и Гельмгольца во внешности тонкого цилиндра. // Изв. АНСССР сер. мат., 1981 Т45 № 1 С. 167−186.
- Эйдус Д.М. О принципе предельного поглощения.// Докл. АНСССР. 1959. Т.125. № 3. С. 508−511.
- Эйдус Д.М. О принципе предельной амплитуды.// Докл. АНСССР. 1964. Т.158. № 4. С. 794−797.
- Буслаев B.C. Рассеянные плоские волны, спектральные асимптотики и формулы следа во внещних задачах.// Докл. АНСССР. 1971. Т.197. № 5., С.999−1002.
- Кочубей А.Н. Эллиптические операторы с граничными значениями на подмножестве меры нуль. // Ф.А. и его прилжения. 1982. Т. 16. вып.2. С.74−75.
- Павлов Б.С. Теория расширений и явно решаемые модели. // УМН 1987. Т.42. т. С. 99−131
- Попов И.Ю. Теория расширений и локализация резонансов для областей лову-шечного типа. // Мат. сб. 1990. вып. 10 С. 1366−1390.
- Попов И.Ю. Применение теории расширений к исследованию дифракции на цилиндрических и сферических щелевых резонаторах. // Вестн. ЛГУ. 1984. № 6. С. 79−83.
- Гейлер В.А. Двумерный оператор Шредингера с однородным магнитным полем и его возмущение периодическим набором потенциалов нулевого радиуса. // Алгебра и анализ. 1991, Т. 3, № 1, С. 1−48.
- Карпешина Ю.Е. Спектр и собственные функции оператора Шредингера в трехмерном пространстве с точечным потенциалом типа однородной двумерной решетки. // ТМФ. Т57. № 3. 1983. С. 137−149.
- Павлов B.C. Явнорешаемая одномерная модель электрон-фононного рассеяния. // Вестн. ЛГУ. сер.4, 1987, вып.2, № 11, С.265−304.
- Евстратов В.В., Павлов B.C. Электрон-фононное рассеяние, полярон и биполя-рон явнорешаемая модель. // Пробл. мат. физики, вып 13. Диф. ур-ния. Спектральная теория. Распр. волн. Изд-во ЛГУ. 1991. С. 265−304 ¦
- Эварестов P.A., Смирнов В. П. Локальная симметрия в молекулах и кристаллах. Изд-во СПбУ. 1997 372с.
- Елецкий A.B., Смирнов Б. М. Фуллерены и структура углерода. // УФН. 1995. Т. 165. № 9. С. 977−1007.31| Smirnov V.P., Krivospitskii A.N. and Zubok D.A. Generalized symmetry of the high-temperatuere phese of C70.// Mol. mat., 1996, Vol. 8, pp. 131−133.
- Smirnov V.P., Zubok D.A. Permutation-inversion group of fullerite C70 in the intermediate phase.- Phys. state sol.(b) 1998 206, pp.611−621.
- Смирнов В.П., Зубок Д. А. Перестановочно-инверсионная симметрия фуллерита С7о в высокотемпературной фазе // Физика тв. тела. 1997. Т. 39. № 10 С. 18 951 901.
- Зубок Д.А., Попов И. Ю. Модель рассеяния на возмущенном цилиндре.// Письма в ЖТФ. 1999. Т. 25. вып. 6. С. 42−45.
- Зубок Д.А., Попов И. Ю. Два физических приложения оператора Лапласа, возмущенного на множестве нулевой меры. // ТМФ. 1999. май № 2 С. 295−307.
- Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. TI М. изд-во ИЛ. 1949, 798с.37| Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т1 Теория распределений и анализ Фурье. М., Мир 1987. 314с.
- Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., Изд-во Мир 1.972 643с.
- Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., Изд-во Наука 1977 640 с.
- Гохберг И.Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев, Штиинца 1973. с. 289.
- Ваганов Р. В. Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. М., Наука 1982 272с.
- Федорюк М.В. Рассеяние звуковых волн тонким акустически жестким телом вращения. // Акустический журнал 1981 Т27, № 4, С. 605−609
- Федорюк М.В. Задача Дирихле для оператора Лапласа во внешности тогнкого тела вращения. // Тр. сем. им. С. А. Соболева, Новосибирск: Ин-т матем. СО АНСССР 1980 № 1 С. 113−131.
- Курылев Я.В. О граничных условиях на кривой для трехмерного оператора Лапласа. // Зап. научн. сем. ЛОМИ АНСССР 1978. Т.78. С. 112−127.
- Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2.М.:изд-во иностр. лит-ры. 1960. 986с.
- Браун П.А., Киселев A.A. Введение в теорию молекулярных спектров. Л., 1983. 232с.
- Scott J.F. Soft-mode spectroscopy: experimental studies of structural phase transitions. // Rev. Mol. Phys. 1974. Vol 46. P. 83−128.
- Michel K.H., Copley J.R.D., Neumann D.A. // Phys. Rev. Let. 1992. Vol. 68. P. 2929.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М., 1967. 395с.
- Перлин Ю.Е., Цукерблат B.C. Эффекты электронно-колебательного взаимодействия в оптических спектрах примесных парамагнитных йонов. Кишенев, 1974. 247с.
- Эварестов P.A., Смирнов В. П. Методы теории групп в квантовой химии твердого тела. Л., 1987. 314с.
- Авармаа P.A. Пьезоскопическое исследование расщепления вращательных уровней нитритного центра в KCl . Опт. и спектр. 1970. Т. 29. № 4*С. 715−720.
- Банкер Ф. Симметрия молекул и молекулярная спектроскопия. М. Мир, 1981. 451с.
- Внутренее вращение молекул. Под ред. В. Дж. Орвилл-Томаса. М. Мир, 1977. 510с.
- Жилич А.Г., Киселев A.A., Смирнов В. П. Группы симметрии нежестких молекул и кристаллов. // В сб. Проблемы теоретической кристаллохимии сложных оксидов. Л., 1982. С. 120−158.
- Киселев A.A., Людерс К. Группы нежестких молекулярных и квазимолекулярных примесных центров в кристаллах. // Вопросы квантовой теории атомов и молекул: Межвуз. сб. Л., 1981 Вып. 2. С. 56−70.
- Киселев A.A., Людерс К. О группе симметрии нежесткого примесного центра в кристалле. // Вестн. Ленингр. ун-та. 1979. № 16. С. 31−38.
- Королев A.A., Смирнов В. П. Преобразование молекулярных координат, индуцируемое перестановочно-инверсионными элементами молекулярной группы симметрии // Вестник Ленингр. ун-та. 1986. сер.4. № 1. С.20−24.
- Локтев В.М. // Физика низких температур. 1992. Т. 18, № 3,С.217−223.
- Мадзусима С. Строение молекул и внутренее вращение. М. Мир, 1957. 261с.
- Трещалов А.Б. Поляризация люминесценции и переориентация примесных молекулярных центров в щелочногалоидных кристаллах: Автореф. канд. дис., Тарту, 1978. 20с.
- David W.I.F., Ibberson R.M., Dennis T.J.S. e.a. // Europhys. Letters. 1992. Vol. 18, № 3. P. 219−223
- Hebard A.F., Rosseinsky M.J., Haddon R. e.a. // Nature. 1991. Vol. 350. P.600.
- Hougen J.T. Classification of rotational energy levels for symmetric-top molecules. // J. Chem. Phys. 1962. Vol. 37. P. 1433−1441.
- Hougen J.T. A group theoretical treatment of electronic, vibrational, torsional and rotational motions in the demethylacetylene molecule. // Can.J. Phys. 1964. Vol. 42. P. 1920−1937.
- Kiselev A.A., Luders K. On the symmetry group of nonrigid impurity centers in crystals. // Phys. stat. sol. (b). 1979. Vol.93. P.285−291.
- Korolev A.A., Smirnov V.P.Coordinate transformations induced by the elements of the permutation-inversion symmetry group of a nonrigid molecular crystal. // Phys. stat. sol. (b). Vol.129 P.41−47
- Lounguet-Higgins H.C. The symmetry groups of nonrigid molecules. // Mol. Phys. 1963. Vol.6. P.445−461.
- Lu J.P., Li X.-P., Martin R.M. // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol.68. P.1551−1557.
- Parsonadge N.G., Staveley L.A. Disorder in crystals. Oxford, Univ. pr. 1978. 921p.
- Roxlin E.A., Cox D.M., Kaldor A.J. // J. Chem. Phys. 1984. Vol. 81. P. 3322−3328
- Spirk M., Cheng A., Klein M.L., // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol.6. P. 1660−1667
- Valsarumar M.C., Subramanian N., Yousuf M. e.a. // Phys. Rev. B. 1992. Vol.48. P. 9080−9089