Некоторые дифференциальные уравнения с неподвижными критическими точками

Термин дифференциальное уравнение был впервые введен Лейбницем для обозначения зависимости между дифференциалами эеи с/^. двух переменных X и^. В настоящее время под дифференциальными уравнениями понимаются любые алгебраические или трансцендентные равенства, содержащие дифференциалы или производные.

Задача интегрирования дифференциальных уравнений является классической и важнейшей задачей математического анализа. Основной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений является задача нахождения всех решений данного уравнения. Однако за исключением нескольких простых случаев интегрирование представляет трудность и до настоящего времени решения многих дифференциальных уравнений не найдены. В связи с этим возникла необходимость изучения свойств интеграла непосредственно по виду дифференциального уравнения.

Теория аналитических функций с одной или более комплексными переменными, введенная Коши, Вейерштрассом и Риманом [^8, 31, 41, 5зJ, применялась ими для изучения дифференциальных уравнений.

Аналитическая теория дифференциальных уравнений есть часть общей теории функций комплексного переменного, в которой общие методы прилагаются к изучению интегралов дифференциальных уравнений различных классов и к нахождению классов дифференциальных уравнений, интегралы которых обладают какими-нибудь свойствами, представляющими особый интерес с точки зрения теории функций комплексного переменного (однозначность, характер особых точек и т. п.).

Вопрос о поведении решений и окрестности особых точек впервые был поставлен Врио и Буке [ 1, 5, 18, 19, 36, 37J, считавшими особыми такие точки, в которых нарушается хотя бы одно из условий теоремы Кош существования и единственности решения. В работе Фукса [44J особые точки решений дифференциальных уравнений разделены на два класса — неподвижные и подвижные,^собые точки интегралов, положение которых зависит от начальных данных называются подвижными особыми точками.

Идеи С. В. Ковалевской ?21] привели к постановке задачи об изыскании класса уравнений, интегралы которых — однозначные функции. Из работ Пенлеве [48,51], Гамбье [4б], Гарнье [47,4^, Бюро¡-38], Шази [40] и других известно, что задача об отыскании необходимых и достаточных условий отсутствия подвижных критических точек решений уравнений.

К (ш, и/,. ,) (ол) где К — рациональная функция относительно и>3. } и/^ с аналитическими по коэффициентами, в общем случае до сих пор не решена.

В работах Врио и Буке рассмотрено [37,43,51^ уравнение порядка вида.

Р (ии, ц/) — О.

0.2) где Р — многочлен относительно с аналитическими по 2 коэффициентами.

В работе Фукса [45] доказана теорема об отсутствии подвижных критических точек. Однако исследования Фукса не исключали возможности существования в решениях трансцендентных особенностей или точек неопределенности. Продолжая изучение свойств решений уравнений (0.2) Пенлеве [41] доказал теорему о том, что эти уравнения в решениях не содержат подвижных неалгебраических особенностей. Исследование уравнений второго порядка вида где R — рациональная функция относительно lu, tu с аналитическими по 2 коэффициентами, интегралы которых не содержат подвижных критических точек, приводилось в работах Пенлеве, а затем Гамбье. Используя теорему Пуанкаре о разложении решений дифференциальных уравнений по степеням малого параметра, Пенлеве разработал метод (метод малого параметра Пенлеве) отсеивания тех уравнений вида (0.3), которые заведомо имели неоднозначные подвижные точки, что дает возможность указать необходимые условия в поставленной задаче. Вторая часть задачи состоит в доказательстве отсутствия в выделенных уравнениях подвижных критических точек. Таким образом устанавливается достаточность.

В исследованиях Пенлеве все случаи уравнений с неподвижными критическими точками были приведены к 14 видам. Впоследствии Гамбье [44] указал существенный пропуск в иссследованиях Пенлеве и показал, что уравнения с неподвижными критическими точками рассматриваемых типов могут быть приведены к 50 различным частным видам.

Также и в разобранном случае, большинство этих уравнений сводится к ранее известным. Только шесть уравнений приводят к существенно новым трансцендентным функциям. Эти уравнения следующие.

Ш" - 6 w +? р/).

U)" - Zuj3+ 2ии+ о< Р 2/.

Е tuu/' Г i Lu'2- - LUU)'+ CXU)* + &LU + Ti оиц+ Si f?3 г LUUl" = uu'2 + 3LU4- 4- ?2lo3 + Ц. (lz-o ()uoz+ Z? Pif.

