Порождающие мультиплеты и структурные вопросы групп лиева типа

Многие задачи теории групп и смежных разделов сводятся к нахождению порождающих элементов, удовлетворяющих некоторым свойствам. При .-этом, для конечных простых групп и близких к ним, особый интерес вызывают порождающие множества минимальной мощности относительно некоторых свойств. В первой главе рассматривается вопрос, поставленный в 1994 г. в работе Г. Мал-ле. Дж. Саксла и Т. Вейгеля [26] и записанный Я. Н. Нужиным в «Коуровской тетради» [3, вопрос 14.69]:

Для каждой конечной простой неабелевой группы С найти минимум числа (сопряженных) порождающих инволюций (соответственно 1с{С)) таких. что их прои введение равно 1 (Малае Саксл Вейгель).

В сп. пг известного результата У. Фейта и Дж. Томпсона [24] любая конечная группа нечетного порядка разрешима. Поэтому конечная простая неабеле-ва группа содержит инволюции и порождается любым классом сопряженных инволюций. С другой стороны, число порождающих инволюций не меньше трех для любой конечной простой неабелевой группы. В 1978 г. А. Вагнер [30] заметил, что для группы Р, 5'[/з (9) минимальное число порождающих инволюций равно 4. В последствии оказалось, что она является единственной конечной простой неабелевой группой, не порождаемой тремя инволюциями (см работы Г. Миллера [27], Ф. Дала Вольта [23], Г. Малле, Дж. Саксла и Т. Вейгеля [26], Я. Н. Нужина [10]). Поэтому ¿-© < 6, для любой конечной простой группы (7 фР5?/з (9). В параграфе 1.2 будет ноказано, что i (G) > 5 в силу простоты группы С. Таким образом, для любой конечной цретой неабелевой группы С.

5 < г{0) < 6, при <2 ф РБи3(9).

Следует отметить, что согласно классификационной теореме конечные простые группы исчерпываются следующими: циклические группы простого порядка, знакопеременные группы, группы лиева типа над конечными полями и 26 спорадических групп.

В 1980 г. В. Д. Мазуровым был поставлен следующий вопрос [3, вопрос 7.30].

Какие конечные простые группы порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны ?

К настоящему времени известно, какие конечные простые группы порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны. Для знакопеременных групп и групп лиева типа над конечными полями ответ на данный вопрос дал Я.II. Нужин в течение 1990;1996 гг. ([6, 7, 8, 9, 28]). Позднее вопрос был решен и для спорадических групп (см. статью В. Д. Мазурова [5]).

Конечная простая группа С? порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, тогда и только тогда, когда она отлична от следующих групп:

1) знакопеременные группы:

Л6. Л7, Л8:

2) группы лиева типа над полем характеристика 2:

РБЬМ, Рад (д), РвЬ^д), РЭиМ.

3) группы лиева типа над полем нечетной характеристики:

РБЫд), РвИзЫ), 7), РБЬ2{9), Р%,(3);

4) спорадические группы:

Мп, М22, М23, МсЬ.

Если группа G порождается тремя инволюциями а, /3, 7, такими, что а/? = /За, то и качестве пятерки порождающих инволюций произведение которых равно 1 можно взять следующие п/3., 7, /3, о-, и тогда /(G) = 5. Таким образом, для нахождения i (G) остается исследовать группы исключения из предыдущего результата.

Основным результатом параграфа 1.2 является.

Теорема 1.2.2. Всякая подгруппа Н группы SL3(2т), для которой i (U) = 5, приводима.

Ее следствием является ответ на вопрос Маллс-Саксла-Вейгсля для групп PSL3(2m) и PSU3(22m).

Следствие 1.2.3. Если G = PSL3{2т), PSU3(22m), то i (G) = ic{G) = 6.

В 2001 г. для исключительных знакопеременных и спорадических групп число i (G) было найдено A.B. Тимофеенко [16] и В. А. Шмидтом [18]. Оказалось, что i (Aa) = 5 и i (G) — 6, если G является одной из групп А~, /18, Мп, М22, М23, МсЬ.

В диссертации Дж.М. Уорда 2009 года [31] (см. так же [3, примечания к вопросу 14.69]) число ic (G) найдено для знакопеременных, спорадических i-pynn и для групп PSLn (q), при нечетном q. а для п > 4 при дополнительном ограничении q ф 9, кроме того для п = 6 при q ф ZmodA. Таким образом, с учетом следующих изоморфизмов.

