Численные методы анализа интегрируемости динамических систем

Вопрос об интегрируемости динамических систем изучался приблизительно с середины XIX века. В то время под интегрируемостью понимали интегрируемость в квадратурах, то есть для системы дифференциальных уравнений с? х.. возможность найти решение х (£) с помощью операций обращения функций и взятия первообразных.

В настоящее время понятие несколько расширилось: рассматривается более сильная характеристика системы, а именно, существование достаточного количества сохраняющихся величин (первых интегралов), обладающих определенными свойствами. Приведем ниже три важных случая, когда из наличия интегралов (или инвариантов) следует интегрируемость в квадратурах.

1. Если система х =у (х), х, у? Г (1) имеет (п — 1) независимый первый интеграл ., 1п-, то она интегрируема в квадратурах (векторное поле у (х) предполагается достаточно гладким).

2. Снова рассмотрим систему (1). Пусть она имеет (п — 2) независимых первых интеграла и инвариантную меру /х (х) (такая мера, что объем произвольной области не меняется при переносе области вдоль траекторий системыэту меру называют множителем Якоби). Тогда система (1) интегрируема в квадратурах.

3. Рассмотрим теперь гамильтонову систему с гамильтонианом Н, имеющую п степеней свободы, тогда система, аналогичная (1), имеет вид:

Рг = —д— оді дн.

2) гтгде qi — обобщенные координаты системы (я 6 М71, или в более общем случае я € <3 — некоторому многообразию) — рг — импульсы системы (р € Е", или, соответственно, р 6 Т*(5 — кокасательному расслоению к многообразию (5) •.

Гамильтонова система безотносительно к интегрируемости имеет некоторые интересные свойства. Например, если гамильтониан Я не зависит явно от времени, то его величина сохраняется — это соответствует сохранению полной энергии системы. Поток гамильтоновой системы (то есть поток векторного поля Хн = сохраняет объем в фазовом пространстве М = (я, р) системы (теорема Лиувилля, [1]).

На фазовом пространстве гамильтоновой системы определяют пуассонову структуру: алгебру гладких функций с умножением где и — симплектическая форма на М. Функция / является первым интегралом гамильтоновой системы тогда и только тогда, когда {/, Я} = 0.

Для гамильтоновой системы справедлива теорема Л иу ви л ля-Арнольда ([1]):

Пусть гладкие функции на 2п-мерном многообразии М і'ьі'г,. ,.РП: М —"• К находятся в инволюции і^ } = 0). Рассмотрим множество уровня функций ^.

Пусть на М/ функции Fi независимы (т.е. в каждой точке М/ линейно независимы 1-формы (1^). Тогда: 1) М/ - гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового 9} = Х}9 = ?д (Х-) = Хд).

М/ = {(я, р) — -Р<(ч, р) = /г,І = 1 ,., п}. потока с гамильтонианом Н = Рх. 2) Если многообразие Mf компактно, то каждая его компонента связности диффеоморфна п-мерному тору.

Т п = {(<�ри., 1рп) то (1 2тт}.

3) Фазовый поток с гамильтонианом Н определяет на Му условно-периодическое движение: р = ы (/).

4) Канонические уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах.

В таком случае система называется вполне интегрируемой, или интегрируемой по Лиувиллю-Арнольду.

Мы не будем, естественно, приводить полное доказательство данной теоремы, остановимся лишь на идеях и расшифруем все требования, наложенные на систему.

Из линейной независимости «?^ следует, что М- - подмногообразие размерности п в М. В основе доказательства теоремы лежит анализ действия на Mf групп переносов, порожденных сдвигами вдоль векторных полей Хрг. Условие равенства нулю скобки Пуассона двух функций ^ и эквивалентно тому, что соответствующие векторные поля Хрг и Хр} коммутируют. Иными словами, на М/ существуют п касательных векторных полей, попарно коммутирующих и линейно независимых в каждой точке. Mf инвариантно относительно переноса вдоль каждого из векторных полей Хрг. Поэтому можно определить действие коммутативной группы Мп = {1} на многообразии М/ дгхсдвиг из точки х вдоль каждого из векторных полей Хр, на время 11. Можно показать, что стабилизатор точки хо (множество точек таких что д1хо = £о) есть дискретная подгруппа в Е» размерности п, значит, он изоморфен Zn. Значит, многобразие М/ диффеоморфно Жп? Ъп — Тпэтот диффеоморфизм и обеспечит квазипериодическое движение.

