Устойчивость и бифуркации установившихся движений механических систем

Проблемы отыскания всех установившихся движений (абсолютных и относительных равновесий или стационарных движений) и исследования их устойчивости и ветвлений играет важную роль при качественном анализе механических систем.

При исследовании установившихся движений механических систем с циклическими интегралами широко используются два подхода.

Первый подход был предложен Раусом в работах [1]-[2]. Раус исследовал стационарные движения, т. е. движения, доставляющие стационарное значение одному из интегралов системы при фиксированных значениях остальных. В частности, для систем с циклическими координатами стационарные движения в смысле Рауса совпадают со стационарными движениями в смысле Уиттеккера.

В 1885 году в работе [3] Пуанкаре предложил другой метод исследования установившихся движений. Он предложил рассматривать вместо исходной механической системы с циклическими интегралами другую систему с дополнительными силами, обеспечивающими постоянство циклических скоростей на всех движениях системы. Положения равновесия такой системы получили название относительных равновесий.

В этой же работе было доказано существование связи между стационарными движениями и относительными равновесиями, а именно: каждому стационарному движению отвечает относительное равновесие, и наоборот. Однако условия устойчивости этих движений могут различаться.

Сначала Пуанкаре [3], а позднее В. В. Румянцевым [4] для систем частного вида было показано, что вековая устойчивость положения относительного равновесия влечет за собой вековую устойчивость соответствующего стационарного движения.

Для систем общего вида аналогичный результат был получен С. Я. Степановым [6] и М. Паскаль [5] (см. также работу П. Хагедорна [13], в которой предложено называть системы с циклическими интегралами свободными, а системы с постоянными циклическими скоростями ограниченными). Ими была доказана следующая теорема.

Теорема 1. Если в положении относительного равновесия измененная силовая функция ограниченной системы имеет максимум, то измененная силовая функция свободной системы также имеет максимум. Следовательно, максимум силовой функции ограниченной системы определяет достаточные условия устойчивости как положения относительного равновесия, так и соответствующего стационарного движения.

П. Хагедорн и В. Тешнер в работе [7] получили результат, связывающий неустойчивость стационарных движений и относительных равновесий.

Теорема 2. Если не зависящая от импульсов часть, Но функции Гамильтона отвечающей лагранжиану свободной системы, имеет максимум в стационарном движении, то не зависящая от импульсов часть функции Гамильтона, отвечающей лагранжиану ограниченной системы, также имеет максимум. Следовательно, максимум, Но определяет достаточные условия неустойчивости как стационарного движения, так и соответствующего положения относительного равновесия.

Все результаты, указанные выше, были получены для консервативных механических систем с циклическими координатами. Однако, как известно, такие системы представляют собой частный случай систем, допускающих, помимо интеграла энергии, линейные по скоростям интегралы. Обобщение классических результатов Пуанкаре, В. В. Румянцева, М. Паскаль и С. Я. Степанова на случай таких систем было дано в [8].

Исследование всего множества установившихся движений, а также характера их устойчивости, существенно упрощается при использовании теории бифуркаций, созданной Пуанкаре для исследования всего множества положений равновесия механических систем. Как известно, задача исследования стационарных движений (положений относительного равновесия) механических систем сводится к анализу измененного (приведенного или эффективного) потенциала. Поэтому результаты теории бифуркаций применимы и в этом случае.

Напомним основные результаты этой теории.

Предположим, что потенциальная энергия V некоторой механической системы зависит от координат х? Мп на конфигурационном пространстве системы и от одного физического параметра а. Для фиксированного значения параметра, а положения равновесия определяются уравнениями дУ дх.

0.

1).

В пространстве (а, х) решения уравнения (1) задают некоторую кривую В. Заметим, что кривая В может, вообще говоря, состоять из нескольких компонент. В теории бифуркаций положений равновесия эти компоненты принято также называть ветвями.

Пусть ., Ск — действительные ветви кривой В, проходящие через рассматриваемую точку бифуркации М. Рассмотрим пару плоскостей а2 — е2 — 0, причем е предполагается достаточно малым. Через Ргобозначим точки пересечения ветвей. ., Ск с плоскостью, а —? — 0, а через — с плоскостью, а +? = 0.

Пуанкаре в работе [3] показал, что через точку М, помимо ветвей С{, проходит, по меньшей мере, еще г действительных ветвей кривой В где суммирование идет по всем точкам пересечения.

Дальнейшее развитие теории бифуркации связано с именем Четаева. В работе [10] он показал, что расположение устойчивых и неустойчивых положений равновесия при фиксированном значении, а не может быть произвольным, оно подчиняется так называемому правилу смены устойчивости, состоящем в следующем.

