Механика жидкости и газа

1. Цель и задачи курсовой работы давление гидродинамический цилиндр Целью курсовой работы является закрепление теоретических и практических положений (разделов) «Механики жидкости и газа».

Задачи первой части курсовой работы:

1. По заданным параметрам потенциального потока выполнить расчеты и построить картину обтекания кругового цилиндра: линии тока _аi и эквипотенциальные поверхности _вi (гидродинамическая сетка).

2. Выполнить расчеты и построить эпюры скоростей и давлений для одного сечения потока (по согласованию с консультантом).

3. Выполнить расчеты и построить диаграмму скоростей и давлений по контуру кругового цилиндра.

4. Определить подъемную силу.

Задачи второй части курсовой работы:

1. Выполнить расчеты и построить эпюры скоростей и касательных напряжений в сечении потока.

2. Выполнить расчеты и построить диаграммы распределения давления вдоль продольной оси канала.

3. Определить интегральные параметры: расход жидкости Q; силу гидравлического трения R₀, среднюю скорость W_cp; количество движения К (изменение количества движения К=K₁-K₂); полный импульс Ф (изменение полного импульса Ф=Ф₁-Ф₂).

2. Плоские потенциальные установившиеся течения несжимаемой жидкости В общем случае движение жидкой частицы можно разложить на переносное движение вместе с некоторым полюсом, вращательное движение с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через этот полюс, а также деформационное движение, которое заключается в линейных деформациях со скоростями _хх, _уу, _zz и угловых — со скоростями _ху=_ух, _zy=_yz, _хz=_zх .

Уравнения движения жидкой частицы в общем случае имеют вид:

(1.1)

Уравнения (1.1) можно переписать в виде:

(1.2)

(1.3)

Полагая в этих формулах r= r₀, получим распределение скоростей по контуру цилиндра: W_r=0; W=-2W₀sin. (1.4)

Вычислим с помощью уравнения Бернулли распределение давления по контуру цилиндра. Так как поток мы предполагаем потенциальным и, следовательно, пренебрегаем действием сил трения, то уравнение Бернулли будем применять в следующем частном его виде:

Если характеризовать давление в данной точке, как это обычно принято, безразмерным коэффициентом давления p , то получим:

(1.5)

или, в прямоугольной системе координат:

(1.6)

Эпюра распределения давления, построенная по формуле (1.5), будет иметь вид, представленный на рис. 2.1 (пунктирная кривая).

Рис. 2.1. Распределение давления по сечению кругового цилиндра (пунктирная линия — расчет, сплошная — эксперимент) Комплексный потенциал, потенциал скоростей и функция тока результирующего потока будут равны соответственно

(1.7)

Радиальная и окружная составляющие скорости в этом потоке определяются по формулам

(1.8)

В частности, на контуре цилиндра, т. е. при r=r₀

W_r=0; (1.9)

Отсюда

(1.10)

Этому значению синуса соответствует два угла _кр . Определяемые ими точки на контуре должны находиться в третьем и четвертом квадрантах, так как sin_кр в рассматриваемом случае — величина отрицательная.

Рис. 2.2. Линии тока при обтекании цилиндра с циркуляцией Рис. 2.3. Распределение давлений по сечению кругового цилиндра, обтекаемого с циркуляцией.

Коэффициент давления имеет вид

(1.11)

Проекция результирующей силы давления, определяющая подъемную силу выражается формулой Вычисление интеграла дает

Р_у=вW₀Г. (1.12)

2.1 Расчет и построение гидродинамической сетки обтекания потенциальным потоком кругового цилиндра без циркуляции По заданным параметрам потенциального потока выполняем расчеты и строим картину обтекания кругового цилиндра: линии тока _аi и эквипотенциальные поверхности _вi (гидродинамическая сетка).

Исходные данные:

W₀=3.0 м/с

r₀=0.050 м а) Для точек а_i по заданным параметрам вычисляем функции тока по формулам для бесциркуляционного обтекания

Значения функций тока для бесциркуляционного обтекания приведены в таблице 1.

Таблица 1

б) Дальнейший характер протекания линий тока ш_ai = const определяем из тех же уравнений, разрешенных относительно переменной r:

для бесциркуляционного обтекания.

