Исследование робастных характеристик линейных систем управления

В промышленно развитых странах, развитие современных средств производства и транспорта, в первую очередь, характеризуется созданием всё более сложных технических систем и технологических процессов. При эксплуатации этих технических систем и технологических процессов, в связи с увеличением числа составляющих их элементов и усложнением взаимосвязи между ними, естественным образом, на практике, увеличивается интенсивность отказов, что приводит к увеличению числа крупных технических и техногенных катастроф. В последнее время это практически подтверждается увеличением числа различных аварий и катастроф в развитых странах (отказы на АЭС, массовое отключение электричества, аварии на транспорте и т. д.). В связи с этим возникает задача обеспечения безопасности динамики функционирования технических систем и технологических процессов зависящих от многих параметров и характеризуемых нелинейными связями.

Одной из важнейших проблем современного производства, является развитие фундаментальных научных исследований в области обеспечения безопасности функционирования сложных технических систем и технологических процессов. В первую очередь, это касается использования, в качестве объекта исследования, адекватных динамических моделей и создания математических методов исследования их безопасности.

Одним из важнейших факторов математической модели динамической системы напрямую связанных с безопасностью эксплуатации реальных технических систем является устойчивость.

Проблемы устойчивости рассматривались в механике еще в древности. Принципы отбора устойчивых положений равновесия пытались установить Аристотель и Архимед в Ш и П столетиях до н. э. Однако первые достаточно общие результаты удалось сформулировать только в XVII и XVIII столетиях: критерий Торричелли (1644 г.) устойчивости равновесия системы тел, находящихся под действием сил тяжестидостаточные условия Лагранжа (1788 г.) устойчивости положения равновесия консервативных систем.

Начиная с середины позапрошлого столетия теорию устойчивости начали успешно применять для решения проблем безопасности эксплуатации технических систем. Главным объектом исследования в XIX веке были автоматические регуляторы производственных процессов, такие как регулятор Уатга для паровой машины. В связи с ростом мощности и быстроходности паровых машин и со склонностью этих машин к неустойчивости и самораскачиванию, что часто приводило к авариям. Проблеме устойчивости посвящено огромное число книг, монографий и журнальных статей в которых излагаются методы исследования устойчивости и их применение к конкретным задачам. Уже давно в математической литературе излагались различные формы критериев устойчивости, обилие методов, способов исследования и отмечались связи между ними. Этот интерес объясняется широким практическим приложением в различных областях науки и техники. Первые успешные работы по устойчивости принадлежат Джеймсу Максвеллу, И. А. Вышнеградскому и Шарлю Эрмиту. Однако, они не получили широкой известности из-за плохой практической применимости в конструкторских расчетах. Позже задача была решена другими известными учеными и инженерами, в честь которых и стали называться методы предложенные ими. Наиболее известны матричные (например, Рауса-Гурвица, Льенара-Шипара) и частотные (например, Михайлова, Найквиста). В работах A.M. Ляпунова были получены первые результаты по устойчивости нелинейных систем, опирающиеся на фундаментальную идею введения функции Ляпунова.

В теории Ляпунова задача об устойчивости движения решается в общей математической форме — как задача об устойчивости решений (процессов, движений) систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие системы являются математическими моделями не только в механике, но и служат для описания многих явлений в радиотехнике, биологии, экономике, социологии и других областях. Поэтому термин «устойчивость движения» понимается в широком смысле и используется для изучения устойчивости изменяющихся во времени процессов различной природы.

В 30-е годы XX века, основным аппаратом теории становятся частотные методы и соответствующие частотные критерии устойчивости (Найквиста, Михайлова). Эти методы в 1940;50-е годы распространяются на импульсные и дискретные системы (Цыпкин, Джури) — такие системы приобретают особую роль в связи с появлением цифровой вычислительной техники и некоторых классов нелинейных систем (Лурье, Айзерман, Попов).

В конце 1950;х годов теория управления вновь обновилась. В связи с развитием ракет и космонавтики возникает совершенно новый аппарат описания систем управления — описание в пространстве состояний. Иначе говоря, движение системы подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению (вообще говоря, нелинейному), в правой части которого стоит функция, которая может выбираться проектировщиком (управление). Более того, возникла фундаментальная идея оптимальности — выбор управления должен оптимизировать некоторый показатель качества. Был разработан принцип максимума Понтрягина, который дал необходимое условие оптимальности управляемой системы. Работы специалистов по управлению (Калман, Беллман, Летов) показали важность и продуктивность созданной теории оптимального управления.

