Математическое моделирование динамики управляемых систем

В последние десятилетия особый интерес ученых и конструкторов проявляется к исследованию возможности построения космических аппаратов, в которых в качестве тягового двигателя используется импульс, получаемый аппаратом в результате действия сил светового давления. Такой интерес вполне объясним, поскольку в этом случае существенно повышается автономность функционирования космических аппаратов (КА) или космических станций. Имеется большое количество работ по управлению геоцентрическим и гелиоцентрическим движением КА с помощью солнечного паруса (обзоры этих работ содержатся в [96, 99]), а также по управлению вращательным движением. Однако, несмотря на очевидные выгоды, использование сил светового давления в реальной практике космической навигации имеет весьма серьезные препятствия. Во-первых, силы светового давления несравнимо меньше не только реактивных сил, вырабатываемых современными двигателями, но и некоторых возмущающих факторов, например, атмосферных воздействий для спутников с низкими орбитами. Это приводит к необходимости рассматривать солнечные паруса с большой площадью. Но тогда возникает другая трудность. Управление такими парусами, в частности развертывание в космическом пространстве паруса большой площади — сложная техническая проблема [98]. Поэтому весьма интересным является рассмотрение таких космических проектов с использованием сил светового давления, когда силы, действующие на КА или космическую станцию, относительно малы, и при этом не требуется управляемого поворота протяженных элементов как, например, в случае, если в качестве управляющего параметра взять отражательную способность КА, которую можно изменять. Одним из таких проектов является исследование орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации под действием гравитационных сил, сравнимых по величине с силами светового давления на КА с достаточно большой отражательной способностью [104] (вполне доступной для реализации при современном состоянии космических технологий). Поэтому весьма перспективной в смысле практической реализации и актуальной является задача об управлении орбитальным движением КА в окрестности первой коллинеарной точки либрации Ь с помощью силы, направленной по линии Земля-Солнце.

Математическую постановку такой задачи в 70-х годах предложил М. Л. Лидов [48], [49]. Данный проект очень интересен с практической стороны. Первая внутренняя коллинеарная точка либрации Ь, определенная в рамках круговой задачи трех тел, находится на отрезке Солнце-Земля на расстоянии около 0,01 а. е. (примерно 1,5 млн. км) от центра Земли. Данная область пространства, обладая замечательными теоретическими свойствами, связана со многими космическими проектами. В окрестности коллинеарной точки либрации можно, например, разместить экраны, локально затемняющие Землю, и таким образом уменьшить развитие парникового эффекта (greenhouse effect) [96]. Можно расположить обсерваторию для слежения за солнечной активностью (и такой проект уже действуетSOHO) или космическую станцию в рамках программы борьбы с астероидной опасностью [60], [61], [35]. Одной из распространенных математических моделей, применяющихся для описания движения космического аппарата, является модель ограниченной круговой задачи трех тел [90]. Она используется, когда КА движется в поле притяжения двух массивных небесных тел, например звезды и планеты, которые, в свою очередь, вращаются вокруг общего центра масс по околокруговым орбитам.

При описании полетов в околоземном пространстве на достаточно далекие расстояния (порядка 106 км) уже требуется учитывать притяжение Солнца, и, хотя эксцентриситет земной орбиты отличен от нуля (е = 0.0167), уравнения круговой задачи трех тел достаточно точно описывают движение. Они существенно сложнее уравнений движения в гравитационном поле одного притягивающего центра и не допускают точного аналитического представления. Известны, однако, несколько частных их решений, при которых система трех тел сохраняет свою конфигурацию (так называемые лагранжевые решения). Это коллинеарные (прямолинейные) и треугольные точки либрации. Точка либрации L, неустойчивая. С одной стороны это затрудняет длительное пребывание КА в ее окрестности без специальной «удерживающей» системы управления. С другой стороны, неустойчивость можно использовать как положительный фактор при полете в L2 или для перехода на другие орбиты. Таким образом, неустойчивость коллинеарной точки либрации имеет свои плюсы, однако, чтобы их использовать, нужно уметь удерживать КА (или космическую станцию) в окрестности этой точки достаточно длительное время.