2 Lu (ou-i) ou" =) Uu'2 — Z ?- си (со -1) LU' + гч и>г (ьи-4)ь + ?bZu^Cuj-i)* 2Яз. гш*(си + 1) P. s f uu (u)-l)(uj-i) u/'=- 22(i-l)*(3uj2−2±uj2uj + 2) uj'i — 1 i (i-) oj (uu-1)(2iu>-uui2)u/-± icv ujz (uj-<)2(uu-2)2 -h.

1/b 2 Г vJ-fcu-l)9- 9G где ot,, й*, и а" - постоянные.

Первые три из этих уравнений были указаны Пенлеве.

Интегралы уравнений Р- 1, Р-&и — однозначные мероморфны функции. Интегралы уравнения Ps имеют трансцендентные неподвижные критические точки Iо и Ъ =. Интегралы уравнения имеют трансцендентные неподвижные критические точки.

О, i" 1 и Оо.

Решения остальных уравнений выражаются: а) либо через элементарные функции, б) либо через известные классические трансцендентные функции, в) либо через решения некоторых линейных уравнений, г) либо через решения выделенных шести уравнений.

На этом исследование считалось законченным. Позже Н. П. Еругин в работах [ll, 12,14] поставил ряд задач относительно свойств функций, определяемых выделенными шестью уравнениями Пендеве.

Представление решений уравнений Р1 во всей области существования через отношение целых функций указано в работах [4,1з], для P. Z — в работах А. И. Яблонского [46J, для остальных — в работах Н. А. Лукашевича [34] и других. Подробное исследование уравнений Пенлеве проведено в работах [6,7,15,30,24,25,26,34,49,50], в работе [ioj В. И. Грошк и H.A.Лукашевич дали подробную библиографию.

В результате решений задач, поставленных Н. П. Еругиным, были найдены условия интегрируемости уравнений Рз — в элементарных функциях при некоторых специальных значениях параметров, условия существования рациональных решений. Доказано, что имеют однопараметрическое семейство решений, выражающееся через классические трансцендентные функции. Для второго уравнения Пенлеве — это функция Эйри, для третьего, четвертого и пятого уравнений — соответственно функции Бесселя, Вебера-Эрмита, Уиттекера £зз]. Шестое уравнение Пенлеве имеет однопараметрическое семейство решений, выражающихся через решения гипергеометрического уравнения (^24,28] .

Многие задачи естествознания, механики и математической физики в плане их теоретического обоснования связаны с дифференциальными уравнениями и системами различных порядков £2,3,ю] .

Теория уравнений Пенлеве находит применение в ряда прикладных вопросов (например, при исследовании диффузии электронов и ионов в нейтральном газе).

В 1972 году Н. С. Колесникова и Н. А. Лукашевич рассмотрели следующее уравнение первого порядка [22^] и/* + Р (*, ш) ии'+ О. и, из) г о (о'4) где Ра, ш), 0(1,и}) — полиноми от ш с аналитическими по 2 коэффициентами. Они выделили класс уравнений вида (0.4) без подвижных критических точек.

В этом же году они показали при каких условиях однородное уравнение третьего порядка вида [24] и п >у л «2 I //.

Хаи>ои + а, ио и) + агиии> + о3 си + а^ил^ + а5и) ш" +а^и}, г-+ а^илх}'* а8ииг — о (0*5) где СИ {с= о7?) — аналитические функции от? , принадлежит классу М. Класс М определяется следующим образом:

Будем говорить, что уравнение (0.5) принадлежит классу М, если все его решения имеют лишь однозначные подвижные молярные особенности.

В работе [ б] изучено следующее уравнение где Р (ш)~ полином от со степени не выше .

Используя условия Фукса доказано, что для того, чтобы уравнение (0.6) имело только однозначные подвижные точки, необходимо и достаточно, чтобы оно приняло одно из следующих видов и/= ^(си-^)1^ (I) ио = У0 (со-ос) (п) и/ = (Ш (.

Со2= Ц, (со — (ии — <У2) (си (ВО.

00 2 = (э0 (си-<�У,)(си-<�У2) (си-о^) (ц^-о^) (У) к (^-<�у,)2(ш-о<2У (си-о (3)5~ (У1) лЛ = ¿-э, (си-^)* #л)3 СУП) иг* = ^ (си-^со-о^-с^ СУШ).

Данная работа представляет собой исследование в области аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В ней рассматриваются дифференциальные уравнения первого порядка, однородные системы дифференциальных уравнений второго и третьего порядков и однородные дифференциальные уравнения третьего и четвертого порядков, с аналитическими по коэффициентами. Ставится задача из множества систем и уравнений рассматриваемых видов выделить те, решения которых не содержат подвижных критических точек, т. е. указать необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических точек в решениях системы или уравнения.