В то же время постепенно выяснилось, что такая теория адекватно описывает лишь сравнительно узкий круг практических задач, таких как управление космическим полётом или наведение ракет. В остальных ситуациях имеется масса факторов, препятствующих применению красивой математической теории оптимального управления. Во-первых, в каждой задаче имеется неизбежная неопределённость, связанная либо с наличием внешних возмущений, либо с невозможностью точно определить параметры модели. Во-вторых, в теории оптимального управления решение ищется в виде функции от времени (программное управление). Ясно, что необходимость строить стратегию управления заранее является крайне нежелательной. Для инженера гораздо более естественно выбирать управление в форме обратной связи, как функцию от выхода системы в текущий момент (задача синтеза).

Эта критика вызвала очередную переоценку теории управления в 1970;е годы. В инженерной практике происходит возврат к классическим способам регулирования с помощью простых регуляторов (типа ПИД) и к простым методам их настройки. В’теории восстанавливается интерес к частотным методам: они обобщаются на случай многомерных систем (Розенброк). Однако настоящие революционные изменения произошли в 1980;е годы. Возникла так называемая Н00 -теория (Зеймс, Френсис, Дойл, Гловер) — она позволила объединить частотные методы и методы пространства состояний и по-новому ставить оптимизационные задачи. Эта же постановка позволила рассматривать задачи с неопределённостью (робастное управление), именно задачи, в которых частотная характеристика объекта имеет неопределённость, ограниченную в Н-норме. Появились и другие постановки задач робастного управления, в которых неопределённость может быть задана иначе — либо как параметрическая, либо как ограниченная в матричной норме при описании в пространстве состояний. При этом были найдены многие красивые решения отдельных задачнапример, задача о робастной устойчивости интервального полинома допускает очень простой ответ (теорема Харитонова). Был создан математический аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределённостей — /ианализ (Дойл). Помимо //с° -теории и робастности, новое решение получил ряд других разделов теории управления. Так, задача о подавлении внешних возмущений привела к появлению так называемой /jоптимизации (Барабанов-Граничин,.

Пирсон-Далех). Новый математический аппарат, оказавшийся чрезвычайно удобным, связан с линейными матричными неравенствами. Эти неравенства возникли ещё в 1960;е годы в ряде задач управления (Якубович, Виллемс,) — позже выяснилось (Бойд), что они представляют собой очень общий метод анализа и синтеза линейных систем. Наличие' эффективных программ решения линейных матричных неравенств сделало этот аппарат весьма эффективным с вычислительной точки зрения.

Таким образом, за последние 20 лет теория управления претерпела очень большие изменения, расширившись за счёт новых направлений проблем инициированных новейшим этапом развития человечества в XXI веке.

Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов впервые подробно рассмотрел S. Faedo (1953). Однако он получил только достаточные условия робастной устойчивости, основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Более ранний результат по робастной устойчивости получили JI. Заде и Ч. Дезоер. Затем B.JI. Харитонов доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов, что являлось большим продвижением в этой области (1978). Далее в этом направлении, в качестве наиболее известных результатов, можно отметить реберную теорему — полученную в 1988 г. (A.C. Bartlett, C.V. Hollot, H. Lin) и графический критерий робастной устойчивости-полиномов доказанный — в 1990 г. (Б.Т. Поляк, Л.З. Цыпкин).

Главными задачами робастной устойчивости, с одной стороны, являлось, определение границ устойчивости в пространстве параметров системы первого приближения (И. А. Вышнеградский), а с другой, получение оценок области асимптотической устойчивости расчетных режимов исходных систем.

Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) включают в себя как известные подходы, например, теорию возмущений, так и новые: ц-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.).

Созданию и разработке методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И. А. Вышнеградский, Я. З. Цыпкин, Б. Т. Поляк, B.JI. Харитонов, П. С. Щербаков, A.C. Немировский, Ю. П. Петров, М. Г. Сафонов, Н. В. Зубов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Kogan, R. Tempo, D.D. Siljak и др.

Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления на сегодняшний день обусловлена современными потребностями науки и техники и не 7 только. В практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и других сферах робастная устойчивость является одним из ключевых факторов гарантирующих применимость моделей и надежность работы спроектированных систем. Фактически результаты, полученные в теории робастной устойчивости, позволяют обеспечивать динамическую безопасность управляемых систем на этапе их конструирования и эксплуатации.

Исследования робастной неустойчивости позволяют дать дополнительную информацию о поведении робастно устойчивых систем, особенно, что важно, в пограничных режимах. Исследование робастно неустойчивых режимов формирует теоретическую базу для формирования быстродействующих и экономичных регуляторов, которые позволяют быстро и с минимальными энергетическими и временными затратами изменять параметры системы. Результаты исследований дают эффективные решения нерешенных инженерных задач. Вопросами робастной неустойчивости с 2002 года занимаются Н. В. Зубов и его ученики.

Диссертационная работа посвящена развитию наиболее конструктивных аналитических методов и алгоритмов анализа робастной устойчивости и неустойчивости систем управления по первому приближению в пространстве коэффициентов их характеристических полиномов. Причем исследование проведено и получены новые результаты для полиномов с аффинной неопределенностью в коэффициентах, где не было существенного продвижения вплоть до 2002 года. Исследование проводится с единых позиций — анализа робастного поведения интервальных полиномов, при этом робастная устойчивость этих семейств рассматривается как частный случай робастной неустойчивости. Рассмотрены также вопросы робастной устойчивости и неустойчивости матриц систем управления. Уделено внимания вопросам сверхустойчивости матриц систем управления, стабилизации систем управления. Рассмотрены вопросы применения вероятностного подхода к исследованию робастной устойчивости и неустойчивости.

Промышленные объекты управления имеют соответствующие математические модели, описывающие их статические и динамические характеристики. Теория автоматического управления, изучающая процессы автоматического управления объектами разной природы применяется для выявления свойств систем автоматического управления при помощи математических средств и разрабатываются рекомендации по их проектированию.

Рассмотрим различные формы задания линейных управляемых систем и нелинейных систем по первому приближению. А также переход к исследованию их устойчивости и неустойчивости с помощью характеристических полиномов в этих формах.

Задание в пространстве состояний.

Линейная стационарная непрерывная управляемая система в пространстве состояний описывается векторным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением: х~Ах + Ви + Ох щ у-Сх + где х (7) еЛп — вектор называемый состоянием системы, и (£) е Ят — управление, выход системы, е Яр — входные сигналы (внешние возмущения) или задающие воздействия. Матрицы, А, В, С, ,?>2. пхп пхт Ып пхр Ыр

Аналогичные дискретные системы описываются разностными уравнениями:

Хк = Ахк-1 + Вик-1 + 1' У к = Схк + 02&trade-к > где к играет роль времени, и может обозначать номер итерации в итерационном процессе или время, в процессах связанных с цифровым управлением. Характеристический полином матрицы, А имеет вид /(5) = ёе^.Е — А), где Е — единичная матрица.

В непрерывном одномерном случае (широко применяемом на практике) система может быть записана в виде: + аху + а0у = гти+. + гхй + г0и, п > т.

В этом случае характеристический полином имеет вид: з) = 5″ + ап1яп~1 +. + а^ + а0.

Далее будем понимать под интервальной системой управления систему первого приближения, характеристический полином которой будет иметь интервальные ограничения на коэффициенты.

Задание с помощью передаточных функций.

Многомерная система может быть описана с помощью передаточных функций:

Ниу (8) = С{*Е-АТ1 В, Ни^) = С{8Е-АГ1Ох+П2, где матричная функция Ниу (э) комплексной переменной я называется передаточной функцией от управления и к выходу у, а аналогичная функция Н Дя) называется передаточной функцией от возмущения ж к выходу у. Элементами матриц Н (з) являются дробно-рациональные функции, имеющие общий знаменатель /($) = йе^яЕ — А) -характеристический полином матрицы^.

В рассмотренных случаях исследование устойчивости и неустойчивости системы можно свести к исследованию устойчивости и неустойчивости полинома /(я).