Идея удержания КА (или станции) в окрестности коллинеарной точки либрации разрабатывалась многими авторами. При этом рассматривались различные постановки задачи управления орбитальным движением: управления с помощью импульсного воздействия, управления с помощью непрерывной тяги, использование сил светового давления [50], [62] и другие.

В работе [76] предложена оригинальная методика построения закона управления в виде линейного регулятора, обеспечивающего стабилизацию орбитального движения К, А в окрестности как солнечной, так и лунной точек либрации. В данной статье указан конкретный вид регулятора, но не дается алгоритма его построения. Исследование проведено для плоского линейного случая.

Во всех выше перечисленных работах рассматриваются уравнения движения космического аппарата в линейном приближении. Неучет нелиней-ностей в математической модели может привести к катастрофе. На первоначальном этапе моделирования порой невозможно учесть все возмущения, действующие на исследуемый объект. Поэтому удается регистрировать только результат этого воздействия. В данной работе рассматривается метод, предложенный Е. В. Воскресенским, идея которого заключается в следующем: строится верхняя оценка всех действующих возмущений в виде кусочно-непрерывной функции F (t, x, u). Далее на основании полученных для линейного случая классов управления строятся новые классы управления, которые учитывают введенное возмущение. Управления из построенных классов управлений должны удерживать КА в окрестности первой коллинеарной точки либрации достаточно долго, т. е. актуальным становится задача попадания КА за конечное время в еокрестность первой коллинеарной точки либрации, и не выходит из нее в течение достаточно большого интервала времени. Данная задача эквивалентна задаче управляемости за бесконечное время, рассмотренной в работах Е. В. Воскресенского, В. И. Зубова.

В настоящей работе строятся управления, которые обеспечивают устойчивость по Ляпунову [51], [5] решений, что является, существенным ослаблением ограничений, полученных другими авторами [1], [2], [6], [66], [77], [53], [54], [55], [75], [115], [114], [112], [105], так как в данных работах управления обеспечивают асимптотическую устойчивость по Ляпунову. В работе особое внимание уделено математической стороне вопроса построения классов управлений. В качестве наиболее важных и ценных результатов в данном направлении следует отметить результаты, полученные P.E. Кал-маном [40], В. И. Зубовым [37], [38], [39], H.H. Красовским [42, 47], Е. А. Барбашиным [4], Е. В. Воскресенским [9], [11], [12], [16], [17] и др. Достаточно общий подход к вопросу управляемости нелинейных систем разработан Е. В. Воскресенским. В основе его лежит метод сравнения системы с другой, линейной или нелинейной, более удобной для исследования. Метод сравнения использовал в своих работах также А. Ю. Павлов [58]. В статье система сравнивается с соответствующей линейной системой в предположении, что в фиксированном классе допустимых управлений система сравнения управляема.

Очень часто практика ставит перед исследователем необходимость решения именно таких задач, которые возникают при математическом моделировании [68] экономических, химических, биологических, физических, социальных и других процессов [77], [78], [ИЗ], [109], [107], [106], [101], [102], [103], [100], [82], [83], [86], [79], [80], [84], [85], [91], [94], [108], [111]. С помощью математического моделирования удается не только строго формализовать знания об объекте, но и иногда (при хорошей изученности объекта) оно может дать количественное описание процесса и предсказать его ход и эффективность.

Цель работы.

Основной целью работы является получение новых теорем для решения задач об управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений за бесконечное время и применение полученных результатов к решению задачи математического моделирования управляемых нелинейных динамических систем. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) получить аналитические представления класса допустимых управлений для линейной и нелинейной динамической системы;

2) доказать новые теоремы об асимптотической эквивалентности по Бра-уеру для дифференциальных уравнений;

3) применить полученные теоремы для решения задач об управляемости искусственными спутниками Земли за достаточно большое время;

4) разработать численные методы и алгоритмы для нахождения класса допустимых управлений за бесконечное время для линейных и нелинейных динамических систем;

5) создать комплекс программ для решения задач управляемости нелинейными динамическими системами за бесконечное время.