Уравнения дУ ое = 5, — = 0 (г = 2,.. , п) определяют кривую Ь, лежащую в плоскости, а = § и проходящую через все точки пересечения кривой В с этой плоскостью. Выбирая какую-либо связную и без двойных точек компоненту кривой Ь и фиксируя на ней произвольное направление обхода, можно занумеровать точки.

Р{ в порядке их встречи. Тогда, как показано в работе [10], будет выполнено соотношение.

8§ п (Арг)+8§ п (Арг+1) =0, т. е. степень неустойчивости (индекс квадратичной формы 82У) соответствующих семейств положений равновесия меняется на нечетное число.

В этой же работе Четаев также провел исследование характера бифуркации семейства критических точек х = Ф© в предположении, что в точке бифуркации М — (с*, Ф (с*)), лежащей на этом семействе, ранг матрицы Гесса функции V равен п — 1, т. е. в точке М обращается в нуль только один из коэффициентов устойчивости Пуанкаре (коэффициентами устойчивости Пуанкаре называются собственные числа матрицы второй вариации потенциальной энергии). При этих условиях через точку бифуркации проходит, по крайней мере, еще пара семейств критических точек функции V: х = Ф±©. Более того, если семейства х = Ф±© существуют при значениях параметра с > с* (с < с*), то степень неустойчивости этих семейств совпадают (по крайней мере, в некоторой малой окрестности точки М) со степенью неустойчивости семейства критических точек х = &-{с) при с < с* (с > с*).

При изучении многопараметрических систем могут встречаться точки бифуркации, в которых в нуль обращается сразу несколько коэффициентов устойчивости Пуанкаре. Простейший пример такого рода — вертикальные вращения волчка Лагранжа. Если проекция угловой скорости ии на ось динамической симметрии волчка удовлетворяет условию.

4А1тда V-'.

А1 и Аз —экваториальный и осевой моменты инерции для точки закрепления, т — масса тела, а — расстояния от неподвижной точки до центра масс тела) то матрица второй вариации эффективного потенциала в этой задаче обращается в нуль, т. е. в этой точке оба коэффициента устойчивости Пуанкаре равны нулю.

Вопрос о характере ветвления положений равновесия в таких точках тесно связан с теорией особоенностей, которой посвящена работа [17]. Следует, однако, заметить, что задача о ветвлении положений равновесия в окрестности вырожденной точки бифуркации несколжько отличается от общей задачи о разрушении сложной критической точки функции. Прежде всего это связано с рассматриваемыми семействами функций. В теории особенностей основную роль играют версальные семейства, тогда как в механике изучаются семейтва функций, зависящие от определенных физических параметров системы, количество которых может быть меньше коразмерностей встречающихся особенностей.

Цель настоящей работы состоит в дальнейшем развитии.

— результатов исследования соотношений условий устойчивости относительных равновесий и стационарных движений консервативных механических систем с циклическими координатами или линейными по скоростям интегралами;

— теории бифуркаций Пуанкаре Четаева на случай вырожденных точек бифуркации, т. е. точек бифуркации, в которых в нуль обращается более одного коэффициента устойчивости.

§ 2.9.

Заключение

.

В предыдущих параграфах было проведено исследование характера бифуркаций положений равновесия в окрестности вырожденных критических точек потенциальной энергии системы, при этом мы рассматривали случай только двух степеней свободы. Однако все полученные результаты применимы и при исследовании систем с большим числом степеней свободы.

В самом деле, рассмотрим механическую систему с п степенями свободы, зависящую от некоторого физического параметра к. Пусть .Р — потенциал этой системы. Предположим, что в некоторой точке бифуркации М гессиан функции Р имеет ранг п — 2, т. е. в нуль обращаются два коэффициента Пуанкаре. Тогда в окрестности точки М существуют координаты. ., уП1 в которых функция Р имеет вид см., например, [16]).

Р = Р (уиу2) + Ф{уз,., уп), где Ф — некоторая квадратичная форма. Из последнего представления следует, что для изучения характера бифуркации семейств критических точек достаточно будет изучить бифуркации критических точек функции Р.

Глава III. Разрушение вырожденных точек бифуркации.

Введение

.

Пусть потенциал некоторой механической системы с двумя степенями свободы зависит от двух от параметров к и /1: V = V (х, у, к, //), причем при /i = 0, к = 0 начало координат х = 0, у — 0 является вырожденной критической точкой для функции V. В этой главе рассматривается вопрос о поведении критических точек функции V в зависимости от к при значениях рф 0. Как и раньше, мы будем различать два случая: первый — бифуркация рождения, второй — ответвление новых решений от уже существующего.

§ 3.1. Разрушение вырожденной бифуркации рождения.

