Нелинейные задачи теории наземных гирокомпасов

Наземные гирокомпасы созданы немногим более тридцати лет назад для нужд маркшейдерского дела [75,102 J. Область их применения за эти годы значительно расширилась. Наземные гирокомпасы дают достаточно точные показания в маркшейдерском деле, геодезии, артиллерии. Для дальнейшего совершенствования высокоточных приборов уже недостаточно хорошо разработанной линейной теории наземных гирокомпасов. Возросшая сложность конструкции, высокие требования, предъявляемые в настоящее время к точности показаний приборов заставляют вновь обратиться к вопросам динамики, но на более глубоком уровне с учетом очень тонких эффектов, связанных с нелинейностью уравнений, с наличием внутренних возмущений, конечных жесткостей конструктивных частей чувствительного элемента гирокомпаса.

Первый наземный гирокомпас был создан в 1950 г. [75 J на основе морского гирокомпаса. Поэтому невозможно говорить о состоянии теории наземных гирокомпасов, не касаясь основных этапов развития морских гирокомпасов. Более того, основная часть линейной теории может быть перенесена на наземные гирокомпасы. Основополагающими работами здесь были работы отечественных и зарубежных ученых в области прикладной гироскопии А. Н. Крылова [72], Б. В. Булгакова [20], Б. И. Кудревича [73], Шуллера [125]. Уже на этом этапе были известны характер движения в окрестности положения равновесия, периоды движений, декременты затухания при наличии демпфирования.

С самого начала развития теории и практики морских гирокомпасов было наиболее важным выявление девиаций, связанных с разнообразными движениями основания и, в особенности, условий не-возмущаемости и девиаций, когда эти условия невыполнены. Большой обзор по этим работам дан в [14]. Это работы А. Ю. Ишлинского [48−50J, В. Н. Котлякова [68,70,71], Климова Д. М. [ 55], Меркина Д. Р. [83 ], Ю. К. Жбанова [33−35], Г. Д. Блюмина, М. В. Чичинадзе [I5J, В. П. Василенко, С. М. Онищенко [28 ], В. Ф. Ляшенко f80J и многие другие.

В дальнейшем развитие теории пространственных гирокомпасов были затронуты вопросы устойчивости невозмущенного движения, несферичности Земли, несовершенства реализации кинематических схем, влияния трения, люфтов, конечных жесткостей и инерции элементов гирорамы и многие другие.

Наземные гирокомпасы в отличие от морских эксплуатируются на неподвижном относительно Земли основании. Это внесло значительные изменения в конструкцию первоначальных образцов и поста-лило перед механикой задачи иного характера, решению которых посвятили свои труды многие советские ученые и инженеры В. Н. Лавров [ 75,76 ], М. А. Сергеев [l02 ], И. Б. Житомирский [Зб], П. А. Ильин [45], С. Р. Селезнев [iOl], В. П. Василенко, М.Е.Темчен-ко [ 29] и друтие. Теория наземных гирокомпасов посвящена также значительное число работ зарубежных авторов Реллесмана, Швендера и других.

Как отмечается в [102, с. З] /'практика создания и применения наземных гирокомпасов выдвинула ряд проблем: а) разработка обобщенной теорииб) исследование и выявление оптимальных методов определения положения равновесия чувствительного элементав) построение теории девиацииг) влияние вибрации на показания гирокомпасовд) исследование методов автоматической выставки ориентируемых объектов по гироскопическому азимуту". Монография М. А. Сергеева посвящена в основном построению обобщенной теории движения чувствительного элемента, излагается теория девиаций от внешних возмущений, а также рассмотрены уравнения движения с некоторыми негладкими нелинейностями. В круг решаемых механикой задач следует отнести вопросы а), в), г).

Работы, по влиянию нутаций, вибраций, вызванных неидеальностью форм подшипников, различными дебалансами роторов на точночть ность гироскопических приборов [81,124,54,58,60,103,110,111, 39−41, I8,6I, I08j показывают важность учитывания таких явлений. В приложении к наземным гирокомпасам эти вопросы на строгом уровне не были исследованы. В свою очередь исследования такого рода явлений невозможно без развития нелинейной теории наземных гирокомпасов.