Методы исследования.

Для решения рассматриваемых задач в диссертации применяются следующие методы исследования:

1) метод сравнения;

2) методы асимптотической эквивалентности, разработанные Е. В. Воскресенским, для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

3) теоремы о неподвижной точке;

4) метод вариаций произвольных постоянных Лагранжа;

5) первый и второй методы Ляпунова;

6) метод Рунге — Кутта четвертого порядка.

Научная новизна.

Получены аналитические представления класса допустимых управлений для линейных и нелинейных динамических систем. Доказаны новые теоремы об асимптотической эквивалентности по Брауэру для управляемых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработаны численные методы и алгоритмы для нахождения класса допустимых управлений за бесконечное время для линейных и нелинейных динамических систем. Создан комплекс программ для решения задач управляемости нелинейных динамических систем за бесконечное время. Применены полученные теоремы и комплекс программ для решения задач управляемости за бесконечное время для искусственных спутников Земли.

Практическая ценность.

Предложенные в диссертации математические методы и вычислительные алгоритмы могут быть использованы при решении задач, возникающих в практике исследования динамики управляемого движения космического аппарата.

Апробация диссертации.

Основные результаты докладывались и обсуждались на объединенных научных семинарах кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета имени Н. П. Огарева и Средневолжско-го математического общества (2005—2012 гг.), в том числе под руководством профессора Е. В. Воскресенского в 2005—2008 гг., на VIII Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 12—16 мая 2008 г.), III Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 15—16 октября 2008 г.), на Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1—4 июня 2009 г.), IX научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании «с участием зарубежных ученых, (Саранск, 1—3 июля 2010 г.), на IV Международной научной школе-семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 1—12 августа 2009 г.), на IX молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения —2010», посвященной 50-летию механико-математического факультета Казанского университета (Казань, 1—6 октября 2010 г.), на V Международной научной школе-семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 1—12 июля 2011 г.), на ежегодных научных конференциях «Огаревские чтения «Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева (Саранск, 2005—2012 гг.), на ежегодных научных конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета имени Н. П. Огарева (Саранск, 2005—2012 гг.).

Публикации. По результатам диссертационного исследования опубликовано 17 работ, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 116 наименований. Общий объем диссертации составляет 137 страниц машинописного текста.

1. Воскресенский Е. В. Оптимальная стабилизация программного движения / Е. В. Воскресенский // Труды средневолжского математического общества. Саранск, 2003. — Т. 5, М. — С. 12−30.

2. Воскресенский Е. В. Об аттракторах обыкновенных дифференциальных уравнений / Е. В. Воскресенский // Изв. вузов. Математика. — 2003. Ш. — С. 17−26.

3. Воскресенский Е. В. Классы управляемости линейных и близких к линейным систем дифференциальных уравнений /Е.В. Воскресенский, П. Г. Черников // Вестн. Морд, ун-та. — Саранск, 1997. — № 2. — С. 122−125.

4. Воскресенский Е. В. О стабилизации программного движения / Е. В. Воскресенский // Укр.мат. журн. 2003. — Т. 45, № 11. -С. 1450−1458.

5. Воскресенский Е. В. Глобальное выпрямление поля направлений и абсолютно равномерная стабилизация программного движения / Е. В. Воскресенский // Труды Средневолжского математического общества. Саранск, 2004. — Т. 6, М. — С. 14−19.

6. Гребенников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах / Е. А. Гребенников. — М.: Наука. — 1986. — 225 с.

7. Далецкий Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. — М.: Наука, 1970. 534 с.

8. Десяев Е. В. Постановка задачи о стабилизации управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеар-ной точки либрации Ы / Е. В. Десяев // Труды Средневолжского математического общества. — Саранск, 2006, — Т. 8, № 1, С. 208—211.