Результаты расчета приведены в таблице 2.

Таблица 2

в) для точек b_i по заданным параметрам вычисляем потенциал скоростей

по формуле для бесциркуляционного обтекания Значения потенциала скоростей для бесциркуляционного обтекания приведены в таблице 3.

Таблица 3

г) дальнейший характер протекания линий тока ц_ai = const определить из тех же уравнений, разрешенных относительно переменной х

для бесциркуляционного обтекания.

Результаты расчета приведены в таблице 4.

Таблица 4

Все расчеты сведем в гидродинамическую сетку бесциркуляционнго обтекания потенциальным потоком кругового цилиндра, изображенную на рис. 1.

2.2 Расчет и построение эпюры скоростей для различных сечений тока Составляющие вектора скорости определим для бесциркуляционного обтекания по формулам

Произведем расчет для выбранных сечений и построим эпюры.

а) Результаты расчета для сечения при и=90є сведены в таблицу 5

Таблица 5

б) Результаты расчета для сечения при и=120є сведены в таблицу 6

Таблица 6

в) Результаты расчета для сечения при и=150є сведены в таблицу 7

Таблица 7

2.3 Диаграммы скоростей и давлений по контуру кругового цилиндра для бесциркуляционного обтекания а) Диаграмму скоростей по контуру кругового цилиндра рассчитываем по формулам для бесциркуляционного обтекания

W_r=0;

W=-2W₀sin

Результаты расчета приведены в таблице 8.

Таблица 8

Построим диаграмму скоростей, которая будет иметь вид, представленный на рис. 3.

б)Диаграмму скоростей по контуру кругового цилиндра рассчитываем по формулам для бесциркуляционного обтекания Результаты расчета приведены в таблице 9.

Таблица 9

Построим диаграмму скоростей, которая будет иметь вид, представленный на рис. 4.

2.4 Расчет построение гидродинамической сетки обтекания потенциальным потоком кругового цилиндра с циркуляцией Исходные данные:

W₀=3.2 м/с

r₀=0.048 м Г= 1,92 м²/c

а) для точек а_i по заданным параметрам вычисляем функции тока по формуле для обтекания цилиндра с циркуляцией Значения функций тока для бесциркуляционного обтекания приведены в таблице 10.

Таблица 10

б) дальнейший характер протекания линий тока _ai = const определить из тех же уравнений, разрешенных относительно переменной y:

Результаты расчета приведены в таблице 11.

Таблица 11

На рис. 5 изображен характер построения линий тока, разрешенных относительно переменной у.

Положение критических точек на контуре цилиндра определяется полярным углом и_кр:

Так как sinи_кр<-1, критическая точка находится в потоке вне цилиндра.

2.5 Расчет и построение эпюры скоростей для различных сечений тока а) Составляющие вектора скорости определить для обтекания с циркуляцией по формулам:

Произведем расчет для выбранных сечений и построим эпюры.

а) Результаты расчета для сечения при и=90є сведены в таблицу 12

Таблица 12

б) Результаты расчета для сечения при и=120є сведены в таблицу 13

Таблица 13

в) Результаты расчета для сечения при и=150є сведены в таблицу 14

Таблица 14

Построим эпюры скоростей для выбранных сечений, которые будут иметь вид, представленный на рис. 6.

2.6 Диаграммы скоростей и давлений по контуру кругового цилиндра для обтекания с циркуляцией а) Диаграмму скоростей по контуру кругового цилиндра рассчитываем по формулам для обтекания с циркуляцией

W_r=0;

Результаты расчета приведены в таблице 15.

Таблица 15

Построим диаграмму скоростей, которая будет иметь вид, представленный на рис. 7.

б)Диаграмму давлений по контуру кругового цилиндра рассчитываем по формулам для обтекания с циркуляцией Результаты расчета приведены в таблице 16.

Таблица 16

Построим диаграмму скоростей, которая будет иметь вид, представленный на рис. 8.

2.7 Определение подъемной силы для обтекания с циркуляцией Подъемную силу определим для обтекания с циркуляцией цилиндра по формуле Н.Е. Жуковского

Р_у=в· ·W_о · Г.

в=5м;

=1000 кг/м³;

W₀= 3,2 м/с;

Г=1,92 м²/c;

Р_у=5· 1000·3,2·1,92=30 720 Н.