В гироскопии решено немало нелинейных задач, обзор и литературы по ним приведен в работе Н. В. Бутенина, Д. М. Климова, Я. Л. Лунца, Н. П. Степаненко [24] .

Отметим работы, касающиеся теории гирокомпасов. Это работы В. П. Василенко, С. М. Онищенко [28J, Ю. К. Жбанова [34 ], где црово-дится точное интегрирование прецессионных уравнений движения гирогоризонткомпаса на произвольно движущемся объекте в прёдг-положенш^конечного угла поворота в азимуте. Наиболее близкими по исследованию нелинейных свойств уравнений наземных гирокомпасов являются работы А. М. Летова [78], 1952 г., где решение прецессионных уравнений гироскопа ~ в кардановом подвесе установленного на экваторе (или гирокомпас Анщютца) сводится к квадратурам без предположения о малости углов поворота подвеса, А. Бегена [12 J «где показана эквивалентность движения гирокомпаса и маятника, Н. В. Бутенина [22], Н. В. Бутенина и.

A.М.Лестева [26 J, И. Н. Щитова [ш], Х. Л. Смолицкого [l04,IQ5] ,.

B.П.Веденина [30], Я. Л. Лунца [79 J, В. П. Ильчанинова и В.Г.Тере-пшна [46,47], В. И. Бурлакова и А. М. Бурлаковой [4б|, А. М. Лестева.

77J. В статье В. П. Ильчанинова и В. Г. Терешина [2jJ полные уравнения движения гирокомпаса Фуко интегрируются точно в эллиптических функциях. Таким образом, развитие нелинейной реории гирокомпасов вплотную подводит цк исследованию полных уравнений более сложных механических систем, моделирующих наземные гирокомпасы.

В гироскопии и механике твердого тела также немало примеров, когда построены точные решения исследуемых уравнений в общем или частных случаях, методы построения которых могут быть использованы в аналогичных случаях. Исследование возможностей точного интегрирования уравнений движения имеет теоретическое и практическое значение. Механика тщательно коллекционирует случаи интегрируемых систем. Нередко точное интегрирование значительно упрощает исследование нелинейных уравнений и имеет свои преимущества.

Прежде всего точное решение задачи служит эталоном для приближенных методов. Примером тому могут быть работы [ 58,41J, где с помощью точных решений уравнений движения гироскопа уточняются формулы ухода Магнуса. Во-вторых, точные решения могут служить начальным приближением для более сложных задач, с помощью приближенных методов можно выяснить поведение системы в окрестности известных частных решений [59 J .

В 1-ой и 2-ой главах исследуются полные нелинейные уравнения движения гирокомпаса с кардановым подвесом гиромотора, который будем называть гирокомпасом в кардановом подвесе. Как показано в главе 3, асимптотическое интегрирование уравнений движения гирокомпаса с торсионным подвесом чувствительного элемента представляющего более сложную механическую систему, приводит к решению тех же уравнений. Поэтому более глубокое изучение свойств уравнений гирокомпаса на простой модели представляет не только теоретический интерес.

Точное интегрирование, как правило, удается в тех случаях, когда известно достаточное число первых интегралов движеп ния. Согласно теореме Лиувилля, гамильтбвова система с «» степенями свободы интегрируема, если существуют П> независимых первых интегралов в инвд&шции [4 ]. Для интегрируемости исследуемой гамильтоновой системы с тремя степенями свободы необходимо существование одного независимого от интеграла энергии и циклического интеграла собственного вращения ротора. Если в уравнениях положить скорость вращения Земли равной нулю, то получится интегрируемая система, недостающим интегралом будет в этом случае еще один циклический интеграл. Интегрируемый случай — уравнения движения гирокомпаса Фуко — получим за счет уменьшения степеней свободы, если устремить к бесконечности маятниковость системы [47 ]. Таким образом, также как и в задаче о движении твердого тела около неподвижной точки имеются некоторые частные случаи интегрируемости. Возникает вопрос: нет ли еще каких-либо случаев, когда существует дополнительный интеграл.