Интегрируемость в квадратурах получается явно (введением переменных действиеугол). Таким образом, фазовое пространство оказывается расслоенным на инвариантные торыдвижение по каждому из них квазипериодическое, а сами торы параметризуются значением интегралов действия.

Из приведенных выше примеров ясно, что начинать изучение интегрируемости системы разумно с анализа условий существования независимых первых интегралов. Этому вопросу и будет посвящена диссертация. Для произвольной динамической системы не существует конструктивного алгоритма для проверки существования достаточного количества независимых первых интегралов, однако получен ряд результатов, выявляющих препятствия к интегрируемости. Спектр результатов в этой области очень широк. Достаточно подробный обзор можно найти в книге [3], некоторые современные методы также хорошо изложены в [4]. Непосредственно в главах 1 и 2 мы приведем лишь те определения и теоремы, которые необходимы для понимания результатов диссертации.

В данной работе мы предложим два принципиально различных конструктивных метода доказательства неинтегрируемости, подходящих для анализа достаточно широкого класса динамических систем. Первый (глава 1) связан с анализом топологии фазового пространства, он использует результаты теории Колмогорова-Арнольда-Мозера вместе с аппаратом стохастического анализа на основе метода Монте-Карло. Он применим для анализа вещественных систем малой размерности. Второй метод (глава 2) касается существования мероморфных интегралов комплексифицированных систем и основан па развитии алгебраических подходов C. J1. Зиглина к анализу интегрируемости. Оба метода существенно используют численные методы для анализа динамических системименно компьютерные вычисления позволяет расширить класс исследуемых систем и применить наши методы к задачам, не изученным ранее.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора ([28] - [35]).

Они докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• Семинары в ВЦ РАН под руководством Абрамова A.A., Пальцева Б. В., Власова.

B.И. и под руководством Степанова С. Я.;

• Семинар в Ecole Normale Superieure de Lyon, Lyon, France;

• Семинар в МАИ под руководством Красильникова П. С., Бардина B.C.;

• Семинар в НИИ механики МГУ, Москва, Россия;

• CEEPUS Computer Algebra Summer University, Miskolc, Hungary;

• XXXIII International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» ,.

C.-Петербург;

• The Fifth Euromech Nonlinear Dynamics Conference, Eindhoven, The Netherlands;

• 7-th Junior Mathematical Congress, Tg-Mures, Romania;

• Conference «Dynamical Integrability», CIRM, Luminy, France;

• Conference «Symmetry and Perturbation Theory», Otranto, Italy;

• Конференция-Конкурс молодых ученых НИИ Механики МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия;

• 5-th European Congress of Mathematics, Amsterdam, The Netherlands;

• III International Summer School on Geometry, Mechanics, and Control, L’Ametlla de Mar, Spain;

• Research Workshop «Modern Approaches to Dynamical Integrability», Portsmouth, England;

• «Dynamical systems and classical mechanics: a conference in celebration of Vladimir Arnold», Edinburgh, Scotland.

Я приношу глубокую благодарность своему научному руководителю профессору С. Я. Степанову за помощь в подготовке работы.

3 Заключение.

В диссертационной работе рассмотрены различные методы анализа интегрируемости динамических систем. Среди них присутствуют как чисто алгебраические, так и геометрические подходы. Многие идеи берут начало еще в XIX веке, но получили особое развитие в конце XX с появлением соответствующего математического аппарата.

Развиты классические методы, с использованием преимуществ современных численных методов. В частности, предложен метод анализа топологии фазового пространства систем малой размерности, который является достаточно общим, в том смысле, что ограничения на область его применения достаточно естественны. Рассмотрена типичная картина применения алгебраических методов Зиглина и Моралеса-Рамиса, когда группа монодромии содержится в дифференциальной группе Галуа. Однако, предложенный конструктивный способ построения группы монодромии позволяет рассматривать более сложные частные решения в рамках подхода Зиглина, что существенно расширяет его область применения, и в частности позволяет показать неинтегрируемость некоторых систем, где метод Моралеса-Рамиса результатов не дал.

Основной мотивацией для изучения этих методов является дальнейшая попытка применить их к более сложным системам. Например, к системам с задержкой, которые естественно возникают при моделировании биологических процессов, а также в задачах релятивистской небесной механики.