3. Ламинарные течения вязкой несжимаемой жидкости в каналах Ламинарное течение в каналах устанавливается всегда, когда число Рейнольдса Re=W_срDг/ меньше критического его значения, находящегося в интервале Re_кр=20 003 000 (здесь D_г — гидравлический диаметр поперечного сечения потока; W_ср — средняя скорость по сечению; - коэффициент кинематической вязкости).

Метод решения задач ламинарного движения заключается в составлении дифференциального уравнения движения элемента жидкости, преобразовании этого уравнения с помощью подстановки выражения закона жидкостного (гидравлического) трения Ньютона и интегрировании его при заданных граничных условиях задачи.

Дифференциальное уравнение ламинарного напорного движения в трубе круглого поперечного сечения (рис. 2.1) имеет вид

(2.1)

где W — скорость жидкости на радиусе R, р — перепад давления на длине участка L.

Рис. 2.1. Схема течения Пуазейля Интегрируя дифференциальное уравнение (2.1), получим закон распределения скоростей по сечению канала:

которое при граничных условиях W=0 при R=R₀ (скорость частиц жидкости на стенке равна нулю) приводится к уравнению

(2.2)

где R₀ — радиус трубы.

Скорость распределяется в поперечном сечении трубы по параболическому закону, максимум скорости имеет место на оси трубы:

. (2.3)

Касательное напряжение изменяется в сечении по линейному закону

. (2.4)

Сила трения на длине трубопровода L₀ определяется по формуле

. (2.5)

Характер изменения давления по длине трубопровода определяется по формуле Дарси-Вейсбаха

(2.6)

или по формуле

(2.7)

где — гидравлический коэффициент сопротивления определяется для ламинарного течения в трубе по формуле Пуазейля

. (2.8)

Расход жидкости через поперечное сечение трубы

. (2.9)

Из выражения (2.9) можно видеть, что средняя скорость потока в сечении составляет половину максимальной

. (2.10)

Количество движения и полный импульс в сечении потока определяются по выражениям:

(2.11)

. (2.12)

Ламинарное напорное течение в трубе известно в гидродинамике как течение Пуазейля.

Расчет плоских ламинарных течений вязкой несжимаемой жидкости в каналах Исходные данные:

с = 860 кг/м³,

н₅₀ = 70^.10^-6 м²/с,

R₀ = 0,016 м,

L₀ = 3,2 м,

Re = 1700.

Динамическая вязкость жидкость:

Среднюю скорость вычислим по формуле:

Гидравлический коэффициент сопротивления определяется для ламинарного течения по формуле Пуайзеля:

Зная среднюю скорость и гидравлический коэффициент сопротивления, рассчитываем перепад давления по формуле:

Результаты расчета приведены в Таблице 17.

Таблица 17

Перепад давления изображено на рис. 9.

Максимум скорости:

Распределение скоростей и касательных напряжений по сечению канала при L = 1,6 м и Дp = 11 193,44 Па найдем по формулам:

Результаты расчета приведены в Таблице 18.

Таблица 18

Построим эпюру скоростей и касательных напряжений в сечении потока, которые будет иметь вид, представленный на рис. 10.

Сила трения на длине кольцевого трубопровода L₀:

Расход жидкости через поперечное сечение кольцевого трубопровода:

Количество движения и полный импульс в сечении канала определяются по формулам:

1. Механика жидкости и газа. Методические указания по выполнению курсовой работы. Составитель Э. Г. Гимранов

2. Попов Д. Н. Гидромеханика: Учеб. Для вузов/ Д. Н. Попов, С. С. Панапотти, М. В. Рябинин; Под ред. Д. Н. Попова. — М: МГТУ им. Баумана, 2002. — 384 с.

3. Попов Д. Н. Механика гидрои пневмоприводов: Учеб. пособие для вузов/Ред. Г. А. Никова. — М.: МГТУ, 2001. — 320 с.

4. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. -3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1970. — 904с.

5. Элементы гидропривода. Справочник. 2-е изд., перераб. и доп. Е. И. Абрамов, К. А. Колесниченко, В. Т. Маслов, Киев: Техника, 1977. — 320с.