Наводящие мысли при ответе на этот вопрос могут появиться при решении задачи о ветвлении общего решения уравнений. Именно этот путь поиска случаев, когда решение может быть выражено в мероморфных функциях времени, привел С. В. Ковалевскую к открытию нового случая интегрируемости Г63,32]. Как оказалось, уравнения движения твердого тела около неподвижной точки имеют недостающий первый интеграл лишь в тех случаях, когда общее решение может быть выражено в однозначных функциях комплексного времени [94]. Аналогичная работа проделана Ю. А. Архангельским для твердого тела в ньютоновском поле тяжести [ 5−7 J .

Как известно [64,65,44], ветвление решений препятствует интегрируемости. Это значит, что если одна из координат как функция комплексного времени испытывает скачок при обходе по замкнутому контуру в комплексной плоскости независимого-^переменного, то тогда независимого от интеграла энергии однозначного первого интеграла не существует. Условия отсутствия ветвления решения дают необходимые условия интегрируемости уравнений, так как из однозначности решения не всегда следует интегрируемость. К примеру, уравнение Cj + hfj +^O имеет однозначное решение, но первого интеграла при ЬфО не существует. Отметим еще одну сторону связи проблемы точного интегрирования и однозначности: решение уравнений с однозначными общими интегралами сводится к составлению уравнений для целых функций, отношение которых дает решение задачи.

В 1-ой главе диссертации получены необходимые условия однозначности общего решения уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе методом вариации частного решения. При этом показано, что некоторые условия оказываются достаточными. jB общем случае, когда скорости вращения Земли и ротора отличны от нуля, общее решение не может быть выражено в однозначных функциях времени.

В связи с полученными в первой главе результатами возникает задача ассимтотического интегрирования уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе. В гироскопии такого типа задачи. решается либо с помощью метода осреднения [16,841 путем сведения к регулярно возмущенным уравнениям, либо те же уравнения сводятся к сингулярно возмущенным и используется метод А. Н. Тихонова Jl07J. В указанной задаче применимы оба метода. Уравнения движения гирокомпаса представлены в диссертации в виде регулярно возмущенных уравнений свободного гироскопа в неподвижной системе координат. Как известно [87,58J, невозмущенные уравнения интегрируемы, решение задачи сводится к обращению гиперэллиптических квадратур, и может быть использовано для построения асимптотического решения при любых начальных данных, малым параметром служило бы отношение скоростей вращения Земли и ротора. В диссертации уравнения исследуются в предположении малости скоростей нутации, при этом углы поворотов рамок подсеса считаются конечными. Эволюционные уравнения точно интегрируются, вычисляются периоды прецессионных колебаний с учетом конечности амплитуд колебаний и нутационных движений чувствительного элемента.

В действительности свободные нутационные колебания быстро затухают, остающиеся высокочастотные колебания чувствительного элемента вызваны неидеальностью поверхностей качения шариковых подшипников ротора. В силу нелинейных эффектов вибрации могут привести i уходам Г40 J или к изменению положения равновесия, что ухудшает точность прибора. Поэтому особое значение для практики имеет исследование влияния внутренних возмущений, обусловленных вращением ротора в неидеальйых по форме подшипниках на точность гироскопических приборов [ 52 ].

В гироскопии теория неидеальных подшипников разработана в работах В. Ф. Журавлева ?37,40j. Им предшествовали работы Л. З. Новикова [88,89], С. А. Харламова [lII, II2], в которых.

— 9U исследуются соожные вопросы статики и динамики ротора в идеальных упругих шариковых подшипниках. Влияние неидеальности обработки подшипников рамок подвеса исследовано В. В. Филатовым f 108 J. В работах А. Ю. Беляева, В. Е. Петренко, Ю. В. Радыша [хз], М. А. Павловского, В. Е. Петренко [ 94 J теория неидеальных шарикоподшипников используется для диагностики состояния подшипников и осевого натяга, одной из главных величин, определяющих спектр собственных частот гиромотора.

Во второй части диссертации ставится задача исследавания вибрации гирокомпаса на торсионном подвесе и систематических погрешностей определения азимута, вызванных внутренними возмущениями. При исследовании динамики ротора в неидеальных подшипниках-' неизбежно приходится учитывать конечную жесткость его опор.