В первой главе рассмотрены методы исследования устойчивости линейных систем управления, сделан их анализ и обобщение для исследования неустойчивости. Рассмотрен ряд теорем, дающих необходимые и достаточные условия принадлежности рассматриваемых систем определенному классу неустойчивости, причем аналогичные критерии для устойчивых систем, непосредственно следуют из приведенных теорем (критерии Михайлова, Найквиста и т. д.).

В п. 1.1. рассматриваются аналитические (метод понижения порядка Н.В. Зубова) и графические критерии (обобщения критериев Найквиста и Михайлова) принадлежности полиномов непрерывных систем классам (п, к) -эквивалентности.

В п. 1.2. рассматриваются аналитические (например метод Шура-Кона) и графические критерии (аналог метода Михайлова) принадлежности полиномов дискретных систем классам (п, к) -эквивалентности.

П. 1.3. посвящен исследованию локализации и оценки спектров линейных операторов для исследования устойчивости и неустойчивости матриц линейных систем управления (теоремы Ляпунова, Таусски, Бендиксона-Гирша, Рорбаха-Фреше). Приведены методики анализа диагональных матриц.

В п. 1.4. рассмотрены различные описания неопределенности для систем управления. Предложены варианты геометрии неопределенности в комплексном случае. Рассмотрены варианты неопределенности как для систем управления с полиномиальной, так и с матричной структурами.

Во второй главе рассматриваются аналитические критерии робастного поведения интервальных полиномов. Используется единый подход к системному анализу робастной устойчивости и неустойчивости динамических систем по первому линейному приближению. Рассматриваемые критерии и методы исследования робастной неустойчивости включают, как частный случай, известные результаты, полученные в теории робастной устойчивости для интервальных полиномов, такие как теорема Харитонова.

В п. 2.1, 2.4 приведены аналитические критерии робастной неустойчивости семейств непрерывных и дискретных полиномов с интервальными ограничениями, на коэффициенты, т. е. принадлежности этих семейств классам (п, к) — эквивалентности полиномов для вещественного и комплексного случаев, полученных в последние годы. Проведен их анализ.

В п 2.2. — 2.3. предложены обобщения графических критериев исследования робастной устойчивости и неустойчивости интервальных полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами, позволяющее снять все ограничения на коэффициенты, присутствовавшие ранее. Причем при к = 0 эти критерии переходят в соответствующие графические критерии устойчивости интервальных семейств полиномов. Предложены графические критерии робастного поведения интервального семейства полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами с двумя размахами неопределенности.

В третьей главе проведен анализ методов исследования робастного поведения интервальных линейных систем управления.

В п. 3.1. предложены критерии существования выпуклых множеств неустойчивых полиномов в пространстве коэффициентов характеристического полинома системы, первого приближения принадлежащих однородным классам неустойчивости. Эти критерии позволяют свести исследование бесконечномерной задачи к конечномерной, т. е. путем проверки конечного числа условий, налагаемых на полиномы, образующие это семейство, установить свойства всего этого семейства полиномов.

В п. 3.2. рассмотрены критерии робастного поведения семейств полиномов с неинтервальным описанием неопределенности. Системы с неинтервальным описанием неопределенности можно исследовать с помощью аналитических и графических критериев и вероятностного подхода, как в непрерывном, так и в дискретном случаях.

В п. 3.3. рассмотрена техника применения допустимых линейных преобразований для исследования робастного поведения семейств полиномов.

В п. 3.4. рассмотрены вопросы робастной^{-стабилизации} для объектов, описанных одномерными передаточными функциями,^{-стабилизации} позволяет переводить систему из одного класса устойчивости или неустойчивости в другой.

В п. 3.5. рассмотрен вероятностный подход к исследованию робастного поведения семейств полиномов. Рассмотрено применение метода Монте-Карло и аппроксимации доверительным эллипсом.

Четвертая глава посвящена анализу методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости семейств матриц линейных систем управления.

В п. 4.1. приведены вспомогательные сведения и постановка проблемы.

В п. 4.2 даются формулы А:-радиуса робастного поведения для непрерывных и дискретных систем, матрицы которых имеют кдиагональное преобладание.