Работа состоит из трех глав и списка цитируемой литературы.

В первой главе изучаются дифференциальные уравнения первого порядка видов.

Си'-3* Р (*, и))и)2+ а, и,)ао (0<7) где Р (2|Ы,)=.

Я (а, и>) = ?<*).

Р":^-, — аналитические функции от г. и ^ (0.8) где ^^.ьа) — полином от и) степени не вышегтп с аналитическими по 2 коэффициентами.

Поставлена цель из всех уравнений видов (0.7) и (0.8) выделить классы уравнений, решения которых не содержат подвижных критических точек.

С этой целью, дифференцируя уравнение (0.7), получим алгебраическое дифференциальное уравнение вида си" = & (0 д).

Приравнивая коэффициенты (0.9) с коэффициентами каждого уравнения Пенлеве-Гамбье, получим достаточные условия для отсутствия подвижных критических точек в уравнении (0.7) (§ I).

Дифференцируя уравнение (0.8) получим следующее уравнение второго порядка г" Ри/ г + (0Л0).

Приравнивая коэффициенты уравнения (0.10) с коэффициентами каждого уравнения Пенлеве-Гамбье, получим достаточные условия для отсутствия подвижных критических точек в уравнении (0.10) (§ 2).

Во второй главе рассматриваются однородные системы дифферен.

— II циальных уравнений второго и третьего порядков. В параграфе I изучается система ос! (= ^.(а^х+ару) ^.

Вводя замену у = и те и подставляя в (0.11) получим ^ (0.12) Для отсутствия подвижных критических точек в уравнении (0.12) необходимо и достаточно, чтобы оно было уравнением Риккати. Итак, мы получим необходимые и достаточные условия для отсутствия подвижных критических точек в системе (0.11) В параграфе 2 изучается система ъ (а^х + а^ц) ое. (^ос+а.^) (0ЛЗ) = ¿-(с 1а:+с2^с3г) где ^) — постоянные.

Доказано, что для отсутствия подвижных критических точек в системе (0.13) необходимо, чтобы выполнялось одно из следующих условий.

I) а±=о 2) а5 = о з) <а7<%= тогда исследование системы (0.13) приводит к трем возможным случаям. В § 2.1, § 2.2 и $ 2.3 изучены подробно все эти три случая.

Ставится вопрос так: Будет ли иметь решение без подвижных критических точек следующая оистема?

Ь*) (0.14).

Ответ на этот вопрос найдется в § 2.4, где найдены некоторые решения системы (0.14) с неподвижными критическими точками.

В третьей главе указаны необходимые и достаточные условия принадлежности некоторых уравнений классу М .

В параграфе I рассматривается однородное уравнение третьего порядка вида а0 и) ио'" + сц ш’и> о^ ио" ш' й3 и/+ и1ои" + о5шси" + а^ 6иг+ а. и>ш+ = о (о. 15).

Получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы уравнение (0.15) принадлежало классу И .

В параграфе 2 исследовалось уравнение вида уЫфсЬц)* а9у* = о.

Доказано, что для того, чтобы уравнение (0.16) принадлежало классу И необходимо, чтобы о. было равно нулю и О-г. было целым числом (§ 2.1). Найденные условия являются необходимыми, но не в коем случае не достаточными. В параграфе (2.2) указаны некоторые достаточные условия принадлежности уравнения (0.16) классу М .

На защиту выносятся следующие результаты: I. Получены некоторые классы дифференциальных уравнений первого порядка третьей степени без подвижных критических точек.

2. Найдены уравнения вида и/'^ Р (к, и>) без подвижных критических точек и их интегрирование.

3. Указаны необходимые и достаточные условия для отсутствия подвижных критических точек в однородной системе дифференциальных уравнений второго порядка.

4. Получены некоторые достаточные условия для отсутствия подвижных критических точек в однородной системе дифференциальных уравнений третьего порядка.

5. Получены некоторые достаточные условия принадлежности однородного дифференциального уравнения третьего порядка классу^ .

6. Указаны необходимые условия принадлежности однородного дифференциального уравнения четвертого порядка классу М .

7. Указаны некоторые достаточные условия принадлежности однородного дифференциального уравнения четвертого порядка классу М .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах ?54,55, 563 и докладывались на научном семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям кафедры высшей штематики Б1У имени В. И. Ленина.

1. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения — Харьков: ГНТИУ. 1939. 717 с.