Задача определения собственных частот подвешенного на тор-сионе гиромотора с учетом упругости опор ротора тесно связана с этими вопросами и проблемой диагностики И состояния параметров подшипников в собранном гироскопе.

Собственные частоты наземного гирокомпаса с торсионным подвесом чувствительного элемента [101,102] без учета упругости опор ротора получены приближенно в статье В. П. Василенко, М.Е.Тем-ченко [ 29J .

Таким образом, в диссертацииполучены необходимые условия однозначности общих интегралов уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе, -проведено асимптотическое интегрирование уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе, вычислены периоды прецессионных движений!,.

— получены уравнения вибрации гирокомпаса на торсионном подвесе, приближенные формулы для собственных частот гирокомпаса с учетом упругости опор ротора,.

— получены формулы связывающие среднее отклонение оси гирокомпаса йз плоскости меридиана с коэффициентами Фурье поверхностей беговых дорожек.

Основные результаты опубликованы в четырех П печатных работах ?8−113 и докладывались на.

— Всесоюзных Королевских чтениях в МФТИ (Долгопрудный, Моск., обл., 1980).

— научных конференциях МФТИ (Долгопрудный, 1980, 1982, 1983).

— Всесоюзной конференции, посвященной Дню советской науки на ВДНХ СССР (Москва, 1984).

— на семинаре по механике систем твердых тел и гироскопов Института проблем механики АН СССР под руководством академика А. Ю. Ишлинского, чл.-корр. Д. М. Климова, проф. Е. А. Девянина. (1984).

ЗА1Ш0ЧЕНИЕ.

Итак, в диссертации исследованы нелинейные уравнения движения наземных гирокомпасов: с торсионным и кардановым подвесом чувствительного элемента. В первой главе исследованы общие решения полных нелинейных уравнений гирокомпаса в кардановом подвесе на предмет однозначности как функции комплексного переменного. Получены необходимые условия однозначности, которые свидетельствуют о неинтегрируемости уравнений движения в комплексных переменных.

Во второй главе те же уравнения решаются методом осреднения. Показано, что решение сводится к обращению элиптического интеграла третьего рода. Решения приближенной системы, полученной в результате отделения медленных переменных, ложатся на двумерные торы в четырехмерном фазовом пространстве, что характерно для интегрируемых систем. У точной системы решения для большинства начальных данных также являются обмотками торов, близких к полученным. Отметим, что это свойство все же локальное, поскольку считалось, что угловые скорости нутаций малы по сравнению со скоростью вращения ротора. Периоды медленных колебаний гирокомпаса выражены через нормальные эллиптические интегралы первого и второго рода. Формулы учитывают инерционность рамок подвеса и конечность углов поворота чувствительного элемента, что весьма важно для точного определения направления на Север по короткому отрезку траектории оси гироскопа.

В третьей и четвертой главе исследуется динамика гирокомпаса сП торсионным подвесом чувствительного элемента, ротор У которого вращается в упругих неидеальных по форме подшипниках.

Быстрое вращение ротора в тагах опорах приводит к появлению высокочастотных возмущений, которые приводят в силу нелинейных эффектов к смещению положения равновесия гирокомпаса, что и обуславливает ошибку гирокомпаса. Показано, что если пренебречь конечной жесткостью подшипников и вращением системы координат отклонение оси ротора из плоскости меридйана равно в среднем нулю в любом приближении, независимо от вида внутренних возмущений потенциальной природы. В рамках поставленной задачи, то есть с учетом конечной жесткости опор величина средней ошибки отлична от нуля, а связь её с частотой вращения ротора и погрешностями изготовления подшипников имеет резонансный характер. В связи с этим в третьей главе решается задача о собственных частотах гирокомпаса с упругими опорами ротора. Полученные там же уравнения вибрации необходимы в задаче о погрешностях'" гирокомпаса. Показано также, что результаты второй главы имеют прямое отношение к более сложной модели, рассмотренной в последних главах, в частности, периоды прецессионных движений чувствительного элемента могут вычисляться по формулам второй главы.