PSL2(7) ~ PSL3(2), PSL2(9) ~ Аь PSp4(3) ~ PSU4(4) и следствия 1.2.3, к настоящему времени значение числа i{G) остается неизвестным только для групп.

PSL{(2m), PSU4(22т), PSU3(p2m), р> 2.

Пусть г = / ((т) то же, что и выше. В третьем параграфе первой главы рассматривается следующая задача.

Найти число г для групп SLn (Z) и PSLn (Z,))iad кольцом целых чисел.

Группа 5²(2) имеет единственную инволюцию, а Р. Фрике и Ф. Клейн в [25] установили, что группа РЗЬо (%,) является свободным произведением групп порядка 2 и 3. Поэтому группы 5'Ь2(Ж) и РЗЬ2{Ъ) не порождаются ни каким множеством инволюций. Я. Н. Нужин в [11] доказал, что группа Р81.,{Ъ) тогда и только тогда порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда п > 5. Доказана.

Теорема 1.3.3. Группы бХ. ч (^) = РЗЬ^{Ж), БЬ^Ж) а РвЬ^Ъ) порождаются тремя инволюциями.

Отсюда непосредственно получаются два следствия.

Следствие 1.3.4. При п > 3 группа РЗЬп{Ъ) порождается тремя инволюциями.

Следствие 1.3.7. Пусть С = РЗЬп (Ж), п > 3. Тогда г (С?) = 6, при п = 3,4, и ¡-(С) — о при п>Ъ.

В работе М. Тамбурини и П. Цука [29] показано, что группа при п > 14, порождается гремя инволюциями, две из которых перестановочны, а и работе Я. Н. Нужипа [11] порождающие инволюции, две из которых перестановочны, группы РЗЬп (Ъ). при п ф 2(2г + 1), выбирались из ЗЬп (Ъ). Из результатов двух данных работ и теоремы 1.3.3 получаются следующие два следствия.

Следствие 1.3.8. При п > 3, п ф 6,10 группа ЗЬп (Ж) порождается трамя инволюциями.

Следствие 1.3.9. Пусть (7 = ЗЬп (Ъ), V > 3, п ф 6,10. Тогда = 6, при п = 3,4, и ¡-© = 5. при п> 5.

Во второй главе некоторые результаты для групп Шевалле нормального типа переносятся на скрученные группы Шевалле (группы Стейнберга).

Пусть далее К поле частных кольца главных идеалов 1). С -= С {К) — группа Шевалле (нормального типа) над полем К, ассоциированная с системой корней Ф, В — борелевская подгруппа группы С. Справедливо следующее разложение, называемое разложением Ивасавы (см. книгу Р. Стейнберга [15, теорема 18j):

G = BG (D).

Если кольцо главных идеалов D обладает автоморфизмом / порядка 2 или 3, то таким автоморфизмом обладает и его поле частных К. и определена группа Стейнберга Gl (P) типа 2 А'2т, 2 2 Ес, или: iD4 соответственно над любым промежуточным нодкольцом Р, D С Р С К.

Для групп Стейнберга доказан аналог разложения Ивасавы.

Теорема 2.2.6. Пусть Gl (K) — группа Стейнберга над полем частных К кольца главных идеалов D, В1 — ее борелевская подгруппа. Тогда.

Gl (K) = BlGD).

Третий параграф второй главы носвящен проблеме описания промежуточных подгрупп, лежащих между группами Стейнберга над кольцом главных идеалов и его полем частных.

Задача о промежуточных подгруппах была поставлена в 1970 г. Ю.И. Мерз-ляковым [3. вопрос 7.40].

Дать описание (решетки) подгрупп, заключенных меэюду заданной классической группой матриц над кольцом и подгруппой всех ее матриц с колрфи-циентами в подкольце.

Для общей и специальной линейных групп такие описания были получены в 1969 г. Н. С. Романовским [14], в случае евклидова кольца и его поля частных, P.A. Шмидтом в 1979 г. для кольца главных идеалов [19], дедекиндова кольца [20] и в 1981 г. для кольца Безу [21] и их нолей частных. Для симилектической группы и поля частных евклидова кольца данное описание было установлено в 1984 г. А. И. Шкуратским [17]. В 1984 г. Я. Н. Нужин описал в [12] промежуточные подгруппы групп Шевалле в случае кольца главных идеалов. В статье Я. Н. Нужина и A.B. Якушевич [13] этот результат был усилен, а именно, получилось следующее описание.