2. Андронов A.A., Битт A.A., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М. Л.: Физматгиз, 1959. — 915 с.

3. Блю Э., Ингольд Д., Озеров В. Диффузия электронов и ионов в нейтральном газе. Сб. «Термоэмиссионное преобразование энергии», 2. М.: Атомиздат, 1965.

4. Голубев В. В. К теории уравнений Пенлеве. Матем. сб., 28,№ 2,1912.

5. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГЙТТЛ.1950. — 436 с.

6. Громак В. И., Лукашевич H.A. Специальные классы решений уравнений Пенлеве. Дифференциальные уравнения, 1982, т.18, № 3,с.419−428.

7. Гррмак В. И. О решениях второго уравнения Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1982, т.28, № 5, с.753−762.

8. Гурвин А., Курант Р. Теория функций. Из. Наука M. I968.

9. Добровольский В. А. Очерки о развитии аналитической теории дифференциальных уравнений. Киев: Виша школа, 1974. — 456 с.

10. Должанский Ф. В., Кляцкин В. И., Обухов A.M., Чусов М. А. Нелинейные системы гидродинамического типа. М.: Наука, 1974. — 247 с.

11. Еругин Н. П. Аналитическая теория нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. ПММ, 1952, т.16,В.4.С.465−486.

12. Еругин Н. П. Аналитическая теория нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Труды института физики и математики АН БССР, В.2, 1957, с.235−248.

13. Еругин Н. П. К теории первого уравнения Пенлеве. Доклады АН БССР, 1958, т.2, $ I, с.3−8.

14. Еругин Н. П. Аналитическая и проблемы вещественной теории дифференциальных уравнений, связанных с первым методом и методами аналитической теорий. Дифференц. уравнения, 1967, т. З, № 11, с. 1822−1863.

15. Еругин Н. П. Теория подвижных особых точек уравнений второго порядка, I. Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 3, с.387−416-П. Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 4, с.579−598.

16. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1976, — 743 с.

17. Еругин.Н. П. Проблема Римана. Минск: Наука и техника, 1982, с. 336.

18. Зубов В. И. Устойчивость движения. М. Высшая школа — 1984,241 с.

19. Зубов В. И. Методы А.М. Ляпунова и их применение. И.Л.У. 1957. 241 с.

20. Камке 9. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. M., 1970. — 720 с.

21. Ковалевская C.B. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки. Научные работы С. В. Ковалевской. Изд. АН СССР, 1948 с.153−244.

22. Колесникова Н. С. Лукашевич H.A. Об одном классе дифференциальных уравнениц третьего порядка с неподвижными критическими точками. Дифференц. уравнения 1972, т.8, № II, с. 2088;2086.

23. Колесникова Н. С. Лукашевич H.A. О достаточных условиях существования решений с неподвижными критическими особыми точками для уравнений первого порядка Дифференц. уравнения, 1972, т.8, № 10, с. I953-I96I.

24. Лукашевич H.A., Яблонский А. П. Об одном классе решений шестого уравнения Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1967, т. З, № 3, с. 520−523.

25. Лукашевич H.A. К теории третьего уравнения Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1967, т. З, № 5. с. 771−789.

26. Лукашевич H.A. К теории третьего уравнения Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1967, т. З, № 11, с.1913;1923.

27. Лукашевич H.A. Некоторые задачи аналитической теории дифференциальных уравнений. Автореф. докт.дисс., Киев: АН УССР, 1971. — 16с.

28. Лукашевич H.A. К теории шестого уравнения Пенлеве. Дифференц. уравнения, 1972, т.8, ^ 8, с. 1404−1408.

29. Лукашевич H.A. Уравнения третьего порядка без подвижных критических точек (П.к.т.). Дифференц. уравнения, 1982, т.18, № 5, с. 778−785.

30. Лукашевич H.A. Элементарные решения некоторых уравнений Пенлеве.-Дифференц.уравнения, 1965, т. I, № 6, с. 731−735.

31. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1978, — 416 с.

32. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967. — 564 с.

33. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа 4.1. -Изд. 2-е. М.: ШФМЛ, 1963. — 344с^.

34. Яблонский А. И. Общее представление решений второго уравнения Пенлеве. Доклады АН БССР, 1958, т.2, $ 11.

35. Кесси А. Уравнения с неподвижными критическими точками вида и" сих интегрирование. Вестник Б1У имеи В. И. Ленина, 1985, сер I, № 2.

36. Кесси А. Об одном классе дифференциальных уравнений третьего порядка с неподвижными критическими точками. Вестник БГУ имени В. И. Ленина, 1985, сер I, № 2.