9. Десяев Е. В. О построении синтеза управления для нелинейной управляемой системы за бесконечное время / Е. В. Десяев // Материалы научной конференции XXXVI Огаревские чтения. Прикладная математика и информатика. — Саранск: СВМО, 2007, С. 7—8.

10. Десяев Е. В. О построении синтеза управления для линейно — возмущенной управляемой системы за бесконечное время / Е. В. Десяев // Труды Средневолжского математического общества. — Саранск, 2007, — Т. 9, № 1, С. 274−275.

11. Десяев Е. В. О стабилизации программных движений линейной системы дифференциальных уравнений с возмущением /Е.В. Десяев // Материалы научной конференции XXXV Огаревские чтения. Прикладная математика и информатика. — Саранск: СВМО, 2006, С. 17—18.

12. Десяев Е. В. О стабилизации орбитального движения космического аппарата / Е. В. Десяев // Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. — Самара: СамГТУ, 2009. — С. 45−48.

13. Десяев Е. В. Управление доходностью и риском валютного портфеля методом Е. В. Воскресенского / Е. В. Десяев, Т. Ф. Мамедова // Труды Средневолжского математического общества. — Саранск: Из-во СВМО, 2009. Т И, № 1. — С. 153−156.

14. Десяев Е. В. Управляемость динамической системой за бесконечное время / Е. В. Десяев // Сборник статей IV Международной научно-технической конференции. — Пенза: Приволжский Дом знаний, 2009. С. 53−54.

15. Десяев Е. В. О задаче стабилизации программных движений / Е. В. Десяев, Т. Ф. Мамедова // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Т. 42(2).- М.: 2009, — С. 32−34.

16. Красовский H.H. Управление динамической системой / H.H. Красов-ский. М.: Наука, 1985. — 398 с.

17. Красовский H.H. О некоторых задачах управления / H.H. Красовский // Тр. Мат. ин-та РАН, 1999. Т. 224, — С. 208−217.

18. Лидов М. Л. Полуаналитический метод расчета движения К, А в окрестности коллинеарной точки либрации / М. Л. Лидов, М. А. Ваш-ковьяк, А. П. Маркеев // Космич. исслед. 1976. Т. 14. № 6. С. 909.

19. Лидов М. Л. Исследование траекторий полета на гало-орбиту в окрестности точки либрации Lz системы Земля-Солнце с использованием гравитации Луны / М. Л. Лидов, В. А. Ляхова, Н. М. Тесленко // Письма в АЖ. 1991. Т. 17, № 12. — С. 1124.

20. Лукьянов С. С. Управление движением космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации круговой задачи трех тел с помощью светового давления / С. С. Лукьянов // Космич. исслед., 1981. Т.19. № 4. С. 518−527.

21. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов. — М. — Л.: Гостехиздат, 1950. — 471 с.

22. Люстерник Л. А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстер-ник, В. И. Соболев. М., 1965. — 520 с.

23. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. — М.: Наука, 1966. — 530 с.

24. Матросов В. М. К теории устойчивости движения / В. М. Матросов // Прикл. матем. и механика. 1962. Т. 26, № 6. — С. 992−1002.

25. Матросов В. М. Принципы сравнения с вектор-функцией Ляпунова. I-IV // Диф.уравнения. 1968. — Т.4, N8. — С. 1374−1386- 1968. — Т.4, N10. — С. 1739−1752- 1969. — Т.5, N7. — С. 1171−1185- 1969. — Т.5, N12. — С. 2129−2143.

26. Математическая энциклопедия. В 5 т./ Гл.ред. И. М. Виноградов. — М.:" Сов. эциклопедия", 1977.

27. Маркеев А. П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике / А. П. Маркеев. М.: Наука, 1978. — 312 с.

28. Павлов А. Ю. Об управляемости нелинейных систем / А. Ю. Павлов // Вестник Мордовского университета, — Саранск, 1995. № 1. — С. 54—57.

29. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. М.: Наука, 1983. — 392 с.