В п. 4.3 удалось обобщить методику исследования робастного поведения семейств матриц с неопределенностью, задаваемой с помощью матричных норм для исследования принадлежности семейств матриц классам (т?, -эквивалентности.

В п. 4.4 приведены достаточные условия существования устойчивых выпуклых множеств в пространстве параметров нестационарной системы первого приближения, что является одной из задач робастной устойчивости матриц.

В заключении диссертации приведены основные научные результаты, полученные в работе, показана их новизна и практическая значимость.

В приложении приведены математические модели систем управления, к которым могут быть применены результаты, полученные в работеалгоритмы и программы, позволяющие применить теоретические положениярезультаты численных экспериментова также динамическая визуализация иллюстрирующая работу теорем. На защиту выносятся:

1. Анализ классических и новых методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости интервальных систем управления с помощью общего подхода к., исследованию робастных характеристик таких систем.

2. Обобщение методов исследования робастной устойчивости неинтервальных систем управления на неустойчивость.

3. Исследование новых геометрических свойств допустимых линейных преобразований коэффициентов интервальных систем управления с сохранением инварианта принадлежности одному классу неустойчивости.

4. Обобщение методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости матричных семейств для отдельных классов таких семейств (сверхустойчивые матрицы, к-диагональные матрицы).

5. Алгоритмы, программы и приемы визуализации для применения современных подходов для исследования робастного поведения (устойчивости или неустойчивости) систем управления в инженерной практике.

1. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость разностных систем — СПб.: Изд. СпбГУ, 2003. 112 с.

2. Александров А. Ю., Александрова Е. Б., Екимов A.B., Смирнов Н. В. Сборник задач и упражнений по теории устойчивости. СПб.: СПбГУ, 2003. — 164 с.

3. Андриевский Б. Р., Фрадков A. JL Избранные главы теории автоматического управления. СПб.: Наука, 1999. 468 с.

4. Афанасьев В. Н. Управление неопределенными динамическими объектами. М.: Изд-во Физматлит, 2008. — 208 с.

5. Барабанов А. Т. Полное решение проблемы Рауса в теории регулирования. Доклады АН СССР, 1988. Т. 301, № 5. С. 1061−1065.

6. Барбашин Е. А.

Введение

в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. — 223 с.

7. Беллман Р.

Введение

в теорию матриц. М.: Наука, 1976. — 352 с.

8. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.-215 с.

9. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.-768 с.

10. Блистанова Л. Д., Зеленков Г. А., Зубов И. В., Зубов Н. В. Проблемы устойчивости матриц и вычислительных алгоритмов: Учебное пособие. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2007. — 150 с.

11. Блистанова Л. Д., Зубов И. В., Зубов Н. В., Северцев H.A. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа: Учебное пособие. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2002. — 119 с.

12. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002. — 824 с.

13. Веремей Е. И., Корчанов В. М., Коровкин М. В., Погожев C.B. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. — СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 370 с.

14. Воеводин В. В., Кузнецов В'.А. Матрицы и вычисления: -М.: Наука, 1984. -320 с.

15. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.: Энергия, 1980. 312 с.

16. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 336 с.

17. Гайворонский С. А., Замятин C.B. Анализ локализации корней интервального полинома в заданном секторе. Изв. Томского политех, ун-та. —2004. Т. 307. № 4. С. 14−18.

18. Гантмахер Ф. Д. Теория матриц. -М.: Наука, 1967. 576 с.

19. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. — 548 с.

20. Гребенников Е. А., Митропольский Ю. А., Рябов Ю. А. Методы усреднения в резонансной аналитической динамике. М.: Янус, 1999. — 301 с.

21. Грязина E.H., Поляк Б. Т. Многомерная область устойчивости полиномиальных семейств специального вида. АиТ, № 12, М.: Наука, 2007. С. 38−52.

22. Дедков В. К. Методы прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ РАН, 2003.-188 с.

23. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем: перев. с англ. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1979. — 304 с.

24. Дивеев А. Н., Северцев H.A. Метод выбора оптимального варианта технической системы. М.: ВЦ РАН, 2003. 105с.