Пусть подгруппа М удовлетворяет условию G (D) СМ С G (K), тогда М — G (P) для некоторого подкольца Р, D С Р С К.

По определению подгруппа, А мультипликативной группы Р* кольца Р удовлетворяет условию (к, т), если аддитивная группа, порожденная множеством (1 — Ак) Ат, где Ат = {аш | a G А}, содержит единицу кольца Р.

Пусть Df — подкольцо неподвижных элементов кольца D относительно автоморфизма /, участвующего в построении группы Стейнберга О1 [К). Основным результатом параграфа 2.3 является.

Теорема 2.3.9. Пусть Gl (K) — группа Стейнберга типа 2А2т-, 2Dm+i, 2ЕЬ или ADi над полем частмых кольца главных идеалов D.

Предположим, что:

1) Df удовлетворяет условию (2,2), если Gl{K) типа 2A2m-i (т > 2);

2) D*j удовлетворяет условию (2,1), если G1(К) типа 2Dm+i (т > 3) или 2Ев;

3) D*f удовлетворяет условиям (2,1), (3,1), ecviuG1^) muna^D^. Тогда любая промежутлч кая подгруппа М,.

GD) CMC Gl (K), совпадает с подгруппой GX (P) для некоторого промежуточного подкольца Р, DC PC К.

Теоремы 2.2.5 и 2.3.9 получены совместно с научным руководителем.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [32] — ?39], включая публикацию из перечня ВАК [38].

Результаты диссертации были представлены на межвузовской научно-технической конференции (секция «Теория групп и приложения»), посвященной 370-летию Красноярска (Красноярск, 1998 г.), на международных алгебраических конференциях «Симметрия в естествознании» (Красноярск 1998 г.), «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2003 г.), «Алгебра, логика и приложения» (Красноярск 2010 г.), на красноярском алгебраическом семинаре.

Автор выражает искреннюю признательность и благодарность своему научному руководителю Якову Нифантьевичу Нужину за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией.

1. Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп). 17-е изд., до-полпеное. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2010. — 291 с.

2. Левчук, В. М. Параболические подгруппы некототорых ABA групп / В. М. Левчук // Матем. заметки. — 1982. — Т. 31, №. — С. 509−525.

3. Мазуров, В.Д. О порождении спорадических простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны / В. Д. Мазуров // Сиб. матем. журн. 2003. — Т.44, № 1. — С. 193−198.

4. Лужин, Я. Н. Порождающие тройки инволюций групп Шевалле над конечным полем характеристики 2 / Я. Н. Нужин // Алгебра и логика 1990. -Т. 29, т. — С. 192−206.

5. Нужин, Я. Н. Порождающие тройки инволюций знакопеременных групп / Я. Н. Нужин // Матем. заметки. 1990. — Т. 51, — С. 91−95.

6. Нужин, Я. Н. Порождающие элементы групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. 1 / Я. Н. Нужин // Алгебра и логика. -1997. Т. 36 № 1. — С. 77−96.

7. Нужин, Я. Н. Порождающие элементы групп лиева типа над конечным полем нечетной характеристики. II / Я. Н. Нужин // Алгебра и логика -1997. Т. 36 № 4. — С. 422−440.

8. Нужин, Я. Н. Порождающие элементы простых групп и их приложения: Дис.. д-ра физ.-мат. наук / Я.Н. НужинКрасноярский гос. уи.-т. Красноярск, 1996. — 150 с.

9. Нужин, Я.Н. О порождаемое&tradeгруппы ?Xn (Z) тремя инволюциями, две из которых перестановочны / Я. Н. Нужин // Владикавказ, матем. журн. -2008. Т. 10, вып. 1. — С. 68−74.

10. Нужин, Я.Н. О группах, лежащих между группами Шевалле над различными кольцами / Я. Н. Нужин // Деп. ВИНИТИ. 5.12.84. — № 7764−84.

11. Нужин. Я. Н. Промежуточные подгруппы групп Шевалле над нолем частных кольца главных идеалов / Я. Н. Нужин, A.B. Якушевич // Алгебра и логика. 2000. — Т. 39, № 3. — С. 199−206.

12. Романовский, Н. С. Подгруппы, лежащие между специальными линейными группами над кольцом и его иодкольцом / Н. С. Романовский // Матем. заметки. 1969. — Т. 6, № 3. — С. 335−345.