Предполагая, что функция V является достаточно гладкой, разложим ее в ряд Тейлора по степеням параметров к и ju в окрестности к = 0, ?1 = 0.

1 2 y{x, y, k, fi) = V0{x, y) +kVi (x)y) + fiG{x, y) + - kJfi2~Jaj (x, у, k, p). j=o.

Ранее было показано, что для функций Vo и Vi в окрестности начала координат справедливы следующие разложения m-f 1.

Voix, у) = Рт (х, у) + X].

3=0 2.

Vi (х, у) = х + ^2xJy2~J~fj (x, y).

3=0.

Разложим также и функцию G п+1 у) = <2&bdquo-(я, у) + ^ у).

1=0.

Здесь (?п (х, у) — однородная форма степени п ^ 1 относительно переменных ж и у. Воспользуемся заменой координат, аналогичной замене, примененной в § 2.1 Главы II х = тхг, у — туг, к = тт~1с, р = тт~п.

1.1) где т — малый параметр. В результате такой замены функция У приобретает следующий вид (индексы опущены).

V =тт (сх + Рт (х, у) + 1-<3&bdquo-(х, у)) + о (гт+1) + т /га —n —1 а/а1(х, у) + тт 2пг>2а0(х, у)).

8.2).

Если выполнено неравенство га > 2п, то.

Tm-n~xcvax +тгп-2пр2а0 = o®, а последний член в (8.2) имеет порядок o (rTO+1). Следовательно, если га > 2п, то для изучения бифуркаций критических точек потенциала V достаточно изучить бифуркации критических точек укороченного потенциала.

V = сх + Рт{х, у) + у).

Для этого мы воспользуемся полярной системой координат х = />cos</?, у — psimp. Уравнения для нахождения критических точек функции V имеют следующий вид дУ др дУ dip с cos (р + mpm~lP (cp) + npn~ isQ ((p) = О тдР ndQ п = -cpsm.

8.3).

8.4) где Р (р) и — тригонометрические полиномы степеней тип соответственно, возникающие из однородных форм Рт и при переходе к полярной системе координат. Уравнения (8.3)-(8.4) эквивалентны системе с рт 1 (Pf sin (р — тР cos ip) + vpn 1 (Q' sin ip — nQ cos ip). prn l (yP' cos p + mP sin ip) + Ppn 1 (Q' cos tp + nQ sin ip) = 0. п — 1(гл!

8.5).

8.6).

В формулах (8.5)-(8.6) штрихом обозначены производные по (р. Рассмотрим несколько случаев. Пусть сначала п = 1, т. е. Q = asin + bcosp. Тогда.

Q' sin ip — nQ cos ip — —b, Q' cos ip + nQ sin ip — a, и уравнения (8.5)-(8.6) приобретают следующий вид c—vb — pm 1 {Р' sin ip — mP cos ip), ргп-i^pt cos ^ mp g-n ^ va q.

Представим уравнение (8.8) в виде (предполагается, что, а ф 0).

Р' cos ip + тР sin ip.

8.7).

8.8) V.

-, то — 1 а D (ip).

8.9).

Прежде всего заметим, что нулям функции И соответствуют некоторые семейства критических точек функции V при ту = 0.

Пусть (р = во, $ 1 (во < в) — два последовательных нуля функции И, (р = (р* — точка ее локального максимума, расположенная между во и в1 (мы предполагаем, что D положительна на всем интервале (0o,$i))-При малых значениях р уравнение (8.9) не имеет решений — вырожденная точка бифуркации разрушается. При />m1 > v/D (tp*) уравнение (8.9) будет иметь по крайней мере два решения ро (р), (fii (p) (< ^2), причем lim (fi = 0г-, т. е. можно сказать, что при разрушении вырожденной точки бифуркации соседние решения «склеиваются» одно с другим.

На рисунках 12, 13, 14 изображено разрушение точки бифуркации, в которой происходит рождение четырех семейств критических точек, существующих при положительных значениях параметра (все диаграммы спроектированы на плоскость ху). оо о X рис. 12 (и < 0) X рис. 13 {у = 0) рис. 14 (V > 0).

В случае, а = 0, вообще говоря, точка бифуркации также разрушается, однако при этом решающую роль играют члены высшего порядка в разложении .

Пусть теперь п > 1. Отметим, что уравнение.

Q' cos ср + nQ sin (р = 0.

8.10) всегда имеет решения. Это можно показать непосредственно, однако проще заметить, что уравнение (8.10) совпадает с одним из уравнений, определяющих критические точки потенциала F = ки + Qn (u, v). Однако, как следует из результатов § 2.1, такие семейства существуют, откуда и следует существование решений (8.10).

Пусть уравнение (8.10) имеет корни ср = р>0, (р2, ¦ ¦ ¦, ip2q (2.