30. Поляхова Е. Н. Обзор современных исследований по проблеме предотвращения астероидной опасности с помощью эффектов светового давления солнечной радиации /E.H. Поляхова // Астероидная опасность-96. 1996. С. 101−102.

31. Поляхова Е. Н. Динамические и астрономические аспекты проекта размещения солнечного экрана в первой точке либрации / Е. Н. Поляхова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1993. Вып. 1 (№ 1). С. 111−121.

32. Полякова E.H. Математическое обоснование теории орбитальной коррекции, выполняемой с помощью солнечного паруса /E.H. Полякова, A.C. Шмыров // Космич. исследования, 1989. Т. 27. Вып. 1. — С. 54— 63.

33. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре. — М. — «ТТ.: Гостехиздат, 1947. — 392 с.

34. Рейссиг Р. Качественная теория нелинейных систем дифференциальных уравнений / Р. Рейссиг, Г. Сансоне, Р. Конти. — М.: Наука, 1974. 316 с.

35. Румянцев В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных / В. В. Румянцев // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1957. № 4. — С. 9−16.

36. Румянцев В. В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных / В. В. Румянцев, A.C. Озиранер. — М.: Наука, 1987. 256 с.

37. Руш Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа. М.: Мир, 1960. — 300 с.

38. Самарский A.A. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / A.A. Самарский, А. П. Михайлов. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с.

39. Терехин М. Т. Управляемость в малом системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М. Т. Терехин // Дифференциальные и интегральные уравнения. Методы топологической динамики: Межвуз. сб. науч. тр. — Горький: Горьк. ун-т, 1987. — С. 48—52.

40. Терехин М. Т. Устойчивость управления по параметру / М. Т. Терехин // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. — Рязань: Изд-во РГПУ, 1998. Ш. — С. 86−96.

41. Benchohra M. Controllability results for evolution inclusions with non-local conditions / M. Benchohra, E. P. Gatsori, L. Gerniewicz, S. K. Ntouyas // Z. Anal. Anwendungen 22(2), 2003. P. 411−431.

42. Chukwu E.N. Controllability questions for nonlinear systems in abstract spaces / E.N. Chukwu, S.M. Lenhart // J. Optim. Theory Appl. 68(3), 1991. P. 437−462.

43. Corduneanu C. Equations with unbounded delay / C. Corduneanu, V. Lakshmikantham // Nonlinear Anal., 4, 1980. P. 831−877.

44. Delves L.M. Numerical Solution of Integral Equations / L.M. Delves, J. Walsh // Oxford Univ. Press, 1974.

45. Dollard J.D. Asymptotic behavior of solution of linear ordinary differential equations / J.D. Dollard, O.H. Friedman // J. of Math.Anal, and Appl. 1978. Vol. 66. — P. 394−398.

46. Effati S. Solution of boundary value problems for linear second orderODEs by using measure theory / S. Effati, A.V. Kamyad // J. Analysis, 1998. Vol. 6, P. 139−149.

47. Farquhar R. W. Trajectories and Orbital Maneuvers for the Fist Libration-Point Satellite / R.W. Farquhar, D.P. Muhonen, C.R. Newman, H.S. Heuberger // Journal of Guidance and Control, Vol. 3, November-December 1980, P. 549−554.

48. Fu X. Controllability of neutral functional differential systems in abstract space / X. Fu // Appl. Math. Comput. 141, 2003. P. 281−296.

49. Fu X. Controllability of abstract neutral functional differential systems with unbounded delay / X. Fu // Appl. Math. Comput. 151, 2004. P. 299−314.

50. Fu X. Existence of solutions for neutral functional differential evolution equations with nonlocal conditions / X. Fu, K. Ezzinbi// Nonlinear Anal. 54, 2003. P. 215−227.

51. Gachpazan M. A new Method for solving nonlinear second order differential equations / M. Gachpazan, A. Kerachian, A. V. Kamyad // Korean J. Comput. Appl. Math., 2000. Vol. 7, № 2, P. 333−345.