13. Стейнберр. Р. Лекции о группах Шевалле / Р. Стейнберг. М.: Мир, 1975. -262 с.

14. Тимофеенко, A.B. О строго вещественных элементах конечных групп / A.B. Тимофеенко // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. — Т. И, № 2. — С. 209−218.

15. Шкуратский, А.И. О подгруппах сиынлектической группы над нолем частных евклидова кольца / А. И. Шкуратский // Алгебра и логика. 1984. -Т. 23, № 5. — С. 578−596.

16. Шмидт, В.А. О порождающих множествах инволюций знакопеременных и спорадических групп / В. А. Шмидт // Материалы XXXIV научной студенческой конф.: Сб. ст. Красноярск: Красноярский гос. ун-т, 2001. -С. 139−144.

17. Шмидт, P.A. О подгруппах полной линейной группы над полем частных кольца главных идеалов / P.A. Шмидт // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1979. — Т. 86 — С. 185−187.

18. Шмидт, P.A. О подгруппах полной линейной группы над нолем частных дедекиндова кольца / P.A. Шмидт // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1979. — Т. 94. — С. 119−130.

19. Шмидт, P.A. О подгруппах полной линейной группы над полем частных кольца Везу / P.A. Шмидт // Структурные свойства алгебраических систем. Нальчик: Кабардино-Балкарский гос. ун-т, 1981. — С. 133−135.

20. Carter, R. Simple groups of Lie type / R. Carter. — New York: Wiley and Sons. 1972. — 332 p.

21. Dala Volta, F. Grouppi sporadici generati da tre in involution / F. Dala Voll a 11 RILS A 119. 1985. — P. 65−87.

22. Feit, W. Solvability of groups of odd oder / W. Feit, J.G. Thompson // Pacif. J. Math. 1963. — Vol. 4, № 3. — P. 775−1029.

23. Fricke. R. Vorlesungen uber die Theore der Elliptischen Modul Funktionen / R. Fricke. F. Klein. B. 1,2. — Leipzig: Teubner, 1890, 1892.

24. Malle, G. Generation of classical groups / G. Malle, J. Saxl, T. Weigel / ' Geom. Dedicata. 1994. — Vol. 22, №.2. — P. 675−685.

25. Miller, G. On the groups generated by two operators /G. Miller // Bull. Amer. Math. Soc. 1901. — Vol. 7. — P. 424−426.

26. Nuzhin, Ja.N. Generating elements of simple groups and their applications / Ja.N. Nuzhin // Proceedings of III International Conference on algebra of memory M.I.Kargapolov (23−28 August, 1993), BerlinNew-York.: Walter de Gruyter, 1996. P. 101−120.

27. Tamburini, M.C. Generation of Certain Matrix Groups by Three Involutions, Two of Which Commute / M.C. Tamburini, P. Zucca // J. of Algebra. 1997. — V. 195. — P. 650−661.

28. Wagner, A. The minimal nainber involutions generating some threedimensional groups / A. Wagner // Boll. Un. Mat. Ital. 1978. — Vol. A 15, №.5. — P. 431 439.

29. Ward, J.M. Generation of simple groups by conjugate involutions: PhD Thesis. / J.M. WardQueen Mary college, University of London. 2009. — 193 p. ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

30. Дубинкина (Моисеенкова), Т. В. Об одном свойстве группы SUz (22n) / Т. В. Дубинкина // Симметрия в естествознании: Meждvнap. конф. 2329 августа 1998 г.: Тезисы докладов. Красноярск: PIBM СО РАН, 1998. -С. 52−53.

31. Дубинкина (Моисеенкова), Т. В. Об одном свойстве групп SL3(2n), 67 г:-(22″) / Т. В. Дубинкина // Вестник Красноярского гос. тех. ун-та. Вып. 16: Математические методы и моделирование. — 1999. — С. 19−34.

32. Моисеенкова, Т. В. Порождающие мультиплеты инволюций групп ЗЬп{Ъ) и РвЬп{Ъ) / Т. В. Моисеенкова // Труды института математики и механики УрО РАН. Том 16, № 3. — 2010. — С. 195−198.

33. Моисеенкова, Т. В. Промежуточные подгруппы групп Стейнберга над полем частных кольца главных идеалов / Т. В. Моисеенкова // Алгебра, логика и приложения: Тезисы докладов Междупар. конф. — Красноярск: СФУ, 2010. С. 64.