Q' cos + nQ sin (p.

В точках (p = (pi (i — 0,., 2q) график функции Di (ip) имеет вертикальные асимптоты. Это, в свою очередь, означает, что при сколь угодно малых значениях р последнее уравнение имеет 2q решений, близких к (pi (i = 0,., 2q). Этим решениям соответствуют семейства критических точек функции V. Если между двумя последовательными корнями уравнения (8.10) лежит хотя бы один нуль функции V, то семейства в возмущенной задаче будут стремиться к семействам критических точек, существующих при V = 0, в противном случае этим корням соответствует семейство критических точек, существующее только при V ф 0.

Возможна ситуация, когда некоторые из корней уравнения (8.10) будут удовлетворять также и уравнению (8.6) при V — 0. В этих случаях, вообще говоря, для исследования характера разрушения точки бифуркации придется рассматривать члены более высокого порядка, нежели п.

§ 2.9. Разрушение бифуркации (2)-(0).

Рассмотрим теперь второй случай — ответвление косых решений от уже существующего. После рассуждений, аналогичным проведенным в предыдущем параграфе и замены.

X = ти, у = ту, к — тт~2, ?1-=тт~пь>, приходим к выводу, что для изучения характера разрушения критической точки в этом случае достаточно будет рассмотреть семейства критических точек укороченного потенциала.

К =^сф (и, у) + сРт (и, ь) + 1У<2п (и, у), где Ф — квадратичная форма (мы будем предполагать, что Ф приведена к главным осям), Рт и — однородные формы степеней т и п соответственно. Критические точки функции V удовлетворяют системе уравнений dV ди dV dv дРт dQ cu -|——— v n cv + du дР и. I т dv у ди dQn dv.

О, 0.

2.1) или в полярной системе координат (и = pcostp, v = р sin ср) dV dp dV dip cp + mprn~1 P ((p) + nvpn~lQ (ip) = 0, = pmP'(.

2.1' где Р (ф) — Pm (cos sin ), Q (.

</?!, функция D положительна. Нетрудно видеть, что lim {fv{p, g~1(p)) — fo (p)) = 0 (здесь /0 = -трт~2Р (р1) — семейство критических точек в невозмущенной задаче, д 1 — функция, обратная к д).

2).

2) рис. 15 v < 0.

0).

2).

0) рис. 16 v = 0 рис. 17 V > О.

Таким образом, можно говорить, что тривиальное решение «склеивается» с семейством критических точек, отвечающем значению (р = <р, в вырожденном случае. При V < О, очевидно, тривиальное решение склеивается с семейством, отвечающем значению (р = (р2. Аналогичным образом рассматривается и второй корень уравнения — 0.

Заметим, что при малых значениях р уравнение (2.3) имеет ровно два решения, значит, остальные семейства критических точек изолированы от начала координат. Отметим, что при увеличении р эти семейства стремятся к семействам критических точек, существовавшим у Ро (см. рис. 15, 16, 17).

Перейдем к случаю А^С} = 2. В этом случае, как легко видеть, тривиальное решение и = 0, V = 0 сохраняется, однако вырожденная точка бифуркации также разрушается. В самом деле, пусть.

Простые вычисления показывают, что вторая вариация функции V на тривиальном решении имеет следующий вид.

62У = {с + у А) (5и)2 + 2 иВбибу + (с + иС) {5у)2 .

На прямых (в пространстве (с, г/, и, г-)).

-(А + С)±у/(А — С)2 — В2 и = V = 0 (2.4) определитель матрицы второй вариации обращается в нуль, т. е. вырожденная точка бифуркации распадается (при каждом фиксированном и) на две невырожденные. Для описания ответвляющихся от них решений перейдем к полярной системе координат. В этом случае уравнения для критических точек будут следующими.

Уравнение (9.5) имеет при малых значениях р четыре семейства решений (ро — 9 г (р), (р = вг (р) + 71 и (р3 — в2{р), <^4 = 02(р) + тт. Этим семействам решений уравнения (9.5) отвечают семейства критических точек функции V, ответвляющиеся от точек бифуркации (9.6). При возрастании р эти семейства стремятся к ближайшим семействам критических точек невозмущенного потенциала. Остальные же семейства, ответвлявшиеся от вырожденной точки бифуркации, как и раньше, «отрываются» от начала координат. V трт~2Р ((р) — 2иС)((р).

2.5).

2.6) рис. 18 (у < 0).

2) О.

0).

1) рис. 19 (у = 0) рис. 20 {у > 0).

Если же ^ 3, то вырожденная точка бифуркации сохраняется.

Ответвление новых семейств критических точек и деформация уже существовавших будет происходить так же, как и в описанном выше случае бифуркации рождения.