25. Дикусар В, В-> Зеленков Г. А., Зубов Н. В. Методы анализа робастной устойчивости и неустойчивости. М.: ВЦ РАН, 2007. 234 с.

26. Дорф Р: Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. Пер. с англ. Б. И: Копылова. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — 832 е.- ил.

27. Егоров А. И. Основы теории управления. М.': Изд-во «Физико-математическая литература», 2004. — 503 с.

28. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970. 704 с.

29. Жабко А. П., Харитонов В. Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. — СПб.: СПбГУ, 1993.-320 с.

30. Жабко А. П., Прасолов В. Л., Харитонов В. Л. Сборник задач и упражнений по теории управления: стабилизация программных движений. -М.: Высшая школа, 2003. — 285с.

31. Зеленков Г. А. Аналитические и численные методы построения характеристического многочлена: Монография. Новороссийск: МГА им. адм. Ф. Ф. Ушакова, 2007. — 128 с.

32. Зеленков Г. А. О графических критериях робастной устойчивости интервальных полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем», 2006, № 10(2). С. 181 187.

33. Зеленков Г. А., Зубов Н. В., Лопатин М. С. Вероятностный подход к исследованию робастного поведения семейства матриц. Труды Института системного анализа РАН «Динамика линейных и нелинейных систем». Выпуск 25(1). М.: Изд-во «КомКнига», 2006. С. 137−141.

34. Зеленков Г. А., Зубов Н.В.О границах спектра матрицы линейного оператора в унитарном пространстве. Труды ХШ международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Москва-Пущино, Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007." С. 34−41.

35. Зеленков Г. А., Зубов Н. В., Лопатин М. С., Неронов В. Ф. О выпуклых семействах неустойчивых полиномов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 31(1). М.: ЛКИ, 2007. С. 158−161.

36. Зеленков Г. А., Лопатин М. С., Мухин А. В. Графические критерии принадлежности семейств интервальных полиномов классам (n, k) — эквивалентности. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 29(1). М.: ЛЕИ, 2007. С. 131−135.

37. Зеленков Г. А., Тульчий В. В., Черноглазов Д. Г. Проблемы робастной устойчивости систем управления подвижных объектов. Сборник научных трудов. Выпуск 13. Новороссийск: МГА им. адм. Ф. Ф. Ушакова, 2009. С. 16−18.

38. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления. СПб.: СПбГУ, 2001. -353с.

39. Зубов И. В. Методы анализа динамики управляемых систем. М.: Физматлит, 2003. -223с.

40. Зубов Н. В. Математические методы исследования динамической безопасности. М.: ВЦ РАН, 2007.-772 с.

41. Зубов Н. В., Зубов C.B. Лекции по математическим методам стабилизации динамических систем. СПб.: СПбГУ, 2007. — 352 с.

42. Зубов Н. В., Тульчий В. В., Черноглазов Д. Г. О робастной устойчивости семейств нестационарных матриц устойчивых по Важевскому. Материалы международной конференции по математической теории управления и механике. Суздаль, М.:МИАН, 2009. С. 74−45.

43. Зубов н.и. Математические методы анализа и синтеза линейных нестационарных систем управления / под. ред. О. А. Малафеева. Спб.: СПбГУ, 2008. 85 с.

44. Ильичев А. В., Северцев Н. А. Эффективность сложных систем. Динамические модели. -М.: Наука, 1989.-311 с.

45. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.-400с.

46. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 653 с.

47. Краснощекое П. С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: МГУ, 1983. -83 с.

48. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Физматгиз, 1968 475 с.

49. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1976, т. l.-ЗОЗс.

50. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. — 392 с.

51. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. — 280 с.

52. Лопатин М. С., Зеленков Г. А., Черноглазое Д. Г. Методы исследования устойчивости полиномов. Часть 2. Матричные и графические методы. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 42(2). М.: ЛКИ, 2010. С. 7284.

53. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Наука, 1950. -386 с.

54. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

55. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972.-232с.

56. Меркин Д. Р.

Введение

в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. — 320 с.

57. Миронов В. В., Северцев H.A. Методы анализа устойчивости систем и управляемости движением. М.: Изд-во РУДН, 2002. 166 с.

58. Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978. -336 с.

59. Найфе А. Х.