52. Gatsori E.P. Controllability results for nondensely defined evolution differential inclusions with nonlocal conditions / E.P. Gatsori //J. Math. Anal. Appl, 297, 2004. P. 194−211.

53. Gomez G. The dynamics around the: collinear equilibrium points of the RTBP / G. Gomez, J.M. Mondelo // Phys. D. 157, 2001. № 4, P. 283 321.

54. Gomes G. Dynamics and mission design near libration points / G. Gomes, J. Llibre, R. Martinez, C. Simo. Vol. 1. River Edge, 2001. 443 p.

55. Gomez G. Dynamics and mission design near libration points / G. Gomez, J. Llibre, R. Martinez, C. Simo. Vol. 2. World Scientific Publishing, 2001. 146 p.

56. Gomez G. Dynamics and mission design near libration points / G. Gomez, J. Llibre, R. Martinez, C. Simo. Vol. 3. World Scientific Publishing, 2001. 262 p.

57. Guermah S. Controllability and Observability of Linear Discrete-Time Fractional-Order Systems / S. Guermah, S. Djennoune, M. Bettayeb // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, Vol. 18, № 2, 2008. P. 213−222.

58. Hernandez E. A Massera type criterion for a partial neutral functional differential equation, Electron / E. Hernandez// J. Differerential Equations 2002(40), 2002. P. 1−17.

59. Hoang N.S. A nonlinear inequality / N.S. Hoang, A.G. Ramm // Jour. Math. Ineq., 2, N4, 2008. P. 459−464.

60. Hong M. Complete Controllability of an N-Bus Dynamic Power System Model / M. Hong, C.C. Liu, M. Gibescu // IEEE transactions on circuits and systems-i: fundamental theory and applications, vol. 46, JV26, june 1999. P. 700−713.

61. Howell K.C. Families of orbits in the vicinity of the: collinear libration points / K.C. Howell // J. Astronaut. Sci. 49, 2001. № 1, P. 107−125.

62. Jerri J. Introduction to Integral Equations with Applications / J. Jerri // London: Wiley, 1999.

63. Lasiecka L. Exact controllability of semilinear abstract systems with application to waves and plates boundary control problems / L. Lasiecka, R. Triggiani // Appl. Math. Optimiz. 23, 1991. P. 109−154.

64. Li G. Controllability of evolution inclusions with nonlocal conditions / G. Li, Sh. Song, Ch. Wu J. // Systems Sci. Complexity, 18(1), 2005. P. 35−42.

65. Naito K. On controllability for a nonlinear Volterra equation / K. Naito // Nonlinear Anal. 18 (1), 1992. P. 99−108.

66. Nakagiri S. Controllability and observability for linear retarded systems in Banach space / S. Nakagiri, R. Yamamoto // Inter. J. Control 49(5) (1989), P. 1489−1504.

67. Quinn M.D. An approach to nonlinear control problems using the fixed point methods, degree theory and pseudo-inverses / M.D. Quinn, N. Carmichael // Numer. Funct. Anal. Optim. 7 (1984;1985), P. 197−219.

68. Ramm A.G. Asymptotic Stability of Solutions to Abstract Differential Equations / A.G. Ramm // Journal of Abstract Differential Equations and Applications. 2010. Vol. 1, №, P. 27−34.

69. Siljak D.D. Competitive economic systems: stability, decomposition and aggregation /D.D. Siljak // Proceeding of the 1973 IEEE Conference on Decision and Control. San Diego, California. 1973, December 5−7. — P. 265−275.

70. Triggiani R. On the stabilizability problem in Banach space / R. Triggiani // J. Math. Anal. Appl. 52(3), 1975. P. 383−403.

71. Ye H. Stability theory for hybrid dynamical systems / H. Ye, A.N. Michel, L. Hou // IEEE Trans. Autom. Control, vol. 43, 1998. P. 461−474.

72. Yoshizava T. Lyapunov’s function and boundedness of solutions / T. Yoshizava // FunktiaI.Ekvas. 1959. Vol. 2. — P. 71−103.