Введение

в теорию возмущений.-М.:Мир, 1984.-533 с.

60. Несенчук A.A., ФедоровичС.М. Метод параметрического синтеза интервальных систем на основе корневых годографов полиномов Харитонова. АиТ, № 7, М.: Наука, 2008. С. 37−46.

61. Пантелеев’A.B., Бортаковский A.C. Теория управления, в примерах и задачах. М>.: Высшая школа. 2003″. — 583 с.

62. Патрушева М. В. Качественный анализ матричных уравнений движения. Проблемы устойчивости и численные методы. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2000. 148 с.

63. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986. — 624 с.

64. Петров Н. П., Поляк Б. Т. Робастное D-разбиение // Автом. телемех. 1991. № 11. С. 4153.

65. Петров Ю. П. Очерк истории автоматического управления. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2004. 270 с.

66. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление М.: Наука, 2002. -303 с.

67. Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, 1989. 304 с.

68. Постников М. М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1981. — 176 с.

69. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М.: Мир, 1984. -284 с.

70. Раус Э. Об устойчивости заданногосостояния движения. Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований., 2002, 199с.

71. Северцев H.A., Дедков B.K. Системный анализ и моделирование безопасности. — М.: Изд-во «Высшая школа», 2006. 464 с.

72. Семенов В. В. Формы математического описания линейных систем. М.: Изд-во МАИ, 1980.-94 с.

73. Солодов A.B., Петров Ф. С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами. -М.: Наука, 1971. 620 с.

74. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. A.A. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

75. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Комкнига, 2006. — 472 с.

76. Стргок Е. В. Области локализации спектров динамических систем по первому приближению // Изв. Вузов. Сев.-Кавк. Регион. Техн. науки. Спец. выпуск. Проблемы водного транспорта, 2007. С. 149−152.

77. Стренг Г. Линейная алгебра и ее приложения. М.: Мир, 1980. — 456 с.

78. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.

79. Фаддеев Д. К. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1984. — 736 с.

80. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. — 280 с.

81. Харитонов В. Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 11. С. 20 862 088.

82. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. -М.: Мир, 1989. 665 с.

83. Цыпкин Я. З., Поляк Б. Т. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники, сер. Технич. киберн. Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1991. С. 3 31.

84. Цыпкин Я. З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. 560 с.

85. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. — 207 с.

86. Шевцов Г. С. Линейная алгебра. Теория и прикладные аспекты. М.: Финансы и статистика, 2003. — 576 с.

87. Шуп Т. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высшая школа, 1990.-240 с.

88. Bhattachaiyya S.P., Chapellat Н., Keel L.H. Robust control: the parametric approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995. 672 c.

89. Dikusar V.V., Zelenkov G.A., Zubov N.V. Criteria for the Existence of Uniform Equivalence Classes of Unstable Interval Polynomials. // Doklady Mathematics. 2009. Vol. 80, № 3. P. 1−3.

90. Dikusar V.V., Zelenkov G.A., Zubov N.V. Conditions for the Existence of Convex Sets of Unstable Polynomials // Doklady Mathematics. 2009. Vol. 80, № 3. P. 942−943.

91. Faedo S. Un nuova problema di stabilita per le equazione algebriche a coefficienti reali // Ann. ScuolaNorm. Super. Piza, Ser. sci. fis. e mat. 1953. V. 7, No. 1 -2. P. 53 63.

92. Padmanabhad P., Hollot C.V. Complete instability of a box of polynomials // IEEE Trans. Autom. Control. 1992. V.37, No. 8. P. 1230−1233.

93. Sanchez-Pena R., Sznaier M. Robust systems: theory and applications. Wiley-Interscience, 1998.-490 c.

94. Taussky O. Bibliography of Bounds for Characteristic Roots of Finite Matrices // National Bureau of Standarts, September 1951. Rept. 1162.

95. Tempo R. Bai E.W., Dabbene F. Probabilistic robustness analysis: explicit bounds for the minimum number of samples // Syst. Control Lett. 1997. V. 30. P. 237−242.

96. Weinmann A. Uncertain models and robust control. Wien: Springer, 1991. 722 c.

97. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal control. Upper Sanddle River, NJ: Prentice Hall, 1996. 586 c.